HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 perioden

Transcriptie

1 HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 erioden

2 INHOUD. Het inroduct van vectoren De normaalvector van een lijn DE AFSTAND VAN TWEE PUNTEN De afstand van een unt tot een lijn De afstand van lijnen De hoek van twee vectoren De hoek van twee lijnen De vergelijking van een cirkel De omgeschreven cirkel Raaklijnen aan een cirkel Oefenogaven ANTWOORDEN... Fout! Bladwijzer niet gedefinieerd.

3 . Het inroduct van vectoren DEFINITIE: Het inroduct van de vectoren a b a en b is a b a b a b a b STELLING: Als het inroduct van twee vectoren gelijk is aan nul dan staan ze loodrecht. En andersom: voor loodrechte vectoren is het inroduct gelijk aan nul. Ofwel: a b 0 a b. 5 a. Bereken het inroduct van de vectoren en b. De vectoren en staan loodrecht. Bereken c. De vectoren en staan loodrecht. Bereken.. Een vector die loodrecht o een lijn staat heet een normaalvector van de lijn. 3 a. Geef een normaalvector van de lijn l :. 0 b. Stel een vectorvoorstelling o van de lijn die loodrecht staat o l en die gaat door A (, 3 ). c. Het unt B (, q ) ligt o een afstand van 0 van de oorsrong O. Verder is OB een normaalvector van l. Bereken en q. 3

4 . De normaalvector van een lijn DEFINITIE: Een normaalvector van een lijn is een vector die loodrecht o de lijn staat. STELLING: a De vector staat loodrecht o de lijn b normaalvector van a b c a a b c, oftewel: b is een VOORBEELD. Gegeven zijn de unten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: een vergelijking van de vorm a + b = c van de lijn k door P en Q. 9 3 PQ ˆ Olossing: een richtingsvector is 6 en dus is 3 een k : 3 c normaalvector. Dus. 3. c c door (, ) 3 = - en dus k: 3. a. Geef een vergelijking van de vorm a + b = c van: i. de lijn k door (, ) en (, 9 ). ii. de lijn l: 0 3 b. Bereken de coördinaten van het snijunt van k en l.. Gegeven zijn A(, ), B( 0, ) en C( 3, ). a. Stel een vectorvoorstelling o van de zwaartelijn van B. b. Stel een vectorvoorstelling o van de middelloodlijn van AB. c. Stel een vergelijking o van de hoogtelijn van C.

5 3. DE AFSTAND VAN TWEE PUNTEN. Voor de afstand van twee unten P en Q geldt: d ( P P,Q) PQ ( Q P)² ( Q )². Dit volgt uit de stelling van Pthagoras. 5. Gegeven zijn de unten A(, ) en B (, + ). Er geldt d A, B Gegeven is de lijn k :.. Bereken a. k snijdt de coördinaatassen in de unten C en D. Bereken CD. b. De lijn l gaat door de oorsrong O en snijdt k loodrecht in het unt S. Bereken de afstand van O tot S. c. Bereken de coordinaten van de unten o k die o een afstand 3 van (, 3) liggen. 5

6 . De afstand van een unt tot een lijn Met de afstand van een unt P tot een lijn l wordt de kortste afstand bedoeld. Gezocht wordt dus het unt P o l dat het dichtst bij P ligt. Er geldt: PP l. Het unt P wordt daarom de loodrechte rojectie van P o l genoemd. DE AFSTANDSFORMULE Voor de afstand d van een unt P en een lijn l: a + b = c geldt: d( P, l) Voorbeeld a P b P a² b² c 5 Gegeven zijn P (, 5) en l :. 7 3 a. Bereken d ( P, l ). b. Bereken de coördinaten van het unt P o l dat het dichtst bij P ligt. (Dit unt wordt de loodrechte rojectie van P o l genoemd.) Olossing: a. Een vergelijking van l is 3 + = 3. Dus d ( P, l) ² ² 5 3 b. De lijn k loodrecht o l door P is: 5 Voor het snijunt van k en l geldt: 6 3. (+3λ) + (5+λ) = 3. Dus 5λ = 66 en λ =. 5 Dus P = 3,

