8.0 Voorkennis. a De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren.

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "8.0 Voorkennis. a De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren."

Transcriptie

1 8.0 Voorkennis De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren. 4 OA a 2 en AB 2 1 Het bovenste kengetal geeft aan hoeveel de vector naar links of rechts gaat. Het onderste kengetal geeft aan hoeveel de vector naar boven of beneden gaat. Elke vector heeft een richting en een lengte. De lengte van de vector die in de oorsprong start is te berekenen met de stelling van Pythagoras: 2 2 a Gelijke vectoren hebben dezelfde lengte en dezelfde richting. 1

2 8.0 Voorkennis Optellen van vectoren met de parallellogramconstructie: Gegeven zijn de vectoren: a 4 2 en 2 b 3 a b De somvector is de diagonaal van het parallellogram waarvan de twee gegeven vectoren zijden zijn. 2

3 8.0 Voorkennis Optellen van vectoren met de kop-staartconstructie: Gegeven zijn de vectoren: a 4 2 en b 2 3 a b De vector b wordt verschoven zo, dat zijn staart aansluit bij de kop van a. 3

4 8.0 Voorkennis Optellen van vectoren met de kop-staartconstructie: Gegeven zijn de vectoren: a 4 2 en b 2 3 In het plaatje staan ook de vectoren: a 1 a b 1 b b 2 en b zijn 3 3 tegengestelde vectoren. Deze hebben dezelfde lengte en een tegengestelde richting. 4

5 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken de hoek tussen de twee vectoren in het plaatje rechts. ab cos( ( ab, )) a b 2 a 1 en 1 b 1 a b a b a b x x y y a en b cos( ( ab, )) ( 1) 1 2 Uitrekenen met behulp van de GR (cos -1 ) geeft als antwoord 108,4. 5

6 De lijn k in de figuur hiernaast kan genoteerd worden als: x = 2 + 3λ en y = 3 + λ x 23 k: y 3 Je komt van punt A naar punt B door 3 naar rechts te gaan en 1 omhoog te gaan. Voor λ = 0 krijg je punt A(2, 3) Voor λ = 1 krijg je punt B(4, 5) Voor elke waarde van λ kom je uit op een punt op de lijn k. 8.0 Voorkennis Dit is de parametervoorstelling van lijn k. 6

7 De lijn k in de figuur hiernaast kan ook genoteerd worden als: x k: y x 2 3 y Voorkennis Dit is de vectorvoorstelling van de lijn. 2 De steunvector is 3 3 De richtingsvector 1 Let op: is ook een steunvector van de lijn, want het punt (5, 4) ligt ook op de lijn k. is ook een richtingsvector van de lijn. 7

8 8.0 Voorkennis Algemeen: Een vectorvoorstelling van de lijn door de punten A en B is gelijk aan: x y k: a b a 8

9 8.1 Coördinaten in de ruimte [1] De balk hiernaast is in een Oxyz-assenstelsel getekend. Dit is een assenstelsel met drie assen. De positieve x-as steekt naar voren uit. De positieve y-as loopt naar rechts. De positieve z-as loopt naar boven. De naam van de balk is OABC DEFG. Het punt A heeft als coördinaten (3, 0, 0). Het punt E heeft als coördinaten (3, 0, 4). Het punt F heeft als coördinaten (3, 5, 4). Voor de ribbe BC geldt in de tekening: 2 vakjes naar rechts en 1 vakje omhoog. 9

10 8.1 Coördinaten in de ruimte [1] In hoofdstuk 10 bij Wiskunde B is gerekend met vectoren in het platte vlak. Vectoren kunnen ook gebruikt worden in de ruimte. f en d O F (, ) f Voorbeeld 1: Bereken de lengte van het lijnstuk AG d( A, G) AG g a ( 3)

11 8.1 Coördinaten in de ruimte [1] In hoofdstuk 10 bij Wiskunde B is gerekend met vectoren in het platte vlak. Vectoren kunnen ook gebruikt worden in de ruimte. Voorbeeld 2: Bereken de coördinaten van punt M wat op het midden van CE ligt m ( c e)

12 8.1 Coördinaten in de ruimte [1] In het Oxyz-assenstelsel hiernaast is ook een deel van de negatieve x-as getekend. Het punt L heeft de coördinaten (-3, 5, 4) Het horizontale vlak waarin de x-as en de y-as liggen, heet het Oxy-vlak. Het horizontale vlak waarin de x-as en de z-as liggen, heet het Oxz-vlak. Het horizontale vlak waarin de y-as en de z-as liggen, heet het Oyz-vlak. Deze drie vlakken heten coördinaatsvlakken. 12

13 8.1 Coördinaten in de ruimte [2] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(3, 0, 0), C(0, 5, 0) en D(0, 0, 4) Het midden van ribbe BC heet N. Bereken ANG. Stap 1: Schrijf de hoek als een hoek van twee lijnstukken. ANG ( NA, NG) Stap 2: Bereken de vectoren van beide lijnstukken: NA a n NG g n

14 8.1 Coördinaten in de ruimte [2] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(3, 0, 0), C(0, 5, 0) en D(0, 0, 4) Het midden van ribbe BC heet N. Bereken ANG. Stap 3: De lengte van de beide vectoren zijn te bereken met: NA NG ( 5) (4)

