Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december Meetkunde
|
|
- Siebe Sasbrink
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 december 2012
2 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 Vlakke Vectoren Vergelijking van een rechte 2 Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte
3 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte coördinaat van een vector - scalair product van 2 vectoren - evenwijdige vectoren - orthogonale vectoren A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ) en OA = a, OB = b OP = AB = OB OA. coördinaat van vector AB en coördinaat van punt P: (x o, y o ) = (b 1 a 1, b 2 a 2 ) scalair product of inproduct: a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 a b [ a, b zijn lineair ] afhankelijk a1 a rang 2 < 2 b 1 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2 = 0 a b a b = 0 a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0 a 1 a 2 b 2 b 1 = 0
4 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte Afstanden en hoeken A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ) en OA = a, OB = b, P(x 1, y 1 ) en de rechte k : ax + by + c = 0 Lengte (norm) van de vector OP: OP = x1 2 + y 1 2 Lengte van lijnstuk [AB]: AB = AB = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 Afstand van P tot de k: ax 1 + by 1 + c a 2 + b 2 Hoek γ tussen de vectoren a en b: a b cos γ = a = b a 1 b 1 + a 2 b 2 a a2 2 b b2 2 cos γ > 0 0 o < γ < 90 o cos γ < 0 90 o < γ < 180 o cos γ = 0 γ = 90 o (γ is scherp) (γ is stomp) (γ is recht)
5 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte midden van een lijnstuk - zwaartepunt van een driehoek A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ), C(c 1, c 2 ) M is het midden van lijnstuk [AB] [ x y 2OM = OA + OB OM = 1 2 ( OA + OB) ] = 1 ([ 2 a1 a 2 ] [ b1 + b 2 ]) Z is het zwaartepunt van driehoek ABC = 1 [ 2 a1 + b 1 a 2 + b 2 3 OZ = OA + OB + OC OZ = 1 3 ( OA + OB + OC) ] [ x y ] = 1 ([ 3 a1 a 2 ] [ b1 + b 2 ] [ c1 + c 2 ]) = 1 [ 3 a1 + b 1 + c 1 a 2 + b 2 + c 2 ]
6 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte vergelijking van een cirkel De cirkel c(m; r) is bepaald door zijn middelpunt M(x o, y o ) en zijn straal R (x x o ) 2 + (y y o ) 2 = R 2.. de omgeschreven cirkel van een driehoek. Het middelpunt is het snijpunt van de middelloodlijnen van twee zijden van de driehoek. De middelloodlijn van een lijnstuk [AB] is de verzameling van de punten die op gelijke afstand liggen van A en van B de ingeschreven cirkel van een driehoek. Het middelpunt is het snijpunt van de binnenbissectrices van twee hoeken van de driehoek. De unie van de bissectrices van een hoek bepaald door twee rechten a en b is de verzameling van de punten die op gelijke afstand liggen van a en b. (neem dan de binnenbissectrice)
7 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte collineaire punten - oppervlakte parallellogram en driehoek A(a 1, a 2 ), B(b 1, b 2 ), C(c 1, c 2 ), D(d 1, d 2 ) A, B, C zijn collineair AB, AC zijn lineair afhankelijk b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 = 0 a 1 a 2 1 b 1 b 2 1 c 1 c 2 1 = 0 { AB = DC ABCD is een parallellogram A, B, C niet collineair Oppervlakte van het parallellogram ABCD is b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 = a 1 a 2 1 b 1 b 2 1 c 1 c 2 1 Oppervlakte van de driehoek ABC is 1 2 van de inhoud van parallellogram ABCD.