7 7. Gegeven is l :, A (, 5 ) en B (8, 3). a. i. Bereken de afstand van O tot l. ii. Bereken de coördinaten van het unt o l dat het dichtst bij O ligt. b. i. Bereken de afstand van A tot l. ii. Bereken de coördinaten van de loodrechte rojectie van A o l. c. i. Bereken de afstand van B tot l. ii. Geef de coördinaten van het unt o l dat het dichtst bij B ligt. d. k is de middeloodlijn van A en B. Bereken de afstand van A tot k. e. i. Bereken de oervlakte van de driehoek OAB. ii. In ΔOAB is m de hoogtelijn vanuit A. Bereken de afstand van O tot m. 8. De afstand van de lijn 3 = tot de oorsrong is 3. Bereken 0 9. Gegeven zijn de lijnen l : en n :. Verder is 7 a A= ( 0, ). a. Er geldt d(a,n)=. Bereken a. b. B is een unt van l zodat AB= 3 5. Bereken de coördinaten van B. c. De lijn l snijdt de -as in P en de lijn n snijdt de -as in Q. Er geldt: PQ = 5. Bereken a. 7

8 5. De afstand van lijnen Met de afstand van de lijnen l en m wordt de kortste afstand bedoeld tussen de twee lijnen. Als l en m een snijunt hebben geldt dus: d ( l, m ) = 0 Ook als m en l samenvallen is de afstand nul. Als l en m evenwijdig zijn is voor elk unt o m de afstand tot l hetzelfde. In dit geval geldt dus: d ( m, l )= d ( P, l ) voor elke P m a. Bereken de afstand van de lijnen k : en 3 3 l :. 0 b. Verder is gegeven m :. i. Geef de afstand van m tot l. 3 ii. Bereken de coördinaten van de unten o m die een afstand tot l 5 hebben. c. De afstand van de lijn a + 3 = b tot k is 5. Bereken a en b. d. Geef een vectorvoorstelling van elk van de lijnen die een afstand 5 tot m hebben. 8

9 6. De hoek van twee vectoren STELLING: Voor de hoek tussen twee vectoren a, b a b a cos. a b a a b b b a a a en b b geldt: b 3. Gegeven zijn: a ; b en a. Bereken de hoek van a en b. c 3 b. De cosinus van de hoek van a en c is. Bereken. 5. Gegeven zijn de unten A (, 3 ) en B (, ) en C(, ). a. Bereken de cos ( BCA). b. Het unt D is het snijunt van de zwaartelijn vanuit C en de zijde AB. Bereken ACD en BCD. 9

10 7. De hoek van twee lijnen De richtingsvectoren van twee lijnen k en l bealen de hoek die de lijnen maken. Tussen de lijnen zitten twee hoeken α en β die samen 80 zijn. Met de hoek van k en l wordt de kleinste van de twee bedoeld. Zie de grafiek van =cosα. Bij hoeken van groter dan 90 hoort een negatieve cosinus. Verder geldt: cos cos80. Door in de hoekformule de absolute waarde van het inroduct te nemen wordt de hoek die kleiner of gelijk is aan 90 verkregen. STELLING a b Als a en b de richtingsvectoren van twee lijnen zijn dan geldt voor de a b hoek tussen de twee lijnen: cos a, b abab a a b b a b VOORBEELD. Bereken de hoek van de lijnen 0 k : en 3 l :. Olossing: Er geldt.3. 5 cos en dus α

11 3. a. Bereken de hoek van i. k : en 0 l : 3 ii. m : 8 58 en m : 58 5 b. i. De hoek van k : 0 en 0 l : is 60. Bereken 3. 5 ii. De hoek van m : 8 en m : is 90. Bereken. 7. a. Toon aan dat de lijn door A0, en B,6 en de lijn door C,0 en D,5 elkaar loodrecht snijden. Bereken de coördinaten van het snijunt. b. i. Bereken in Δ ABC de hoek van de zwaartelijnen door B en C. ii. Bereken in Δ ABC de hoek van de hoogtelijnen door B en C. 5. Gegeven is 0 l :. a. Bereken de hoek van l en de -as. b. Er zijn twee lijnen door de oorsrong die een hoek met l maken zo dat 3 cos. Bereken de vectorvoorstelling van deze lijnen. 0

12 8. De vergelijking van een cirkel Een vergelijking van een cirkel met middelunt M ( a, b ) en straal r is ) ( ) ( r b a VOORBEELD 3. Bereken het middelunt en de straal van de cirkel Methode: schrijf de vergelijking in de vorm ) ( ) ( r b a. Olossing: 5 3) ( ) ( Dus het middelunt is (, 3 ) en de straal is Onderzoek of de volgende vergelijkingen cirkels voorstellen en bereken het middelunt en de straal a b c d Gegeven is de cirkel 0. Onderzoek of de volgende unten binnen, o of buiten de cirkel liggen: A(, ), B( 6, ), C( 5, 5 ) en D(, ) 8. Bereken een vergelijking van de cirkel a. met middelunt (, ) en straal 3 b. met middelunt ( 5, 3 ) die door het unt (, ) gaat. c. met straal 5 die door het unt (6, ) gaat en waarvan het middelunt o de lijn 3 3 : 0 l ligt.

