Noordhoff Uitgevers bv

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Noordhoff Uitgevers bv"

Transcriptie

1 Hoofdstuk - Periodieke functies Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde V-a De omtrek van de eenheidscirkel is π = π. Hierij hoort een hoek van zowel π radialen als 0. Dus 80 komt overeen met π radialen. V-a V-a graden π =, radialen 0 y,0 0, O 0,,0 π π π π π π π π f( )= 0 voor = π, = 0, =π, = π en = π c f( )= voor = π en = π d f( )= voor = π en = π e De periode is π. f De grafiek van f is symmetrisch in de lijn = π, s f( ) = f( π π ) y,,0 0, O 0,,0, f( )= 0 voor = π en = π c f( )= voor = 0 d f( )= voor = π en =π e De periode is π f de grafiek is puntsymmetrisch in ( π, ), s f( π) = f( π) ladzijde 0 V-4a De grafiek van y= cos is horizontaal met factor ingekrompen. De amplitude is en de periode is π = π. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 9

2 0 Hoofdstuk - Periodieke functies De grafiek van y= sin is horizontaal uitgerekt met factor. De amplitude is en de periode is π = 0π. 0, c De grafiek van y= cos is horizontaal uitgerekt met factor en gespiegeld in de -as. De amplitude is en de periode is π = π. d De grafiek van y= cos is horizontaal ingekrompen met factor 4π en verticaal uitgerekt met factor. De amplitude is en de periode is π 4π =. V-a De grafiek van y= cos is π naar rechts verschoven. De amplitude is, de periode is π en de evenwichtsstand is y = 0. De grafiek van y= sin is π naar eneden verschoven. De amplitude is, de periode is π en de evenwichtsstand is y = π. c De grafiek van y= cos is omlaag verschoven. De amplitude is, de periode is π en de evenwichtsstand is y =. d De grafiek van y= cos is naar rechts en omhoog verschoven. De amplitude is, de periode is π en de evenwichtsstand is y =. e De grafiek van y= cos is horizontaal met factor π ingekrompen en omlaag verschoven. De amplitude is, de periode is π = 4 en de evenwichtsstand is y =. π f De grafiek van y= sin is eerst horizontaal uitgerekt met factor, daarna 0, π naar rechts verschoven en tot slot verticaal uitgerekt met factor. De amplitude is, de periode is π = 4π en de evenwichtsstand is y = 0. 0, V-a De periode is 4 (, π 0, 4π) = 4π, dit etekent dat de grafiek van y= cos eerst horizontaal met factor is uitgerekt. De evenwichtsstand is y = 0 en de top is (is ( 04, π ; ) De grafiek is daarna s 04, π naar rechts verschoven en verticaal met factor uitgerekt. De volgende stappen zijn op de grafiek van y= cos toegepast: Horizonaal uitgerekt met factor geeft y= cos. Verschuiving van 04, π naar rechts geeft f( ) = cos ( 04π, ). Vertikaal uitrekken met factor geeft f( ) = cos ( 0, 4π ). c De grafiek gaat ij = 04, π π= 0, π omhoog. Het functievoorschrift wordt dan g ( ) = sin ( + 0, π ). V-7a Algemene functievoorschrift is f( ) = d+ asin ( c) ) De evenwichtsstand is y =, s d =. De top is (, ), s a = = 4. De periode is = 0, s = π = π en c = 0. 0 Dus f( ) = + 4sin π De periode is 0, s er is een snijpunt voor = + 0 = 9 De grafiek is symmetrisch in =, s er is ook een snijpunt voor = + = Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel

3 . Harmonische trilling, frequentie en faseverschil ladzijde 4 a In het hoogste en laagste punt is de verticale snelheid gelijk aan 0. Aan de cirkel zijn de raaklijnen daar horizontaal (helling en s snelheid is 0). In de punten (, 0 ) en ( 0, ). De raaklijnen aan de cirkel zijn daar verticaal. c In, seconden draait P over π radialen. Na seconde is P over π 4 = π radialen, gedraaid. De y-coördinaat van S is sin 4 π=, 7. d De algemene formule is ht () = d+ asin. De amplitude is, s a =. De periode is,, s π 4 = π., 4 De evenwichtsstand is y = 0, s d = 0. Dus ht () = sin π t. a Algemeen: y= d+ asin t. De straal is, s a =. De periode is, s = π = en d = 0. Dus de formule wordt y= sin π t. Twee keer, want hij gaat zowel omhoog als omlaag passeert hij hoogte. c sin πt = ; sin πt = ; met de rekenmachine vind je op het interval [0, ]. a 0,, 80 πt 0, of πt, 80. Dus t = = 0, of t = =,. π π Als P de cirkel lijft doorlopen, dan worden deze waarden van t vermeerderd met veelvouden van. ladzijde = 880π, s de periode is π 880π = seconde. 440 In seconde vindt er trilling plaats. In seconde dan 440 trillingen. 440 In de periode p vindt trilling plaats. Dus in p seconden is er trilling. De frequentie f is het aantal trillingen per seconde, s trilling vindt plaats in f seconden. Dus p = of f =. f p c De amplitude 0, wordt op den ur 0. d De amplitude lijft 0,, maar de periode wordt nu p = = f 0. Dus = π = 00π. De formule wordt u= 0, sin 00π 4a De periode p = π = seconde. De frequentie f = 0 hertz. 00π 0 p = π = π seconde en f = 0 48 hertz π c p = π = seconde en f = hertz. π Hoofdstuk - Periodieke functies Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 0 π

