Noordhoff Uitgevers bv

Transcriptie

1 5 bladzijde 9 ab f g h i j functie nr 5 Domein [ 0, 0, Bereik [ 0, [ 0, 0, c D k B k, 0 0, d Spiegelen in de -as geeft het tegengestelde bereik, dus, 0]. e u ( ) en yu ( ) u f D q, 0 0, ; B q 0, a [, b Het bereik van f( ) + heeft niets gemeenschappelijks met het bereik van g ( ). a ( 0, 5;, 77) b De grafiek van f is toenemend stijgend en de grafiek van g is constant stijgend. Dus haalt de grafiek van f de grafiek van g in en dus is er nog een snijpunt. bladzijde 9 a Bereik links en bereik rechts hebben niets gemeenschappelijk. b Voor > 0 is de grafiek van y toenemend stijgend en is de grafiek van y log afnemend stijgend. c Voor > 0 is de grafiek van y + toenemend stijgend en is de grafiek van y is constant stijgend. Voor < 0 zijn er dankzij de symmetrie in de y-as evenmin snijpunten. d 0 > dus heeft geen oplossingen 5a In een plot zie je al snel één snijpunt. De grafieken zijn afnemend stijgend en constant stijgend. Dus is er geen tweede snijpunt. b In een plot zie je één snijpunt. De grafieken zijn toenemend stijgend en constant dalend. Dus is er geen tweede snijpunt. c Oplossen geeft. Dus één oplossing. d In een plot is er geen snijpunt. Verder is de ene grafiek toenemend stijgend en de andere afnemend stijgend. Dus geen snijpunt. e Een plot laat één snijpunt zien. De ene grafiek is afnemend dalend en de andere is afnemend stijgend. Dus verder geen snijpunten. f Oplossen geeft dus geen snijpunten. a f( ) ( ) f ( ) 5 ( ) 0( ) 5 b f( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel

2 dy c 5 ( ) 8( 5) d dy d y + ( ) + ( ) ( + ) + d + ( + ) 7a f( ) f ( ) b f( ) f ( ) c f( ) f ( ) d f( ) + f ( ) e f( ) + f ( ) + + f f( ) ( + ) f ( ) ( + ) ( + ) + ( ) 8a De eis + 0 geeft als domein: D g,, ; B g, 0 0, b Als je de grafiek plot denk je dat het om een stijgende functie gaat. Echter voor een stijgende functie moet gelden dat a< b f( a) < f( b) voor elke a en b van het domein. Dat gaat mis voor bijvoorbeeld a en b 0. De oorzaak is dat het domein uit twee delen bestaat. Op elk van die delen is de grafiek wel stijgend. Conclusie: noch dalend, noch stijgend. c g ( ) ( + ) g ( ) ( + ) ( + ) d g'( ) > 0 stijgend op beide delen van het domein 9a De grafiek van y is stijgend dus is de grafiek van y (spiegelen in de y-as) dalend en daarmee is ook de grafiek van f dalend, want die ontstaat uit y door deze te verschuiven naar rechts en omhoog. b Met behulp van een plot kun je inzien dat de grafiek toenemend dalend is. c f( ) + ( ) f ( ) 0+ ( ) d y O 5 7 De grafiek van de afgeleide ligt in zijn geheel onder de horizontale as, f( ) is dalend, en is zelf ook dalend, f( ) is toenemend dalend. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 55

3 0a qt () 5( t+ ) q () t 5 ( t+ ) 5 ( t + ) De grafiek van q is dalend op, en dalend op,. b pt () ( t + ) p () t ( t + ) t t t + Dalend op het interval,0 en stijgend op het interval 0,. c At () ( t + ) A () t ( t + ) t 0t ( t + 5) Dalend op het interval 0, en stijgend op het interval,0. bladzijde 9 a De grafiek van f is puntsymmetrisch in de nulpunten. Dus in de punten (k, 0) met k geheel. De grafiek van g is lijnsymmetrisch in de verticale lijnen door de toppen. Dus in de lijnen k met k geheel. b Dankzij de symmetrie in (0, 0) geldt sin( a) sin a. c Dankzij de symmetrie in de y-as geldt cos( a) cos a. d Door de grafieken van de voorschriften links en rechts van het -teken te plotten kun je nagaan of een verband waar is of niet waar is. sin t sin( t) sin t sin( + t) cos t cos( t) cos( t) cos( t) sin( t) sin( + t) sint sin( + t) a sin b Dan is ook 5 een oplossing. Dankzij de periode zijn ook en 5 oplossingen. c ; d cos( + ) cos 0 e cos( + ) cos 0 dus is ook een oplossing. a Omdat sin is sin 5 5 De oplossingen zijn: ; ; ; b sin sin omdat sin moet een oplossing zijn. De periode van y sin is. Dus zijn ook oplossingen: ;. 5 Vanwege symmetrie moet ook dus is 5 een oplossing. Met periode zijn ook 7 5 en oplossingen. c ; d cos dus moet een geheel veelvoud van en dus is k met k geheel. Binnen het gegeven interval zijn de oplossingen: ; ; ; 0 ; ; ; a f() t sin( 7+ t) sin( + t) sin t b gt () cos( t) cos( t) cos t c ht () sin( t) sin( t) sin t d kt () sin( t ) sin( t + ) sin( t) sin t 5 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel

4 bladzijde 95 5 Functie f g h i Amplitude 0, Evenwichtsstand y 0 y 0 y y Periode a a Dan zou cos( ) maar altijd geldt: cost. Dus is er geen oplossing. b. Er zijn 8 oplossingen want sin heeft twee oplossingen per periode. Verder is de periode van y sin ( + ) gelijk aan en is de lengte van het interval is keer zo groot.. Uit de gegeven vergelijking volgt: cos cos dus geen oplossingen.. Uit de gegeven vergelijking volgt: cos. Deze heeft oplossingen per periode en dus zijn er oplossingen op het gegeven interval.. Geen oplossingen want sint. 5. cos( ) 0 + k ( k geheel) dus op het gegeven interval zijn er oplossingen.. Uit de gegeven vergelijking volgt cos( ) k of ( k+ ) waarbij k een geheel getal is. Voor het interval [ 0, ] zijn er dan oplossingen. 7a b c O g y Aflezen uit de grafiek geeft voor beide amplitude, evenwichtsstand y en periode. Het startpunt van g is (, ), dus geldt g ( ) + sin ( ). Het startpunt van h is (, ), dus geldt h ( ) + sin ( + ). Je krijgt dan de grafiek van y. Tel de beide functievoorschriften die je bij opdracht b hebt gevonden op. 8 De stelling van Pythagoras geeft + y. Invullen van sin en P P P y cos hierin geeft de gevraagde formule. P 9 (sin+ cos ) + (sin cos ) (sin sin cos cos ) (sin sin cos + cos ) sin + cos + sin + cos + f Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 57

5 0abc v ( ) + sin ( sin ) sin en deze heeft periode. d p ( ) ( + sin )( sin ) sin cos Met behulp van een resultaat van opdracht 8 kun je dit herschrijven als p ( ) + sin ( + ) Dus heeft functie p periode. 58 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel