15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]
|
|
- Brecht Bosmans
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een examen in dit geval voor berekenen met de GR. Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR. Rond antwoord indien nodig af. Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR. Rond het antwoord niet af. Laat wortels, breuken etc. staan. Bereken met behulp van afgeleide: Bereken met behulp van differentiëren: Bereken de formule van de afgeleide. De rest van de berekening mag met de GR opgelost worden. 1
2 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Voorbeeld: Gegeven is de functie f(x) = 5x Van rechthoek OPQR ligt P op de positieve x-as, Q op de grafiek van f en R op de y-as. Bereken exact de maximale oppervlakte van rechthoek OPQR. Stap 1: Stel: x p = p De oppervlakte van rechthoek OPQR = OP PQ = p f(p) = p 5p De maximale oppervlakte van rechthoek OPQR is te berekenen door het maximum van p 5p te berekenen.
3 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Stap : Differentieer de functie y = p 5p y' [ p]' 5 p p[ 5 p]' 1 5 p p 1 5 p 5 p p 5 p 5 p p 5p 5p 53p 5 p 3
4 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Stap 3: Stel de afgeleide gelijk aan nul en controleer of de oplossing een maximum is. 53p 5 p 53p 0 3p 5 p Uit de schets blijkt dat er hier sprake is van een maximum. Stap 4: Bereken de maximale oppervlakte van rechthoek OPQR. O(OPQR) = p p
5 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [] Voorbeeld: Gegeven zijn de functies f(x) = sin(x) 1 en g(x) = cos (x) met het domein [0, π] De lijn x = p snijdt de grafiek van f in het punt A en de grafiek van g in het punt B. Bereken exact voor welke p de lengte L van het lijnstuk AB maximaal is. Stap 1: Stel een formule op voor de lengte L van lijnstuk AB. L = g(p) f(p) = cos (p) (sin(p) 1)) = cos (p) sin(p) + 1 Stap : Differentieer de gevonden functie L. L = 4cos(p) -sin(p) cos(p) = -4sin(p)cos(p) -cos(p) 5
6 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [] Stap 3: Stel de afgeleide gelijk aan nul en controleer of de gevonden oplossing een maximum is. -4sin(p)cos(p) -cos(p) = 0 sin(p)cos(p) = -cos(p) sin(p) = -cos(p) cos(p ½π) = cos(p + π) [sin(a)cos(a) = sin(a)] [sin(a) = cos(a ½π] [-cos(a) = cos(a + π)] p ½π = - p - π + k π 4p = - ½π + k π p = - 1/8π + k ½π p = 3/8π p = 7/8π p ½π = p + π + k π geen oplossing Uit de schets volgt dat er bij p = 7/8π een maximum is. 6
7 15. Optimaliseringsproblemen [1] Voorbeeld: Gegeven: een doos met vierkante bodem (x bij x cm) en een hoogte van h cm. De som van de hoogte en de omtrek van de bodem is 300 cm. Bereken wanneer de inhoud I maximaal is. Stap 1: Schrijf I als functie van x en h: I = x x h = x h Stap : Zoek een verband tussen x en h en druk h uit in x: Hoogte + omtrek bodem = 300 h + 4x = 300 h = 300 4x Stap 3: Schrijf I als functie van x I = x h met h = 300 4x I = x (300 4x) I = 300x 4x 3 7
8 15. Optimaliseringsproblemen [1] Voorbeeld: Gegeven: een doos met vierkante bodem (x bij x cm) en een hoogte van h cm. De som van de hoogte en de omtrek van de bodem is 300 cm. Bereken wanneer de inhoud I maximaal is. Stap 4: Bereken wanneer de inhoud I maximaal is (gebruik de afgeleide): 3 I 300x 4x di dx di dx 600x1x 0 600x1x 0 x(600 1 x) 0 x 0 of x 50 Hieruit volgt dat de inhoud maximaal is bij een x van 50 centimeter en een h van = = 100 centimeter. 8