15 8.1 Coördinaten in de ruimte [2] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(3, 0, 0), C(0, 5, 0) en D(0, 0, 4) Het midden van ribbe BC heet N. Bereken ANG. Stap 4: Het inproduct van de beide vectoren is te berekenen met: NANG NAxNG x NAyNG y NAzNG z NA NG

16 8.1 Coördinaten in de ruimte [2] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(3, 0, 0), C(0, 5, 0) en D(0, 0, 4) Het midden van ribbe BC heet N. Bereken ANG. Stap 5: De hoek ANG is te berekenen met: NA NG cos( ( NA, NG)) NA NG cos( ( NA, NG)) cos -1 geeft ANG 95,8 16

17 8.1 Coördinaten in de ruimte [3] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(5, 0, 0), C(0, 4, 0) en D(0, 0, 3) Het midden van ribbe DG heet M. Punt N(3, 4, 0) ligt op de ribbe BC. De lijn MN snijdt het Oxz vlak in het Punt Q. Bereken de coördinaten van Q. Stap 1: Stel de parametervergelijking op van het lijnstuk MN: 0 m en 2 3 Hieruit volgt: n m x 0 3 y 2 2 z

18 8.1 Coördinaten in de ruimte [3] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(5, 0, 0), C(0, 4, 0) en D(0, 0, 3) Het midden van ribbe DG heet M. Punt N(3, 4, 0) ligt op de ribbe BC. De lijn MN snijdt het Oxz vlak in het Punt Q. Bereken de coördinaten van Q. Stap 2: Vindt de coördinaten van punt Q: y Q = 0 geeft 2 + 2λ = 0 en dus λ = -1 λ = -1 geeft q Hieruit volgt: Q(-3, 0, 6) 18

19 8.2 Vergelijkingen van vlakken [1] Hiernaast is het vlak V door de punten A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) en C(0, 0, 5) getekend. De assenvergelijking van dit vlak is: x y z V : 1 20x 15 y 12z Merk hierbij op: ggd(3, 4, 5) = 60 19

20 8.2 Vergelijkingen van vlakken [1] Algemeen: De assenvergelijking van het vlak V door de punten P(p, 0, 0), Q(0, q, 0) en R(0, 0, r) is: x y z V : 1 ax by cz d p q r a De vector nv b staat loodrecht c op het vlak V. Deze vector heet de normaalvector van dit vlak. 20

21 8.2 Vergelijkingen van vlakken [1] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 6, 0) en D(0, 0, 4). De lijn l gaat door D en staat loodrecht op het vlak ACF. Bereken de coördinaten van het snijpunt P van de lijn l en het vlak ACF. Stap 1: Stel de assenvergelijking van ACF op. Het snijpunt van twee van de drie assen met vlak ACF is bekend. Dit geeft: x y z ACF : r Invullen van het punt F(4, 6, 4) geeft. x y z ACF : 1 3x 2 y 3z ACF : 1 1 r r r 21

22 8.2 Vergelijkingen van vlakken [1] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 6, 0) en D(0, 0, 4). De lijn l gaat door D en staat loodrecht op het vlak ACF. Bereken de coördinaten van het snijpunt P van de lijn l en het vlak ACF. Stap 2: Stel de normaalvector van vlak ACF op. Merk op dat dit de richtingsvector is van lijn l (loodrecht!!!). n ACF 3 rl

23 8.2 Vergelijkingen van vlakken [1] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 6, 0) en D(0, 0, 4). De lijn l gaat door D en staat loodrecht op het vlak ACF. Bereken de coördinaten van het snijpunt P van de lijn l en het vlak ACF. Stap 3: Stel de parametervoorstelling op van lijn l. De richtingsvector is: Dit geeft de parametervoorstelling r l De steunvector van lijn l is: x 0 3 l: y 0 2 z

24 8.2 Vergelijkingen van vlakken [1] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 6, 0) en D(0, 0, 4). De lijn l gaat door D en staat loodrecht op het vlak ACF. Bereken de coördinaten van het snijpunt P van de lijn l en het vlak ACF. Stap 4: Bereken het snijpunt P van de lijn l en het vlak ACF. Invullen van x = 3λ, y = 2λ en z = 4-3λ in 3x + 2y 3z = 12 geeft: 3 3λ + 2 2λ 3(4 3λ) = 12 9λ + 4λ λ = 12 22λ = Hieruit volgt: P(3,2, )

25 8.2 Vergelijkingen van vlakken [2] Algemeen: Het uitproduct van de vectoren is a b a b a x b a b a b a b a b a a a a en b b b b De vector a x b staat loodrecht op a en loodrecht op b Het uitproduct kun je dus gebruiken om een normaalvector van een vlak te vinden. Dit is immers de vector die loodrecht op een vlak staat. 25

26 8.2 Vergelijkingen van vlakken [2] Gegeven zijn de vectoren 2 a 3 5 en Bereken het uitproduct van beide vectoren. 1 b 3 2 a2b3 a3b a x b a3b1 a1b a1b2 a2b Je kunt controleren of de uitvector juist is door het berekenen van het inproduct van a en a x b en het inproduct van b en a x b 26

