Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.
|
|
- Raphaël Claes
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (
2 1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens, gerangschikt per thema. De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het atheneum van Veurne heeft een prachtige website, maar deze is helaas niet meer online. 2. Oefeningen uit vorige examens 2001 Augustus Vraag 4 (ook 2007 Vraag 4) Als x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r deelbaar is door x 3 + 3x 2 + 9x + 3, dan is p.(q+r) gelijk aan <A> 12 <B> 15 <C> 18 <D> Juli Vraag 2 Als 8x 4 +10x 3 7px 2-5qx+9r deelbaar is door 4x 3 +7x 2 21x 18, dan is p+q+r gelijk aan: <A> 12 <B> 13 <C> 14 <D> Augustus Vraag 10 Gegeven is de vergelijking van een parabool: y = ax 2 + ax + 4 Als x = 2 een nulpunt is van deze functie, hoeveel bedraagt dan de waarde van parameter a? <A> -2/3 <B> 2/3 <C> -3/2 <D> 3/2 dr. Brenda Casteleyn Page 2
3 2010 Augustus Vraag 8 als x 3 +px 2 qx 4 deelbaar is door x2 x+2. Waaraan is p q dan gelijk? <A> -1 <B> 1 <C> 3 <D> Augustus Vraag 4 We beschouwen de volgende veeltermfunctie: f(x)=x 4 19x Van deze veeltermfunctie is geweten dat ze x=4 en x=-4 als nulpunten heeft. De veeltermfunctie is dan deelbaar door: <A> <B> <C> <D> x²-3 x²+3 x²+4 x² Augustus Vraag 9 versie 1 We beschouwen de volgende veeltermfunctie: y = x 3 +ax 2 +9x. Men weet dat deze functie slechts een nulpunt heeft. Welke waarde kan parameter A hebben? <A> <B> <C> <D> -6>a>6-6<a<6-6<a< 6 a=-3 en a= Augustus Vraag 9 versie 2 We beschouwen de volgende 2 de graadsfunctie y = 2x 2 +ax+18. Men weet dat deze functie slechts 1 nulpunt heeft. Welke waarde kan parameter a dan hebben <A> a=0 <B> a=-3 en a=+3 <C> a=-6 en a=+6 <D> a=-12 en a=+12 dr. Brenda Casteleyn Page 3
4 2012 Juli Vraag 3 Gegeven de volgende gelijkheid: () = ( ) + Hoeveel bedraagt de som (p+q) <A> -2 <B> 1 <C> 2 <D> Augustus Vraag 2 versie 1 Gegeven is de volgende gelijkheid tussen twee breuken: = Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking: p.q + q <A> -2 <B> 0 <C> 2 <D> Augustus Vraag 2 versie 2 Gegeven is de volgende gelijkheid tussen twee breuken: = Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking: p.q + q <A> -6 <B> 0 <C> 6 <D> Augustus Vraag 2 versie 3 Gegeven is de volgende gelijkheid tussen twee breuken: = Hoeveel bedraagt de waarde van de uitdrukking: p.q + q dr. Brenda Casteleyn Page 4
5 <A> -6 <B> 0 <C> 6 <D> Juli Vraag 10 We beschouwen drie rechten: y + x = 3 2x-y = 3 y - mx =5 Voor welke waarde van m hebben deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt? <A> 2 <B> 1 <C> -1 <D> Augustus Vraag 10 We beschouwen de volgende drie functies van de eerste graad: 2x - 7y = 23 4x + 5y = -11 m.x + y = 2.m - 3 Als deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt hebben, hoeveel bedraagt dan de parameter m? <A> m = 0 <B> m =1 <C> m = 2 <D> m = Juli Vraag 1 De rest na deling van veelterm A(x) door (x+1) is 2. De rest na deling vabn veelterm A(x) door (x-3) is 10. Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door x 2 2x 3 <A> 20 dr. Brenda Casteleyn Page 5