4 Hoofdstuk - Periodieke functies Door de grafiek van u met 0,0 naar rechts te verschuiven krijg je de grafiek van v. De periode van zowel u als v is π 00, = 00,. Het faseverschil is =. 40π 00, De formule voor w is w= 08, sin 80π ( t c). Het faseverschil is 0, en de 7a periode is π 40 80π =. Dit etekent dat c = 0, s c = 0, = 0, 007 en w= 08, sin 80π( t 0, 007). Vergelijkingen oplossen ladzijde In het plot kun je zien dat de lijn y = 0, de grafiek van f in vier punten snijdt. Op het gegeven interval zijn er s 4 oplossingen. De periode is π = π en de symmetrieassen zijn = π, = 0 en = π. De andere oplossingen zijn = π, = + = π π π en = π π= π. 8a De periode is π π =. Met de rekenmachine kun je als oplossing = 0,7 vinden. Met ehulp van de symmetrieas =, vind je de oplossing =, 07, =, met ehulp van de periode vind je de oplossingen = 07, + = 7, en =, + = 7, Voor oplossingen geldt echter dat sin( π ) <. Voor de oplossingen van de ongelijkheid moet je hier rekening mee houden. De oplossingen zijn, innen het interval, [0,8;,] en [,8; 7,] 9a Met de periode is π = π en de symmetrieas, = π vind je de andere oplossingen 4 Met de symmetrieas: = π en = = π π π. Met de periode: = π, = π, = π en = π. Op het interval [0, π] zijn er oplossingen. Op [0, 40π] s 40 = 80 oplossingen. ladzijde 7 0a De periode van f is π = π, s passen er perioden van f in π. De periode van g is π = π, s passen er perioden van f in π. Telkens als het patroon, na een periode, weer egint, starten de grafieken van f en g ook in hetzelfde punt. De periode van het patroon moet dan wel een veelvoud zijn van die van f en g. a De periode van f is π en die van g is π. Je kunt direct zien dat de gemeenschappelijke periode π is (vermenigvuldig de periode van f met en die van g met ). De periode van f is π = 4π en die van g is π. De periode van g past precies twee keer in die van f. De gemeenschappelijke periode is s 4π. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel

5 c De periode van f is π = π en die van g is π = 4π. Het eerstvolgende veelvoud dat eide perioden gemeenschappelijk heen is π. d De periode van f is π π = en die van g is π =. De gemeenschappelijke periode is. π a De periode van f is π = π en die van g is π. De gemeenschappelijke periode is s π. Vul de vermeende oplossingen in de vergelijking in. De 4 (zie plot) oplossingen zijn juist. c Bij de gegeven oplossingen krijg je nog de volgende: = π+ π= π ; = π+ π= π ; = π+ π= π. a De periode van g is π π = en de periode van k is π π =. Aangezien de kleine wijzer in uur rond is, hoort de formule k ij de kleine en de formule g ij de grote wijzer. Met de rekenmachine vind je dat tussen t = 0 en t = er twee oplossingen zijn van de vergelijking cosπt = cos πt die horen ij samenvallende wijzers. De oplossingen zijn t, 0909 of t, 89. Tussen 0.00 uur en.00 uur vallen de wijzers samen om uur, minuten en 7 seconden en om uur, 0 minuten en seconden. c Op het interval [0, komen de wijzers elkaar keer tegen. Op het interval [0, 4 s keer.. De afgeleide ladzijde 8 4a Bij de waarden van waarvoor f een uiterste waarde heeft, is f ( ) = 0. In de toppen is de raaklijn horizontaal. Dit is voor = π + alle veelvouden van π en = π + alle veelvouden van π. De grafiek heeft periode π, s f ( ) = voor = π + alle veelvouden van π. De grafiek is symmetrisch in de lijn = π, s f ( ) = voor =π + alle veelvouden van π. c y,,0 0, O 0,,0, f ( ) = cos π 4 Hoofdstuk - Periodieke functies Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel

6 4 Hoofdstuk - Periodieke functies a Op het interval 0, π is de helling in elke punt van de grafiek van g ( ) = cos negatief, terwijl f( ) = sin op dat interval positief is. Door de grafiek van de afgeleide van g ( ) = cos te plotten zie je dat de afgeleide g ( ) = sin zou kunnen zijn. a f ( ) = sin= sin u= sin en y= + u = cos en d y = u Dus g ( ) = cos u= cos sin= sin cos d c k ( ) = + cos+ sin d u= en y= cosu d = en d y = sin u Dus l ( ) = sinu= sin ladzijde 9 7a u= π en y= cos u dt = π en d y = sinu k ( ) = π sinu= πsin π v= t en y= sin v dv d = en d y = cosv dv u () t = cosu= cos( t) c u= p 78 en y= sin u dp = en d y = 4cosu m ( p) = 4cosu= 8970 cos( p 78) d u= π t en y= 0, + cosu dt = π en d y = sin u v () t = π sinu= πsin πt e u= sin en y= u ; v= cos en z v = = cos en d y = u ; d v = sin en d z = v d d dv s ( ) = cos u+ sin v= cos sin sin cos = 0 Geruik je de rekenregel sin f u= cos a en y=, u 4 + cos =, dan volgt direct dat s ( ) = 0 = sin a en d y = 0u da q ( a) = sina 0u + 7cos a= 0sinacos a+ 7cos a Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel

7 8a y 4 O 4 π 4 π De eacte nulpunten zijn = π, = π en = π g ( ) = sin > De richtingscoëfficiënt van de raaklijnen in de nulpunten zijn: g ( π) = sin π = ; g ( π ) = en g ( π) = c De helling is het grootst in het punt ( π, 0). De helling is daar, s er kan geen punt op de grafiek van g zijn waar de helling groter is. 9a f ( ) = cos Los op cos = 0., Met de rekenmachine vind je = 7, en f (, 7) = 0, 98. In het punt (. 7; 0, 98 ) is de helling 0,. De grafiek is symmetrisch in de lijn = π. De helling is gelijk aan 0, voor = π 7, =, 77. Dus in het punt (, 77; 0, 98 ). c f ( π) =. De raaklijn heeft dan als vergelijking y= + invullen van =π en y = 0 geeft 0 = π +, s =π. De vergelijking is y= +π 0a De periode is π en de frequentie f = π Hz. u () t = cos t. De grootste snelheid naar rechts is cm/sec op t = 0 en alle veelvouden van π. De grootste snelheid van cm/sec naar links is op t =π + alle veelvouden van π. c cost = 0 voor t = π + alle veelvouden van π. d u( 00) = 04, en u ( 00) = 7,. Op t = 00 heeft de slinger een uitwijking naar links van,04 cm en eweegt met een snelheid van,7 cm/sec naar rechts. a De periode is π = seconden. Voor een persoon in rust is dit realistisch. 04, π u= 04, π t en y= 0 sin u c dt = 04, π en d y = 0 cosu p () t = 04, π 0 cosu= 8πcos 0, 4πt p () = 7, 77. De druk wordt minder, s de persoon ademt uit. De maimale snelheid waarmee de druk verandert is gelijk aan de uiterste waarden van p (). t Het maimum en minimum van p ()zijn t 8π en 8π s de maimale snelheid waarmee de druk verandert is, luchtdruk/sec op de tijdstippen t = 0 en alle veelvouden van. Hoofdstuk - Periodieke functies Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel

8 a c Hoofdstuk - Periodieke functies.4 Schommeling en trend ladzijde 0 Het aantal werklozen is ij het laatste meetpunt ongeveer 0 izend. Deze meting was in het eerste kwartaal van 00. De lijn gaat door (0, 00) en (, 400). Dus q = 00 en het functievoorschrift wordt At ()= pt Hierin invullen t = en At ()= 400 geeft 400 = p + 00 en p = 00 = 47,. Dus At () = 47, t Als At ()= 0, s als t = 00 0 kwartalen na het vierde kwartaal van , Dus in het jaar 04. a De rechte lijn wordt achtereenvolgens gesneden voor t = 9 en t = 8. De periode is 8 ( 9) = 8 en = π = π. 9 8 Het functievoorschrift wordt At () = 47, t sin π t. 9 De geplotte grafiek is regelmatig in vergelijking met de grafiek uit het oek. De trendlijn is echter dezelfde. Snijden met de lijn y = 0 geeft het tijdstip waarop het aantal werklozen eneden de 0000 is gekomen. Met intersect vind je t = 80, 4, s eind 007. ladzijde 4a De populatie neemt niet gelijkmatig af, maar eponentieel. T is een eponentiële functie met startwaarde 9000 en groeifactor 0,9. t Tt () = , c De schommeling is jaarlijks, s de periode is en = π. t Bt () = , + 0 sin( π t). d Met de rekenmachine vind je dat Bt ()= 0 voor het eerst optreedt ij t = 70, 7, s na 7 jaar. Het is lastig om met intersect het snijpunt met de -as te erekenen. a De grafiek van T gaat door de punten (0, 0) n (, ). De helling is 0 =, s T()= t t + 0 St () is maimaal als πt = π, s t =. De periode is, s op het interval [0, ] 4 is St () maimaal voor t =, t =, t =, t = en t = c f () t = T () t + S () t = + πcos π t (met de kettingregel). d Voor t = heeft St () een maimum, maar f ( ) = 0, s heeft de grafiek van f 4 4 voor t = geen maimum. 4 e De helling is, s de grafiek stijgt en het maimum moet dan nog komen. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel

9 . Gemengde opdrachten ladzijde a f ( ) = cos en f ( 0) =. De raaklijn in (0,0) is y=, s a =. Voor a heeft de lijn één snijpunt met de grafiek van f (voor a = is het een raakpunt). In de grafiek kun je zien dat voor negatieve waarden van a er één kan optreden. Zodra de lijn raaklijn wordt komen er gemeenschappelijke punten ij. Voorwaarden voor raken zijn f( ) = y ( ) en f ( ) = y ( ). Dus sin = a en cos = a. Door cos = a in te vullen in de eerste vergelijking krijg je sin= cos. Plot de grafieken van y= sin en y= cos. Met intersect vind je als negatieve oplossing = 4, 494. Dus voor a = cos( 0, 494) = 0, 7 vind je, ehalve (0, 0), nog twee raakpunten. Voor a < 0, 7 en voor a heeft de lijn y= a één snijpunt met de grafiek van f. c De grafiek van f is symmetrisch in het punt (0,0). Als de lijn de grafiek van f, ehalve in (0,0), nog in een ander punt snijdt, dan snijdt hij ook in het spiegelpunt. Dus twee snijpunten krijg je nooit. d Uit vraag c volgt dat het aantal snijpunten altijd oneven is. y,,0 0, 0 O 0,,0, A 0 B De raaklijn (vanuit (0, 0)) in punt A heeft vijf snijpunten met de grafiek van f en die in punt B negen. De lijnen waarvan de helling kleiner is dan die van de lijn door A en groter dan die door B, heen zeven snijpunten met de grafiek van f. De -coördinaat van A en die van B zijn ook weer oplossingen van de vergelijking sin= cos. Met intersect vind je (voor positieve ) A = 7, 7 en B = 4, 0. Dus voor de raaklijnen door A en B krijg je a = cos 7, 7 = 0, 8 en a = cos 4, 0 = 0, 07 Er zijn zeven snijpunten als 0, 07 < a < 0, 8. Hoofdstuk - Periodieke functies Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 7

10 7a Hoofdstuk - Periodieke functies Voor een niet schrikkeljaar is de periode van zonsopkomst dagen. De periode van O is π =. Dus t is in dagen. π Het meest vroege tijdstip is O =,, = 4, uur, s om 04.8 uur. Het meest late tijdstip is O =, +, = 87, uur, s om 08.4 uur. c Plot de grafiek van O en de lijn O = 7. Met intersect vind je dat voor t =, 9 en t = 7, de zonsopgang om 7 uur is. Ook kun je in het plot zien dat tussen deze tijden de zonsopgang vroeger is dan 7 uur. De zonsopgang is in 7 = 0 dagen vroeger dan 7 uur. d u= π ( t+ ) en y=, cos u+, dt = π dy en =, sin u. Dus O () t = π = 44, π, sin u sin π ( t+ ) augustus komt overeen met t = en oktoer met t = 7 O ( ) = 0, 04 en O ( 7) = 0, 07, s de zonsopkomst neemt op oktoer sneller toe dan op augustus. 8a De gemeenschappelijke periode is π π = y c 9a c d e O 4 8 Met de rekenmachine vind je één van de toppen (,7;,0). De evenwichtsstand is de -as en de uitwijking is dan,0. Dus a = 0, en d = 0. Bij = 0, gaat de grafiek na de oorsprong weer voor het eerst omhoog, s c = 0,. De periode lijft, s verandert niet. Het functievoorschrift wordt s ( ) = 0, sin π ( 0, ). ladzijde 0 De oude standaardtoon heeft periode 448, s = π = 89π. 448 Evenzo vind je voor de nieuwe a dat = π = 880π. De perioden van de twee tonen zijn niet gelijk. De resulterende toon die je krijgt als je ze samen laat klinken zal niet steeds dezelfde uitwijking heen. In de plots kun je zien dat de tonen elkaar versterken, maar ook verzwakken. Dus is er zweving. In je laatste plot kun je zien dat op het interval [0; 0,] het patroon twee keer voorkomt. De periode is dan 0,. Er geldt voor elke a dat a =. a 440 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel

11 f 0 = en 4 = g Uit vraag d volgt dat de periode vermoedelijk 0, = zal zijn. 8 Uit a = volgt dat a =. Op dezelfde manier vind je = ICT De afgeleide ladzijde 4 I-a Kies op het hoofdmenu voor Etra Hellingen. Voor = krijgt de helling voor = 0 de waarde 0,84 en voor = 0, de waarde 0,998. Neem = 0, , π π, π π helling 0 0 c De hellingsgrafiek hoort ij de functie f ( ) = cos. I- Met = krijgt de helling voor = 0 de waarde 0,497 en voor = 0, de waarde 0,0. Neem = 0, 00, dan wordt de tael: 0 0, π π, π π I-a c helling De hellingsgrafiek hoort ij de functie f ( ) = sin. Bij positieve c is er sprake van een verschuiving naar rechts. Bij negatieve c krijg je een verschuiving naar links. De helling verschuift mee en is even groot als de helling in het oorspronkelijke punt. Zowel de grafiek als de hellingsgrafiek verschuiven eiden even ver naar links of naar rechts. Dus de afgeleide van f( ) = sin( c) is dan f ( ) = cos( c). I-4a d veroorzaakt een verschuiving omhoog ( d > 0 ) of omlaag ( d < 0 ). Verticale verschuivingen heen geen invloed op de helling. c Aangezien de helling niet verandert is van zowel f( ) = d+ sin als van g ( ) = sin de afgeleide functie f ( ) = g ( ) = cos. I-a A veroorzaakt een verticale vermenigvuldiging (uitrekken als a >, inkrimpen als 0< a < en een spiegeling in de - as als a < 0 ) De helling van y= sin moet je met a vermenigvuldigen om de helling van f( ) = a sin te krijgen. I-a dy c f'( ) = a = a cos. d ladzijde veroorzaakt een horizontale vermenigvuldiging (inkrimpen als >, uitrekken als 0< < en een spiegeling in de y-as als < 0 ) Hoofdstuk - Periodieke functies Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 9

12 0 Hoofdstuk - Periodieke functies De helling in het punt ( y, ) van y= sin moet je met vermenigvuldigen om de helling in het punt ( f, ( )) van f( ) = sin te krijgen. c Bij horizontaal vermenigvuldigen met factor van de grafiek van y= sin wordt de helling keer zo groot en de periode keer zo klein, s f'( ) = cos. I-7 u= en y= sin u = en d y = cos u, s f ( ) = cosu= cos. dt I-8a f ( ) = cos d f ( ) = cos f ( ) = sin e f ( ) = πsin π c f ( ) = sin f f ( ) = cos( 4) I-9a u= 4( ) en y= + sin u d = 4 en d y = cos u, s f ( ) = 4 cosu= cos 4( ). g ( ) = + sin I-0a u= sin en y u = = cos en d y = u, s f ( ) = cos u= sin cos. d u= cos en y= u = sin en d y = u, s f ( ) = sin u= sin cos. d I-a f ( ) = πcos π (zie CI-c). De helling in het punt P(0,0) is f ( 0) = π en in het punt Q(0,; ) is de helling f ( 0, ) = 0. De helling van lijnstuk PQ is y = =., c Het gemiddelde van de helling in P en in Q is π + 0 = π en is niet gelijk aan de helling van lijnstuk PQ. d De lijn y= + lijkt de grafiek te raken voor = 0,. Het raakpunt is dan T( 08, ; 0, 77) f ( 08, ) =, 00. Het punt T( 08, ; 0, 77 ) voldoet heel goed. e De raaklijn in T aan de grafiek van f heeft als vergelijking y= +. Invullen = 0,8 en y = 0,77 geeft 077, = 08, + ; = 0, Dus de raaklijn heeft als vergelijking y= + 0,. Het vermoeden = 0, uit vraag d is redelijk nauwkeurig. I-a De periode is π = sec. Voor een persoon in rust is dit redelijk. 04, π Er is sprake van uitademen als de grafiek daalt, de druk in de longen wordt minder. Als de persoon inademt neemt de druk toe. In de grafiek is dat zichtaar in het stijgende deel. Zowel het in- als uitademen urt, seconden. c u= 04, π t en p= 0 sin u dt = 04, π en d p = 0 cos u, s p () t = 04, π 0 cosu= 8πcos 0, 4π t. p () = 7, 7, De druk wordt minder, s de persoon ademt uit. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel

13 d T-a c De maimale snelheid waarmee de druk verandert is gelijk aan de uiterste waarden van p (). t Het maimum en minimum van p ()zijn t 8π en 8π s de maimale snelheid waarmee de druk verandert is, luchtdruk/sec. Test jezelf ladzijde 8 De maimale uitwijking is gelijk aan de amplitude en is 0, mm. De periode is ππ =. De frequentie is dan = 00 hertz. 00 De grafiek van de ander stemvork is 0,00 naar rechts verschoven tov de grafiek van de eerste stemvork. De periode is 0,0, s de verschuiving is 0, 00 = deel van de 00, periode. Het faseverschil is s. T-a De periode van f is π = 4π en die van g is π = π. De periode van f is vier keer de periode van g, s de gemeenschappelijke periode is 4π. Het aantal oplossingen op [0, 4π] is gelijk aan het aantal snijpunten van de twee grafieken op dit interval. Dat zijn er zeven. c Het interval [0, 0π] evat, gemeenschappelijke perioden van 4π. Op het interval [0, π] zijn er 4 oplossingen, s zijn er totaal 7+ 4= 48 oplossingen. T-a u= ( 0, π) = 0, 7π en y= sin u d = en d y = cos u, s f ( ) = cosu= cos ( 0π, ). u= sin en y= 0, u = cos en d y = u,, s g ( ) = cos, u =, cos sin. d c u= 0, π t en y= cosu dt = en d y = sin u, s h () t = sinu= sin( 0, π t). d u= sin en y= u ; v= cos en z= v = cos en d y = u ; d v = sin en d z = v. d d s k ( ) = cos u ( sin ) v= sincos + sin cos = 4sin cos. ladzijde 9 T-4a De lijn gaat door (0, 8) en (8, 0). De helling a = 0 8 =, en = De periode is één jaar, s q = π. De amplitude is ongeveer en de grafiek zal op tijdstip t = 0 onder de trendlijn zijn, s p =. c Plot de grafiek van C() t en de lijn y = 400. Met intersect vind je dat voor t = 40, de grafieken elkaar snijden. Dus vanaf = 00 zal de concentratie hoger zijn dan 400 ppm. Hoofdstuk - Periodieke functies Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel

14 T-a De periode is π π = sec en de frequentie is = hertz. De amplitude is 0 en de evenwichtsstand is 0. De ovendruk is dan = 0 mm kwik en de onderdruk is 0 0 = 90 mm kwik. c De evenwichtsstand is + 7 = 4. De amplitude is 7 4 = 0. De frequentie is 00 =, s de periode is 0 en = π = 0 Het functievoorschrift is pt () = sin π t. T-a De periode van f is π π =. Als de periode van g gelijk is aan, dan is de gemeenschappelijke periode. Dit geldt ook als de periode van g gelijk aan zou zijn. Is de periode van g gelijk aan, dan is de gemeenschappelijke periode ook. De periode van g zou,, 9 of 8 kunnen zijn. Bij of is de gemeenschappelijke periode weer. Blijft over 9 of 8. Als de amplitude weer is en de periode 9 dan wordt het functievoorschrift g ( ) = sin π. 9 T-7a Hoofdstuk - Periodieke functies 0 π. Als het faseverschil groter zou zijn dan 0, dan is de verschuiving meer dan een halve periode naar (ijvooreeld) rechts. Dit etekent dat de grafieken minder dan een halve periode (naar links) uit elkaar liggen. Dus is dat het faseverschil. De periode van f is π en die van g is. Een gemeenschappelijke periode is niet mogelijk omdat in veelvouden van π altijd een veelvoud van π zijn. In veelvouden van komt de factor π niet voor. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel

Hoofdstuk 6 - Periodieke functies

Hoofdstuk 6 - Periodieke functies Hoofdstuk - Periodieke funties Voorkennis: Sinusfunties ladzijde V-a De omtrek van de eenheidsirkel is. Hierij hoort een hoek van zowel radialen als 0. Dus 80 komt overeen met radialen. graden 0 0 4 0

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Periodieke functies

Hoofdstuk 4 - Periodieke functies Hoofdstuk - Periodieke functies ladzijde 98 V-a Na seconden. Het hart klopt c, millivolt = slagen per minuut. V-a Ja, met periode ; nee; misschien met periode. Evenwichtsstand y = ; -; y =. Amplitude is

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Goniometrische verhoudingen ladzijde 9 V-a vereenkomstige hoeken zijn gelijk. 7 7, c PR 7, AC, 7, QR 7, BC, 7, 0 V-a In deze driehoeken is A C en ook zijn de hoeken ij U en V gelijk. CR AQ

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 - Periodieke functies

Hoofdstuk 7 - Periodieke functies Voorkennis: Goniometrische verhoudingen ladzijde 9 V-a vereenkomstige hoeken zijn gelijk. 7 7, c PR 7, AC, 7, QR 7, BC, 7, 0 V-a In deze driehoeken is A C en ook zijn de hoeken ij U en V gelijk. CR AQ

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Transformaties

Hoofdstuk 3 - Transformaties Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 V-a f () = g () = sin h () = k () = log m () = n () = p () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 5 bladzijde 9 ab f g h i j functie nr 5 Domein [ 0, 0, Bereik [ 0, [ 0, 0, c D k B k, 0 0, d Spiegelen in de -as geeft het tegengestelde bereik, dus, 0]. e u ( ) en yu ( ) u f D q, 0 0, ; B q 0, a [, b

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a a 8 8. Ageleiden bladzijde 5 Uit de ormule voor de omtrek van een cirkel (omtrek r ) volgt dat een volledige cirkel (60 ) overeenkomt met radialen. Een halve cirkel (80 ) komt dus overeen met radialen.

Nadere informatie

= cos245 en y P = sin245.

= cos245 en y P = sin245. G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a b overstaande rechthoekszijde PQ PQ sinα = (in figuur 8.) sin = = PQ = sin 0, 9. schuine zijde OP aanliggende rechthoekszijde OQ OQ cosα = (in figuur 8.) cos =

Nadere informatie

Uitwerkingen goniometrische functies Hst. 11 deel B3

Uitwerkingen goniometrische functies Hst. 11 deel B3 Uitwerkingen goniometrische functies Hst. deel B. f() = sin(-) = -sin() g() = cos(-) = cos () h() = sin( + ) = cos() j() = cos( + ) = -sin() k() = sin ( + ) = -sin () l() = cos ( + ) = -cos (). Zie ook

Nadere informatie

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0.