27 8.2 Vergelijkingen van vlakken [3] Gegeven is de kubus OABC DEFG met A(2, 0, 0), C(0, 2, 0) en D(0, 0, 2). Het punt M is het midden van de ribbe CG. Stel een vergelijking op van het vlak OBM. Stap 1: Vindt twee richtingsvectoren in het vlak OBM, die niet evenwijdig aan elkaar zijn. 2 1 b en 0 m 2 1 Een richtingsvector die evenwijdig is met het vlak V, is een richtingsvector van dit vlak. 27

28 8.2 Vergelijkingen van vlakken [3] Gegeven is de kubus OABC DEFG met A(2, 0, 0), C(0, 2, 0) en D(0, 0, 2). Het punt M is het midden van de ribbe CG. Stel een vergelijking op van het vlak OBM. Stap 2: Bereken het uitproduct van de twee richtingsvectoren nobm x Let op: Als je het uitproduct berekent van de twee richtingsvectoren van vlak V, krijg je een vector, die loodrecht staat op het vlak waar deze twee richtingsvectoren in liggen. Je berekent dan de normaalvector. 28

29 8.2 Vergelijkingen van vlakken [3] Gegeven is de kubus OABC DEFG met A(2, 0, 0), C(0, 2, 0) en D(0, 0, 2). Het punt M is het midden van de ribbe CG. Stel een vergelijking op van het vlak OBM. Stap 3: Stel de vergelijking van het vlak OBM op. Uit de gevonden normaalvector volgt: OBM: x y + 2z = d Invullen van het punt O(0, 0, 0) geeft: OBM: x y + 2z = 0. 29

30 8.3 Hoeken in de ruimte [1] Algemeen: De hoek φ tussen de twee snijdende lijnen kan als volgt berekend worden: rk rl cos( ( k, l)) cos( ( rk, rl)) r r k l Voorbeeld 1: Gegeven zijn de lijnen Bereken ( kl, ) x 1 2 k : y cos( ( kl, )) Hieruit volgt ( kl, ) 74,7 en x 1 3 l : y

31 8.3 Hoeken in de ruimte [1] Algemeen: De hoek φ tussen twee snijdende lijnen in de ruimte is de niet-stompe hoek tussen de lijnen. Er geldt dus: 0 φ 90. Voor het plaatje rechts geldt: (CF, HM) = (DE, HM) De lijnen CF en HM zijn kruisend. Je verplaatst nu één van deze lijnen evenwijdig totdat hij de andere lijn snijdt. Algemeen: De hoek φ tussen de twee snijdende lijnen in de ruimte kan als volgt berekend worden: rk rl cos( ( k, l)) cos( ( rk, rl)) r r k l 31

32 8.3 Hoeken in de ruimte [1] Voorbeeld 2: Gegeven is de kubus OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 4, 0) en D(0, 0, 4). Het punt M is het midden van de ribbe DG en het punt N is het midden van de ribbe BC. Bereken (AM, DN) r AM m a r DN n d

33 8.3 Hoeken in de ruimte [1] Voorbeeld 2: Gegeven is de kubus OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 4, 0) en D(0, 0, 4). Het punt M is het midden van de ribbe DG en het punt N is het midden van de ribbe BC. Bereken (AM, DN) cos( ( AM, DN)) Hieruit volgt: (AM, DN) 63,6 33

34 8.3 Hoeken in de ruimte [2] Algemeen: Hiernaast is de lijn k getekend, die het vlak V in het punt P snijdt. De lijn n door P, staat loodrecht op het vlak V en wordt de normaal van V genoemd. Door de lijnen k en n is het vlak W getekend. De snijlijn van V en W is de lijn l. Snijdt de lijn k het vlak in het punt P en is n een normaal van V door P, dan geldt: (k, V) = 90 - (k, n) = (k, l) 34

35 8.3 Hoeken in de ruimte [2] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 3, 0) en D(0, 0, 2). Bereken (BD, ACD). Stap 1: Bereken de richtingsvector van BD en een normaalvector van ACD r BD d b x y z Voor het vlak ACD geldt: ACD : 1 3x 4 y 6z Hieruit volgt: rn nacd

36 8.3 Hoeken in de ruimte [2] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 3, 0) en D(0, 0, 2). Bereken (BD, ACD). Stap 2: Bereken (BD, n) waarbij n een normaal van ACD is cos( ( BD, n))

37 8.3 Hoeken in de ruimte [2] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 3, 0) en D(0, 0, 2). Bereken (BD, ACD). Stap 3: Bereken (BD, n) = 90 - (BD, ACD) (BD, n) 73,4 (BD, ACD) 90-73,4 = 16,6 37

38 8.3 Hoeken in de ruimte [3] Algemeen: Hiernaast zijn de vlakken V en W getekend met de snijlijn k. De hoek tussen V en W is de kleinste hoek tussen de twee vlakken. De lijn m is de normaal van V. De lijn n is de normaal van W. Er geldt: (V, W) = 90 - (m, W) = 90 α. (m, n) = 90 α. Dit betekent: (V, W) = (m, n) 38