8 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte rechte door de oorsprong-richtingsgetallen-normaalvector De rechte met vergelijking ax + by = 0 is de verzameling van alle vectoren die orthogonaal zijn met (a, b) en evenwijdig met ( b, a). (a, b) (x, y) ax + by = 0 x b y a = 0 (x, y) ( b, a) Voor de rechte ax + by = 0 en voor elke rechte evenwijdig met deze rechte is p( b, a) een richtingsvector ( b, a) een stel richtingsgetallen a b de richtingscoëfficiënt n(a, b) een normaalvector
9 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte algemene vergelijking van een rechte en parametervoorstelling van een rechte Algemene vergelijking van een rechte is van de gedaante ax + by + c = 0 met (a, b) (0, 0). We kunnen dit opvatten als een stelsel met 1 vergelijking, 2 onbekenden en met rang gelijk aan 1. De oplossingen zijn van de gedaante [ x y ] [ = r b a ] + [ a1 a 2 ] [ ] [ x a1 = r y a 2 b a Dit is een parametervoorstelling van de rechte met parameter r waarbij (b, a) een richtingsvector is van de rechte en (a 1, a 2 ) een punt van de rechte. Als (x, y) een oplossing is dan zijn de vectoren (x a 1, y a 2 ) en (b, a) lineair afhankelijk (zie volgende dia). ]
10 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte rechte door een punt met een bepaalde richting Rechte k door het punt A(a 1, a 2 ) en 1 met richtingcoëfficiënt ω: y a 2 = ω(x a 1 ) 2 met normaalvector (a, b): a(x a 1 ) + b(y a 2 ) = 0 3 met stel richtingsgetallen of richtingsvector p(ρ 1, ρ 2 ): dan is (ρ 2, ρ 1 ) normaalvector: ρ 2 (x a 1 ) ρ 1 (y a 2 ) = 0 P(x, y) k AP en p zijn lineair afhankelijk x a 1 y a 2 ρ 1 ρ 2 = 0 x y 1 a 1 a 2 1 ρ 1 ρ 2 0 = 0 4 evenwijdig met de rechte ax + by + c = 0: a(x a 1 ) + b(y a 2 ) = 0 5 loodrecht op de rechte ax + by + c = 0: b(x a 1 ) a(y a 2 ) = 0 6 evenwijdig met de x-as: y = a 2 7 evenwijdig met de y-as: x = a 1
11 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte rechte door twee punten Rechte door 2 punten A(a 1, a 2 ) en B(b 1, b 2 ) is de rechte door punt A(a 1, a 2 ) en met richtingsvector AB(b 1 a 1, b 2 a 2 ) n(b 2 a 2, (b 1 a 1 )) is normaalvector: (b 2 a 2 )(x a 1 ) (b 1 a 1 )(y a 2 ) = 0 P(x, y) AB AP en AB zijn lineair afhankelijk x a 1 y a 2 b 1 a 1 b 2 a 2 = 0 x y 1 a 1 a 2 1 b 1 b 2 1 = 0 Rechte bepaald door zijn doorgangen met x-as en y-as A(p, 0) en B(0, q): x p + y q = 1
12 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte rechte AB als evenwijdige met OP of als rechte door A met normaalvector ON - loodlijn op AB door A
13 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte onderlinge ligging van twee rechten - bespreken van oplosbaarheid van een (2 2)-stelsel Stelsel met de vergelijkingen van twee rechten k en m: { k : ax + by + c = 0 m : a x + b y + c = 0 1 k m [ = S: één ] oplossing als a b rang a b = 2 a b a b 0 [ ] 2 a b k m als rang a b = 1 a b a b = 0 [ ] a b c 1 k m = φ: geen oplossingen als rang a b c = 2 [ ] a b c 2 k = m: 1 oplossingen als rang a b c = 1
14 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een rechte concurrente rechten - coëxistentievoorwaarde van een (3 2)-stelsel Stelsel van de vergelijkingen van drie rechten k, m en n: k : ax + by + c = 0 m : a x + b y + c = 0 n : a x + b y + c = 0 het stelsel oplosbaar a b k, m en n zijn concurrent rang a b = 2 a b a b c a b c a b c = 0 a b rang a b = 2 a b
15 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec coördinaat van een vector - scalair product en vectorieel product van 2 vectoren - evenwijdige vectoren - orthogonale vectoren A(a 1, a 2, a 3 ), B(b 1, b 2, b 3 ) en OA = a, OB = b OP = AB = OB OA. coördinaat van vector AB en coördinaat van punt P: (x o, y o, z o ) = (b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ) scalair product of inproduct: a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 vectorieel product ( n a en n b ) a a b = n = 2 a 3 b 2 b 3, a 3 a 1 b 3 b 1, a 1 a 2 b 1 b 2 a b [ a, b zijn lineair ] afhankelijk a1 a rang 2 a 3 < 2 a b 1 b 2 b b = o 3 a b a b = 0 a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0