6 <B> 2x + 4 <C> 2x + 10 <D> -2x Augustus Vraag 1 versie 1 De rest na deling van veelterm van de tweede graad A(x) door (x-1) is -2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x 2-1) is 2x 4. Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door (x+1)? <A> -6 <B> -4 <C> -5 <D> Augustus Vraag 1 versie 2 De rest na deling van veelterm van de derde graad A(x) door (x-1) is -2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x 2-1) is 2x 4. Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door (x+1)? <A> -6 <B> -4 <C> -5 <D> Augustus Vraag 8 Gegeven zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte: Y = mx + 1/3 Y = -x 2 + x + 2 Voor hoeveel waarden van m heeft de rechte een raakpunt aan de parabool? <A> 0 <B> 1 <C> 2 <D> Meer dan Juli Vraag 8 Gegeven is een stelsel van twee vergelijkingen met een parameter a. x + ay = 2 dr. Brenda Casteleyn Page 6
7 ax + y = a - 1 Dit stelsel is oplosbaar als en slechts als: <A> a ϵ R <B> a -1 <C> a 1 <D> a ϵ ]-1;1[ 2015 Augustus Vraag 7 Het stelsel met parametr a ϵ R is oplosbaar + ( 1) = (4 ) ( 1) + = + 2 <A> als en slechts als a 0 <B> als en slechts als a ϵ/ 0,2 geen element van verzameling <C> als en slechts als a 2 <D> Voor alle a ϵ R 2015 Augustus Vraag 11 De parameter a ϵ R is zo dat een van de oplossingen van de vierkantsvergellijking 4x 2 15x + 4a 3 = 0 gelijk is aan het kwadraat van de andere oplossing. In welk van de volgende intervallen liggen alle mogelijke waarden van a? <A> 0,5 <B> 1,4 <C> 2,3 <D> 3, Juli geel Vraag 1. Als veelterm P (x) = x 2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reële getallen, dan geldt <A> b 1 en a = " <B> b 1 en a = <C> b 1 en a = - "# " "# " "# dr. Brenda Casteleyn Page 7
8 <D> b 1 en a = - " "# 2016 Juli geel Vraag 12 Het stelsel x y = 3 Cx + y = 4 heeft een oplossing (x,y) in het eerste kwadrant als en slechts als <A> c > -1 <B> 0 < c < 4/3 <C> -1 < c < 4/3 <D> c > 4/ Juli geel Vraag 5 De deling van de veelterm p(x) = x 3 + mx 2 + mx + 4 door x 2 en x + 2 levert dezelfde rest op. Hoeveel is die rest? <A> -16 <B> -12 <C> -8 <D> Juli geel Vraag 11 Als c een reële constante is, dan heeft het stelsel x y =3 cx + y =4 een oplossing (x,y) met x > 0 als en slechts als <A> c > -1 <B> 0 < c < 4/3 <C> -1 < c < 4/3 <D> c > 4/ Augustus geel Vraag 5 Gegeven zijn de reële getallen a en b. Bij deling van de veelterm P(x) = x 2 + bx + ab door x + a is de rest gelijk aan dr. Brenda Casteleyn Page 8
9 <A> a 2 <B> b a <C> a b <D> b dr. Brenda Casteleyn Page 9
10 3. Oplossingen oefeningen 2001 Augustus Vraag 4 (ook opgave van 2007 augustus) Gegeven: x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r is deelbaar is door x 3 + 3x 2 + 9x + 3 Gevraagd: p.(q+r) =? Oplossing: Vermits de veelterm deelbaar is, geldt: F(x) = quotiënt. g(x) waarbij het quotiënt = (x+a) Dus: x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r = (x+a)( x 3 + 3x 2 + 9x + 3) Werk het rechterlid uit: x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r = x 4 + 3x 3 + 9x 2 + 3x + ax 3 +3ax 2 + 9ax + 3a x 4 + 4x 3 + 6px 2 + 4qx + r = x 4 +(3+a)x 3 + (9+3a)x 2 + (3+9a)x + 3a Vergelijk nu de beide leden (let op de kleurtjes): 4 = 3+a a =1 6p = 9+3a p =2 4q = 9+3a q =3 r = 3a r = 3 Dus dan is p(q+r) = 2(3+3) =12 Antwoord A Je kan dit ook oplossen door een staartdeling uit te voeren en de rest dan gelijk te stellen aan Juli Vraag 2 Gegevens: 8x 4 +10x 3 7px 2-5qx+9r deelbaar is door 4x 3 +7x 2 21x 18, Gevraagd: p+q+r =? Oplossing: Vermits de veelterm deelbaar is, geldt: dr. Brenda Casteleyn Page 10