39 8.3 Hoeken in de ruimte [3] Gegeven is de kubus OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 4, 0) en D(0, 0, 4). Het punt M is het midden van de ribbe AB en het punt N is het midden van de ribbe BC. Bereken (MND, OND). Stap 1: Lijn m is een normaal van MND. Lijn n is een normaal van OND. Deze lijnen heb je nodig om de hoek tussen beide vlakken te Berekenen. Merk op dat je het uitproduct kunt gebruiken om een normaalvector van een vlak te vinden. Dit is immers de vector die loodrecht op een vlak staat. 39

40 8.3 Hoeken in de ruimte [3] Gegeven is de kubus OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 4, 0) en D(0, 0, 4). Het punt M is het midden van de ribbe AB en het punt N is het midden van de ribbe BC. Bereken (MND, OND). Stap 1: r m rn nmnd DM x DN 2 x nond ON x OD 4 x

41 8.3 Hoeken in de ruimte [3] Gegeven is de kubus OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 4, 0) en D(0, 0, 4). Het punt M is het midden van de ribbe AB en het punt N is het midden van de ribbe BC. Bereken (MND, OND). Stap 2: Bereken de hoek tussen de lijnen m en n. Dit is (MND, OND) cos( ( mn, )) (MND, OND) = (m, n) 77,5 41

42 8.4 Afstanden in de ruimte [1] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 8, 0) en D(0, 0, 4). Het punt M is het midden van de ribbe FG. Bereken d(m, AD). Stap 1: Stel de richtingsvector van de lijn AD op r AD d a ˆ

43 8.4 Afstanden in de ruimte [1] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 8, 0) en D(0, 0, 4). Het punt M is het midden van de ribbe FG. Bereken d(m, AD). Stap 2: Stel de vergelijking van het vlak V door M op, dat loodrecht op AD staat. Merk op dat r AD 1 nv 0 1 Hieruit volgt: V: -x + z = d Invullen van M(2, 8, 4) geeft als vergelijking voor V: -x + z = 2 43

44 8.4 Afstanden in de ruimte [1] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 8, 0) en D(0, 0, 4). Het punt M is het midden van de ribbe FG. Bereken d(m, AD). Stap 3: Bereken het snijpunt S van vlak V en de lijn AD. x 4 1 AD : y 0 0 z 0 1 Invullen in V: -x + z = d geeft: -(4 λ) + λ = 2 met λ = 3. Het snijpunt is nu S(1, 0, 3) 44

45 8.4 Afstanden in de ruimte [1] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 8, 0) en D(0, 0, 4). Het punt M is het midden van de ribbe FG. Bereken d(m, AD). Stap 4: Bereken d(m, AD). d(m, AD) = d(m, S) = MS MS ( 1) ( 8) ( 1)

46 8.4 Afstanden in de ruimte [2] Herhaling: In het platte vlak kun je op de volgende manier de afstand uitrekenen van een punt tot een lijn. De afstand van punt P(x p, y p ) tot de lijn k: ax + by = c is d(p, k) = ax by c p a p b 2 2 Algemeen: In de ruimte geldt: De afstand van punt P(x p, y p ) tot het vlak V: ax + by + cz = d is axp byp czp d d( P, V ) a b c 46

47 8.4 Afstanden in de ruimte [2] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 6, 0) en D(0, 0, 3). Het punt M is het midden van de ribbe DG. Bereken d(m, ACF) in twee decimalen nauwkeurig. Stap 1: Stel de vergelijking van het vlak ACF op. x y z ACF : r Invullen van F(4, 6, 3) in bovenstaande vergelijking geeft r = -3 x y z ACF : 1 6x 4 y 8z

48 8.4 Afstanden in de ruimte [2] Gegeven is de balk OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 6, 0) en D(0, 0, 3). Het punt M is het midden van de ribbe DG. Bereken d(m, ACF) in twee decimalen nauwkeurig. Stap 2: Bereken de afstand van punt M tot vlak ACF: Er geldt: M(0, 3, 3) ax M bym czm d 36 d( M, ACF ) 3, a b c 6 4 ( 8)

49 8.4 Afstanden in de ruimte [3] Gegeven is de kubus OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 4, 0) en D(0, 0, 4). Bereken exact d(af, BD). Stap 1: Bereken de richtingsvectoren van de lijnen AF en BD r AF AF f a r BD BD d b

50 8.4 Afstanden in de ruimte [3] Gegeven is de kubus OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 4, 0) en D(0, 0, 4). Bereken exact d(af, BD). Stap 2: Stel de normaalvector op van het vlak V door BD en evenwijdig met AF. n V r AF xr BD x Let op: Als je het uitproduct berekent van deze twee richtingsvectoren, krijg je een normaalvector, die loodrecht staat op elk van de beide richtingsvectoren. 50

51 8.4 Afstanden in de ruimte [3] Gegeven is de kubus OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 4, 0) en D(0, 0, 4). Bereken exact d(af, BD). Stap 3: Stel de vergelijking op van het vlak V door BD en evenwijdig met AF. Uit de normaalvector van vlak V volgt: V: -2x + y z = d Invullen van het punt B(4, 4, 0) geeft: V: -2x + y z = -4 51

