Uitwerkingen Mei Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Transcriptie

1 Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

2

3

4 Vliegende parkieten Opgave 1. Het energieverbruik van de parkiet als deze vliegt met een snelheid van 12 m/s is en het energieverbruik is 6,0 12, , ,02 0,033J/m 0,0807J/m 6,0 15, , ,02 0,033J/m 0,106J/m als de parkiet met een snelheid van 15 m/s vliegt. Het percentage van de toename van het energieverbruik wordt dus gegeven door 100 0,106 0,0807 0, % Opgave 2. Om te bepalen wanneer het energieverbruik van de parkiet lager is dan 0,10 J/m, moeten de grenzen worden bepaald, dus 6,0 v 2 + 0,00050v2 0,033 = 0,10 moet worden opgelost. We doen dit met de GR: als we een handig domein meegeven, bijvoorbeeld [5; 15], om de formule te plotten, kunnen we met behulp van de optie intersect de twee oplossing bepalen. Deze blijken v 7,59 en v 14,40 te zijn. Dus bij snelheden tussen 7,6 m/s en 14,4 m/s is het energieverbruik van de parkiet lager dan 0,10 J/m. Een alternatieve oplossing voor deze opgave vind je aan het einde van deze uitwerkingen. Opgave 3. De functie D is gegeven door 6,0 v 2 + 0,00050 v2 0,033 = 6,0 v 2 + 0,00050 v 2 0,033, dus de afgeleide van D naar v is gegeven door 2 6,0 v ,00050v = 12,0 v 3 + 0,00100v. Opgave 4. De kruissnelheid is gegeven door het punt v waarop de afgeleide nul is. Oftewel, dit is het punt v waarvoor geldt dat 12,0 v 3 + 0,00100v = 0. Links en rechts vermenigvuldigen met v 3 levert 12,0 + 0,00100v 4 = 0. Wanneer we 12,0 naar de andere kant halen en vervolgens delen door 0,00100 krijgen we v 4 = 12,0 0,00100 = De vierdemachtswortel nemen geeft nu het antwoord: v = ,5m/s. HAVO - Wiskunde B - Mei

5 Prisma Opgave 5. Zie onderstaande figuur. Opgave 6. De inhoud van ADHN K.P QRST is gelijk aan de oppervlakte van ADHNK vermenigvuldigd met de lengte van AP. De oppervlakte van ADHNK is gelijk aan de som van de oppervlaktes van AKW D, KNU en NUHW. De oppervlakte van ADHNK is dus gelijk aan = 30. Als x de lengte van AP is, volgt dat de inhoud van ADHNK.P NQRST gelijk is aan 30x. Verder is de inhoud van de hele balk ABCD.EF GH gelijk aan HAVO - Wiskunde B - Mei

6 6 6 8 = 288. Omdat de inhoud van ADHNK.P QRST gelijk is aan 1/4 van de gehele balk ABCD.EF GH, geldt dat 30x = Door beide kanten door 30 te delen vinden we dat x = = CO 2 Opgave 7. In de periode tussen 1880 en 1930 nam de CO 2 concentratie lineair toe. Dus als de toename zich lineair had voortgezet vanaf 1900 dan zou de toename per decennium gelijkgebleven zijn aan de toename per decennium tussen 1880 en Uit de grafiek blijkt dat tussen 1880 en 1930 de CO 2 concentratie met 10 ppm is toegenomen. Dit betekent dat per decennium de concentratie met 10/5 = 2 ppm is toegenomen. In 1930 was het CO 2 gehalte gelijk aan 300 ppm, dus zou volgens Arrhenius het CO 2 niveau in 2000 gelijk zijn = 314 ppm. Volgens het diagram was het niveau in 2000 echter 370 ppm, dus de door Arrhenius voorspelde toename was 56 ppm te klein. Opgave 8. Als de menselijke component exponentieel groeit, kan deze geschreven worden als x t = x 0 a t, waarbij t het aantal decennia na 1930 aangeeft. Uit de tekst volgt dat x 0 = 15 en dat x 7 = 85 dus 15 a 7 = x 7 = 85. Dit geeft a 7 = Hieruit volgt weer dat a = ( ) ,28. Het percentage van de toename wordt dan gegeven door 100 (a 1) 28. De toename per decennium is dus ongeveer 28%. Opgave 9. In de formule is de menselijke component gegeven door 15 1,025 t, dus de menselijke component is even groot als het natuurlijke niveau als 15 1,025 t = 285. HAVO - Wiskunde B - Mei