9 15. Optimaliseringsproblemen [] Voorbeeld: In het plaatje hiernaast zijn een aantal electriciteitskabels getekend (AP, BP en CP). De afstand van P tot de lijn BC wordt gelijkgesteld aan x meter. Bereken algebraïsch voor welke waarde van x de totale lengte van de kabels minimaal is. Stap 1: Stel een formule op voor de totale lengte van de kabels. Lengte = AP + BP + CP = AP + BP + BP = AP + BP AP = 00 x BP = x 60 Lengte = 00 x + x
10 15. Optimaliseringsproblemen [] Stap : Stel de afgeleide op van de gevonden functie. dl x x 1 1 dx x x Stap 3: Stel de afgeleide gelijk aan 0 en controleer of de gevonden oplossing een minimum is. x 1 0 x 3600 x 1 x 3600 x x x x x 3600 x 100 x 34,64 Uit de schets volgt dat bij 34,64 meter de totale lengte van de electriciteitskabels minimaal is. 10
11 15.3 Trillingen[1] Het punt A doorloopt tegen de wijzers van de klok in met constante snelheid de cirkel met middelpunt (0,0) en straal 3. Dit is een eenparige cirkelbeweging; x A = 3 cos(t) en y A = 3 sin(t); Op t = 0 is A in het punt (3, 0); De omlooptijd T van A is π seconden, omdat A na π seconden weer terug is in het punt (3,0); Een cirkel is 360 en dus π radialen; Het lijnstuk OA draait over een hoek van π radialen; 11
12 15.3 Trillingen[1] In π seconden draait OA over een hoek van π radialen; De hoeksnelheid ω is de hoek waarover OA gedurende 1 seconde draait; Hoeksnelheid = 1 omlooptijd T Als de hoeksnelheid positief is, draait het punt tegen de wijzers van de klok in; Als de hoeksnelheid negatief is, draait het punt met de wijzers van de klok mee. 1
13 15.3 Trillingen[1] Voorbeeld 1: Het punt R doorloopt met een hoeksnelheid van 6 rad/s de cirkel met middelpunt (3,5) en straal en is op t = 0 in het punt (5,5). De bewegingsvergelijkingen van R zijn: x R (t) = 3 + cos(6t) y R (t) = 5 + sin(6t) Deze formules samen beschrijven de baan van R en noemen we de parametervoorstelling (pv) van de baan van R. Algemeen: x R (t) = a + rcos(ωt) y R (t) = b + rsin(ωt) (a,b) is het middelpunt van de cirkel; r = straal van de cirkel; ω = hoeksnelheid in rad/s. 13
14 15.3 Trillingen[1] Het punt A wordt nu geprojecteerd op de y-as; De projectie A van A op de y-as voert een trilling uit; P doorloopt de cirkel met constante snelheid. Het punt P voert een harmonische trilling uit; Bij een eenparige cirkelbeweging van een punt P hoort een harmonische trilling van de projectie P van P op de y-as; Een trilling heeft een trillingstijd; De trillingstijd van de harmonische trilling is gelijk aan de omlooptijd van de bijbehorende eenparige cirkelbeweging. 14
15 15.3 Trillingen[1] Het faseverschil van twee punten is het gedeelte van de trillingstijd dat verstrijkt tussen de tijdstippen dat de punten de evenwichtsstand in dezelfde richting passeren. Voorbeeld 3: Gegeven zijn de harmonisch trillende punten P en Q die beschreven worden door u P = 8 sin (50πt) en u Q = 8 sin (50πt 1/10π) Bereken het faseverschil van de beide punten: De trillingstijd (T) van P en Q is 0,04 c 50 u Q = 8 sin (50πt 1/10π) = 8 sin (50π(t 0,00)) Bij een trillingstijd van 0,04 loopt het punt Q 0,00 voor op het punt P. Het faseverschil is nu gelijk aan 0,00 1 0,
