Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn

Transcriptie

1 Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne ( Leen Goyens (

2 1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website met uitgewerkte antwoorden en extra oefeningen. 2. Oefeningen uit vorige examens 1997 Juli Vraag 15 De cirkel met als vergelijking 4x 2 +4y-16x+20y-283=0 heeft als straal: A. 283 B. 81 C. 9 D. Geen van de bovenstaande antwoorden is juist 1997 Augustus Vraag 15 De vergelijking x 2 +y 2-10x-6y+9= Juli Vraag 9 A. stelt geen cirkel voor B. stelt een cirkel voor met straal 3 C. stelt een cirkel voor met straal 5 D. stelt een cirkel voor met straal 9 1 ste bewering: de vergelijking y 2-6y+1=4x stelt een parabool voor met top (-2,3) 2de bewering: y 2 +x 2-6y -4x+4=0 stelt een cirkel voor met straat Juli Vraag 7 A. Beide beweringen zijn juist B. Alleen de eerste bewering is juist C. Alleen de tweede bewering is juist D. Beide beweringen zijn onjuist 1 ste bewering: y = 6x-x 2 stelt een parabool voor met top (3,9) 2 de bewering: x 2 +y 2-10x+16y = 0 stelt een cirkel voor met r = 3 dr. Brenda Casteleyn Page 2

3 A. Vergelijkingen 1 en 2 zijn juist B. Vergelijking 1 is juist C. Vergelijking 2 is juist D. Vergelijking 1 en 2 zijn juist 2007 Augustus Vraag 9 Eerste bewering: de vergelijking y 2-6y+1=4x stelt een parabool voor met top (-2,3). Tweede bewering: de vergelijking y 2 +x 2-6y-4x+4=0 stelt een cirkel voor met straal Juli Vraag 5 A. Beide beweringen zijn juist B. Alleen de eerste bewering is juist C. Alleen de tweede bewering is juist D. Beide beweringen zijn onjuist We beschouwen de vergelijking van een cirkel en van een parabool: y 2 4y + x 2-2x 11 = 0 y = x 2-2x +1 Welk van de volgende beweringen is verkeerd? A. De top van de parabool ligt op de x-as. B. Het middelpunt van de cirkel ligt op (1, 2). C. De straal van de cirkel is 16. D. De parabool heeft 2 snijpunten met de cirkel Augustus Vraag 5 Beschouw de vergelijking van een cirkel: x 2 + y 2-2bx + c = 0 Het punt (5, 3) ligt op deze cirkel en de straal van de cirkel is 3. Hoeveel bedraagt de som van de parameters, b+c? A. 8 B. 11 C. 21 D Juli Vraag 9 Gegeven zijn drie functies: Parabool: y = -2x 2 +2x dr. Brenda Casteleyn Page 3

4 Rechte 1: y = -2x Rechte 2: y = 2/3x + 2/9 Zoek alle snijpunten of raakpunten van de twee rechten met de parabool Hoebeel bedraagt de som van de x-coördinaten van deze snijpunten of raakpunten? A. 5/3 B. 0 C. 7/3 D. 1/3 3. Oplossingen oefeningen 1997 Juli Vraag 15 Gegeven: cirkel met als vergelijking 4x 2 +4y 2-16x+20y-283=0 Gevraagd: straal van de cirkel standaardvergelijking van cirkel met middelpunt (a,b) en straal r is: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 2 4x 2 +4y 2-16x+20y-283=0 4x 2 + 4y 2-16x+ 20y=283 x 2 + y 2-4x+ 5y=283 /4 x 2-4x+ y 2 +5y=283 /4 Voeg aan beide leden een derde term toe zodat je formule van merkwaardig product kan toepassen: x 2-4x+4 x 2-4x+ y 2 +5y=283 /4 + 4 (x-2) 2 + y 2 +5y=283 /4 +4 Voeg nogmaals een derde term toe: (x-2) 2 + y 2 +5y.2/2 + 25/4=283 / /4 (x-2) 2 + (y +5/2) 2 =283 / /4 (x-2) 2 + (y +5/2) 2 =283 /4 + 16/4+ 25/4 dr. Brenda Casteleyn Page 4