7 Dit levert de volgende reeks gelijkheden op 1,025 t = = 19. De gelijkheid 1,025 t = 19 kunnen we met de optie intersect op de GR oplossen. Dit geeft als oplossing t 119. Omdat t voor het aantal jaren na 1930 staat, is de menselijke component gelijk aan de natuurlijke component in = Een alternatieve oplossing voor deze opgave vind je aan het einde van deze uitwerkingen. Wortelfunctie Opgave 10. De volgende redenering toont aan dat 2x 5 nooit gelijk is aan 4x 12. Stel dat 2x 5 = 4x 12. Links en rechts kwadrateren levert en zo De discriminant van deze functie is 4x 2 20x + 25 = 4x 12, 4x 2 24x + 37 = 0. ( 24) = 16, en dus negatief. Er zijn dus geen oplossingen. Opgave 11. De helling van f moet gelijk zijn aan de helling van 2x 5 in het raakpunt, dus f (x) = 2 Als we een functie g als volgt definiëren dan kan f geschreven worden als De kettingregel geeft dan dat g(x) = 4x 12, f(x) = g(x). f (x) = g (x) 2 g(x) 4 = 2 4x 12 2 =. 4x 12 HAVO - Wiskunde B - Mei

8 De oplossingen van 2 = 2 4x 12 zijn punten waarop een translatie van 2x 5 een raaklijn is. De oplossingen kunnen met de volgende stappen gevonden worden: 2 = 1 = 4x 12 = 1, 4x 12 = 1, 4x = 13, x = x 12, 1 4x 12, In het punt 3,25 heeft f de waarde ( f 3 1 ) = 1, 4 dus geldt voor de raaklijn dat b = 1 en zo dat b = = Opgave 12. Merk op dat 4x 12 = 4(x 3) = 2 x 3. Dus f(x) is twee keer de wortel van x 3. Merk verder op dat dus g(x 3) = x 3, f(x) = 2 g(x 3). Hieruit volgt dat de grafiek van g eerst met (3,0) moet worden getransleerd en daarna moeten de functiewaarden met twee worden vermenigvuldigd. Satellieten Opgave 13. De waarde van T in de formule is gegeven in secondes. Er geldt dus = s = T = 0,00995 r HAVO - Wiskunde B - Mei

9 Links en rechts delen door 0,00995 en daarna de 2/3e macht nemen levert r = ( ) km 0,00995 Opgave 14. De weersatelliet heeft een afstand van r = 6400km + 800km = 7200km tot het middelpunt van de aarde. Zijn omloopbaan bedraagt en de omlooptijd in uren is 2π 7200km 0, , dus de snelheid (herinner dat snelheid gelijk is aan afstand/tijd) is 2π 7200 ( 0, ) km/h. Opgave 15. De oppervlakte van de aarde uitgedrukt in vierkante kilometers bedraagt Het gescande oppervlak bedraagt 4πr 2 = 4π = π. 2πr 400 = 800π 6400 = π vierkante kilometer. Dus het percentage van de aarde dat gescand wordt is π π 3%. Sinusoïde Opgave 16. Punten A en B zijn de nulpunten van f in het interval [0,π], dus de x-coördinaten van A en B zijn te vinden door op te lossen: 0 = f(x) = 2 4 sin(2x) 4 sin(2x) = 2 sin(2x) = 1 2. HAVO - Wiskunde B - Mei