11 F(x) = quotiënt. g(x) en neem voor het quotiënt = (2x+a) want als je (x+a) neemt kan je nooit aan 8x 4 komen. Dus 8x 4 +10x 3 7px 2-5qx+9r = (2x+a)( 4x 3 +7x 2 21x 18) Werk het rechterlid uit: 8x 4 +10x 3 7px 2-5qx+9r = 8x x 3-42x 2 36x + 4ax 3 +7ax 2-21ax-18a 8x 4 +10x 3 7px 2-5qx+9r = 8x 4 + (14+4a)x 3 + (7a-42)x 2 = (-21a+36)x -18a Coëfficiënten gelijk stellen a = 10 a = -1 7a-42 = -7p p = 7-18a = 9r r = 2-21a-36 = -5q q = 3 P+q+r = = 12 Antwoord A Augustus Vraag 10 Gegeven: de vergelijking van een parabool: y = ax 2 + ax + 4 Gevraagd: Als x = 2 een nulpunt is van deze functie, hoeveel bedraagt dan de waarde van parameter a? Oplossing: a.(2) 2 + a = 0 4a + 2a = -4 a = -4/6 a = -2/3 Antwoord A 2010 Augustus Vraag 8 Gegeven: x 3 +px 2 qx 4 deelbaar is door x 2 x+2. Gevraagd: p q =? Oplossing: dr. Brenda Casteleyn Page 11
12 x 3 +px 2 qx 4 = (x+a) (x2 x+2) x 3 +px 2 qx 4 = x 3 +ax 2 x 2 +2x +2a ax x 3 +px 2 qx 4 = x 3 +(a-1)x 2 +(2-a)x +2a Coëfficiënten gelijk stellen: a-1 = p 2-a = q 2a = -4 a = -2 Dus: p = -3 en q = -4 p-q = 1 Antwoord B 2011 Augustus Vraag 4 Gegeven: veeltermfunctie f(x)=x 4 19x heeftx=4 en x=-4 als nulpunten Gevraagd: veeltermfunctie is deelbaar door? Oplossing: (x 4 19x 2 +48) =? (x+4)(x-4) Via Horner: Dus: (x 4 19x 2 +48) = (x+4) (x 3-4x 2-3x+12) Opnieuw Horner op de laatste factor: (x 2-3) Antwoord A 2011 Augustus Vraag 9 versie 1 dr. Brenda Casteleyn Page 12
13 Gegeven: veeltermfunctie: y = x 3 +ax 2 +9x, die slechts één nulpunt heeft. Gevraagd waard van parameter a? Oplossing: = x 3 +ax 2 +9x = x(x 2 +ax+9) Nulpunten: x = o of (x 2 +ax+9) = 0 Maar slechts één nulpunt nl x =0, dus dan mag (x 2 +ax+9) geen nulpunt hebben. Dat is het geval als discriminant negatief is: dus als a 2 36 < 0 of a 2 <36-6<a<6 Antwoord B 2011 Augustus Vraag 9 versie 2 Gegeven: 2 de graadsfunctie y = 2x 2 +ax+18 heeft slechts 1 nulpunt heeft. Gevraagd: waarde van parameter a Oplossing: De functie 2x 2 +ax+18 heeft één nulpunt als discriminant gelijk is aan 0 Dus als a = 0 a 2 =144 of a = 12 en a=-12 Antwoord D 2012 Juli Vraag 3 Gegeven: () = ( ) + Gevraagd: Hoeveel bedraagt de som (p+q) Oplossing: () = ( ) + Zet op gelijke noemers: = ( ) () ( )() ( )() 2x 2 +3x=p(x 2 +2x+1)+qx+2q 2x 2 +3x=px 2 +2px+p+qx+2q dr. Brenda Casteleyn Page 13
14 2x 2 +3x=px 2 +(2p+q)x+p+2q Stel de coëfficiënten gelijk: p = 2 2p+q = 3 q=-1 P+2q = 0 q=-1 P+q = 2-1 =1 Antwoord B 2012 Augustus Vraag 2 versie 1 Gegeven: #$%#& ' = + # Gevraagd: p.q + q? Oplossing: Zet rechterlid op gelijke noemer: ( # ) ( ) ( )( # ) = # ( ' ) = () (#) ( ' ) Stel coëfficiënten gelijk aancoëfficienten in linkerlid van gegeven vergelijking: p+q = -6 -p+q+2 = 8 p+2 = -4 p = -6 Dus p+q = -6 wordt: -6 + q = -6 q = 0 p.q + q = = 0 Antwoord B 2012 Augustus Vraag 2 versie 2 Gegeven && ' = + # Gevraagd: p.q + q? Zet op gelijke noemers: ( # ) ()( ) ( )( # ) = # ( ' ) = () (#) ( ' ) dr. Brenda Casteleyn Page 14
15 Stel de coëfficiënten gelijk aan coëfficienten in linkerlid van gegeven vergelijking: p+q = 6 -p+q+2 = 0 P+2 = 6 0 = 4 Dus p+q q = 6 q =2 En p+q+2 = 0 of = 0 Dus p.q + q = = 10 Antwoord D 2012 Augustus Vraag 2 versie 3 Gegeven: #&#& ' = + # # Gevraagd: p.q + q? Zet op gelijke noemer: ( # ) (#)( ) ( )( # ) = # ## ( ' ) = () (##)# ( ' ) Stel coëfficiënten gelijk aan coëfficienten in linkerlid van gegeven vergelijking: p + q = -6 -p + q -2 = 0 p 2 = -6 p = -4 Dan wordt p + q = q = -6 q = -2 Test: -p + q -2 = = 0 p.q + q = 6 Antwoord C Juli Vraag 10 Gegeven: drie rechten: y + x = 3 2x-y = 3 y - mx =5 dr. Brenda Casteleyn Page 15
16 Gevraagd: Voor welke waarde van m hebben deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt? Oplossing: Bepaal het snijpunt van de eerste twee rechten y = -x +3 = 2x > x = 2. dus y = of y = = 1 Vul dit punt in in de derde vergelijking om m te vinden: y - mx =5 --> 1 - m.2 = 5 dus m = -2 Antwoord D Augustus Vraag 10 Gegeven: drie functies van de eerste graad: 2x - 7y = 23 4x + 5y = -11 m.x + y = 2.m - 3 Gevraagd: Als deze drie rechten een gemeenschappelijk snijpunt hebben, hoeveel bedraagt dan de parameter m? Oplossing: Bepaal het snijpunt van de eeste twee rechten: y = # #* = #$# + (23-2x).5 = (-4x-11)(-7) x = 28x = 38x --> x =1 Bepaal y: (23-2)/-7 = (-4-11)/5 = -3 Vul nu de waarde van x en y in in de derde vergelijking om m te vinden: m.x + y = 2.m - 3 dr. Brenda Casteleyn Page 16
17 m.1-3 = 2.m -3 m =0 Antwoord A 2014 Juli Vraag 1 Gegeven: De rest na deling van veelterm A(x) door (x+1) is 2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x-3) is 10. Gevraagd: Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door x 2 2x 3 Oplossing: Bereken de rest van veelterm A(x) = x 2 + bx + c bij deling door x+1 met regel van Horner: dr. Brenda Casteleyn Page 17
18 a b c -1 -a -b+a a b-a c-b+a Deze rest: c-b+a = 2 (gegeven) Bereken de rest van veelterm A(x) = x 2 + bx + c bij deling door x-3 met regel van Horner: a b c 3 3a 3b+9a a b+3a c+3b+9a Deze rest: c+3b+9a = 10 (gegeven) We vinden nu twee vergelijkingen: c b + a = 2 c + 3b + 9a = 10 Door de eerste vergelijking af te trekken van de eerste kunnen we c elimineren: 4b +8a = 8 of b+2a = 2 Door de eerste vergelijking met 3 te vermenigvuldigen en daarna op te tellen bij de tweede kunnen we b elimineren: 4c +12a = 16 of c+3a =4 We delen de veelterm nu door x 2-2x -3 : ax 2 + bx +c x 2 2x -3 ax 2 2ax -3a a (b+2a)x +(c+3a) We weten al dat b+2a = 2 en c+3a = 4; dus vinden we als rest: 2x + 4 Antwoord B 2014 Augustus Vraag 1 versie 1 Gegeven: De rest na deling van veelterm van de tweede graad A(x) door (x-1) is -2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x 2-1) is 2x 4. Gevraagd: Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door (x+1)? dr. Brenda Casteleyn Page 18
19 Oplossing: Bereken de rest van veelterm A(x) = x 2 + bx + c bij deling door x-1 met regel van Horner: a b c 1 a b+a a b+a c+b+a Deze rest: c+b+a = -2 (gegeven) Bereken de rest van veelterm A(x) = bij deling door x 2-1: ax 2 + bx +c x 2 1 ax 2 -a a bx +(a+c) bx + (a+c) = 2x -4 (gegeven) b = 2 a + c = -4 a + b + c =-2 Deel nu de veelterm door x + 1 ax 2 + bx +c x +1 ax 2 + ax ax + (b-a) (b-a)x + c (b-a)x + b-a a+c-b De rest is dus a+c-b. Invullen met waarden: a+ c = 4 en b = 2 geeft: -4-2 = -6 Antwoord A 2014 Augustus Vraag 1 versie 2 Gegeven: De rest na deling van veelterm van de derde graad A(x) door (x-1) is -2. De rest na deling van veelterm A(x) door (x 2-1) is 2x 4. Gevraagd: Hoeveel bedraagt de rest na deling van veelterm A(x) door (x+1)? Bereken de rest van veelterm A(x) = bij deling door x 2-1: dr. Brenda Casteleyn Page 19
