Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken

Transcriptie

1 Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier y = ax + b Handig als je de rc weet () Lineaire combinatie : ax + by = c Is een andere a dan bij versie (1) Vaak makkelijk bij stelsel vergelijkingen oplossen (3) Assenvergelijking x p + y q = 1 (p, 0) en (0, q) zijn de snijpunten met de assen. Wordt vaak geschreven in de vorm qx + py = c (met c = pq) rc = q p (Waarom?) Gegeven is de vergelijking y = 1 x + 1 Schrijf deze in de andere vormen en bepaal de snijpunten met de assen. (1) y = 1 x + 1 y = x + 5 x + y = 5 () x + y = 5 x y = 5 { delen door -5 } x + y = 1 5,5 Opmerking Je kunt aan de laatste vergelijking zien dat de snijpunten met de assen (-5,0) en (0, ½ ) zijn.

2 Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina van 11 Voorbeeld Gegeven zijn de lijnen x + py = 10 en (p + 5)x + 3y = q Voor welke waarde van p en q zijn de lijnen : a. Evenwijdig b. Gelijk / Samenvallen Neem q = 19. c. Neem p= en los het stelsel op. Oplossing a. Evenwijdig rc1 = rc = p+5 p p + 5p = 6 3 p + 5p 6 = 0 (p 1)(p + 6) = 0 p = 1 v p = 6 (en q maakt niks uit) b. (1) Neem p = 1 x + y = 10 en 6x + 3y = q Deze zijn gelijk als q = 30 (Waarom?) () Neem p = -6 x 6y = 10 en x + 3y = q Deze zijn gelijk als q = -5 (Waarom?) c. x + y = 10 y = 10 x y = 5 x Invullen in de andere vergelijking geeft 7x + 3(5 x) = 19 7x x = 19 x = 4 x = y = 5 x = 5 = 3 Snijpunt (,3)

3 Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 3 van 11 Les Hoek tussen twee lijnen Definitie Voor een hoek α tussen een lijn k en de x-as geldt : rck = tan (α) Voor een hoek β tussen een lijn m en de x-as geldt : rcm = tan (β) Voor α en β geldt -90 α,β 90 Een hoek φ tussen een lijn k en m geldt φ= α β. Er geldt 0 φ 90 Bepaal de hoek tussen de lijnen x + y = 10 en 4x + 3y = 5 (1) Voor α geldt : tan(α) = = α = 63,4 1 () Voor β geldt : tan(β) = 4 β = 53,1 3 (3) φ = α β = 63,4 53,1 = 10,3 dus φ = 10,3 Voorbeeld Gegeven zijn de functies f(x) = 1 4 x en g(x) = x + 3. Bereken algebraïsch in één decimaal nauwkeurig de hoek tussen de grafieken in het snijpunt A = (,1). Oplossing (1) f `(x) = 1 x RC = f `( ) = 1 = 1 tan(α) = 1 α = 45 () g (x) = dus RC =g ( ) = - tan(β) = β = 63,43.. (3) φ = α β = 45 63,43.. = 18,4

4 Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 4 van 11 Paragraaf 7. : Afstand van punt tot lijn Les 1 : Afstand punten en loodrechte lijnen Definitie d(a, B) = { De afstand van punt A tot punt B } De afstand tussen de punten A= (xa, ya, za) en B=(xb, yb, zb) kun je berekenen met de formule : d(a, B) = (x a x b ) + (y a y b ) + (z a z b ) (Pythagoras) Het midden van de punten A en B is M = ( x a+x b, y a+y b, z a+z b ) Twee lijnen k en m staan loodrecht op elkaar als rck rcm = -1. Gegeven zijn de punten A = (0, p) en B = (p+1, 7). Druk AB uit in p en bereken wanneer deze afstand minimaal is. (1) d(a, B) = (p + 1 0) + (7 p) = p + p p + p d(a, B) = p 1p + 50 () Noem deze f(p) = p 1p Bepaal het minimum door f (p)=0 : f (p) = 1 (p 1p + 50) 1 (4p 1) = p 6 = 0 p = 6 p 6 p 1p+50 = 0 p = 3 Minimale afstand = f(3) = 3 = 4

5 Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 5 van 11 Voorbeeld Gegeven zijn de punten A = (3, 5) en B = (-1, 7). a. Bereken de afstand AB. b. Bereken het midden M van AB. Lijn k staat loodrecht op de lijn AB en gaat door het punt M c. Bepaal de vergelijking van lijn k. Oplossing a. De afstand d(a, B) = (3 1) + (5 7) = = b. M = (, 5+7 ) = (1,6) c. (1) rc AB = = 4 = 1 () rc AB rc M = 1 1 rc M = 1 rc M = (3) M = (1,6) ligt op de lijn y = x + b 6 = 1 + b b = 4 (4) y = x + 4