10 Merk op dat ( π ) sin = 1 6 2, en dat geldt sin(x) = sin(π x). Dus als sin(2x) = 0.5 in het interval [0,2π], dan geldt dat of Hieruit volgt dat 2x = π 6, 2x = 5π 6. x A = π 12, x B = 5π 12, waarbij x A de x-coördinaat van A is en x B de x-coördinaat van B. Opgave 17. De afgeleide van f is dus de helling van l is f (x) = 8 cos(2x), f (0) = 8. De algemene vergelijking van een lijn is l = ax + b waarbij a de helling van de lijn is en b de y coördinaat van de lijn is wanneer x = 0. De lijn l wordt dus 8x + 2 en l raakt de x-as als dus 8x + 2 = 0, 8x = 2 x = 1 4. De coördinaten van het snijpunt zijn ( ) 1 4,0. HAVO - Wiskunde B - Mei

11 Ei Opgave 18. De inhoud van het eigeel is gegeven door 4πr 3 4π 1.53 = 3 3 = 4.5π, waarbij r de straal van het eigeel is. De inhoud van het eiwit is de inhoud van het ei min de inhoud van het eigeel, dit is dus gelijk aan π 6 b2 l 4.5π = 96π 6 4.5π = (16 4.5)π = 11.5π De verhouding tussen eiwit en eigeel is dus 11.5π 4.5π = Opgave 19. De oppervlakte van het ei is π vermenigvuldigd met de straal in het kwadraat, dus 2 4 π = 4π. 2 En de oppervlakte van het eigeel is gelijk aan πr 2. De oppervlakte van het eiwit is dus 4π πr 2 = (4 r 2 )π. Dit betekent dat de verhouding tussen eiwit en eigeel gelijk is aan (4 r 2 )π πr 2 = 4 r2 r 2 = 4 r 2 1. Omdat deze verhouding 23/9 is, zie vorige opgave, geldt 23 9 = 4 r 2 1. Door 1 naar de andere kant te halen krijgen we = 32 9 = 4 r 2. Kruislings vermenigvuldigen geeft vervolgens 32r 2 = 4 9. Hieruit volgt nu dat r 2 = r = = De diameter is twee keer de straal, dus gelijk aan 2 r, en is ongeveer 1.06 cm. HAVO - Wiskunde B - Mei

12 Alternatieve oplossingen Opgave 2. We gaan de vergelijking 6,0 v 2 + 0,00050v2 0,033 = 0,10 algebraïsch oplossen. Links en rechts vermenigvuldigen met v 2 levert Links en rechts 0,10v 2 aftrekken geeft 0,00050v 4 0,033v 2 + 6,0 = 0,10v 2. 0,00050v 4 0,133v 2 + 6,0 = 0. Deze vergelijking kan worden opgelost, door deze eerst op te lossen voor z = v 2. Substitueren van v 2 met z levert 0,00050z 2 0,133z + 6,0 = 0. Dit kan met de abc formule worden opgelost. Disc = ( 0,133) 2 4 0, ,0 0,0056 z 1 = 0,133 + Disc 2 0, z 2 = 0,133 Disc 2 0, Merk nu op dat v > 0 en dat v 2 = z, dus v 1 = z 1 7,6 v 2 = z 2 14,4. Verder toont de grafiek dat er een dal ligt tussen 7,6 en 14,4, dus als de parkiet vliegt met een snelheid tussen 7,6 m/s en 14,4 m/s, is het energieverbruik minder dan 0,10 J/m. Opgave 9. Door in de gelijkheid 1,025 t = 19 links en rechts de natuurlijke logaritme te nemen, krijgen we t log(1,025) = log (19) t = log (19) log(1,025) 119. HAVO - Wiskunde B - Mei