20 ax 3 + bx 2 + cx +d x 2 1 ax 3 -ax ax + b bx 2 bx 2 +(c+a)x + d - b (c+a)x + (b+d) (c+a)x + (b+d) = 2x 4 (gegeven) c + a = 2 b + d =-4 Deel nu de veelterm door x + 1 ax 3 + bx 2 + cx +d x+1 ax 3 + ax 2 ax 2 + (b-a)x + (c+a-b) (b-a)x 2 +cx + d (b-a)x 2 + (b-a)x (c+a-b)x +d (c+a-b)x + c+a-b d+b-(c+a) De rest is dus d + b (c+a). Invullen met waarden: -4-2 = -6 Antwoord A 2014 Augustus Vraag 8 Gegeven zijn de vergelijking van een parabool en van een rechte: Y = mx + 1/3 Y = -x 2 + x + 2 Gevraagd: Voor hoeveel waarden van m heeft de rechte een raakpunt aan de parabool? Oplossing: mx + 1/3 = -x 2 + x + 2 x 2 + (m- 1)x + 1/3 2 = 0 dr. Brenda Casteleyn Page 20
21 x 2 + (m- 1)x -5/3 = 0 Voor raakpunten is discriminant = 0 (m-1) 2 4.(-5/3) = 0 (m-1) 2 = - 20/3 Geen enkele waarde van m voldoet want een negatief getal kan nooit een kwadraat zijn. Antwoord A Juli Vraag 8 Gegeven is een stelsel van twee vergelijkingen met een parameter a. x + ay = 2 ax + y = a - 1 Dit stelsel is oplosbaar als en slechts als? Oplossing: x + ay = 2 ax + y = a - 1 ax + a 2 y = 2a (beide leden vermenigvuldigd met a) ax + y = a - 1 De vergelijkingen van elkaar aftrekken zodat 'ax' wegvalt: a 2 y - y = 2a -(a-1) a 2 y - y = 2a -(a-1) (a 2-1)y = a + 1 y =,, # =, (,# )(, ) = 1/a-1 De noemer mag niet nul zijn, dus a 1 Antwoord C 2015 Augustus Vraag 7 Gegeven: Het stelsel dr. Brenda Casteleyn Page 21
22 + ( 1) = (4 ) ( 1) + = + 2 met parametr a ϵ R is oplosbaar Gevraagd: voor welke a oplosbaar? Oplossing De snelste manier is 0 en 2 invullen en zien of het stelsel dan oplosbaar is. Als we 0 invullen voor a, krijgen we als oplossing: x = y en x = y-2 strijdig stelsel, dus mogelijkheid D valt af, A is mogelijk juist Als we 2 invullen voor a, krijgen we als oplossing: x = 0 en y = 4 dus mogelijkheid B en C valt af Formele oplossing: Vermenigvuldig in eerste vergelijking van het stelsel beide leden met (a-1) en trek dan de twee vergelijkingen van elkaar af: (a-1)x + (a-1) 2 y = (a-1)(4a a 2 ) -(a-1)x + y = a + 2 ((a-1) 2 1)y = (a-1)(4a a 2 ) (a+2) (a a 1)y = 4a 2 a 3 4a + a 2 a 2 y = #,' +, #+,#, #, y = #,' +, #+,#,(,#) Teller is nog deelbaar door (a-2)? Via Horner: y = (,#)(#,, ),(,#) dr. Brenda Casteleyn Page 22
23 y = (#,, ), Stelsel is strijdig voor a = 0 Antwoord A 2015 Augustus Vraag 11 Gegeven: De parameter a ϵ R is zo dat een van de oplossingen van de vierkantsvergellijking 4x 2 15x + 4a 3 = 0 gelijk is aan het kwadraat van de andere oplossing. Gevraagd: In welk van de volgende intervallen liggen alle mogelijke waarden van a? Oplossing:x 1 Ontbindt in factoren met volgende formule: ax bx + c = a(x-x 1 )(x-x 2 ) en neem als nulpunten x 1 en x 1 4x 2 15x + 4a 3 = 4(x-x 1 )(x-x 2 1 ) 4(x 2 15/4x + a 3 ) = 4(x 2 xx 1 + xx x 3 1 ) 4(x 2 15/4x + a 3 ) = 4(x 2 + (-x x 1 )x + x 1 Hieruit leiden we af dat -15/4 = (-x 1 2 -x 1 ) en a 3 = x 1 3 of a = x 1 x x 1-15/4 = 0 4x x 1-15 = 0 D = (-15 ).4 = 256 a 1 = ( )/ 8 = 3/2 a 2 = (-4-256)/ 8 = -5/2 Antwoord D 2016 Juli Geel Vraag 1. Als veelterm P (x) = x 2 + ax + a deelbaar is door x + b, met a en b reële getallen, dan geldt <A> b 1 en a = " "# dr. Brenda Casteleyn Page 23