16 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec afstanden en hoeken A(a 1, a 2, a 3 ) met OA = a en B(b 1, b 2, b 3 ) met OB = b, P(x 1, y 1, z 1 ) en het vlak α : ax + by + cz + d = 0 Lengte (norm) van de vector OP: OP = x1 2 + y z2 1 Lengte van lijnstuk [AB]: AB = AB = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + (a 3 b 3 ) 2 Afstand van P tot het vlak α: ax 1 + by 1 + cz 1 + d a 2 + b 2 + c 2 Hoek γ tussen de vectoren a en b: a b cos γ = a = b a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a a2 2 + a2 3 b b2 2 + b2 3 cos γ > 0 0 o < γ < 90 o cos γ < 0 90 o < γ < 180 o cos γ = 0 γ = 90 o (γ is scherp) (γ is stomp) (γ is recht)
17 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec midden van een lijnstuk - zwaartepunt van een driehoek - zwaartepunt van een viervlak A(a 1, a 2, a 3), B(b 1, b 2, b 3), C(c 1, c 2, c 3), D(d 1, d 2, d 3) M is het midden van [AB] 2OM = OA + OB OM = 1 ( OA + OB) 2 x y = 1 a 1 b 1 2 a 2 + b 2 = 1 a 1 + b 1 2 a 2 + b 2 z a 3 b 3 a 3 + b 3 Z is het zwaartepunt van driehoek ABC x y z 3OZ = OA + OB + OC OZ = 1 3 ( OA + OB + OC) = 1 a 1 b 1 c 1 3 a 2 + b 2 + c 2 = 1 3 a 3 Z is het zwaartepunt van viervlak ABCD b 3 c 3 a 1 + b 1 + c 1 a 2 + b 2 + c 2 a 3 + b 3 + c 3 4OZ = OA + OB + OC + OD OZ = 1 4 ( OA + OB + OC + OD) x y z = 1 4 a 1 + b 1 + c 1 + d 1 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 a 3 + b 3 + c 3 + d 3
18 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec vergelijking van een boloppervlak of sfeer Vergelijking van een sfeer S(M; r) met middelpunt M(x o, y o, z o ) en straal R is (x x o ) 2 + (y y o ) 2 + (z z o ) 2 = R Het middelpunt van de omgeschreven sfeer van een viervlak is het snijpunt van de middenloodvlakken van drie ribben van het viervlak die niet in eenzelfde zijvlak liggen. Het middenloodvlak van een lijnstuk [AB] is de verzameling van de punten die op gelijke afstand liggen van A en B. Het middelpunt van een sfeer die raakt aan twee snijdende vlakken ligt in een bissectorvlak van de snijdende vlakken. De unie van de bissectorvlakken van twee snijdende vlakken is de verzameling van de punten die op gelijke afstand liggen van de twee snijdende vlakken.
19 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec collineaire punten - parallellogram en zijn oppervlakte A(a 1, a 2, a 3 ), B(b 1, b 2, b 3 ), C(c 1, c 2, c 3 ), D(d 1, d 2, d 3 ) A, B, C zijn [ collineair AB, AC zijn] lineair afhankelijk b1 a rang 1 b 2 a 2 b 3 a 3 < 2 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a { 3 AB = DC ABCD is een parallellogram A, B, C niet collineair Oppervlakte van een parallellogram ABCD is AB AC = b 2 a 2 b 3 a 3 2 c 2 a 2 c 3 a 3 + b 3 a 3 b 1 a 1 2 c 3 a 3 c 1 a 1 + b 1 a 1 b 2 a 2 c 1 a 1 c 2 a 2 = AB AC sin γ Oppervlakte van een driehoek ABC is 1 2 van de oppervlakte van het parallellogram ABCD. 2
20 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec coplanaire punten - parallelleppipedum, viervlak en hun inhoud A(a 1, a 2, a 3), B(b 1, b 2, b 3), C(c 1, c 2, c 3), D(d 1, d 2, d 3) A, B, C zijn coplanair AB, AC, AD zijn lin afh b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 rang c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 < 3 d 1 a 1 d 2 a 2 d 3 a 3 b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 a 1 a 2 a 3 1 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 d 1 a 1 d 2 a 2 d 3 a 3 = 0 b 1 b 2 b 3 1 c 1 c 2 c 3 1 = 0 d 1 d 2 d 3 1 Inhoud van een parallellepipedum geconstrueerd met de drie lin. onafh. vectoren AB, AC en AD is ( AB AC) AD = b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 a 1 a 2 a 3 1 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 d 1 a 1 d 2 a 2 d 3 a 3 = b 1 b 2 b 3 1 c 1 c 2 c 3 1 d 1 d 2 d 3 1 Inhoud van een viervlak ABCD is 1 van de inhoud van het parallellepipedum 6 geconstrueerd met de drie lin. onafh. vectoren AB, AC en AD.
21 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec vlak door de oorsprong - normaalvector - richtingsvectoren Het vlak met vergelijking ax + by + cz = 0 is de verzameling van alle vectoren die orthogonaal zijn met (a, b, c). (a, b, c) (x, y, z) ax + by + cy = 0 Voor het vlak ax + by + cz = 0 en elke vlak evenwijdig met dit vlak is n(a, b, c) een normaalvector. elke oplossing (x, y, z) van ax + by + cz = 0 de coördinaat van een richtingsvector.