52 8.4 Afstanden in de ruimte [3] Gegeven is de kubus OABC DEFG met A(4, 0, 0), C(0, 4, 0) en D(0, 0, 4). Bereken exact d(af, BD). Stap 4: Bereken exact d(af, BD). ax A bya cza d 4 2 d( AF, BD) d( A, V ) a b c ( 2) 1 ( 1) 6 52

10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. 10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan

Nadere informatie

5.1 Punten, lijnen en vlakken [1]

5.1 Punten, lijnen en vlakken [1] 5.1 Punten, lijnen en vlakken [1] Snijdende lijnen hebben een snijpunt. De snijdende lijnen FH en EG liggen in het vlak EFGH. Snijdende lijnen liggen altijd in één vlak. Een vlak is altijd plat en heeft

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: 14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64

Nadere informatie

7 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen

7 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen 7 Totaalbeeld Samenvatten Je hebt nu het onderwerp "Vectormeetkunde" doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur 4 Van D naar 3D Verkennen Van D naar 3D Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Met de rechter muisknop kun je het assenstelsel om de oorsprong draaien en de fig van alle kanten bekijken. Beantwoord nu de

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 : Vectormeetkunde

Hoofdstuk 6 : Vectormeetkunde 1 Hoofdstuk 6 : Vectormeetkunde Les 1 : Vectoren Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren tekenen en berekenen. We doen dat aan de hand van een voorbeeld. Neem

Nadere informatie

OEFENTOETS VWO B DEEL 3

OEFENTOETS VWO B DEEL 3 OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 MEETKUNDE MET VECTOREN OPGAVE Gegeven zijn de vectoren a, b en c die vanuit O de hoekpunten van driehoek ABC aanwijzen. Het punt P is het midden van AB, het punt Q is

Nadere informatie

Les 1 : Vectoren. Hoofdstuk 6 Vectormeetkunde (H4 Wiskunde D) Pagina 1 van 14. Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog.

Les 1 : Vectoren. Hoofdstuk 6 Vectormeetkunde (H4 Wiskunde D) Pagina 1 van 14. Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. Hoofdstuk 6 Vectormeetkunde (H4 Wiskunde D) Pagina 1 van 14 Les 1 : Vectoren Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren tekenen en berekenen. We doen dat aan de

Nadere informatie

Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen

Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Les 1 : Vectoren tekenen Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren

Nadere informatie

6 Ligging. Verkennen. Uitleg

6 Ligging. Verkennen. Uitleg 6 Ligging Verkennen Ligging Inleiding Verkennen Door in de applet het assenstelsel te draaien kun je nagaan of twee lijnen een snijpunt hebben. Je kunt ook andere lijnen proberen door de punten A, B, C

Nadere informatie

5 Lijnen en vlakken. Verkennen. Uitleg

5 Lijnen en vlakken. Verkennen. Uitleg 5 Lijnen en vlakken Verkennen Lijnen en vlakken Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Je ziet hoe een vlak kan worden beschreven met behulp van een vergelijking in x, en z. In de applet kun je de drie

Nadere informatie

HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 perioden

HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 perioden HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 erioden INHOUD. Het inroduct van vectoren... 3. De normaalvector van een lijn... 3. DE AFSTAND VAN TWEE PUNTEN.... 5. De afstand van een unt tot een lijn...

Nadere informatie

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is. 3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord

Nadere informatie

6.1 Kijkhoeken[1] Willem-Jan van der Zanden

6.1 Kijkhoeken[1] Willem-Jan van der Zanden 6.1 Kijkhoeken[1] Het plaatje is een bovenaanzicht; De persoon kan het gedeelte binnen de kijkhoek zien; De twee rode lijnen zijn kijklijnen; De kijklijnen geven de grenzen aan van het gebied dat de persoon

Nadere informatie

Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken

Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier y =

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 7 les 2

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 7 les 2 Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO lok 7 les Paragraaf Loodrechte stand en inproduct Opgave De lijnen HM En BD snijden elkaart, want ze liggen eide in het vlak door de punten H, D, B en M Ze snijden elkaar

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag

Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag college 3 Lijnen, vlakken en in de collegejaar : 16-17 college : 3 build : 6 juni 2017 slides : 37 Vandaag 1 Lijnen 2 Vlakken 3 4 Toepassing: perspectivische.16-17[3] 1 vandaag Lijnen in het platte vlak

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde Vlakke Ruimtemeetkunde 1 december 2012 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 Vlakke Vectoren Vergelijking van een rechte 2 Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte Vlakke Ruimtemeetkunde

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden

Nadere informatie

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier

Nadere informatie

1. INLEIDING: DE KOERS VAN EEN BOOT

1. INLEIDING: DE KOERS VAN EEN BOOT KLAS 4N VECTOREN . INLEIDING: DE KOERS VAN EEN BOOT. Boot vaart van Roe naar Tui via Rul. De koersgegevens zijn: van Roe naar Rul: 0, 5 km van Rul naar Tui: 40, 5 km a. Wat zijn de koersgegevens als de

Nadere informatie

Overzicht meetkunde. Driehoeksmeetkunde. Stelling van Pythagoras.