16 15.3 Trillingen[] Een samengestelde trilling is een trilling die de som is van twee of meer trillingen. Een samenstelling van twee harmonische trillingen met gelijke frequenties is weer een harmonische trilling met dezelfde frequentie. Voor het werken met samengestelde trillingen worden de formules van Mollweide gebruikt: sin(a) + sin(b) = sin(½(a + b))cos(½(a b)) sin(a) - sin(b) = sin(½(a - b))cos(½(a + b)) cos(a) + cos(b) = cos(½(a + b))cos(½(a b)) cos(a) + cos(b) = -sin(½(a + b))sin(½(a b)) De formule van een samengestelde trilling waarbij de twee afzonderlijke harmonische trillingen dezelfde frequentie en amplitude hebben is met bovenstaande formules op te stellen. Als de frequenties wel hetzelfde zijn maar de amplitudes niet kan een formule opgesteld worden met de GR. 16
17 15.3 Trillingen[] Voorbeeld 1: Stel de formule op van de samengestelde trilling u = u 1 + u met u 1 = sin(50πt) en u = sin(50π(t 0,01)) u = u 1 + u = sin(50πt) + sin(50π(t 0,01)) = sin(50πt) + sin(50πt ½π) = sin(½(50πt + 50πt ½π)) cos(½(50πt 50πt + ½π)) = sin(50πt ¼π) cos(¼π) = sin(50πt ¼π) ½ = sin(50π(t 1/00)) 17
18 15.3 Trillingen[] Voorbeeld : Gegeven zijn de harmonische trillingen u 1 = 5sin(30πt) en u = 6sin(30πt 0,3π). De samengestelde trilling wordt weergegeven door u = u 1 + u. Stel de formule op van u in de vorm u = b sin(c(t d)). Rond b af op twee decimalen en d op vier decimalen. Stap 1: u 1 en u hebben dezelfde frequentie, dus c = 30πt. Stap : Voer in de GR in: Y1 = 5sin(30πX) + 6sin(30πX 0,3π) De optie maximum geeft X 0,0 en Y 9,81. De amplitude (b) is dus gelijk aan 9,81 Stap 3: De optie zero geeft X 0,0055. Op het tijdstip 0,0055 passeert de grafiek de evenwichtsstand omhoog. (d = 0,0055) De formule van u wordt nu: u = 9,81 sin(30π(t 0,0055)) 18
19 15.3 Trillingen[3] Voorbeeld 1: Bereken de periode van de functie y = sin(6x) + sin(7x) De periode van y = sin(6x) is 6 De periode van y = sin(7x) is In [0, π] passen precies 6 periodes van y = sin(6x). In [0, π] passen precies 7 periodes van y = sin(7x). De getallen 6 en 7 hebben geen gemeenschappelijke deler. 7 De periode van y = sin(6x) + sin(7x) is gelijk aan π. 19
20 15.3 Trillingen[3] Voorbeeld : Bereken de periode van de functie y = sin(6x) + sin(9x) De periode van y = sin(6x) is 6 De periode van y = sin(9x) is In [0, π] passen precies 6 periodes van y = sin(6x). In [0, π] passen precies 9 periodes van y = sin(9x). De getallen 6 en 9 hebben als gemeenschappelijke deler 3. 9 In [0, /3π] passen precies periodes van y = sin(6x). In [0, /3π] passen precies 3 periodes van y = sin(9x). De periode van y = sin(6x) + sin(9x) is gelijk aan /3π. 0
21 15.4 Lissajous-figuren [1] Voorbeeld: De kromme K is gegeven door de parametervoorstelling x sin( t) y sin( t) Invullen in een tabel geeft op het interval [0, ½π] de volgende waarden: t 0 ¼ π ½π x 0 ½ 1 y
22 15.4 Lissajous-figuren [1] Voorbeeld: Op deze manier kan de kromme K getekend worden: De hier getekende kromme K heet een Lissajous-figuur. Een Lissajous-figuur is de baan van een punt dat gelijktijdig deelneemt aan twee harmonische trillingen in verschillende richtingen.
23 15.4 Lissajous-figuren [] Voorbeeld: Plot de kromme die hoort bij de parametervoorstelling x sin( t) y sin( t) Stap 1: Kies in het MODE menu op de derde regel RADIAN en op de vierde regel PAR. Stap : Vul bij Y= de parametervoorstelling in. 3
24 15.4 Lissajous-figuren [] Voorbeeld: Plot de kromme die hoort bij de parametervoorstelling x sin( t) y sin( t) Stap 3: Kies WINDOW en vul de volgende waarden in: Tmin = 0 Tmax = π Xmin = -1.5 Xmax = 1.5 Ymin = -1.5 Ymax = 1.5 Stap 4: Kies ZOOM ZOOM 5: ZSquare ENTER 4
25 15.4 Lissajous-figuren [3] Voorbeeld: 1 x sin( t ) Bij de parametervoorstelling 4 hoort de formule y = x 1 ysin( t) met -1 x 1. Toon dit aan. y x sin( t) cos(( t )) 4 1 sin( t) cos( t ) 1 sin( t) cos(t1 ) sin( t) sin(t ) sin( t) (sin( t )) 1 sin( t) sin( t) cos(a) = 1- sin (A) sin (A) -1 = - cos(a) -cos(a) = cos(a + π) cos(a) = sin(a + ½π) sin(a + π) = sin(a) 5
26 15.4 Lissajous-figuren [3] Voorbeeld: 1 x sin( t ) Bij de parametervoorstelling 4 hoort de formule y = x 1 ysin( t) met -1 x 1. Toon dit aan. Een bewegend punt P waarvan de baan beschreven wordt door de bovenstaande parametervoorstelling doorloopt voortdurend de hiernaast getekende parabool tussen (-1, 1) en (1, 1). In de punten (-1, 1) en (1, 1) keert het punt P om. Dit zijn de keerpunten. In deze keerpunten hebben de formules voor x en y uit de parametervoorstelling beide een extreme waarde. 6
27 15.5 Goniometrische modellen [1] Voorbeeld: Van zeshoek ABCDEF is gegeven: AB = DE = 6, BC = CD = EF = FA = 4, AB // DE en CFE = α. Toon aan dat voor de oppervlakte O van de zeshoek geldt: O = 16 sin(α) + 48 sin(α) O(zeshoek) = O( AEF) + O(ABDE) + O( BDC) = O( AEF) + O(ABDE) = ½ AE FP + AB AE EP EP In FPE geldt: sin(α) = dus EP = 4 sin(α) [AE = EP = 8 sin(α)] EF 4 In FPE geldt: cos(α) = Hieruit volgt: O(zeshoek) FP FP EF 4 dus FP = 4 cos(α) = 8 sin(α) 4 cos(α) sin(α) = 3sin(α)cos(α) + 48sin(α) = 16sin(α) + 48sin(α) 7
28 15.5 Goniometrische modellen [] Voorbeeld: De oppervlakte O van de zeshoek is gelijk aan: 16 sin(x) + 48 sin(x). x is hierbij gegeven in radialen. Bereken algebraïsch bij welke hoek de oppervlakte van de zeshoek maximaal is. Stap 1: Bereken de afgeleide van de formule van de oppervlakte O. do 3cos( x) 48cos( x) dx Stap : Stel de afgeleide gelijk aan nul en los de ontstane vergelijking op. 3 cos(x) + 48cos(x) = 0 cos(x) + 3 cos(x) = 0 ( cos (x) 1) + 3 cos(x) = 0 4 cos (x) + 3 cos(x) = 0 8
29 15.5 Goniometrische modellen [] Stap : 4 cos (x) + 3 cos(x) = 0 [cos(x) = p] 4p + 3p = 0 D = = p = of p = 8 8 cos(x) -1,175 of cos(x) 0,45 Geen oplossing x 1,131 + k π of x -1,131 + k π Stap 3: Controleer of de gevonden oplossing een maximum is. Uit een schets van de formule volgt dat er bij 1,131 een maximum is. Stap 4: Bereken de hoek waarbij de oppervlakte maximaal is. De oppervlakte is maximaal bij een hoek van 1,
30 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [1] s(t) =,1t + 3,6t is een tijd-afstandfunctie. De tijd-afstandfunctie geeft op een bepaald tijdstip de afgelegde afstand. s (t) = v(t) = 4,t + 3,6 is een snelheidsfunctie. De snelheidsfunctie geeft op een bepaald tijdstip de snelheid. De snelheidsfunctie is de afgeleide van de tijd-afstandfunctie. Wanneer de snelheidsfunctie bekend is kan de afgelegde afstand in een bepaalde periode berekend worden door deze snelheidsfunctie te primitiveren. Primitiveren van de snelheidsfunctie geeft de tijd-afstandfunctie. 30
31 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [1] Voorbeeld: Gegeven is de snelheidsfunctie v(t) = s (t) = -½t + t + 1. Bereken de afgelegde afstand s op t = 4 als bekend is dat op t = 1 al een afstand van 5 meter is afgelegd. Afgelegde afstand s(1) op t = 1 is 5 meter. Afgelegde afstand van t = 1 tot t = 4 is 4 s '( t ) dt 1 Afgelegde afstand = 4 1 (1) 1 s t t dt t t t ( 4 4 4)
32 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [] Definitie: Van een vlakdeel V dat boven de x-as ligt en wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x = a en x = b is de x-coördinaat van het zwaartepunt: x z b a x f ( x) dx x f ( x) dx oppervlakte V f ( x) dx Definitie: Als het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafieken van f en g is de x-coördinaat van het zwaartepunt: x z b a b x ( f ( x) g( x)) dx a ( f ( x) g( x)) dx b a b a 3