6 Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 6 van 11 Les : Afstand punt - lijn Definitie d(a, k) = { De afstand van punt A tot lijn k } Als lijn k : ax + by = c dan is rc k = a b (boek blz 157) Gegeven is de lijn k : 3x + y = 1. Lijn l staat loodrecht op lijn k en gaat door het punt P = ( 5, 5). a. Bepaal de vergelijking van lijn l. b. Bepaal de afstand van P tot lijn k. a. (1) rc k = a = 3 = 1 1 b () rc PB rc M = rc M = 1 rc M = 3 (3) P = ( 5, 5) ligt op de lijn y = 3 x + b 5 = b b = = 15 3 = 10 3 = 5 3 (4) y = 3 x ( Deze kun je schrijven als 3y = x = x 3y) b. Bereken eerst het snijpunt P van de lijnen k en l. (1) Vul y = x + 5 in in de vergelijking 3x + y = x + ( 3 x ) = 1 3x x = 1 ( 3) 9x + 4x + 10 = 36 13x = 6 x = y = + 5 = 3 S = (,3) 3 3 () De afstand d(p, k) = d(p, P ) = (5 ) + (5 3) = = 13 Opmerking Als lijn k : ax + by = c dan is (1) De richtingsvector van de loodrechte lijn l is ( b a ) () Lijn l : bx ay = c (3) Je kunt de c berekenen door punt P in te vullen

7 Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 7 van 11 Paragraaf 7.3 Cirkelvergelijkingen Definitie Voor een cirkel met middelpunt (p,q) geldt de vergelijking : ( x p) ( y q) r De straal staat altijd loodrecht op de raaklijn aan de cirkel. De lijn k : y = x + raakt de cirkel met middelpunt (4,5). Bepaal de vergelijking van de cirkel. We moeten eerst de vergelijking van MR bepalen. Vervolgens kunnen we de straal berekenen en de vergelijking opstellen. (1) Vergelijking lijn MR is y = -½x + b (loodrecht op lijn k!!) () Lijn MR gaat door M = (4,5) dus : 5 = -½ 4 + b b = 7 (3) Snijpunt MR en lijn k : -½x + 7 = x + - ½x = -5 x = y = + = 6 R = (,6) (4) r = (4 ) + (5 6) = = 5 (5) Voor cirkel geldt de vergelijking : ( x 4) ( y 5) ( 5) ( x 4) ( y 5) 5

8 Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 8 van 11 Voorbeeld Gegeven x 1x y 0 0. a. Bereken de coördinaten van het middelpunt en de bijbehorende straal. Gegeven het punt A = (1,) b. Ligt punt A binnen of buiten de cirkel c. Bereken de afstand van A = (1,) tot de cirkel. a. Omdat ( x 6) x 1x 36 geldt (1)( x 6) 36 y 0 0 () ( x 6) y 36 0 ( x 6) y 16 (3) Middelpunt M = (-6,0) en r = 4 4 b. De afstand d(a, M) = (1 6) + ( 0) = = 53 Omdat 53 > 4 ligt A buiten de cirkel c. Afstand tot de cirkel = 53 4

9 Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 9 van 11 Paragraaf 7.4 Raaklijn en snijpunten bij cirkel Les 1 : Raaklijn aan cirkel opstellen Punt R = (3, 6) ligt op de cirkel ( x 4) ( y 5) 5 Stel een vergelijking op van de raaklijn k in punt R. We moeten eerst de rc van lijn r weten en dan is het herhaling : (1) Middelpunt M = (4,5). () rc r = = 1 1 = 1. (3) rc r rc k = 1 1 rc k = 1 rc k = 1 (4) Vergelijking lijn k is y = 1 x + b = x + b (5) Lijn gaat door R = (3, 6) dus : 6 = 3 + b b = 3 (6) Lijn k : y = x + 3

10 Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 10 van 11 Les : Snijpunten van lijn en cirkel Definitie Als een lijn y = ax + b en de cirkel (1) Twee snijpunten zijn D > 0 () Eén snijpunt zijn D = 0 (3) Geen snijpunt zijn D < 0 ( x p) ( y q) r elkaar snijden dan kunnen er: Gegeven is de cirkelvergelijking ( x 6) y 16 en de lijn k met vergelijking y = ax + 1. a. Neem a = 1. Bereken de x-coördinaten van de snijpunten van lijn k en de cirkel. b. Voor exact welke a de lijn y = ax+1 de raaklijn is. a. Vul y = x + 1 in in ( x 6) y 16. Dit geeft : ( x 6) ( x 1) 16 x + 1x x + x + 1 = 16 x + 14x + 1 = 0 x = 14± x = 14± x = 14± x = v x =

11 Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 11 van 11 b. Vul y = ax + 1 in in ( x 6) y 16. Dit geeft : (1) Vul y = ax + 1 in : ( x 6) ( ax 1) 16 x + 1x a x + ax + 1 = 16 (a + 1)x + (1 + a)x + 1 = 0 () Deze raakt de cirkel als de D gelijk is aan nul : D = (1 + a) 4(a + 1) 1 D = 4a + 48a a 84 = 0 D = 80a + 48a + 60 = 0 (3) Oplossen met abc-formule D = = 1504 a = v a =