Overzicht meetkunde. Driehoeksmeetkunde. Stelling van Pythagoras. Stelling van Thales. In een rechthoekige driehoek geldt: het midden van de schuine zijde is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Omgekeerde stelling van Thales. Als het middelpunt van de omgeschreven

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

en een punt P BC zodat BP 2. CB.

en een punt P BC zodat BP 2. CB. Oplossingen E F G H Gegeven is de kubus A C D en een punt P C zodat P C a) epaal het snijpunt van de rechte PH met het voorvlak AFE van de kubus De rechte PH ligt in het diagonaalvlak EHC van de kubus

Nadere informatie

d = 8 cm 2 6 A: = 26 m 2 B: = 20 m 2 C: = 18 m 2 D: 20 m 2 E: 26 m 2

d = 8 cm 2 6 A: = 26 m 2 B: = 20 m 2 C: = 18 m 2 D: 20 m 2 E: 26 m 2 H17 PYTHAGORAS 17.1 INTRO 1 b c d 1 4 4 = 8 cm 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine

Nadere informatie

Wiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen

Wiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen Wiskunde oefentoets hoofdstuk 0: Meetkundige berekeningen Iedere antwoord dient gemotiveerd te worden, anders worden er geen punten toegekend. Gebruik van grafische rekenmachine is toegestaan. Succes!

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales

Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales - 127 1. Projectie op een rechte (boek pag 175) x en y zijn twee... rechten. We trekken door het punt A een evenwijdige rechte met de rechte y en noemen het

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS HAVO 17.1 INTRO 1 b c 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine

Nadere informatie

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten. WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de

Nadere informatie

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1

de Wageningse Methode Antwoorden H17 PYTHAGORAS VWO 1 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS VWO 17.0 INTRO 1 b C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 3 en 4 cm is. Dus alle vier de zijden

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl 2015-2016 Lijn in het vlak 2/37 Een lijn in het vlak wordt

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4 Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4 4.4.1 Basis Lijnen en hoeken 1 Het assenstelsel met genoemde lijnen ziet er als volgt uit: 4 3 2 1 l k -4-3 -2-1 0 1 2 3 4-1 -2-3 n m -4 - Hieruit volgt: a Lijn k en

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Oefenexamen wiskunde vmbo-tl Onderwerp: meetkunde H2 H6 H8 Antwoorden: achterin dit boekje

Oefenexamen wiskunde vmbo-tl Onderwerp: meetkunde H2 H6 H8 Antwoorden: achterin dit boekje Oefenexamen wiskunde vmbo-tl Onderwerp: meetkunde H2 H6 H8 Antwoorden: achterin dit boekje Indien van toepassing: schrijf je berekening op. Tekening altijd met geodriehoek en potlood. Omtrek rechthoek

Nadere informatie

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme CIRKELS EN BOLLEN Kls 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme INHOUDSOPGAVE. DE VERGELIJKING VAN EEN BOL.... DE SNIJCIRKEL VAN EEN BOL EN EEN VLAK... 5. DE CIRKEL DOOR PUNTEN... 7. DE BOL DOOR GEGEVEN PUNTEN...

Nadere informatie

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] 2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen

Nadere informatie

GEOGEBRA 5. Ruimtemeetkunde in de tweede graad. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.

GEOGEBRA 5. Ruimtemeetkunde in de tweede graad. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. GEOGEBRA 5 Ruimtemeetkunde in de tweede graad R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com GeoGebra in de tweede graad Roger

Nadere informatie

Definitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel:

Definitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel: 13.0 Voorkennis Op de cirkel liggen alle punten met een Gelijke afstand tot het middelpunt van de cirkel. Voor een punt p op de cirkel geldt d(p, M) = r Definitie van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn

Nadere informatie

6.1 Rechthoekige driehoeken [1]

6.1 Rechthoekige driehoeken [1] 6.1 Rechthoekige driehoeken [1] In het plaatje hiernaast is een rechthoekige driehoek getekend. Aan elke zijde van deze driehoek ligt een vierkant. Het gele vierkant heeft een oppervlakte van 9 hokjes;

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden

10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden 10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn

Nadere informatie

Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels. Het voordeel van de laatste is dat (a,0) en (0,b) de snijpunten met de assen zijn!!

Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels. Het voordeel van de laatste is dat (a,0) en (0,b) de snijpunten met de assen zijn!! Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels Les 1 Lijnen Een lijn kun je op verschillende manieren weergeven = a + b p + q = r 1 (niet zelfde a en b van manier 1) a b Het voordeel van de laatste

Nadere informatie

15 Uitwerkingen Lineaire Algebra

15 Uitwerkingen Lineaire Algebra 5 Uitwerkingen Lineaire lgebra 5 Uitwerkingen hoofdstuk s Figuur 5: De som van twee vectoren b a d c Figuur 5: Het verschil van twee vectoren v d Figuur 5: De vector van naar c a + b b b c b + c a a a

Nadere informatie

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0.

