Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Transcriptie

1 Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Oplossingen van 2016 Augustus Geel 2/1/2017 dr. Brenda Casteleyn

2 Vraag 1. Als f(x) = e 4x-3, wat is dan f(1 ln (1/x))? <A> e + ex 4 <C> (ex) 4 <D> e - x 4 Oplossing ( ) = = = Vraag 2 Antwoord B = = = e.x 4 In onderstaande tabel staan de gegevens van een bowlingwedstrijd waaraan 4 clubs deelnamen. Wat is de gemiddelde score van alle spelletjes die alle spelers die avond speelden? Bowlingclub Aantal spelers Spelletjes per speler Hoogste score Laagste score Aardebeke Bevergem Cleve Denterberg Gemiddelde per spelletje <A> 146 147 <C> 151 <D> 155 Oplossing dr. Brenda Casteleyn Page 2

3 5*2 = 10 10*145 = *3 = 9 9*165 = *1 = 7 7*153 = *1 = 10 10*125 = 1250 Totaal /36 = 146 Vraag 3 Antwoord A Voor een functie f op een interval [a,b] definieert men haar gemiddelde waarde als GW(f) = () Beschouw drie functies f 1, f 2 en f 3, op het interval [0,1] gegeven door de voorschriften f 1 (x) = x f 2 (x) = sin x en f 3 = x 2 Welke van de volgende uitspraken is correct? <A> GW(f 3 ) < GW(f 2 ) < GW (f 1 ) GW(f 3 ) < GW(f 1 ) < GW (f 2 ) <C> GW(f 2 ) < GW(f 1 ) < GW (f 3 ) <D> GW(f 1 ) < GW(f 2 ) < GW (f 3 ) Oplossing: GW (f 1 ) = = 1. = 1. ½ = 1/2 GW (f 2 )= GW (f 3 )= sin = 1. % '()* =1( -cos 1 + cos 0) = -0,54 +1 = 0,46 = 1. + = 1/3 GW(f 3 ) < GW(f 2 ) < GW (f 1 ) Antwoord A dr. Brenda Casteleyn Page 3

4 Vraag Beschouw de punten P( 2, 2) en Q ( 4, 2) De grafieken van de functies f en g met voorschrift f(x) : x <A> in P en in Q in P,maar niet in Q <C> in Q, maar niet in P <D> niet in P en niet in Q Oplossing: Voor P: + + f( 2) = ( 2) = 2 / -2 1/3 = 2 2/3 2 1/3 en g(x) = snijden elkaar + + g( 2) = 1( 2) = 22 / 3 / = 2 1/6. = 2 Voor Q + f( 4 + g( 4 Vraag ) = ( 4) = 4 / -2 1/3 = 2 4/3 2 1/3 = 2 1/3 (2 3/3-1) = 2 1/3 + = 2 )= = 4 1/3.1/2 = 4 1/6 = 2 2/6 = 2 1/3 = 2 Antwoord C In deze figuur staat de grafiek van één van de functies f waarvan het voorschirft hieronder is gegeven. Wat is dat voorschrift? + dr. Brenda Casteleyn Page 4

5 <A> f(x) = e x sin 2x f(x) = e x sin x <C> f(x) = e x + sin x <D> f(x) = e x + sin 2x Oplossing Bij de functie sin x is de periode 2π en bij sin 2x is de periode π. De periode is hier π, dus oplossingen A of D De functie e x nadert naar 0 bij waarden x kleiner dan 0 en bij x = -1 is e x ongeveer 1/2,70 of 1/3. In het dit interval is de sinusoïde sin 2x negatief. Om dus tot een positieve y te komen moet ze worden afgetrokken Antwoord A Vraag 6 Voor hoeveel verschillende waarden van x in het interval [0,2π] is 2 cos 2 x een geheel getal? <A> 10 9 <C> 8 dr. Brenda Casteleyn Page 5

6 <D> 7 Oplossing: Cos x 1 ½ 0-1/2-1 2.cos²x (-1/4) /2 1 ½ 0-1/2-1 -3/2-2 -> 5 gehele waarden voor x = 0, 45, 90, 135 en 180 voor interval tot π. Dus tot 2π komt er nog eens 4 keer bij (de 5 de keer: 360 = 0, telt dus niet mee) Antwoord B Vraag 7 PSA (Prostaat-Specifiek Antigeen) is een proteïne dat geproduceerd wordt door cellen in de prostaatklier. Door het opmeten van de PSA-waarde in het bloed kan men bij mannen het risico op prostaatkanker bepalen. In een medisch labo gebruikt men drie toestellen om PSA-waarden te bepalen: met toestel T1 is er 1 % kans op een foute analyse en dit toestel wordt bij 60 % van de analyses gebruikt; met toestel T2 is er 2 % kans op een foute analyse en dit toestel wordt bij 30 % van de analyses gebruikt; met toestel T3 is er 4 % kans op een foute analyse en dit toestel wordt bij 10 % van de analyses gebruikt. Als men vaststelt dat de PSA-analyse van een bepaald bloedstaal onjuist is, hoe groot is dan de kans dat men hierbij toestel T1 of toestel T2 heeft gebruikt? <A> 65 % 68 % <C> 72 % dr. Brenda Casteleyn Page 6