5 (x-2) 2 + (y +5/2) 2 = 324/4 =81 = 9 2 Straal is dus 9 Antwoord C 1997 Augustus Vraag 15 Gegeven: De vergelijking x 2 +y 2-10x-6y+9=0 Gevraagd: cirkel? Zo ja, welke straal? x 2 +y 2-10x-6y+9=0 x 2 +y 2-10x-6y= -9 Voeg termen toe om merkwaardig product te kunnen toepassen x 2-10x +25+y 2-6y +9= (x-5) 2 + (y-3) 2 = 25 = 5 2 Straal is 5 Antwoord C 2001 Juli Vraag 9 Gegeen: 1 ste bewering: de vergelijking y 2-6y+1=4x stelt een parabool voor met top (-2,3) 2de bewering: y 2 +x 2-6y -4x+4=0 stelt een cirkel voor met straal 2 1 ste bewering: x=( y 2-6y+1)/4 x = 2/4y-6/4 Nulpunt bij y= 3 Berekening van x: x= (9-18+1)/4 = -2 Top (-2,3) Eerste bewering is juist 2 de bewering: y 2 +x 2-6y -4x+4=0 x 2-4x +4+y 2-6y =0 dr. Brenda Casteleyn Page 5

6 (x-2) 2 + y 2-6y +9 = 0 Toevoeging term om merkwaardig product toe te passen (x-2) 2 + y 2-6y +9 = 9 (x-2) 2 + (y-3) 2 = 9 Straal is 3 2 de bewering is fout Antwoord B 2002 Juli Vraag 7 1 ste bewering: y = 6x-x 2 stelt een parabool voor met top (3,9) 2 de bewering: x 2 +y 2-10x+16y = 0 stelt een cirkel voor met r = 3 Voor bewering 1: Berekening top: Y = 2x -6 nulpunt = 3 Bij x = 3 is y = = 18-9 = 9 Dus top is (3,9) en bewering 1 is juist Voor bewering 2: x 2 +y 2-10x+16y = 0 Voeg termen toe om merkwaardig product te kunnen toepassen: x 2-10x +25+ y 2 +16y +64 = (x-5) 2 + (y+8) 2 = 89 De straal is dus 89 Antwoord B 2007 Augustus Vraag 9 Gegeven: Eerste bewering: de vergelijking y 2-6y+1=4x stelt een parabool voor met top (-2,3). Tweede bewering: de vergelijking y 2 +x 2-6y-4x+4=0 stelt een cirkel voor met straal 2 Gevraagd: welke bewering juist Berekening top eerste bewering: dr. Brenda Casteleyn Page 6

7 Zet functie in termen van x: x = ¼ (y 2 6y +1) (wissel de assen dus om, want dat is gemakkelijker) x = ¼(2y-6) = 0 1/2y 6/4 = 0 Y = 6/4. 2 = 3 Bereken bijbehorende x: ( )/4 = x x = -8/4 = -2 De top is: (-2,3) Berekening straal bewering 2: y 2 +x 2-6y-4x+4=0 Voeg termen toe om merkwaardig product te kunnen toepassen: y 2-6y x 2-4x + 4 = 0 (y-3) (x-2) 2 = 0 (y-3) 2 + (x-2) 2 = 9 = 3 2 straal is dus 3 Antwoord B 2008 Juli Vraag 5 Gegeven: de vergelijking van een cirkel en van een parabool: y 2 4y + x 2-2x 11 = 0 y = x 2-2x +1 Gevraagd: Welk van de volgende beweringen is verkeerd? De top van de parabool ligt op de x-as? Top parabool: y = 2x -2 nulpunt: x = 1 Berekening top: y=1-2+1 = 0 Top: (1,0), dus top ligt op x-as Het middelpunt van de cirkel ligt op (1, 2)? y 2 4y + x 2-2x 11 = 0 Toevoegen termen om merkwaardig product toe te passen: y 2 4y +4 + x 2-2x +1 = dr. Brenda Casteleyn Page 7

