Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D)

Transcriptie

1 1 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 1 : Stelsels en Echelon vorm DOEL : WE GAAN EEN AANTAL VERGELIJKINGEN MET EEN AANTAL VARIABELEN PROBEREN OP TE LOSSEN. Definities Stelsel = { Een aantal vergelijkingen die bij elkaar horen } Vegen / Eliminatie = { Vergelijkingen bij elkaar optellen/aftrekken } Echelon-vorm = { In iedere vergelijking een variabele minder } Voorbeeld 1 Los het volgende stelsel op : x + 3y 4z = 5 2y + 5z = 19 4y 7z = 13 Oplossing1 Je kunt dit stelsel als volgt noteren : x + 3y 4z = 5 { 0x + 2y + 5z = 19 0x + 4y 7z = 13 (3) 2(2) Als je van de onderste rij de 2 e rij twee keer erafhaalt, krijg je : x + 3y 4z = 5 { 0x + 2y + 5z = 19 0x + 0y 17z = 51 Deze vorm heet de echelon-vorm. Dit stelsel kun je oplossen m.b.v. substitutie : Uit de onderste rij volgt : z = 3 Uit de 2 e rij volgt : 2y = 19 y = 2 Uit de 1 e rij volgt : x = -5 x = 1 In dit voorbeeld is er slechts één oplossing : (x,y,z) = (1,2,3)

2 2 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Er zijn 3 soorten stelsels : (1) Unieke Er is precies één oplossing (2) Consistente Er zijn meerdere oplossingen. Er zijn één of meerdere gebonden variabelen (3) Strijdig Er is geen oplossing Voorbeeld 2 (1) Het stelsel van voorbeeld 1 is consistent en uniek (2) Dit stelsel is ook consistent, voor x = 1 en y = 1, maar niet uniek (z = alles) x + 3y + 0z = 4 { 0x + 2y + 0z = 2 3x + 9y + 0z = 12 Ze noemen z de gebonden variabele. De oplossing is (x, y, z) = (1, 1, z) (3) Dit stelsel is strijdig (ga na) x + 3y + 0z = 4 { 0x + 0y + 1z = 2 3x + 9y + 1z = 12

3 3 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 5 : Vectoren DOEL : WE GAAN EEN AANTAL VERGELIJKINGEN MET EEN AANTAL VARIABELEN PROBEREN OP TE LOSSEN. Definities Vector x = (a,b) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. Notatie = x 1. Lengte : x = a 2 + b 2 2. Optellen : a + b

4 4 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) 3. Aftrekken : a b Vermenigvuldigen : 4 a

5 5 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 6 : Vectorvoorstelling DOEL : WE GAAN EEN VECTORVOORSTELLING OPSTELLEN Definities Vectorvoorstelling = { vergelijking van de lijn in vectoren uitgedrukt } Vectorvoorstelling = startvector + α richtingsvector Startvector = b Richtingsvector = a b Voorbeeld1 Neem de vectoren v = ( 1 2 ) en w = (3 1 ) a. Teken ze in een assenstelsel. b. Teken ook 2v, v + w en v - w. c. Bereken ook 2v, v + w en v - w Oplossing1 c. 2v = ( 2 4 ) ; v + w = ( 4 1 ) ; v w = ( 2 3 ) In formules: p = (p,q) k p = (kp,kq), r = (r,s) p + r = (p + r,q + s)

6 6 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Voorbeeld2 Neem de vectoren v = ( 1 2 ) en w = (3 1 ) a. Stel een vergelijking op van de lijn l door v en w (= vectorvoorstelling van l ) b. Bepaal het snijpunt met de y-as van lijn l. Oplossing2 a. Startvector = w = ( 3 ) en Richtingsvector = v w = ( ) Vectorvoorstelling: l = w + α (v w) = ( 3 2α ) + α ( 2) = ( α ) b. Snijpunt y-as, dan is de x = 0 ( 3 2α 1 3α ) = (0 ) 3-2α = 0 α = 1,5 l = ( ) = ( ) 2 2

7 7 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 8 : Basis en dimensie DOEL : WE GAAN EEN BASIS VOOR IEDERE VECTOR OPSTELLEN EN DE DIMENSIE Definities Eenheidsvector = { Vector met één 1 en de rest nullen } Basis = {Een aantal vergelijkingen waarmee je iedere vector / coördinaat kunt maken} Standaardbasis = { Basis die alleen bestaat uit eenheidsvectoren } Dimensie = { het aantal vectoren in de basis van een ruimte V } Voorbeeld1 In het platte vlak (R 2 ) is de standaardbasis : e 1 = (1,0) en e 2 = (0,1) In de ruimte (R 3 ) is de standaardbasis : e 1 = (1,0,0) en e 2 = (0,1,0) en e 3 = (0,0,1) In het platte vlak (R 2 ) is een mogelijke basis : a = (1,1) en b = (2,1) Definitie onafhankelijkheid De vectoren willekeurige getallen in een vectorruimte over K heten onafhankelijk, indien voor geldt. Als de vectoren niet lineair onafhankelijk zijn, heten ze afhankelijk. Definitie dimensie De dimensie van de vectorruimte is gelijk aan het maximaal aantal lineair onafhankelijke vectoren.

8 8 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Voorbeeld 1 De ruimte V wordt gemaakt door de vectoren p = (1,0) en q = ( 1,2). a. Toon aan dat deze onafhankelijk zijn. b. Bepaal een basis van V. c. Bepaal de dimensie van V. Oplossing 1 a. Om na te gaan of ze lineair afhankelijk zijn stellen we een lineaire combinatie van de twee vectoren gelijk aan de nulvector. Het blijkt dat de coëfficiënten a en b beiden 0 moeten zijn, de vectoren zijn dus lineair onafhankelijk. b. V = < p, q > c. Dim (V) = 2 (p en q) Voorbeeld De ruimte W wordt gemaakt door de vectoren p = ( 0 ) q = ( 2) r = ( 2 ) (1,0, 2), (3,2,0) en (4,2, 2) in R 3. a. Bepaal of deze onafhankelijk zijn. b. Bepaal een basis van W c. Bepaal de dimensie van W

9 9 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Oplossing 1 a. Om na te gaan of ze lineair afhankelijk zijn stellen we een lineaire combinatie van de drie vectoren gelijk aan de nulvector α ( 0 ) + β ( 2) + γ ( 2 ) = ( 0) α + 3β + 4γ = 0 { 0α + 2β + 2γ = 0 2α + 0β 2γ = 0 (3) + 2(1) 1α + 3β + 4γ = 0 { 0α + 2β + 2γ = 0 0α + 6β + 6γ = 0 (3) 3(2) 1α + 3β + 4γ = 0 { 0α + 2β + 2γ = 0 0α + 0β + 0γ = 0 Uit vergelijking (2) volgt dat : γ = - β Uit vergelijking (1) volgt dan : α +3β -4β = 0 α = β Een mogelijke oplossing is α = β = 1 en γ = -1. Omdat ze niet 0 zijn, zijn de vectoren dus afhankelijk. Dat betekent dat de vector r te schrijven is als combinatie van p en q : αp + βq + γr = 0 1p + 1q 1r = 0 r = p + q 1 3 b. De vector r is overbodig, dus V = < p, q > = < ( 0 ), ( 2) > 2 0 Opmerking : Als de vectoren onafhankelijk zouden zijn geweest, zou V = < p, q, r > c. Dim (V) = 2 (p en q) Opmerking : Als de vectoren onafhankelijk zouden zijn geweest, zou Dim (V) = 3