24 Oplossing: Horner: <B> b 1 en a = <C> b 1 en a = - " "# " "# <D> b 1 en a = - " "# 1 a a -b -b 1 a-b rest = 0 (x+a-b)(x+b) = x 2 xb + ax + ab bx b 2 = x 2 = (b+a-b)x + ab b 2 = x 2 + ax + ab b 2 Uit de gegeven vergelijking weten we dat het product ook gelijk is aan x 2 + ax + a, dus moet ab b 2 = a Los op: ab b 2 = a ab b 2 a = 0 a(b-1) = b 2 a = b 2 /b-a Antwoord A 2016 Juli Geel Vraag 12 Het stelsel x y = 3 Cx + y = 4 heeft een oplossing (x,y) in het eerste kwadrant als en slechts als <A> c > -1 dr. Brenda Casteleyn Page 24
25 <B> 0 < c < 4/3 <C> -1 < c < 4/3 <D> c > 4/3 Oplossing Uit de eerste vergelijking volgt dat y = x-3. Vervang in de tweede vergelijking y: c.x + x 3 = 4 c.x + x = 4+3 = 7 (c+1)x = 7 X = 7/(c+1) Opdat x in het eerste kwadrant ligt moet c+1 groter zijn dan 0 of c > -1 Vervang x in de vergelijking y = x -3 Y = 7/(c+1) 3 Vermits ook y gelijk moet zijn aan 0 geldt: 7/(c+1) -3 > 0 of 7/(c+1) > 3 Of 7 > 3.(c+1) 7 > 3c+3 4 > 3c 4/3 > c -1 < c < 4/3 Antwoord C 2017 Juli geel Vraag 5 De deling van de veelterm p(x) = x 3 + mx 2 + mx + 4 door x 2 en x + 2 levert dezelfde rest op. Hoeveel is die rest? Oplossing: gebruik Horner om te delen door x 2 en x m m m-4-2m+8 1 m-2 -m+4 2m-4 dr. Brenda Casteleyn Page 25
26 1 m m m-4-6m+8 1 m+2 3m+4 6m+12 De resten zijn gelijk (gegeven): dus 2m 4 = 6m +12 m = -4 De rest is dus 2m-4 = 6m + 12 = - 12 Antwoord B 2017 Juli geel Vraag 11 Als c een reële constante is, dan heeft het stelsel x y =3 cx + y =4 een oplossing (x,y) met x > 0 als en slechts als Oplossing: zie 2016 juli geel Vraag Augustus geel Vraag 5 Gegeven zijn de reële getallen a en b. Bij deling van de veelterm P(x) = x 2 + bx + ab door x + a is de rest gelijk aan Gebruik Horner: 1 b ab -a -a -ab + a 2 1 b-a a 2 Antwoord A dr. Brenda Casteleyn Page 26
27 dr. Brenda Casteleyn Page 27
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e 1/3/2017. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 1/3/2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 307 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http:users.telenet.betoelating) . Inleiding Dit oefeningenoverzicht
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: sinusfuncties. 16 september dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: sinusfuncties 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)) 1. Inleiding
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 13 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: sinusfuncties 13/7/2014. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: sinusfuncties 13/7/2014 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening juli 05 dr. Brenda Castelen Met dank aan: Atheneum van Veurne (http:www.natuurdigitaal.begeneeskundefsicawiskundewiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functies 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding Dit
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: mengsels 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: mengsels 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 15 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functies 1/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatie3.4. Antwoorden door N woorden 24 januari keer beoordeeld. Wiskunde B. wi vwo B1 H1 Vergelijkingen en ongelijkheden 1.
