Exacte waarden bij sinus en cosinus

Transcriptie

1 acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie je grafieken van f sin en g cos. a oe groot is de periode van beide grafieken? b Geef de eacte coördinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de -as op het interval,. c Geef de eacte coördinaten van de toppen van de grafiek van g op het interval,. d oe groot is f? n hoe groot is g? e Neem over en vul in. sin 0... sin... cos... cos 9... sin... sin 0... cos... cos... iernaast staat een gelijkzijdige driehoek BC met zijden. ok is hoogtelijn CD getekend. a Leg uit met de driehoek dat cos 0. b Bereken de eacte lengte van CD. c Laat zien dat sin 0. d Welke eacte waarde heeft sin 0? n cos 0? C 0 0 D B n PQ hiernaast is P en Q 90. Verder is PQ. a Leg uit waarom Q. b Bereken de eacte lengte van P. c oon met behulp van deze driehoek aan dat sin. d Welke eacte waarde heeft cos? P Q Voor enkele waarden van moet je de waarde van sin en cos eact weten. Je kunt daarbij gebruik maken van de grafieken van f sin en g cos en van de bovenstaande driehoeken. n de tabel hiernaast vind je over welke waarden het gaat. aantal graden aantal radialen 0 π π π π sinus 0 cosinus 0

2 Gebruik de grafieken op de vorige bladzijde. Geef van de volgende vergelijkingen de eacte oplossingen op het interval,. a sin d cos 0 b sin e sin c cos f cos g h i sin sin cos iernaast staat de grafiek van f cos op het interval,. n deze opdracht ga je de vergelijking cos op het interval, oplossen. a Voor één oplossing geldt. Leg dat uit. b én oplossing is 8. Welke oplossing volgt dan uit de smmetrie in de -as? c Welke periode heeft de grafiek van f? d Gebruik de periode om de overige vier oplossingen te berekenen. 0, π π 0, N P K oe los je de vergelijking f() =p met f een goniometrische functie en p een constante, eact op een gegeven interval op? Gebruik de tabel met eacte waarden en zonodig de grafiek om één oplossing te vinden. Stel de periode van de functie vast. Schets de grafiek van f op het gegeven interval en geef de gevonden oplossing in de schets aan. Gebruik de periode en de smmetrie van de grafiek om de overige oplossingen te vinden. Los + sin = op het interval [ π, π] eact op. + sin = sin = sin = Met behulp van de tabel en de grafiek: één oplossing is = π dus = π. De periode is π : = π. Zie de schets hiernaast. De oplossingen zijn: = π of = π of = π of = π of = π of = π π π π π π π π π π π

3 Los de volgende vergelijkingen op het gegeven interval eact op. a sin op, b cos op 0, Gegeven is de functie f sin. a eken de grafiek op het interval,. b Welke periode heeft de grafiek van f? c Bereken met behulp van de periode en de horizontale verschuiving bij welke waarden van de smmetrieassen liggen. d Los de vergelijking sin op, eact op. 8 iernaast zie je op het interval, de grafieken van de functies f sin en g. a Bereken f eact. b c d e Bereken f eact. m de coördinaten van de snijpunten van beide grafieken te berekenen, moet je de vergelijking sin oplossen. Deze vergelijking is gelijkwaardig met 0 of sin. Leg dat uit. Los de vergelijking sin eact op. Geef de eacte coördinaten van de vijf snijpunten die hiernaast te zien zijn. π f π π g π Los de volgende vergelijkingen op het gegeven interval eact op. a cos op 0, b sin op, c cos 0op 9, 0 De grafiek van functie f sin uit opdracht 8 lijkt een top te hebben bij. ls de grafiek van f een top heeft bij, dan moet f 0. a Gebruik de productregel om de afgeleide van f te berekenen. b Bereken f en laat zien dat f 0. c Ligt de genoemde top links of rechts van? d Ga na dat de eacte waarde van de helling van de grafiek van f in het punt, gelijk is aan. e Bereken de eacte waarde van de helling van de grafiek van f in het punt,.

4 lgemene oplossingen goniometrische standaardvergelijkingen Vaak hebben goniometrische vergelijkingen meer dan één oplossing. Welke? Gegeven is de functie f sin. a Plot de grafiek van f op het interval 0,. b Geef aan voor welke twee eacte waarden van op 0, geldt dat sin sin. c ls je de grafiek van f niet beperkt tot het interval 0, heeft de vergelijking sin sin meer oplossingen. Geef al deze oplossingen. d Bepaal alle eacte oplossingen van de vergelijking cos cos. De algemene oplossing van de vergelijking sin sin a is: a k of a k, waarbij k elk geheel getal kan zijn. De algemene oplossing van de vergelijking cos cos a is: a k of a k, waarbij k elk geheel getal kan zijn. Deze twee vergelijkingen heten goniometrische standaardvergelijkingen. ndere goniometrische vergelijkingen kun je vaak tot deze standaardvergelijkingen herleiden Bereken eact de algemene oplossing van cos = cos( π). = π + k π of = ( π) + k π = π + k π of = + π + k π = π + k π of = π + k π = π + k π of = π + k π = π + k π of = π + k π Bereken eact de algemene oplossing van sin = sin π. = π + k π of = π π + k π Delen door en vereenvoudigen geeft = π + k π of = π + k π 8 8 Bereken eact de algemene oplossing van de volgende vergelijkingen. a sin sin d cos cos 0, b cos cos e sin c sin sin f cos cos a Gegeven is dat sin cos a. Welk getal kan a zijn? b Bereken eact de algemene oplossing van sin cos. c Bereken eact de algemene oplossing van sin sin.

5 Vaak zijn goniometrische formules nodig bij het oplossen van goniometrische vergelijkingen: sin cos en cos sin, om van sinus naar cosinus over te gaan of omgekeerd, of om een minteken weg te werken: sin sin sin sin cos cos cos cos Los op: sin( π ) = cos(). sin( π + ) = sin( π ) π + = π + k π of π + = π ( π ) + k π = π + π + k π of π + = π π + + k π = π + k π of π + = π + + k π = π + k π of = π + π + k π 8 = π + k π of = π + k π 8 Bereken eact de algemene oplossing van de volgende vergelijkingen. a sin cos d sin cos b sin 0, cos e cos c cos sin f sin cos 0 Soms moet je alle oplossingen op een gegeven interval berekenen. Je berekent dan eerst de algemene oplossing en gaat vervolgens na welke oplossingen binnen dat interval liggen. p het interval, is gegeven de functie f sin a n welk punt snijdt de grafiek van f de verticale as? b Bereken eact de -coördinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de -as. Bereken eact de oplossingen van de volgende vergelijkingen op het daarbij aangegeven interval. a sin cos 0op 0, b cos cos 0op, c sin cos op, d sin cos 0op, Bereken alle oplossingen op [0, π] van de vergelijking in het voorbeeld hierboven. Bekijk eerst = π + k π. 8 en oplossing die voldoet is die voor k = 0: = π. 8 Vanwege k π liggen andere oplossingen steeds op een afstand π (= π), zodat je 8 krijgt = π + π = π en = π + π = π = π Bekijk nu = π + k π, dan geeft k = de enige oplossing: = π.