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. 12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. Dit is in de punten (1,0) en (-1,0) (1,0) heeft draaiingshoek 0 (-1,0) heeft

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie

Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie Hoofdstuk 6 - de afgeleide functie 0. voorkennis Het differentiequotiënt Het differentiequotiënt van y op de gemiddelde verandering van y op [ ] is: A B de richtingscoëfficiënt (ook wel helling) van de

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt kg lengte in m gewicht in kg 7 9 c d gewicht in kg lengte in m m weegt kg dus m weegt kg meter e startgetal hellingsgetal V-a y + Dus ( ) y

Nadere informatie

0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen

0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen 0. voorkennis Periodieke verbanden Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen Er zijn twee verschillende tekendriehoeken: de 45-45 -90 driehoek en de 30-0 -90 -driehoek. Kenmerken

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties

Hoofdstuk 4 - Machtsfuncties Hoofdstuk - Machtsfuncties Voorkennis: Functies en symmetrie ladzijde 9 V-a Kies als vensterinstelling voor je GR ijvooreeld X en Y en voer in Y = X X + Je krijgt: + = 0, dan D = ( ) = en = = = + = of

Nadere informatie

HOOFDSTUK 4: GONIOMETRISCHE FUNCTIES

HOOFDSTUK 4: GONIOMETRISCHE FUNCTIES 1 HOOFDSTUK 4: GONIOMETRISCHE FUNCTIES 1 Periodieke functies 2 1.1 Op verkenning 2 1.2 Periodieke functie 2 1.3 Periode-interval, evenwichtslijn en amplitude 4 1.4 De perioderechthoek 4 1.5 Oefeningen

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Sinusoïden

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Sinusoïden Uitwerkingen ij _ Voorkennis: Sinusoïden V_ a A( π, ), B( π, ), C( π, ) en D(π, ) Met de rekenmachine : Y = sinx Y = Met CALC, Intersect of G-Solve, ISCT: c V_ a x,6, x,5 of x,67 Bij een verschuiving van

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Periodieke bewegingen

Hoofdstuk 2 - Periodieke bewegingen Hoofdstuk - Periodieke ewegingen Voorkennis: Sinusoïden ladzijde 6 ( ) en D (,) V-a A,, B,, C, Via Interset vind je de snijpunten van = sin x en = x, 6 x, 5 of x, 67 Bij een vershuiving van eenheden naar

Nadere informatie

EERSTE AFGELEIDE TWEEDE AFGELEIDE

EERSTE AFGELEIDE TWEEDE AFGELEIDE Lesrief EERSTE AFGELEIDE etreme waarden raaklijn normaal TWEEDE AFGELEIDE uigpunten 6/7Np GGHM03 Inleiding Met ehulp van de grafische rekenmachine kun je snel zien of de grafiek daalt of stijgt. Het horizontaal

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 Goniometrie. 8.1 De eenheidscirkel. Opgave 1: PQ 1 OQ 1. Opgave 2: Opgave 3: GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H8 1-1 - AUGUSTINIANUM (LW)

Hoofdstuk 8 Goniometrie. 8.1 De eenheidscirkel. Opgave 1: PQ 1 OQ 1. Opgave 2: Opgave 3: GETAL EN RUIMTE HAVO WB D2 H8 1-1 - AUGUSTINIANUM (LW) Hoofdstuk 8 Goniometrie 8. De eenheidscirkel Opgave : PQ a. sin 6 PQ sin 6 0,9 OQ cos6 OQ cos 6 0, b. P0,;0,9) Opgave : a. POQ 80 6 PQ 0,9 OQ 0, P0,;0,9) b. cos 0, sin 0,9 x P cos 0, y P sin 0,9 c. POQ

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking. G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - De afgeleide

Hoofdstuk 8 - De afgeleide Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt,, kg lengte in m gewicht in kg,,, 7, 9,, gewicht in kg lengte in m c m weegt kg dus m weegt, kg,, d, meter, e startgetal, hellingsgetal, V-a

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen) Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Differentiëren

Hoofdstuk 3 - Differentiëren Hoofdstuk - Differentiëren Moderne wiskunde 9e editie vwo B deel Voorkennis: Mahten en differentiëren ladzijde 7 6 V-a ( ) ( ) 8 f d e ( ) g 5 ( ) 6 6 ( 9 ) 9 ( ) ( ) 6 6 5 5 6 5 6 6 5 5 9 h ( ) 8 ( )

Nadere informatie

ICT - Cycloïden en andere bewegingen

ICT - Cycloïden en andere bewegingen ICT - Ccloïden en andere bewegingen bladzijde 80 a ( 0, ) b Als de middelpuntshoek radiaal is, is de bijbehorende booglengte: omtrek π π = meter. er seconde wordt er over radiaal gedraaid en wordt er dus

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - De kettingregel

Hoofdstuk 2 - De kettingregel Hoofdstuk - De kettingregel ladzijde V-a P ( ) 0 ( 0+ ) 0 0 + 0 0 + 0 60 W + + + a + t voor a 0 a a T u ( r ) r r 8 d R log + V-a u t wordt t en s t u t wordt t en s t 7 V-a A: t ( ) A: t ( ) ( ) 8 8 V-a

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine Voorkennis: Funties ladzijde V-a De formule is T = + 00, d Je moet oplossen + 00, d = dus dan geldt 00, d = en dan is d = : 00, 77 m V-a f( ) = = 0en f( ) = ( ) (

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde B

Samenvatting wiskunde B Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 50075005 Haags Montessori Lyceum (c) 0 Inleiding In deze leerroute gaan we kijken naar goniometrische functies: De eenheidscirkel

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 90 6 Differentiëren bladzijde a f ( ) b p ( q) q + 0q dk p, dp a gt () tt ( t ) t 6t, g () t 6t t b k ( u )( u + ) u + u u u, d k u 6 a f( ), f ( ) 0 0 6 b g ( ) +, g ( ) h ( ) ( ), h ( ) a A t + t ( )

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.