33 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [] Voorbeeld: Gegeven is de parabool y = x. Het vlakdeel V ligt rechts van de y-as en wordt ingesloten door de parabool, de y-as en de lijn y = 4. Het zwaartepunt van V is Z. Bereken algebraïsch de coördinaten van Z. Stap 1: Bereken de x-coördinaat van het zwaartepunt. O(V) = x dx 4x x x(4 x ) dx (4 x x ) dx x x (8 4) x z 0 x f ( x) dx OV ( )
34 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [] Stap : Bereken de y-coördinaat van het zwaartepunt. Voor de x-coördinaat van het zwaartepunt geldt: x z 0 x 0 f ( x) dx f ( x) dx Voor de y-coördinaat van het zwaartepunt geldt: y z 4 0 y xdy 4 0 xdy De x en y worden hier dus als het ware omgedraaid. 34
35 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [] Stap : Bereken de y-coördinaat van het zwaartepunt. y = x met 0 x geeft x = y met 0 y y xdy y ydy y dy y y O(V) = y z 4 y xdy OV ( ) Stap 3: Geef de coördinaten van het zwaartepunt: Z 3,
36 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [3] Definitie: Het lichaam L ontstaat als het vlakdeel V ingesloten door de grafiek van de functie f, de x-as en de lijnen x = a en x = b om de x-as wentelt. Voor de x-coördinaat van het zwaartepunt Z geldt: x Z b a b xy dx IL ( ) a b xy dx a y dx 36
37 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [3] Definitie: De paraboloïde ontstaat door het vlakdeel ingesloten door de grafiek van y 9x, de x-as en de y-as te wentelen om de x-as. Bereken algebraïsch de x-coördinaat van het zwaartepunt Z van de paraboloïde I y dx (9 x) dx [ (9 x x )] ( ) 40 37
38 15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [3] Definitie: De paraboloïde ontstaat door het vlakdeel ingesloten door de grafiek van y 9x, de x-as en de y-as te wentelen om de x-as. Bereken algebraïsch de x-coördinaat van het zwaartepunt Z van de paraboloïde xy dx x(9 x) dx (9 x x ) dx (4 x x ) ( ) x Z 9 xy dx IL ( ) 38
39 15 Samenvatting Bereken: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Bereken algebraisch: Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR. Rond antwoord indien nodig af. Bereken exact: Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR. Rond het antwoord niet af. Laat wortels, breuken etc. staan. Bereken met behulp van afgeleide: Bereken de formule van de afgeleide. Bereken met behulp van differentiëren: De rest van de berekening mag met de GR opgelost worden. Het punt A doorloopt tegen de wijzers van de klok in met constante snelheid de cirkel met middelpunt (0,0) en straal r. Dit is een eenparige cirkelbeweging; Het punt A wordt nu geprojecteerd op de y-as; De projectie A van A op de y-as voert een trilling uit; A doorloopt de cirkel met constante snelheid. Het punt A voert een harmonische trilling uit; De trillingstijd van de harmonische trilling is gelijk aan de omlooptijd van de bijbehorende eenparige cirkelbeweging. 39
40 15 Samenvatting Het faseverschil van twee punten is het gedeelte van de trillingstijd dat verstrijkt tussen de tijdstippen dat de punten de evenwichtsstand in dezelfde richting passeren; Een samengestelde trilling is een trilling die de som is van twee of meer trillingen. Formules van Mollweide: sin(a) + sin(b) = sin(½(a + b))cos(½(a b)) sin(a) - sin(b) = sin(½(a - b))cos(½(a + b)) cos(a) + cos(b) = cos(½(a + b))cos(½(a b)) cos(a) + cos(b) = -sin(½(a + b))sin(½(a b)) De kromme K is gegeven door de parametervoorstelling x sin t( t) y sin( t) De kromme K is een Lissajous-figuur. Dit is de baan van een punt dat gelijktijdig deelneemt aan twee harmonische trillingen in verschillende richtingen. 40
41 15 Samenvatting Van een vlakdeel V dat boven de x-as ligt en wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x = a en x = b is de x-coördinaat van het zwaartepunt: x z b x f ( x) dx x f ( x) dx a oppervlakte V f ( x) dx Als het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafieken van f en g is de x-coördinaat van het zwaartepunt: b x z a b Het lichaam L ontstaat als het vlakdeel V ingesloten door de grafiek van de functie f, de x-as en de lijnen x = a en x = b om de x-as wentelt. Voor de x-coördinaat van het b b zwaartepunt Z geldt: x Z b a b a x ( f ( x) g( x)) dx a ( f ( x) g( x)) dx a xy dx IL ( ) a b xy dx a y dx 41
12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0.