Antwoorden door N. 8825 woorden 24 januari 2013 3.4 17 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Uitwerkingen wi vwo B1 H1 Vergelijkingen en ongelijkheden 1. I, II, IV, V 2. a. x 2 + 6 = 5x
Nadere informatieWiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4
Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen
Nadere informatie3.1 Kwadratische functies[1]
3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatieActief gedeelte - Maken van oefeningen
Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieVeeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm
Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatie3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatie8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden, evenredigheden. 16 september dr.
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden, evenredigheden 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
Nadere informatie1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
Nadere informatieRekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO
Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)
Nadere informatieopdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF
lijnen en cirkels opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF 0. voorkennis De vergelijking ax+by=c Stelsels lineaire vergelijkingen De algemene vorm van een lineaire vergelijkingen met de variabele
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Elektrodynamica. 25 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Fysica: Elektrodynamica 25 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieRekenen met cijfers en letters
Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieH. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie
H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische
Nadere informatie14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]
4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )
Nadere informatieProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Nadere informatie3.1 Haakjes wegwerken [1]
3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben
Nadere informatie7.1 Ongelijkheden [1]
7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij
Nadere informatie1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]
1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieParagraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier y =
Nadere informatieDe wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.
98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden
Nadere informatieGrafieken van veeltermfuncties
(HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieAlgebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies
Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende
Nadere informatie2.1 Lineaire functies [1]
2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Oplossingen van 2016 Augustus Geel 2/1/2017 dr. Brenda Casteleyn Vraag 1. Als f(x) = e 4x-3, wat is dan f(1 ln (1/x))? e + ex 4 (ex) 4 e - x
Nadere informatie9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieUitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Nadere informatieTussenhoofdstuk - oplossen tweedegraads vergelijkingen
Wiskunde Leerjaar 3 - periode 3 Hogere machtsverbanden, gebroken functies, exponentiële functies en logaritmen Tussenhoofdstuk - oplossen tweedegraads vergelijkingen A. Ontbinden in factoren 1. Bij het
Nadere informatieRekenen met letters- Uitwerkingen
Rekenen met letters- Uitwerkingen Onder voorbehoud van rekenfouten RGO-Middelharnis 1 1 c RGO-wiskunde 1 2 Inhoudsopgave 1 Korter schrijven............................ 3 2 Opgaven................................
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatie2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Inleverdatum maandag 8 oktober 2017 voor het college Niet losse velletjes aan elkaar vast. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven.
Nadere informatie6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,
Nadere informatieParagraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier
Nadere informatie5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2
Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30
Nadere informatieVlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Nadere informatieOPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010
OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.
Nadere informatieParagraaf 1.1 : Lineaire verbanden
Hoofdstuk 1 Formules, grafieken en vergelijkingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Les 1 Lineaire verbanden Definitie lijn Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = richtingscoëfficiënt
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Elektrodynamica. 4 november Brenda Casteleyn, PhD
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Fysica: Elektrodynamica 4 november 2017 Brenda Casteleyn, PhD Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Geluid 10/6/2014. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Fysica: Geluid 10/6/2014 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm), Leen
Nadere informatie6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.