22 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec algemene vergelijking van een vlak en parametervoorstelling van een vlak Algemene vergelijking van een vlak is van de gedaante ax + by + cz + d = 0 met (a, b, c) (0, 0, 0). We kunnen dit opvatten als een stelsel met 1 vergelijking, 3 onbekenden en met rang gelijk aan 1. De oplossingen zijn van de gedaante x y z = r b a 0 +s c 0 a + a 1 a 2 a 3 x a 1 y a 2 z a 3 = r b a 0 +s Dit is een parametervoorstelling van het vlak met parameters r en s waarbij (b, a, 0) en (c, 0, a) twee lineair onafhankelijke richtingsvectoren zijn van het vlak en (a 1, a 2, a 3 ) een punt van het vlak. Als (x, y, z) een oplossing is dan zijn de vectoren (x a 1, y a 2, z a 3 ), (b, a, 0) en (c, 0, a) lineair afhankelijk (zie volgende dia). c 0 a
23 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec vlak bepaald door een punt en een richting Vlak α door het punt A(a 1, a 2, a 3) en 1 mt normaalvector (a, b, c) of evenwijdig mt vl ax + by + cz + d = 0: a(x a 1) + b(y a 2) + c(z a 3) = 0 2 met 2 lin. onafh. richtingsvectoren p(p 1, p 2, p 3) en q(q 1, q 2, q 3) : vlak gaat dr A( en heeft normaalvector ( n p en n q) ) p n = p q = 2 p 3 q 2 q 3, p 3 p 1 q 3 q 1, p 1 p 2 q 1 q 2 : p 2 p 3 q 2 q 3 (x a 1)+ a 3 a 1 q 3 q 1 (y a 2)+ a 1 a 2 q 1 q 2 (z a 3) = 0 P(x, y, z) α AP, p en q zijn lineair afhankelijk x a 1 y a 2 z a 3 x y z 1 p 1 p 2 p 3 q 1 q 2 q 3 = 0 a 1 a 2 a 3 1 p 1 p 2 p 3 0 = 0 q 1 q 2 q evenwijdig met het (x, y)-vlak: z = a 3 4 evenwijdig met de (y, z)-vlak: x = a 1 5 evenwijdig met het (z, x)-vlak: y = a 2
24 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec vlak bepaald door twee punten en met een richtingsvector Vlak dr A(a 1, a 2, a 3 ) en B(b 1, b 2, b 3 ) en rv p(p 1, p 2, p 3 ). vlak gaat dr A en heeft normaalvector n = AB p P(x, y, z) α AP, x a 1 y a 2 z a 3 b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 p 1 p 2 p 3 AB en p zijn lineair afhankelijk x y z 1 = 0 p 1 p 2 p 3 1 b 1 b 2 b 3 1 = 0 p 1 p 2 p 3 0 Vlak door A en B en evenwijdig met de x-as ((1, 0, 0) is rv): een ( normaalvector is b 2 a 2 b 3 a 3 0 0, b 3 a 3 b 1 a 1 0 1, b 1 a 1 b 2 a (0, b 3 a 3, (b 2 a 2 )). De x-term ontbreekt in de vergelijking analoog voor een vlak evenwijdig met de y-as en een vlak evenwijdig met de z-as. )
25 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec vlak bepaald door drie niet collineaire punten Vlak door 3 nt coll ptn A(a 1, a 2, a 3 ), B(b 1, b 2, b 3 ), C(c 1, c 2, c 3 ) is vl dr pt A(a 1, a 2, a 3 ) en met 2 lin onafh rv AB(b 1 a 1, b 2 a 2, b 3 a 3 ) en AC(c 1 a 1, c 2 a 2, c 3 a 3 ) vlak gaat door A en heeft normaalvector n = AB AC P(x, y, z) vlak(abc) AP, AB en AC zijn lineair afhankelijk x a 1 y a 2 z a 3 x y z 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 c 1 a 1 c 2 a 2 c 3 a 3 = 0 a 1 a 2 a 3 1 b 1 b 2 b 3 1 = 0 c 1 c 2 c 3 1 Vlak bepaald door zijn doorgangen met de coördinaatassen A(p, 0, 0), B(0, q, 0) en C(0, 0, r): x p + y q + z r = 1
26 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec onderlinge ligging van twee vlakken Stelsel { met de vergelijkingen van twee vlakken α en β: α : ax + by + cz + d = 0 n = (a, b, c) β : a x + b y + c z + d = 0 n = (a, b, c ) [ ] 1 a b c α β = s: 1 opl. als rang a b c = 2 ( n, n lin. onafh. ) richtingsvector ( van s is: ) n n b c = b c, c a c a, a b a b (dit is een oplossing van het corresponderend homogeen stelsel) [ ] 2 a b c α β als rang a b c = 1 ( n, n lin. afh. ) [ ] a b c d 1 α β = φ als rang a b c d = 2 [ ] a b c d 2 α = β: 2 oplossingen als rang a b c d = 1
27 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec vergelijkingen van een rechte in verschillende gedaanten De vergelijkingen van de rechte in de vorm van een stelsel: De rechte k als doorsnede van 2 vlakken met normaalvectoren resp. { n(a, b, c) en n (a, b, c ) met n n = (ρ 1, ρ [ 2, ρ 3 ) (0, 0, ] 0): ax + by + cz + d = 0 a b c a x + b y + c z + d en rang = 2 = 0 a b c Parametervoorstelling van de rechte (oplossingen van het stelsel): x y z = r ρ 1 ρ 2 ρ 3 + a 1 a 2 a 3 x a 1 y a 2 z a 3 = r Vergelijkingen van de rechte in de vorm van een evenredigheid x a 1 ρ 1 = y a 2 ρ 2 = z a 3 ρ 3 = r als ρ 1 0, ρ 2 0, ρ 3 0 Met A(a 1, a 2, a 3 ) k en p(ρ 1, ρ 2, ρ 3 ) een richtingsvector van k ρ 1 ρ 2 ρ 3