7 <D> 75 % Oplossing Neem 1000 analyses, dan zijn er vant1: 600x1% = 6 onjuiste, van T2 zijn er: 300x2% = 6 onjuiste en van T3 zijn er 100x4% =4 fouten. In het totaal zijn er dan 16 onjuiste stalen. 12 daarvan komen van staal T1 of van staal T2, dat is dus 12/16 = 75% Vraag 8 Antwoord D In een orthonormaal assenstelsel is een cirkel met middelpunt (0; 0) en straal 1 gegeven. Vanuit het punt A(-2; 0) tekenen we de raaklijn r aan de cirkel. Het punt B is het snijpunt van de (positieve) x-as met de raaklijn s aan de cirkel loodrecht op r. Wat is de coöordinaat van B? <A> (, 0) (, 0) <C> ( 5, 0) <d> ( 5 6, 0) Oplossing dr. Brenda Casteleyn Page 7

8 Teken hulplijnen: de blauwe stralen staan loodrecht op de raaklijnen r en s. Bereken met Pythagoras de afstand van A tot P: (AP) 2 = (2) 2 AP = 3 En Van het punt A tot het snijpunt van S met R is 3 +1 De cos van de hoek A = enerzijds maar Maar cos van de hoek A is ook = 8 89 met B = afstand van 0 tot punt B Stel de beide aan elkaar gelijk en vindt B: Antwoord A 3 2 = < 3.(2 + <) = 2( 3 + 1) 2 3.+< 3 = ) < 3 = 2 B = = dr. Brenda Casteleyn Page 8

9 Vraag 9 G is het gebied in het vlak dat bestaat uit de punten met coördinaat (x,y) waarvoor geldt dat 0 x = en 1 cos x y cos x Bepaal de oppervlakte van G <A> 2 = 3 = <C> 1 - = <D> = Oplossing: Bepaal waarden voor x en y X 0 = 6 = = = Cos x 1 ½ 1 1-cos x ½ 0 dr. Brenda Casteleyn Page 9

10 1,2 1 0,8 0,6 0,4 1-cos x cos x 0, ,5 1 1,5 2 We berekenen de oppervlakte onder de blauwe grafiek van (0,0) tot aan het snijpunt ( =,1/2) A + (1 cos )dx =( 0 = ) -(sin = sin0) =- = ( 0) = - = We berekenen de oppervlakte onder de rode grafiek van (0,0) tot het snijpunt ( =,1/2) =/ cos = sin(c/3) sin(0) = Tel nu de twee oppervlaktes op: - = = 3 = Vraag 10 Antwoord B Beschouw de functie f bepaald door het voorschrift f(x) = (x 1).e -x. Als de punten A(a,f(a)) en B(b,f(b)) de raakpunten zijn van de raaklijnen uit de oorsprong aan de grafiek van f, dan is a + b gelijk aan <A> -2 -1 <C> 1 <D> 2 dr. Brenda Casteleyn Page 10

11 Oplossing Voor waarden van x groter dan 0 zal de grafiek naderen naar 0, voor waarden kleiner dan 0 wordt de y snel groter. Een eerde raaklijn is de y-as zelf. We vinden als raakpunt: (x 1).e -x = 0 voor x = 1 raakpunt (1,0) Een lijn door de oorsprong heeft als vergelijking y=ax De tweede raaklijn vinden we door x gelijk te stellen aan 0. De raaklijn is dan y = -x, met als raakpunt: (0,-1) Antwoord C Vraag 11 Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) = en de acht open intervallen ]-4,-3[, ]-3,-2[, ]-2,-1[, ]-1,0[, ]0,1[, ]1,2[, ]2,3[, ]3,4[ De functie is negatief <A> in precies één van deze intervallen in precies twee van deze intervallen dr. Brenda Casteleyn Page 11