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. 12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. Dit is in de punten (1,0) en (-1,0) (1,0) heeft draaiingshoek 0 (-1,0) heeft

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2016-II

wiskunde B pilot vwo 2016-II wiskunde B pilot vwo 06-II De derde macht maximumscore Er moet dan gelden f( gx ( )) x( g( f( x)) f gx ( x ) ( x ) x) ( ( )) + + + f( gx ( )) x+ x(dus g is de inverse functie van f ) Spiegeling van het

Nadere informatie

Lijnen, vlakken, normaalvector, shading

Lijnen, vlakken, normaalvector, shading Lijnen, vlakken, normaalvector, shading Inproduct (dotproduct Parametervoorstelling en vergelijking Uitproduct (crossproduct Normaalvector Flat shading en Gouraud shading Opgaven /7 Februari, 05 Definitie

Nadere informatie

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in

Nadere informatie

Paragraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde

Paragraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde Les 1 : Vergelijkingen maken bij meetkundige figuren Herhaling (1) Bijzondere rechthoekige driehoeken

Nadere informatie

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i

16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i 16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 70 Voorkennis V-a Driehoek is een rechthoekige driehoek. Driehoek 2 is een gelijkenige driehoek. De oppervlakte van driehoek is 7 3 : 2 = 38,5 cm 2. De oppervlakte van driehoek 2 is 8 3 7,5 : 2 = 30 cm

Nadere informatie

Oefeningen analytische meetkunde

Oefeningen analytische meetkunde Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om

Nadere informatie

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ² 1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand

Nadere informatie

1 Cartesische coördinaten

1 Cartesische coördinaten Cartesische coördinaten Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coördinaten Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er

Nadere informatie

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β. 1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen

Nadere informatie

vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode

vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode 1 1 vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode 1 1 2 2 Copyright 2018 Stichting de Wageningse Methode Auteurs Leon van den Broek, Ton Geurtz, Maris van Haandel, Erik van Haren, Dolf van den Hombergh,

Nadere informatie

opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF

opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF lijnen en cirkels opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF 0. voorkennis De vergelijking ax+by=c Stelsels lineaire vergelijkingen De algemene vorm van een lineaire vergelijkingen met de variabele

Nadere informatie

11.0 Voorkennis V

11.0 Voorkennis V 11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix

Nadere informatie

Willem-Jan van der Zanden

Willem-Jan van der Zanden Enkele praktische zaken: Altijd meenemen een schrift met ruitjespapier (1 cm of 0,5 cm) of losse blaadjes in een map. Bij voorkeur een groot schrift (A4); Geodriehoek: Deze kun je kopen in de winkel. Koop

Nadere informatie

Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde

Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde Getal & Ruimte editie 11 Goniometrie in rechthoekige driehoeken Stap 1: Zoek de rechthoekige driehoeken Figuur 1: Ga na dat in dit voorbeeld alleen ADC en DBC

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h Een regenton maximumscore h V ( rx ( )) dx π 0 00 ( rx ( )) ( x x ) + Een primitieve van + x x is x+ 7 x x π Dus V ( h 7 h h ) + 00 π π V h+ h h h+ h h 00 0 ( ) ( ) maximumscore Het volume van de regenton

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

Bij deze PTA-toets hoort een uitwerkbijlage, die behoort bij opdracht 4c. Pagina 1 van 8. Vestiging Westplasmavo

Bij deze PTA-toets hoort een uitwerkbijlage, die behoort bij opdracht 4c. Pagina 1 van 8. Vestiging Westplasmavo Vestiging Westplasmavo vak : Wiskunde leerweg : TL toetsnummer : 4T-WIS-S06 toetsduur: : 100 minuten aantal te behalen punten : 56 punten cesuur : 28 punten toetsvorm : Schriftelijk hulpmiddelen : Geodriehoek,

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde. (

Ruimtemeetkunde. ( Ruimtemeetkunde (http://wwwboredpandacom/3d-lines-notepad-drawings-5-years-old-joao-carvalho/) ) Herhaling a) Grondbegrippen en notaties In de ruimtemeetkunde zijn de bouwstenen punten, rechten en vlakken

Nadere informatie

meetkunde voor havo d de Wageningse Methode

meetkunde voor havo d de Wageningse Methode meetkunde voor havo d de Wageningse Methode Copyright 2017 Stichting de Wageningse Methode Auteurs Leon van den Broek, Ton Geurtz, Maris van Haandel, Dolf van den Hombergh, Peter Kop, Henk Reuling, Daan

Nadere informatie

2 Vergelijkingen van lijnen

2 Vergelijkingen van lijnen 2 Vergelijkingen van lijnen Verkennen Meetkunde Lijnen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Gebruik de applet! Uitleg Meetkunde Lijnen Uitleg Opgave 1 Bestudeer de Uitleg. Laat zien

Nadere informatie

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x)) 5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33)

Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) - 1- Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) Hoekeenheden (boek pag 1) Hoofdeenheid om hoeken te meten is de grootte van de rechte hoek de graad :...... notatie :... de minuut :...