28 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec rechte door een punt en met een bepaalde richting Rechte k door het punt A(a 1, a 2, a 3 ) en 1 met p(ρ 1, ρ 2, ρ 3 ) of op α : ρ 1 x + ρ 2 y + ρ 3 z + d = 0: P(x, [ y, z) k AP en p zijn ] lineair afhankelijk x a1 y a 2 z a 3 rang < 2 ρ 1 0,ρ 2 0,ρ 3 0 ρ 1 ρ 2 ρ 3 x a 1 = y a 2 = z a 3 ρ 1 ρ 2 ρ 3 { 2 ax + by + cz + d = 0 evenwijdig met k : a x + b y + c z + d = 0 : { a(x a1 ) + b(y a 2 ) + c(z a 3 ) = 0 a (x a 1 ) + b (y a 2 ) + c (z a 3 ) = 0 { z = a3 3 evenwijdig met het (x, y)-vlak: x a 1 ρ 1 = y a 2 { ρ 2 4 x = a1 evenwijdig met de z-as: y = a 2 5 analoog voor de andere coördinaatvlakken en coördinaatassen.
29 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec Onderlinge ligging van twee rechten - coëxistentievoorwaarde van een (4 3)-stelsel Meetkundige behandeling voor de onderlinge ligging (met richtingsvectoren en punten) staat tussen haakjes. k en{ m zijn geven door een stelsel vergelijkingen. a1 x + b k : 1 y + c 1 z + d 1 = 0 ( p is rv van k) a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 (A is pt van k) { a2 x + b m : 2 y + c 2 z + d 2 = 0 ( q is rv van m) a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 (B is pt van m) Het stelsel met de vier vergelijkingen heeft 1 rang gelijk aan drie ( p, q lin. onafh.) en is 1 onoplosbaar dan zijn k en m kruisend ( p, q, AB lin. onafh.) 2 oplosbaar dan zijn k en m snijdend ( p, q, AB lin. afh.) 2 rang gelijk aan twee ( p, q lin. afh.) en is 1 onoplosbaar dan zijn k en m strikt evenwijdig ( p, AB lin. onafh.) 2 oplosbaar dan zijn k en m samenvallend ( p, AB lin. afh.).
30 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec Onderlinge ligging van een rechte en een vlak - oplosbaarheid van een (3 3)-stelsel Meetkundige behandeling voor de onderlinge ligging (met richtingsvectoren en punten) staat tussen haakjes. Vlak { α : ax + by + cz + d = 0 ( n(a, b, c) nv van α) en rechte a1 x + b k : 1 y + c 1 z + d 1 = 0 ( p is rv van k) a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 (A is pt van k) Het stelsel met 3 vergelijkingen ax + by + cz + d = 0 a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 heeft: a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 1 rang gelijk aan drie ( p n) en is altijd oplosbaar met 1 oplossing, de rechte snijdt het vlak in 1 punt 2 rang gelijk aan twee ( p n) en is 1 onoplosbaar dan is de rechte strikt evenwijdig met het vlak (A α) 2 oplosbaar dan ligt de rechte in het vlak (A α)
31 Vlakke Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rec Opstellen van vergelijking van rechte in het vlak en vlak in de ruimte Heeft men twee punten A en B van de rechte of van het vlak dan is AB een richtingsvector van de rechte of van het vlak. Rechte in het vlak: zoeken naar een punt A(a 1, a 2 ) en naar een normaalvector (a, b): vergelijking is a(x a 1 ) + b(y a 2 ) = 0 Heeft men een richtingsvector p(ρ 1, ρ 2 ) dan is een normaalvector n: n p dus (a, b) = (ρ 2, ρ 1 ). Vlak in de ruimte: zoeken naar een punt A(a 1, a 2, a 3 ) en naar een normaalvector (a, b, c): vergelijking is a(x a 1 ) + b(y a 2 ) + c(z a 3 ) = 0 Heeft men twee lin. onafh. richtingsvectoren p(p 1, p 2, p 3 ) en q(q 1, q 2, q 3 ) dan is een ( normaalvector n: n p en n q dus ) p (a, b, c) = p q = 2 p 3 q 2 q 3, p 3 p 1 q 3 q 1, p 1 p 2 q 1 q 2 :
Vlakke Meetkunde Goniometrie
Vlakke Meetkunde Goniometrie L. Van Maldeghem Cursus voor de tweede graad Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Moderne Talen-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Het euclidische vlak 1.1 Herhaling 1.1.1 Het begrip
Nadere informatie2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.