8 (y-2) 2 + (x-1) 2 = 16 Algemene formule: (y-a) 2 + (x-b) 2 = r 2 met (a,b) = centrum en r = straal Dus: centrum = (1,2) en straal = 4 De straal van de cirkel is 16? Deze bewering is fout Antwoord C 2008 Augustus Vraag 5 Gegeven: de vergelijking van een cirkel: x 2 + y 2-2bx + c = 0 Het punt (5, 3) ligt op deze cirkel en de straal van de cirkel is 3. Gevraagd: de som van de parameters, b+c? x 2 + y 2-2bx + c = 0 x 2-2bx + y 2 + c = 0 Voeg b 2 toe aan beide leden om merkwaardig product toe te passen x 2-2bx + b 2 + y 2 + c = b 2 (x-b) 2 + y 2 = b 2 c Vermits de straal 3 is betekent dit dat b 2 c = 3 2 = 9 Punt (5,3) ligt op de cirkel, dus x = 5 en y = b + c =0 10b-c = 34 Zoek nu b en c uit deze twee vergelijkingen: b 2 c = 9 10b-c = 34 Twee rijen van elkaar aftrekken om c te elimineren: b 2-10b = -25 b 2-10b + 25 = 0 nulpunt kwadratische vergelijking zoeken: D 2 = 0 1 nulpunt, nl. 5 Bereken nu c: uit 10.5-c = 34 c = 16 dr. Brenda Casteleyn Page 8

9 Bereken b+c = 5+16 = 21 Antwoord C 2011 Juli Vraag 9 Gegeven: drie functies: Parabool: y = -2x 2 +2x Rechte 1: y = -2x Rechte 2: y = 2/3x + 2/9 Gevraagd: Zoek alle snijpunten of raakpunten van de twee rechten met de parabool Hoeveel bedraagt de som van de x-coördinaten van deze snijpunten of raakpunten? Snijpunten rechte 1 met parabool: -2x 2 +2x = -2x -2x 2 +4x = 0 nulpunten: Snijpunten zijn de punten waarvan de coordinaten zowel aan de vergelijking van de parabool als van de rechte voldoen. Stel dus de twee y-waarden gelijk en je krijgt een vierkantsvergelijking in x die je kan oplossen. Dat geeft 3 mogelijkheden: snijpunt parabool en rechte 1: -2x 2 + 2x = - 2x -2x 2 + 4x = 0 zodat: discriminant = b 2-4ac = 16 dus twee snijpunten: x= 0 (waarvoor dus y = 0) en x = 2 (met y = -4) de som van de x-coordinaten van een vierkantsvgl ax 2 + Bx + c = 0 is steeds -b/a dat kan je makkelijk zien als je kijkt naar de manier waarop je die berekent, met de discriminant Δ : eerste wortel: x 1 = [ - b + Δ ] / 2a tweede wortel: x 2 = [ - b - Δ) ] / 2a dus als je optelt x 1 + x 2 = -b/a dr. Brenda Casteleyn Page 9

10 In bovenstaand vb : x 1 + x 2 = 2 en inderdaad -b/a = -(-2)/1 = ook 2 Voor de 2de rechte vind je twee samenvallende snijpunten, dus een raakpunt in x = 1/3 Dat het een raakpunt is kan je ook controlleren, want de afgeleide in dat punt is 2/3 en dat is inderdaad de richtingscoefficient van rechte 2. In dat punt is de x-ccordinaat dus 1/3, hoewel men ook zou kunnen argumenteren dat het 2/3 is gezien het een dubbele wortel is, en dus tweemaal moet genomen worden. Dat is ook wat je vindt als je het formuletje "som wortels = -b/a" gebruikt. Dus som: 2 + 1/3 = 7/3 Antwoord C dr. Brenda Casteleyn Page 10