13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0. Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2010-2011 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2010-2011 gghm Functies Verdieping 6N-p 010-011 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de ijehorende grafiek. Je mag de GRM hierij geruiken. Y f ( x) x X

Nadere informatie

wiskunde B bezem vwo 2018-II

wiskunde B bezem vwo 2018-II wiskunde bezem vwo 08-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 1330-1630 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage Dit eamen bestaat uit 16 vragen Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen Voor elk

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot II

Eindexamen vwo wiskunde B pilot II Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosu sintsinu cos( tu) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t11 sin t www - 1 - Een regenton

Nadere informatie

Basisvormen (algebraische denkeenheden) van algebraische expressies/functies

Basisvormen (algebraische denkeenheden) van algebraische expressies/functies Basisvormen (algeraische denkeenheden) van algeraische epressies/functies,,,..,,, g g, log( ), sin(), cos() polynoomfuncties gerokenfuncties, vermenigvuldigingsfunctie Soort functies Standaardvormen met

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

wiskunde B havo 2018-II

wiskunde B havo 2018-II Piano In figuur 1 zijn de witte en zwarte toetsen van een gewone piano getekend. In totaal heeft deze piano 88 toetsen. figuur 1 De toetsen worden genummerd van links naar rechts. Zie figuur, waarin de

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-II

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-II Eindeamen vwo wiskunde 04-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 Functies en de GRM. Kern 1 Functies met de GRM. Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk 2, Functies en de GRM 1. 1 a. b Na ongeveer 6 dagen.

Hoofdstuk 2 Functies en de GRM. Kern 1 Functies met de GRM. Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk 2, Functies en de GRM 1. 1 a. b Na ongeveer 6 dagen. Netwerk Havo B uitwerkingen Hoofdstuk, Functies en de GRM Hoofdstuk Functies en de GRM Kern Functies met de GRM a H (dm) 5 Na ongeveer 6 dagen. 6 8 0 t a De functie heeft geen functiewaarde voor X < 0.

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2016-I

wiskunde B vwo 2016-I wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte

Nadere informatie

(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a

(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde

Nadere informatie

wiskunde B pilot havo 2016-I

wiskunde B pilot havo 2016-I De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt ( 1, 1 ) 3p 1 Stel een vergelijking op van c. De punten B( 3, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) 2 2 C liggen op c. Punt Q is het midden van

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. 5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 018 tijdvak woensdag 0 juni 1.0-16.0 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Wiskunde D voor HAVO. Periodieke functies Gert Treurniet

Wiskunde D voor HAVO. Periodieke functies Gert Treurniet Wiskunde D voor HAVO Periodieke functies Gert Treurniet . Inleiding Een toon is een trilling. De trilling van lucht brengt ons trommelvlies in beweging. De beweging van ons trommelvlies nemen we waar als

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2017-II

wiskunde B pilot vwo 2017-II Twee machten van maimumscore 5 f' ( ) = ln() + ln() Uit f' ( ) = volgt dat = Dus + = ( = ) Hieruit volgt = a+ a, met a =, moet minimaal zijn De vergelijking a = moet worden opgelost Dit geeft Hieruit volgt

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 Machtsverbanden

Hoofdstuk 4 Machtsverbanden Opstap Derdemachten O-1a I r r r 1 De inhoud van een kuus met r is 1 cm 3. Als I 7 geldt r 3 want 3 3 7. Een kuus met I 7 heeft een rie van 3 cm. c r in cm 1 3 d I in cm 3 1 7 6 1 l in cm 3 9 7 6 3 - -1-3

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

9.1 Recursieve en directe formules [1]

9.1 Recursieve en directe formules [1] 9.1 Recursieve en directe formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is een getallenrij. De getallen in de rij zijn de termen. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 1 V-1a Bij A hoort een kwadratish verand, want de toename van de toename is steeds. Bij B hoort een lineair verand, de toename is steeds 5. Bij C hoort

Nadere informatie

OEFENPROEFWERK VWO B DEEL 3

OEFENPROEFWERK VWO B DEEL 3 Formules OEFENROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK GONIOMETRISCHE FORMULES cos( t u) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) sin( A) sin( A)cos( A) sin( t u) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( t u) cos( t)cos( u) sin(

Nadere informatie

Keuzemenu - Wiskunde en economie

Keuzemenu - Wiskunde en economie 1a a Keuzemenu - Wiskunde en eonomie ladzijde 6 TK( 00) GTK( 00) = = 300 = 71 euro per ezoeker 00 00 TK( 600) 800 = = 71, 33 euro per ezoeker 600 600 TK( 800) 9 00 GTK( 800) = = = 7 euro per ezoeker 800

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 0 Hoofdstuk - Werken met algera. Oplossen door ontinden ladzijde a ( )( ) 0 0 of 0 of of of of. 0 ( )( ) 0 0 of 0 of. ( )( ). a 0( )( ) 0 of,, of 0 stel a a a a 0( a )( a ) 0 a of a a of a De oplossingen

Nadere informatie

Stevin havo deel 2 Uitwerkingen hoofdstuk 3 Trillingen ( ) Pagina 1 van 11

Stevin havo deel 2 Uitwerkingen hoofdstuk 3 Trillingen ( ) Pagina 1 van 11 Stevin havo deel Uitwerkingen hoofdstuk 3 Trillingen (-0-03) Pagina van Opgaven 3. Zwaaien en dansen a Ja, de periode is h. a Nee, de draaiing is geen eweging rondom een evenwichtsstand. a 5 T = 3600 =

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2006-II

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2006-II Toename lichaamsgewicht zwangere vrouw Een vrouwenarts heeft van een zwangere vrouw gedurende de zwangerschap allerlei gegevens verzameld. In tabel 1 staan enkele resultaten. Daaruit is onder andere af

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : Regels voor het differentieren

Hoofdstuk 1 : Regels voor het differentieren Hoofdstuk : Regels voor het differentieren Kern : Afgeleide en raaklijn a) stijgend op en dalend op en b) f f f f helling ++++ - ++++ - -waarde - f 8 De helling in het punt f ; is 8 In het punt ; heeft

Nadere informatie

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren

De Wageningse Methode 5&6 VWO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk 2 Regels voor differentiëren De Wageningse Methode &6 WO wiskunde B Uitgebreide antwoorden Hoofdstuk egels voor differentiëren Paragraaf Opnieuw sinus en inus a. -, 0, ; -, ; -, ; -, b. (,sin) (-0, ; 0,9), met de G Op dezelfde hoogte:,

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a c d V-a Hoofdstuk - Differentiëren Voorkennis: De afgeleide ladzijde Na 5 seconden. De grafiek verandert daar van B in C en het dalen gaat ineens langzamer. De raaklijn gaat ongeveer door de punten