1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen
Nadere informatie9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,
Nadere informatieMeetkundige Ongelijkheden Groep 2
Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus
Nadere informatieAnalytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast
Nadere informatieDossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra
Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2
Nadere informatieDe Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten
januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand
Nadere informatieRuimtemeetkunde. (
Ruimtemeetkunde (http://wwwboredpandacom/3d-lines-notepad-drawings-5-years-old-joao-carvalho/) ) Herhaling a) Grondbegrippen en notaties In de ruimtemeetkunde zijn de bouwstenen punten, rechten en vlakken
Nadere informatieVlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen. Cursus voor de vrije ruimte
Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Meetkundige plaatsen 1.1 Herhaling: analytische meetkunde 1.1.1 Affiene
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal
Nadere informatieRuimtemeetkunde. (http://www.boredpanda.com/3d-lines-notepad-drawings-15-years-old-joao-carvalho/)
Ruimtemeetkunde (http://wwwboredpandacom/3d-lines-notepad-drawings-5-years-old-joao-carvalho/) ) Herhaling a) Grondbegrippen en notaties In de ruimtemeetkunde zijn de bouwstenen punten, rechten en vlakken
Nadere informatieOpgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.
3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord
Nadere informatieOefeningen analytische meetkunde
Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om
Nadere informatie10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
Nadere informatieRuimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag
college 3 Lijnen, vlakken en in de collegejaar : 16-17 college : 3 build : 6 juni 2017 slides : 37 Vandaag 1 Lijnen 2 Vlakken 3 4 Toepassing: perspectivische.16-17[3] 1 vandaag Lijnen in het platte vlak
Nadere informatie8.0 Voorkennis. a De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren.
8.0 Voorkennis De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren. 4 OA a 2 en AB 2 1 Het bovenste kengetal geeft aan hoeveel de vector naar links of rechts gaat. Het onderste
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatieDan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²
1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand
Nadere informatie5 Lijnen en vlakken. Verkennen. Uitleg
5 Lijnen en vlakken Verkennen Lijnen en vlakken Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Je ziet hoe een vlak kan worden beschreven met behulp van een vergelijking in x, en z. In de applet kun je de drie
Nadere informatieParagraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde
Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde Les 1 : Vergelijkingen maken bij meetkundige figuren Herhaling (1) Bijzondere rechthoekige driehoeken
Nadere informatie8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Nadere informatieHoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden
Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:
Nadere informatieDriehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008
Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel II. Cursus voor Latijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde en Economie-Wiskunde
Ruimtemeetkunde deel II Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor Latijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde en Economie-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 De reële euclidische ruimte 1.1 De euclidische
Nadere informatieEXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde)
EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde). (4 p) Geef drie verschillende mogelijkheden waardoor in de driedimensionale ruimte een rechte bepaald is? 2. (6 p) Wanneer zijn de snijlijnen
Nadere informatieUNIFORM HEREXAMEN MULO tevens 2 E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 2007
MINISTERIE VAN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXAMENUREAU UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 007 VAK : WISKUNE ATUM : TIJ : ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nadere informatieOAB. A 0,2q gaat. x q m q mx. l x y b x b y. c x c y. c x y c c. x b y b bx 2. x c y c cx. a y q en b x q m.
Voor een driehoek ABC zijn de punten A en B vast en is C een veranderlijk punt Bepaal de meetkundige plaats van het punt C zodat het produt van de zijden AC en BC gelijk is aan het kwadraat van het zwaartelijnstuk
Nadere informatie6 Ligging. Verkennen. Uitleg
6 Ligging Verkennen Ligging Inleiding Verkennen Door in de applet het assenstelsel te draaien kun je nagaan of twee lijnen een snijpunt hebben. Je kunt ook andere lijnen proberen door de punten A, B, C
Nadere informatieMeetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi
Meetkunde gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Trainingsweekend 23 25 januari 2009 Als je een meetkundig probleem aan het oplossen bent, stuit je vaak op verschillende oplossingen voor de verschillende
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatiex y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b
G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a k: = x gaat door (0, ) ( 0 = ) en (, ) ( = ) l : x = 6 gaat door (0, ) (0 = 6) en (, 0) ( 0 = 6) Zie de lijnen in de figuur hiernaast b = x x = of x = of x = 6 of
Nadere informatieWiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld
Nadere informatieGebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.
Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking
Nadere informatieOEFENTOETS VWO B DEEL 3
OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 MEETKUNDE MET VECTOREN OPGAVE Gegeven zijn de vectoren a, b en c die vanuit O de hoekpunten van driehoek ABC aanwijzen. Het punt P is het midden van AB, het punt Q is
Nadere informatieCursus analytische meetkunde
Cursus analytische meetkunde René Déscartes 3 mei 596 La Haye en Touraine (Frankrijk) februari 650 Stockholm (Zweden) Cursus analytische meetkunde Sven Mettepenningen ) Herhaling a) Vectoren Definities
Nadere informatieVectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Nadere informatieGerichte lengtes spelen o.a. een rol bij de stelling van Ceva en Menelaos en komen in deel 3 aan de orde.
Meetkunde gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi, gerichte lengtes Trainingsweekend, 16 februari 2008 Als je een meetkundig probleem aan het oplossen bent, stuit je vaak op verschillende oplossingen
Nadere informatieHoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen
Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden
Nadere informatieUNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2007
MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 007 VK : WISKUNE TUM: WOENSG 04 JULI 007 TIJ : 09.45.5 UUR (TOELTING VWO/HVO/NTIN) 09.45.45
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieVlakke Analytische Meetkunde
Vlakke Analytische Meetkunde L. Van Maldeghem L. Van Hyfte Handleiding voor 3 Latijn-Wiskunde, 3 Grieks-Latijn 5 3 Moderne Talen-Wiskunde, 3 Economie-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Vectoren en transformaties 1.1
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl 2015-2016 Lijn in het vlak 2/37 Een lijn in het vlak wordt
Nadere informatieOver het Monge-punt van een viervlak
Over het Monge-punt van een viervlak Dick Klingens Krimpenerwaard College, Krimpen ad IJssel september 2005 Inleiding Het is mogelijk door elke ribbe van een viervlak een vlak aan te brengen evenwijdig
Nadere informatieVlakke meetkunde en geogebra
Vlakke meetkunde en geogebra Open de geogebra-app. Kies het algebra- en tekenvenster. Aan de linkerkant zie je het algebravenster en rechts daarvan het tekenvenster met een x-as en een y-as. Om een rooster
Nadere informatieExponenten en Gemengde opgaven logaritmen
08 Exponenten en Gemengde opgaven logaritmen Lijnen en cirkels bladzijde a k p // l p, dus p + p p p + (p + )(p + ) (p )(p ) p + 6p + p 6p + 8 p p b k p l p, dus rc kp rc lp p + p p p + p p p + p p p p
Nadere informatieHoofdstuk 8 : De Cirkel
- 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt
Nadere informatieLaat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden
Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt
Nadere informatieOverzicht eigenschappen en formules meetkunde
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules
Nadere informatieBasisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk
Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk Basisconstructie 1 Het lijnstuk AB Neem vanuit A een afstand tussen de benen van de passer die wat groter is dan van A tot het geschatte midden
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten
Nadere informatie1 Introductie. 2 Oppervlakteformules
Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 99-99 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination
Nadere informatieParagraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier
Nadere informatie3 Hoeken en afstanden
Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3. Cirkels en hun middelpunt 3. Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst
Nadere informatieAantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels. Het voordeel van de laatste is dat (a,0) en (0,b) de snijpunten met de assen zijn!!
Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels Les 1 Lijnen Een lijn kun je op verschillende manieren weergeven = a + b p + q = r 1 (niet zelfde a en b van manier 1) a b Het voordeel van de laatste
Nadere informatieAtheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht
Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...
Nadere informatieParagraaf 10.1 : Vectoren en lijnen
Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Les 1 : Vectoren tekenen Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren
Nadere informatieHoofdstuk 5 : De driehoek
Hoofdstuk 5 : De driehoek - 89 1. Congruente figuren Figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken noemen we congruente figuren. Congruente figuren hebben dezelfde vorm (~ ) en dezelfde grootte (=). Als
Nadere informatieFORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10
FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening
Nadere informatieWiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 7 les 2
Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO lok 7 les Paragraaf Loodrechte stand en inproduct Opgave De lijnen HM En BD snijden elkaart, want ze liggen eide in het vlak door de punten H, D, B en M Ze snijden elkaar
Nadere informatieOpgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje
Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje Opgave 1. Gegeven de lijnen m en n met vectorvoorstellingen 6 8 x = 7 + µ 0. Bepaal de afstand tussen m en n. 16 0 4 x = 2 + λ 1 en Opgave 2. Bewijs
Nadere informatieVlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatie2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]
2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen
Nadere informatieSamenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Nadere informatieHOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 perioden
HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 erioden INHOUD. Het inroduct van vectoren... 3. De normaalvector van een lijn... 3. DE AFSTAND VAN TWEE PUNTEN.... 5. De afstand van een unt tot een lijn...