Nadere informatie

Vwo 5 wiskunde D deel 2. de Wageningse Methode

Vwo 5 wiskunde D deel 2. de Wageningse Methode Vwo 5 wiskunde D deel 2 de Wageningse Methode Copyright 2016 Stichting de Wageningse Methode Auteurs Leon van den Broek, Ton Geurtz, Maris van Haandel, Dolf van den Hombergh, Peter Kop, Henk Reuling, Daan

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Paragraaf 4 Het inproduct om hoeken te berekenen Opgave a e hoek is kleiner dan 4, want het dak zelf staat onder een hoek van 45, en de kilgoot loopt schuin

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores

Vraag Antwoord Scores Eindexamen havo wiskunde B pilot 0-II Beoordelingsmodel Windenergie maximumscore Als de 60 000 gigawattuur windenergie 0% van het totaal is, dan is de voorspelde totale energiebehoefte maximaal Het totaal

Nadere informatie

SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN

SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN II - 1 HOODSTUK SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN Snijdende (of samenlopende) krachten zijn krachten waarvan de werklijnen door één punt gaan..1. Resultante van twee snijdende krachten Het

Nadere informatie

Antwoorden De juiste ondersteuning

Antwoorden De juiste ondersteuning ntwoorden De juiste ondersteuning a. De straal van de cirkel waarover het beweegt is 5. De maximale hoogte van het is dus 5. Het moet dus dm omhoog. b. Het van het tweede blok beweegt over een cirkel met

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

werkschrift driehoeken

werkschrift driehoeken werkschrift driehoeken 1 hoeken 11 Rangschik de hoeken van klein naar groot. 14 b Teken een lijn l met daarop een punt A. Teken met je geodriehoek een lijn die l loodrecht snijdt in A. c Kies een punt

Nadere informatie

Lijnen en vlakken. Lijnen in het vlak. Aansluitingsproject Wiskunde en Chemisch Rekenen, 6BP00 Wiskunde, 6BP20 Cursus a - b.

Lijnen en vlakken. Lijnen in het vlak. Aansluitingsproject Wiskunde en Chemisch Rekenen, 6BP00 Wiskunde, 6BP20 Cursus a - b. Lijnenvlak.nb Lijnen en vlakken Aansluitingsproject Wiskunde en Chemisch Rekenen, 6BP Wiskunde, 6BP Cursus 7-8 Zowel in vlak als in ruimte is de vector BA is gelijk aan de verschilvector a - b. a A a -

Nadere informatie

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5 2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook

Nadere informatie

E = mc². E = mc² E = mc² E = mc². E = mc² E = mc² E = mc²

E = mc². E = mc² E = mc² E = mc². E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² De boom en het stokje staan loodrecht op de grond in het park. De boom is 3 en het stokje 1. Hoe lang is de schaduw van het stokje

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D)

Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) 1 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 1 : Stelsels en Echelon vorm DOEL : WE GAAN EEN AANTAL VERGELIJKINGEN MET EEN AANTAL VARIABELEN PROBEREN OP TE LOSSEN. Definities Stelsel

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 3 1,731 5,361 π 3,116 1 Als a 1 3 a 1 3 a m = a met a R + \{0, 1}, dan

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2015-II

wiskunde B vwo 2015-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde. (http://www.boredpanda.com/3d-lines-notepad-drawings-15-years-old-joao-carvalho/)

Ruimtemeetkunde. (http://www.boredpanda.com/3d-lines-notepad-drawings-15-years-old-joao-carvalho/) Ruimtemeetkunde (http://wwwboredpandacom/3d-lines-notepad-drawings-5-years-old-joao-carvalho/) ) Herhaling a) Grondbegrippen en notaties In de ruimtemeetkunde zijn de bouwstenen punten, rechten en vlakken

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b

Nadere informatie

EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde)

EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde) EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde). (4 p) Geef drie verschillende mogelijkheden waardoor in de driedimensionale ruimte een rechte bepaald is? 2. (6 p) Wanneer zijn de snijlijnen

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen

Nadere informatie

Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje

Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje Opgave 1. Gegeven de lijnen m en n met vectorvoorstellingen 6 8 x = 7 + µ 0. Bepaal de afstand tussen m en n. 16 0 4 x = 2 + λ 1 en Opgave 2. Bewijs

Nadere informatie

Meetkundige berekeningen

Meetkundige berekeningen Meetundige bereeningen 0. voorennis Sinus, cosinus en tangens De sinusregel In ele driehoe ABC geldt de sinusregel: sin cos B = c b B = c a tan B = a b Afspraa Bij het bereenen van een hoe geef je het

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B

Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B Hoofdstuk 2: Opgave 2 1 Gegeven zijn de vlakken U : x + y + z = 0 en V : x y + az = 0 waarbij a een parameter is. a) Bereken de cosinus van de hoek tussen de twee vlakken

Nadere informatie

Vwo wiskunde D Inproduct

Vwo wiskunde D Inproduct Vwo wiskunde D Inproduct 1 Inhoudsopgave Inproduct 1 Lijnen in de ruimte 1 Loodrechte stand en inproduct 7 3 Vergelijkingen van vlakken 16 4 Het inproduct om hoeken te berekenen 7 Antwoorden 39 verbeterde

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 5 december, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.

College WisCKI. Albert Visser. 5 december, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc. College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 5 december, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b +

Nadere informatie

EEN OUDE STELLING UIT DE MEETKUNDE

EEN OUDE STELLING UIT DE MEETKUNDE www.raves.nl ton@raves.nl EEN OUDE STELLING UIT DE MEETKUNDE LUIDT: Als drie cirkels elkaar onderling snijden, dan zullen de drie koorden (*) ofwel precies in e e n punt snijden, ofwel evenwijdig zijn

Nadere informatie