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 2016 tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

wiskunde B havo 2017-II

wiskunde B havo 2017-II wiskunde B havo 07-II Afstand tussen twee raaklijnen maximumscore Uit x x= 0 volgt ( x = 0 ) x = 0 Hieruit volgt x = 8 dus (de x-coördinaten van M en N zijn) x = 8 ( = ) en x = 8 ( = ) De afstand tussen

Nadere informatie

) translatie over naar rechts

) translatie over naar rechts Hoofdstuk opmerkingen/adviezen Leer deze grafieken precies! Zorg dat je de volgende formules ziet in de grafieken: Periode sinus, cosinus en tangens: resp,, sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) c a k a k

Nadere informatie

Paragraaf 14.0 : Eenheidscirkel

Paragraaf 14.0 : Eenheidscirkel Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 1 van 12 Paragraaf 14.0 : Eenheidscirkel De eenheidscirkel met graden Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ) = x coordinaat

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde deel 1

Toegepaste Wiskunde deel 1 Toegepaste Wiskunde deel Uitwerkingen etra opgaven hoofdstuk Functies. y f ( ) 4 ( )( ) is minimaal -4 voor 0 y g f ( ) ( ) 4 ( )( ) bestaat wanneer D en B 4, ( )( ) 0, voor het domein en het bereik geldt

Nadere informatie

9e editie. Moderne wiskunde. Uitwerkingen Op stap naar 4 havo. Dick Bos

9e editie. Moderne wiskunde. Uitwerkingen Op stap naar 4 havo. Dick Bos 9e editie Moderne wiskunde Uitwerkingen Op stap naar 4 havo Dik Bos Inhoud Hoofdstuk Getallen 000 - Rekenen met reuken 000 - Deimale getallen, proenten en fator 000-3 Kwadraten 000-4 Wortels 000-5 Mahten

Nadere informatie

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ)

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur Eamen HAV 019 tijdvak woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-II

Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-II Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-II Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t

Nadere informatie

Examen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 08 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 5 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

m C Trillingen Harmonische trilling Wiskundig intermezzo

m C Trillingen Harmonische trilling Wiskundig intermezzo rillingen http://nl.wikipedia.org/wiki/bestand:simple_harmonic_oscillator.gif http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/simple_harmonic_motion_animation.gif Samenvatting bladzijde 110: rilling

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2017-I

wiskunde B pilot vwo 2017-I wiskunde B pilot vwo 07-I Rakende grafieken? maimumscore Er moet gelden f( ) g ( ) en f' ( ) g' ( ) f' ( ) en g' ( ) e Uit f' ( ) g' ( ) volgt e ( e voldoet niet) f ( e ) en ( e ) ( f ( e) g( e) en f '

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Vlak en kegel bladzijde a Als P ( x,, ) de projectie van P op het Ox-vlak is, dan is driehoek OP P een gelijkbenige rechthoekige driehoek met OP P = Dan is OP = x + en is PP = z Met de stelling van Pthagoras

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

Nadere informatie

Paragraaf 8.1 : Eenheidscirkel

Paragraaf 8.1 : Eenheidscirkel Hoofdstuk 8 Goniometrische functies (H4 Wis B) Pagina 1 van 10 Paragraaf 8.1 : Eenheidscirkel Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ) = x coordinaat

Nadere informatie

Antwoorden Wiskunde B Hoofdstuk 1 boek 2

Antwoorden Wiskunde B Hoofdstuk 1 boek 2 Antwoorden Wiskunde B Hoofdstuk 1 boek 2 Antwoorden door een scholier 7212 woorden 16 maart 2005 4,6 58 keer beoordeeld Vak Wiskunde B uitwerking Havo NG/NT 2 Hoofdstuk 1 De afgeleide functie 1.1 Differentiaalquotient

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie.

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. 14.0 Voorkennis De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. Evenwichtsstand = (min + max)/2 = (-100 + 300)/2 = 100 Amplitude = max evenw.

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2016-II

wiskunde B pilot vwo 2016-II Formules Goniometrie sin( t+ u) = sin( t)cos( u) + cos( t)sin( u) sin( t u) = sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( t+ u) = cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( t u) = cos( t)cos( u) + sin( t)sin( u) sin( t)

Nadere informatie

Lessen wiskunde uitgewerkt.

Lessen wiskunde uitgewerkt. Lessen Wiskunde uitgewerkt Lessen in fase 1. De Oriëntatie. Les 1. De eenheidscirkel. In deze les gaan we kijken hoe we de sinus en de cosinus van een hoek kunnen uitrekenen door gebruik te maken van de

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p gghm Functies Verdieping 6N-p 010-011 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

NATUURKUNDE. Bepaal de frequentie van deze toon. (En laat heel duidelijk in je berekening zien hoe je dat gedaan hebt, uiteraard!)

NATUURKUNDE. Bepaal de frequentie van deze toon. (En laat heel duidelijk in je berekening zien hoe je dat gedaan hebt, uiteraard!) NATUURKUNDE KLAS 5 PROEFWERK HOOFDSTUK 15: TRILLINGEN OOFDSTUK 15: TRILLINGEN 22/01/2010 Deze toets bestaat uit 4 opgaven (29 punten). Gebruik eigen grafische rekenmachine en BINAS toegestaan. Denk er

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B 1,2

Examen HAVO. wiskunde B 1,2 wiskunde 1, Examen HVO Hoger lgemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak Woensdag 1 juni 13.30 16.30 uur 0 06 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit 18 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 016 tijdvak donderdag 3 juni 13:30-16:30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Eindexamen havo wiskunde B pilot 2013-I

Eindexamen havo wiskunde B pilot 2013-I Tornadoschalen In tornado s kunnen hoge windsnelheden bereikt worden. De zwaarte of heftigheid van een tornado wordt intensiteit genoemd. Er zijn verschillende schalen om de intensiteit van een tornado

Nadere informatie

wiskunde B havo 2019-I

wiskunde B havo 2019-I Formule van Wilson maximumscore Uitgaande van gelijke temperatuur en diepte wordt het verschil in snelheid dus bepaald door het verschil in zoutgehalte Er geldt: v =,9( 7 5),9( 5) Het gevraagde verschil

Nadere informatie