Nadere informatieUNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009
MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 009 VK : WISKUNE TUM : VRIJG 0 JULI 009 TIJ : 09.45.45 UUR ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatieGEOGEBRA 5. Ruimtemeetkunde in de tweede graad. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.
GEOGEBRA 5 Ruimtemeetkunde in de tweede graad R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com GeoGebra in de tweede graad Roger
Nadere informatiehéöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =
héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een
Nadere informatie1 Het midden van een lijnstuk
Inleiding Deze basisconstructies worden aan de leerlingen gegeven in de vorm van werkbladen voor zelfstandig werken. Met behulp van een beginschets van de gegevens en de constructiebeschrijving maken de
Nadere informatieAntwoordmodel - Vlakke figuren
Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.
Nadere informatieOverzicht meetkunde. Driehoeksmeetkunde. Stelling van Pythagoras.
Stelling van Thales. In een rechthoekige driehoek geldt: het midden van de schuine zijde is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Omgekeerde stelling van Thales. Als het middelpunt van de omgeschreven
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatie11.1 De parabool [1]
11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:
Nadere informatieDag van wiskunde. Zaterdag 17 november 2007. Werkwinkel 6: analytische meetkunde in tweede en derde graad
Dag van wiskunde Zaterdag 7 november 007 Werkwinkel 6: analytische meetkunde in tweede en derde graad Inhoudstafel pagina. Verticale samenhang leerinhouden. Zwaartepunt van een driehoek werken met formule?
Nadere informatieHoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales
Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales - 127 1. Projectie op een rechte (boek pag 175) x en y zijn twee... rechten. We trekken door het punt A een evenwijdige rechte met de rechte y en noemen het
Nadere informatieLeerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat.
Het gevolgde leerplan is D/2002/0279/047. In de onderstaande tabel vind je een overzicht van de doelstellingen en waar ze in Delta Nova 4a en 4b (leerweg 5) terug te vinden zijn. B = basisdoelstelling
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper
Nadere informatie25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar
25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een
Nadere informatieAnalytische meetkunde
Analytische meetkunde Inhoudsopgave Analytische meetkunde Introductie analytische meetkunde. Waar ligt de schat?. Cartesisch assenstelsel.3 Terug naar de schat 4.4 Het begrip vergelijking 5 Meer over lijnen
Nadere informatieuuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur
4 Van D naar 3D Verkennen Van D naar 3D Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Met de rechter muisknop kun je het assenstelsel om de oorsprong draaien en de fig van alle kanten bekijken. Beantwoord nu de
Nadere informatie12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]
12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde
Nadere informatieLijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
Nadere informatie7 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen
7 Totaalbeeld Samenvatten Je hebt nu het onderwerp "Vectormeetkunde" doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet
Nadere informatie3 Hoeken en afstanden
Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3.1 Cirkels en hun middelpunt 3.2 Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst
Nadere informatie10 Afstanden. rood. even ver van A als van C even ver van A, van C en van E. 10 m. blauw
28 1 10 fstanden even ver van als van C even ver van, van C en van E 10 m Q ligt even ver van P als van Q, net zo. Dus is middelloodlijn van lijnstuk PQ, dus lijn staat loodrecht op lijn. 180 + = 90 2
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2013-I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieSamenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)
Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.
Nadere informatie2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieDriehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)
Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieScheve projectie. DICK KLINGENS ( adres: Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) oktober 2008
Scheve projectie DICK KLINGENS (e-mailadres: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) oktober 2008 1. Afbeelden Om een juiste indruk (afdruk, of een juist beeld) van 3-dimensionale
Nadere informatieDe orthoptische cirkel van een ellips (de Monge-cirkel)
De orthoptische cirkel van een ellips (de Monge-cirkel) DICK KLINGENS (e-mail: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (Nederland) 31 januari 007 In hetgeen volgt zullen we enkele
Nadere informatieVoorkennis meetkunde (tweede graad)
Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is 180 - Bij een rechthoekige
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: tweede ronde Welke van de volgende vergelijkingen heeft als oplossing precies alle gehele veelvouden van π? () sinx = 0 (B) cos x = 0 (C) sinx = 0 (D) cosx = 0 (E) sinx
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieOpgave 4. Opgave 5. Opgave 6. (5) a) Isoleer de variabele B uit de formule P A B P B. (6) b) Isoleer de variabele B uit de formule
EXAMEN SCHAKELCURSUS MIDDELBARE LASTECHNIEK WISKUNDE 009 Datum: 14 jan 009 Aantal opgaven: 6 Beschikbare tijd: 100 minuten De maximale score is 90 punten, vooraf 10 punten: totaal 100 punten. Aantal te
Nadere informatie