13 9. Beschouw de familie van cirkels Ca : a a 6a a 0 a. Voor welke a stelt deze vergelijking geen cirkel voor? b. Stel de vergelijking o van de cirkels van Ca die straal 3 hebben. c. Bereken de vergelijking van de grootste cirkel van Ca VOORBEELD. Bereken de coördinaten van de snijunten van de cirkel ( ) ( 3) 0 en de lijn l : 3 Methode: Vul het algemeen unt, 3 in in de vergelijking van de cirkel en bereken. Olossing: ( ) ( ) Dus de snijunten zijn, 5 en 0, 3 0. Gegeven zijn de cirkel C : ( 3) 0 en l :. a. Bereken de coördinaten van snijunten S en P van de cirkel en de lijn. b. Bereken d P,S c. Bereken d ( MC, l ) d. Bereken de hoek van l en de lijn door M C en S. 3

14 9. De omgeschreven cirkel STELLING: Zie de figuur hieronder. Het middelunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek ABC is het snijunt van de middelloodvlakken van AB, AC en BC. VOORBEELD 5. Gegeven zijn A( 5, ), B(, 7 ) en C( 6, 6 ). Bereken het middelunt van de omgeschreven cirkel van ABC. Methode: Bereken het snijunt van van de middelloodlijnen. Antwoord: Het midden van A en B is ( 3, ) Er geldt: AB ˆ. AB is een c normaalvector van MLLAB dus c 6 en dus door P(3,) MLLAB: + 3 = 6. O dezelfde manier kan men berekenen dat MLLAC: + 5 = 3. De coördinaten van M berekent men nu door het olossen van het stelsel: 3 6 Dit levert: M = ( 3, ). 5 3

15 . Gegeven zijn de unten C(, 6 ), D(, 0 ) en E( 3, ). a. Bereken een vergelijking van de middelloodlijn van het lijnstuk CD. b. Bereken het middelunt van de omgeschreven cirkel van CDE. c. Bereken een vergelijking van de omgeschreven cirkel.. Gegeven zijn de unten O(0, 0), A(, 0 ) en B(0, ). a. Bereken de vergelijking van de verzameling unten die gelijke afstanden hebben tot A en B. b. Bereken de coördinaten van het unt dat gelijke afstanden heeft tot O, A en B. c. Hoeveel cirkels zijn er mogelijk die door A, B en O gaan? d. Bereken een vergelijking van de cirkel door O, A en B. 3. Gegeven zijn de unten K( 3, 0 ), L(, ) en M( 3, ) en N( a+, a 3). Er bestaat een cirkel die door deze vier unten gaat. Bereken a. 5

16 0. Raaklijnen aan een cirkel Voor de raaklijn k van een unt P o een cirkel C geldt: d( M,P) r C C P k M C VOORBEELD 6. Bereken de vergelijking van de raaklijn k van de cirkel ( ) ( ) 5 door P (, ). Methode: MP is de normaalvector van k. Olossing k : c M = (, ) dus MP dus c en dus k: + = door P(,). a. Bereken de vergelijking van de raaklijn door het gegeven unt. i. unt ( 0, 0 ) en cirkel ( ) ( ) 5 ii. unt (, ) en cirkel ( 5) ( 3) 0 b. Bereken de vectorvoorstelling van de raaklijn door het gegeven unt. i. unt (, 0 ) en cirkel ² ² 5 0 ii. unt (, 3) en cirkel ² ² c. i. De lijn 3 = 6 raakt een cirkel met de oorsrong als middelunt. Bereken de straal van de cirkel. ii. De lijn 3 = 6 raakt een cirkel met middelunt (, 0 ) in het unt (, 3 ). Bereken. 5. Gegeven is het unt P (, 0 ) en cirkel C: ² ² 0 a. Toon aan dat P binnen de cirkel ligt. b. Stel een vergelijking o van de lijn k door P die loodrecht staat o M c P. c. Bereken de afstand van k tot MC. d. De snijunten van k en C zijn A en B. Bereken de afstand AB. 0 e. De lijn m : raakt C. Bereken. 6. Een cirkel met de vergelijking ² ² a 3a 0 raakt de lijn 3 0. Bereken a. 6

17 7 VOORBEELD 7. Zie de figuur hiernaast. Bereken de vectorvoorstellingen van de lijnen door P, 0 die de cirkel ) ( raken. Methode: Omdat k niet verticaal is geldt 0 : k. Verder is M k, d. Gebruik de afstandsformule. Olossing: De vergelijking van k is:. Dus: M, d k De gevraagde lijnen zijn dus - 0 en Bereken de vectorvoorstellingen van de raaklijn door het gegeven unt. a. unt ( 0, 0 ) en cirkel b. unt ( 5, 5 ) en cirkel 0 8. Bereken de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel die evenwijdig zijn met de lijn Gegeven is de cirkel 0 8 en het unt P ( a, 0 ).Door P wordt een lijn l getrokken die evenwijdig is met de lijn =.Voor welke waarden van a heeft l resectievelijk 0, en unten met de cirkel gemeen?