12 <C> in precies drie van deze intervallen <D> in precies vier van deze gevallen Oplossing: f(x) = = (8)() (8)() Tekenverloop: x x x x f(x) + / / + Negatief voor de intervallen ]-2,-1[en ]1,2[ Vraag 12 Antwoord B Gegeven is de functie f met voorschrift f(x) = heeft als voorschrift <A> f x) = HIJ f (x) = KLD HIJ <C> f (x) = KLD FGH <D> f (x) =- Oplossing: KLD HIJ DE FGH = DE HIJ = 1/sin x DE FGH. De afgeleide functie f dr. Brenda Casteleyn Page 12

13 f = (1/sin x) = Vraag 13 (DE )M HIJ Antwoord C = (KLD) HIJ = KLD FGH Twee jongens en zes meisjes nemen in een willekeurige volgorde plaats op een van de acht stoelen die naast elkaar op een rij staan. Hoe groot is de kans dat er precies twee meisjes tussen de twee jongens zitten? <A> 1/14 5/56 <C> 1/7 <D> 5/28 Oplossing: Totaal aantal combinaties: J! O!(JO)! = JP! 6!(P6)! = 28 Aantal mogelijke combinaties met 2 meisjes ertussen is 5 Kans: 5/28 Vraag 14 Antwoord D In onderstaande tabel staan de gemiddelde resultaten van de leerlingen uit twee scholen, kortweg met A en B aangeduid. A B A en B samen Jongens Meisjes 76 90? Alle leerlingen Wat is het gemiddelde resultaat van de meisjes van beide scholen samen? <A> 82 83 <C> 84 dr. Brenda Casteleyn Page 13

14 <D> 85 Oplossing Aandeel jongens A t.o.v. B: 71A + 81B = 79(A+B) 71A 79A = -81B + 79B B = 8/2A of B = 4A Aandeel jongens t.o.v. meisjes in school A: 71J + 76M = 74 (J+M) 71J 74 J = 74M 76M 3J = 2M M = 3/2 J Aandeel jongens t.o.v. meisjes in school b 81J + 90M = 84 (J+M) 81J 84J = -90M + 84 M 3J = 6M M = 3/6J = 1/2J Maak nu een tabel met de verhoudingen van de aantallen A B Jongens 1 4 Meisjes 3/2 2 Met deze weegcoëfficiënten kunnen we nu het totaalgemiddelde voor de meisjes berekenen: 3/ = x(3/2 +2) = 7/2.x 294.2/7 = x dr. Brenda Casteleyn Page 14

15 x = 84 Antwoord C Vraag 15 Beschouw in een orthonormaal assenkruis een cirkel die door het punt B(-1, 0) gaat en in het punt A(1, 2) raakt aan de rechte met vergelijking y = 2x. Hoeveel bedraagt de oppervlakte van deze cirkel? <A> 16π 20µ <C> 25π <D> 32π Oplossing De middellijn van een cirkel staat loodrecht op de raaklijn. De middelloodlijn op een koorde gaat door het middelpunt van de cirkel. Als we de vergelijkingen van deze twee rechten vinden, dan vinden we waar het middelpunt zich bevindt. Bereken het midden van de middelloodlijn op de koorde tussen punt A en B: M = ( 8, Q 8 Q ) = ( (-1+1)/2; (0+2/2)) = (0,1) Het product van de richtingscoëfficienten van rechte die loodrecht op elkaar staan heeft -1 als uitkomst. De richtingscoëfficiënt van de koorde door de punten (x 1, y 1 ) en (x 2,y 2 ) =, Q Q = (-1,0) en (1,2) = (2-0)/(1+1) = 2/2 = 1. De richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn is dus -1 De vergelijking van de middelloodlijn is dan y = -1x + b. Invullen van het punt (0,1) geeft dan volgende vergelijking: 1 = b b = 1 Dus de vergelijking is dan y = -x + 1 Voor de middelloodlijn op de raaklijn zien we dat de richtingscoëfficiënt = -1/2 (vermits de richtingscoëfficiënt van de raaklijn = 2 2.(-1/2) = -1 dr. Brenda Casteleyn Page 15

16 Vul het raakpunt in in de vergelijking om b te vinden: Y = ½.x + b 2 = (-1/2).1 = b Dus b = 5/2 De vergelijking is dan y = -1/2.x + 5/2 Het middelpunt van de cirkel is het snijpunt tussen de middellijn en de middellijn op de koorde: dus -x +1 = -1/2.x + 5/2-1/2.x = 3/2 -x = 3 x = -3 De coördinaat van het middelpunt is dus (-3,4) Bepaal nu de afstand van (-3,4) tot (-1,0) om de lengte van de straal te vinden: R( 1 + 3) + (0 4 = 20 De oppervlakte van de cirkel is dan r 2. Π = 20. Π Antwoord B dr. Brenda Casteleyn Page 16