6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. f(x) = x x Differentiequotiënt van f(x) op [0, 3] = y f (3) f (0) 60 x 30 30 y x 1 Algemeen: Het differentiequotiënt
Nadere informatieAntwoorden Wiskunde B Hoofdstuk 1 boek 2
Antwoorden Wiskunde B Hoofdstuk 1 boek 2 Antwoorden door een scholier 7212 woorden 16 maart 2005 4,6 58 keer beoordeeld Vak Wiskunde B uitwerking Havo NG/NT 2 Hoofdstuk 1 De afgeleide functie 1.1 Differentiaalquotient
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Elektrodynamica. 18 augustus Brenda Casteleyn, PhD
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Fysica: Elektrodynamica 18 augustus 2019 Brenda Casteleyn, PhD Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding
Nadere informatie6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden
6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p
Nadere informatieComplexe getallen: oefeningen
Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de
Nadere informatie10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:
10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B
Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Geluid. 4 november Brenda Casteleyn, PhD
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Fysica: Geluid 4 november 2017 Brenda Casteleyn, PhD Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding Dit oefeningenoverzicht
Nadere informatieWiskunde 1 EUEC-VOORBEELD
Wiskunde 1 EUEC-VOORBEELD Maak kans op 1 jaar lang gratis collegegeld! Haal jouw studiepunten binnen met de studieondersteuning van SlimAcademy! Voor de ideale voorbereiding op jouw tentamens sluit je
Nadere informatie1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling
Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil
Nadere informatieVergelijkingen in één onbekende
Module 3 Vergelijkingen in één onbekende 3.1 Lineaire vergelijkingen Dit zijn vergelijkingen die herleid kunnen worden tot de gedaante ax+b = 0 met a,b Ê en a 0 ax+b = 0 ax = b x = b a V = { b } a Voorbeelden
Nadere informatie7.1 Grafieken en vergelijkingen [1]
7.1 Grafieken en vergelijkingen [1] Voorbeeld: Getekend zijn de grafieken van y = x 2 4 en y = x + 2. De grafieken snijden elkaar in de punten A(-2, 0) en B(3, 5). Controle voor x = -2 y = x 2 4 y = x
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatieWillem van Ravenstein
Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.
Nadere informatie1 Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...
Nadere informatieRekenen met letters deel 2
Rekenen met letters deel 2 Sectie wiskunde RGO RGO-Middelharnis 1 1 c RGO-wiskunde 1 1 Herhaling 2 1 Herhaling 3a (a + 2b) 4b 3a ( 3a 3b) 3b 2a (a 2b) + 3a 2a + 3b ( 2a + 3b) a + (a 2b) 4b b (4a 2b) a
Nadere informatieWiskunde 1 Samenvatting deel /2018
Inleiding Dit is een preview van onze samenvatting voor het vak Wiskunde 1. Wij hopen met hiermee te laten zien dat onze samenvattingen volledig, gestructureerd en gemakkelijk te begrijpen zijn. In deze
Nadere informatieWI1708TH Analyse 2. College 5 24 november Challenge the future
WI1708TH Analyse 2 College 5 24 november 2014 1 Programma Vandaag 2 e orde lineaire differentiaal vergelijking (17.1) 2 1 e orde differentiaal vergelijking Definitie Een 1 e orde differentiaal vergelijking
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatieG Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie. K Geologie, Informatica, Schakelprogramma s
Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 3 november 06, :00-3:00
Nadere informatiekwadratische vergelijkingen
kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking
Nadere informatieTOELATINGSEXAMEN ANALYSE BURGERLIJK INGENIEUR EN BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - 3 JULI 2003 BLZ 1/8
BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - 3 JULI 2003 BLZ 1/8 1. De functie f(x) = e kx + ax + b met a, b en k R en k < 0 heeft een schuine asymptoot y = x voor x + en voldoet aan de vergelijking Bepaal a, b en
Nadere informatie2. Kwadratische functies.
Uitwerkingen R-vragen hoofdstuk. Kwadratische functies.. R De term a is bepalend voor zeer grote waardes van. Als a < 0 dan wordt de term a zeer groot en negatief zowel bij. en Er is sprake van een bergparabool
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2
.0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)
Nadere informatieWiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld
Nadere informatieTe kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be
Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen
Nadere informatieUITBREIDING INTEGRALEN VAN HET TYPE. ««««««««««x ««2« ««9««««««««««1««6««x««««« ««1««««««««««u«««««2. f (x) 1 ««««««««
INTEGRALEN VAN HET TYPE k. f (x). dx ««a««««««««b«.«««f«(«x«)««a. Een nieuwe fundamentele integraal Met behulp van de rekenregels van afgeleiden vinden we ook. du = arcsin u + c ««««««««««««u«««««arcsin
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieTweede graadsfuncties
CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel 1: kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden Tweede-graadsfuncties 1 Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 20
Nadere informatieDe notatie van een berekening kan ook aangeven welke bewerking eerst moet = = 16
Rekenregels De voorrangsregels van de hoofdbewerkingen geven aan wat als eerste moet worden uitgerekend. Voorrangsregels 1. Haakjes 2. Machtsverheffen en Worteltrekken. Vermenigvuldigen en Delen 4. Optellen
Nadere informatieDe wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton
De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking
Nadere informatieTweede graadsfuncties
CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel 1: kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden Tweede-graadsfuncties 1 Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 20 deelnemers
Nadere informatie