18 . Oefenogaven 30. A ( 3, ), B ( 5, ) en C (, 5 ) zijn de hoekunten van ΔABC. a. Bereken de hoek van de zwaartelijnen door A en C. b. Bereken de coördinaten van het hoogteunt van de driehoek Gegeven is l : Er zijn twee lijnen door de oorsrong die 3 een hoek met l maken zo datcos. Bereken de vectorvoorstelling 0 van deze lijnen. 3. Gegeven zijn de lijnen l : en m :. 0 0 Verder is A= ( 0, ). Bereken de coördinaten van de unten a. o l die een afstand 5 tot A hebben b. o m die een afstand 5 tot A hebben c. o m die een afstand 5 tot l hebben 33. Gegeven is de cirkel 9 0. a. Onderzoek of de volgende unten binnen, o of buiten de cirkel liggen: A( 6, 9 ), B( 5, 7 ), C(, 8 ), D( 7, 7 )en E(9, 7). b. Stel een vectorvoorstelling o van de raaklijn door B. c. Geef de hoek van de raaklijn door E en de -as. 3. a. Bereken een vergelijking van de cirkel waarvan het middelunt o de -as ligt en die door E(, 8) en F(3, ) gaat. b. Bereken een vergelijking van de cirkel door G( 3, ), H(, ) en I(, 3). c. Bereken een vergelijking van de cirkel waarvan het middelunt o de -as ligt en die de lijn 3 7 in J(, 3) raakt. 35. a. Bereken de vergelijkingen van de lijnen door P 0, 8 die de cirkel 6 raken. b. Bereken de coördinaten van de raakunten. 36. a. Bereken de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel die evenwijdig zijn met de lijn 0. b. Bereken afstand tussen de snijunten van ² ² 85 en 7 De lijn k gaat door de oorsrong.de afstand tussen de snijunten van ² ² 9 en k is. Bereken de vergelijking van k. 8

19 . Antwoorden. a. b. 5 c 6. a. b. c. 3 ( = en q = ) of ( = en q = ) 3. 3 ai. 5 3 = 7 ii.3 + = 3.b. (, ) a. b. c. 6 = = 6 of = 8 6. a. b. c. (, 0) of (, ) 7. ai 3 ( 7, 3 ) bi. ) 7 ( 6, 6 ci. 0 ii. ( 8, 3 ) d. 5 ei. eii = 5 of = a. a = of a =.b. 7 ( 6, 5 ) of ( 6, ) c. a = of a = 0 0. a. 5 bi. 0 bii. (, ) en ( 5, 5 ) c. a = en b= 7 of b = 33 d. en..a. 7.b. 3 = a. 65 b. en ai. ii. 90 bi. 3 of 3.ii. 0. a. ( 3, ) bi. 65 ii a. 7 b. of 7 6..a. M = ( 3, 0 ) en r =.b. M = ( 3, ) en r = 5.c. en.d. geen cirkel 7. binnen: A; o: C; buiten: B en D. 8. a. ( )² ( )².b. ( 5)² ( 3)² 53.c. ( 3)² ² 5 of ( 9)² ( 8)² 5 9..a. a<0 en a>.b. ( 6)² ( 3)² 3 en ( )² ( )² 3.c ( )² ( )² 0..a. (, 0 ) en ( 3, ) b. 5.c. 5 d. 5..a. 3 = 9.b. ( 0, 3 ).c. 0..a. + = 3.b. (, ).c. 0.d. ( )² ( )² 5 3. a = 3 of a = 3..ai.. 0 ii. 3 bi. ii

20 .ci. 6 3 ii. 8½ 5..b. 3 3.c. 0.d. 6 e. = 3 5 of = a = 5 of a = a. of b. of of 5 9. nul: a< en a>0; één:a= en a=0; twee: <a< a. 7 b. (, 8 ) en a. (, ) en (, 0 ).b. (, ) en (, ).c. 5 5 (, ) en ( 8, 3 ) a. A, D binnen ; C buiten, B en E ero b. 7 c a. ² ( 5)² 0 b. ( )² ( )² 8 c. ( )² ² a. 8 en 8.b. (, ) en (, ) 36. a. en 6 b. 7 c of 0