Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels. Het voordeel van de laatste is dat (a,0) en (0,b) de snijpunten met de assen zijn!!

Transcriptie

1 Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels Les 1 Lijnen Een lijn kun je op verschillende manieren weergeven = a + b p + q = r 1 (niet zelfde a en b van manier 1) a b Het voordeel van de laatste is dat (a,0) en (0,b) de snijpunten met de assen zijn!! Les Loodrecht en evenwijdig Twee bijzondere gevallen : Lijn k en l zijn evenwijdig rcl = rck. Lijn k en l zijn loodrecht rcl rck = -1 Les Vergelijking van de middelloodlijn VB1. Bepaal de vergelijking van de middelloodlijn van de punten A=(,) en B=(10, 7). Opl Voor ieder punt P=(,) op de mll geldt dat d(p,a) = d(p,b). Dus ( ) ( ) ( 10 ) ( ( ) ( ) ( 10 ) ( Dus de vergelijking van de middelloodlijn is ) 7)

2 Les Vergelijking van de bisectrice Gegeven punt P=(,) en k : a + b = c. Dan geldt dat de afstand van punt P tot lijn k geldt : d(p,k) = VB1. Bepaal de afstand van lijn k : + = 5 en het punt (,). a b c a b Opl d(p,k) =, 5 5 VB. Bepaal de vergelijking van de bisectrice van lijn k : + = 6 en lijn l : + = 1. Opl Voor ieder punt P=(,) op de bisectrice geldt dat d(p,l) = d(p,k). 6 1 { KV } = { absoluuttekens weg } = v ( + 6) = -5 ( + 1) ( -5) +( -5) = v ( +5) +( + 5) = Er zijn dus twee bisectrices : ( - 5) +( - 5) = ( + 5) +( + 5) =60 + 6

3 Les 5 Een parametervoorstelling VB1. Gegeven is de lijn = +. Geef dit weer als een parametervoorstelling. Er geldt dan : = λ en = λ +. Dit heet een parametervoorstelling. Een parametervoorstelling (pv) kun je op twee manieren weergeven : = λ en = + λ Daarbij is de richtingsvector. VB. Gegeven. Geef dit weer als de vergelijking van een lijn. 1 Je kunt dit oplossen door eliminatie of door substitutie : λ = geeft door invullen : = + ( -) = + 8 = -5. Een paar opmerkingen : De richtingsvector van de pv is 1 De normaalvector staat loodrecht op de richtingsvector. 1 Er geldt dat de normaalvector n = (zie = -5), 1 want = = 0 1 Er geldt de volgende regel. De normaalvector van lijn l (nl) is een lijn die loodrecht op lijn l staat. Dus : a Als l : a + b = c dan is de normaalvector : nl = b

4 Les 7 Een cirkelvergelijking Voor een cirkel met middelpunt (p,q) geldt de vergelijking :( p ) ( q ) r VB1. Gegeven a 0 0. Bereken alle waarden van a zodat deze vergelijking een cirkel voorstelt. Omdat ( a ) a a geldt ( a ) a ( a ) 0 0 a 0 Dit is een cirkel als a 0 0 a 0 Dus a - 0 v a 0 Les 8 Raaklijn aan cirkel VB1. Gegeven is de cirkel. Bepaal de vergelijking van de raaklijn k in het punt (1,1). Het middelpunt is van de cirkel is (0,0). Een punt op de cirkel (A) heeft bijv. de coördinaten A=(1,1). De richtingsvector is dus (= straal) Raaklijn staat loodrecht op de straal / richtingsvector. De normaalvector van de raaklijn (want raaklijn staat loodrecht op de straal), dus er geldt voor raaklijn k : = c Omdat (1,1) op lijn k ligt, is = c. Dus c =. Dus raaklijn k : + =.

5 VB. Gegeven is de cirkel. Bepaal de vergelijking van de raaklijn k met rck =. Er geldt voor lijn k : = + b. Vul dit in in de cirkelvergelijking en je krijgt : 5 ( b) D 0 b b b ( b ) 0 D (b) D b b b 10 5 ( b ) 16b 0b 0 0 Les 8 Poollijn en pool Gegeven is de cirkel Neem een punt P=(,6). Er geldt dan : Lijn AB is de poollijn van P ten opzichte van de cirkel. Punt P heet dan de pool. Als de cirkel de vergelijking ( M) + ( M) = r heeft, dan is de vergelijking van de poollijn : (P M)( M) + (P M)( M) = r. Voor het opstellen van de vergelijking van de raaklijnen kun je gebruik maken van de poollijn. Stappenplan raaklijnen mbv de poollijn : 1. Stel de vergelijking van de poollijn op met (P M)( M) + (P M)( M) = r.. Los het stelsel op van de poollijn en de cirkelvergelijking.. Met deze twee punten kun je de raaklijnen opstellen.

6 VB1. Er zijn twee raaklijnen k en l door het punt P=(,6). Stel een vergelijking op van raaklijn k. Stap 1. Er geldt voor de poollijn : ( 0)( 0) + (6 0)( 0) = + 6 = Je hebt nu het stelsel 6 Stap. Je kunt vergelijking nu omschrijven in = 6 = 1. Deze kun je invullen in de cirkelvergelijking. Je krijgt dan : ) (1 D Stap. Met deze -en kun je de -en uitrekenen en de vergelijking van de raaklijnen opstellen.

7 Les 9 Macht en machtlijn. Gegeven is een cirkel C1 met middelpunt M en straal r Buiten de cirkel ligt een punt P. Er geldt : De macht van een punt P ten opzichte van een cirkel is AP = PM r De macht van het punt P(P, P) ten opzichte van de cirkel + + a + b + c = 0 is gelijk aan P + P + ap + bp + c. Als P het middelpunt is van een andere cirkel C, dan snijden C1 en C elkaar loodrecht. De straal van C is dan de macht AP. VB1. Stel een vergelijking op van de cirkel C met middelpunt P = (8,) die de cirkel loodrecht snijdt. De cirkel is 0. De straal van C is de macht. Deze kun je berekenen: Macht = P + P + ap + bp + c = = 77. De vergelijking van C is dus ( 8) ( ) 77