12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. Dit is in de punten (1,0) en (-1,0) (1,0) heeft draaiingshoek 0 (-1,0) heeft
Nadere informatie15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))
5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)
Nadere informatieOEFENPROEFWERK VWO B DEEL 3
Formules OEFENROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK GONIOMETRISCHE FORMULES cos( t u) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) sin( A) sin( A)cos( A) sin( t u) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( t u) cos( t)cos( u) sin(
Nadere informatie11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20
.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:
Nadere informatieParagraaf 8.1 : Eenheidscirkel
Hoofdstuk 8 Goniometrische functies (H4 Wis B) Pagina 1 van 10 Paragraaf 8.1 : Eenheidscirkel Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ) = x coordinaat
Nadere informatieParagraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ)
Nadere informatieParagraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen
Hoofdstuk 12 Goniometrische Formules (V5 Wis B Pagina 1 van 8 Paragraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen Les 1 Gonio vergelijkingen oplossen met herleidregels Definitie Er zijn een aantal omschrijfregels
Nadere informatieParagraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen
Hoofdstuk 12 Goniometrische Formules (V6 Wis B) Pagina 1 van 12 Paragraaf 12.1 : Gonio vergelijkingen en herleidingen Les 1 Gonio vergelijkingen oplossen met herleidregels Definitie Er zijn een aantal
Nadere informatieUitwerkingen goniometrische functies Hst. 11 deel B3
Uitwerkingen goniometrische functies Hst. deel B. f() = sin(-) = -sin() g() = cos(-) = cos () h() = sin( + ) = cos() j() = cos( + ) = -sin() k() = sin ( + ) = -sin () l() = cos ( + ) = -cos (). Zie ook
Nadere informatieOefenexamen 2 H1 t/m H13.2 uitwerkingen. A. Smit BSc
Oefenexamen H t/m H3. uitwerkingen A. Smit BSc Een bewegend vierkant (naar methode Getal en Ruimte) De baan van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: ቐ x P t = sin t y P t
Nadere informatie2012 I Onafhankelijk van a
0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as
Nadere informatie6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]
6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde
Nadere informatie10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
Nadere informatie7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden
7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2
Nadere informatieSamenvatting wiskunde B
Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!
Nadere informatie8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B
Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen
Nadere informatiesin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )
G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(
Nadere informatie9.1 Recursieve en directe formules [1]
9.1 Recursieve en directe formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is een getallenrij. De getallen in de rij zijn de termen. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is
Nadere informatieWiskunde D voor HAVO. Periodieke functies Gert Treurniet
Wiskunde D voor HAVO Periodieke functies Gert Treurniet . Inleiding Een toon is een trilling. De trilling van lucht brengt ons trommelvlies in beweging. De beweging van ons trommelvlies nemen we waar als
Nadere informatie4.1 Rekenen met wortels [1]
4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:
Nadere informatiestap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden).
Samenvatting door Sterre 1437 woorden 5 mei 2018 7.8 3 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Vocabulair Algebraïsch stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Links is de grafiek van de functie f(x) = 5x 4 + 2x 3 6x 2 5 getekend op het interval [-2, 2]; Deze grafiek heeft drie toppen.
13.0 Voorkennis Links is de grafiek van de functie f(x) = 5x 4 + 2x 3 6x 2 5 getekend op het interval [-2, 2]; Deze grafiek heeft drie toppen. Op het interval [-2; -0,94) is de grafiek dalend; Bij x =
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen
Nadere informatieTrillingen en geluid wiskundig
Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I
Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos
Nadere informatieExamen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)
Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatieBal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.
Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede
Nadere informatieEindexamen wiskunde B 1-2 vwo I
Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Vrijdag 4 mei 3.30 6.30 uur 0 0 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat uit 8 vragen.
Nadere informatied. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.
Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat
Nadere informatie3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieUitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-I
Uit de kust Een kustlijn bestaat uit drie rechte stukken AB, BC en CD, die hoeken van 90 met elkaar maken. De lengte van elk recht stuk is 4 kilometer. Zie figuur. In de figuur zijn twee stippellijnen
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1 (nieuwe stijl)
wiskunde B1 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 2 juni 1.0 16.0 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 18
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I
Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VW 08 tijdvak maandag 4 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat
Nadere informatie10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:
10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld
Nadere informatiea. Lengte PQ = f(1,5) = 2 Opp.(OPQR) = OP. PQ = 1,5. 2 = 1,5 2 b. Nu x P = p PQ = f(p) = 5 2p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5
Uitwerkingen Hst 5 Toepassingen. Gegeven de functie: f ( ) = 5 a. Lengte PQ = f(,5) = Opp.(OPQR) = OP. PQ =,5. =,5 Nu P = p PQ = f(p) = 5 p A = Opp. (OPQR) = OP. PQ = p. 5 p c. Voer in : y = p. 5 p Met
Nadere informatieP is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2
wiskunde B1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2013-I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieSamenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1 vwo 2004-II
Brandstofverbruik Een schip maakt een tocht over een rivier van P naar Q en terug. De afstand tussen P en Q is 42 km. Van P naar Q vaart het schip tegen de stroom in (stroomopwaarts); op de terugreis vaart
Nadere informatieK.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:
K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 3 juni 3.30 6.30 uur 0 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen.
Nadere informatie3.1 Kwadratische functies[1]
3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur
Examen HAVO 011 tijdvak woensdag juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten
Nadere informatieAntwoordmodel oefentoets - Formules en grafieken
Antwoordmodel oefentoets - Formules en grafieken Vraag 1 Teken in een figuur de lijnen. l : y = 1 2 x + 4 m : y = 3 2 x 5 n : y = 2x + 2 Voer in y 1 = 1 2 x + 4, y 2 = 3 2 x 5 en y 3 = 2x + 2. Gebruik
Nadere informatieDe vergelijking van Antoine
De vergelijking van Antoine Als een vloeistof een gesloten ruimte niet geheel opvult, dan verdampt een deel van de vloeistof. De damp oefent druk uit op de wanden van de gesloten ruimte: de dampdruk. De
Nadere informatie14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie.
14.0 Voorkennis De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. Evenwichtsstand = (min + max)/2 = (-100 + 300)/2 = 100 Amplitude = max evenw.
Nadere informatie6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.
6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. f(x) = x x Differentiequotiënt van f(x) op [0, 3] = y f (3) f (0) 60 x 30 30 y x 1 Algemeen: Het differentiequotiënt
Nadere informatieHoofdstuk 4 Trillingen en cirkelbewegingen. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal
Hoofdstuk 4 Trillingen en cirkelbewegingen Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal U (V) 4.1 Eigenschappen van trillingen Harmonische trilling Een electrocardiogram (ECG) gaf het volgende
Nadere informatie= cos245 en y P = sin245.
G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a b overstaande rechthoekszijde PQ PQ sinα = (in figuur 8.) sin = = PQ = sin 0, 9. schuine zijde OP aanliggende rechthoekszijde OQ OQ cosα = (in figuur 8.) cos =
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2
.0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot II
Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosu sintsinu cos( tu) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t11 sin t www - 1 - Een regenton
Nadere informatie2.1 Lineaire formules [1]
2.1 Lineaire formules [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 1330-1630 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage Dit eamen bestaat uit 16 vragen Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen Voor elk
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - I
Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3
Nadere informatieParagraaf 11.0 : Voorkennis
Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Nadere informatiewiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-I
Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieEerste- en derdegraadsfunctie
Eerste- en derdegraadsfunctie e functies f en g zijn gegeven door f( x) ( x )( x ) en gx ( ) x. e grafieken van f en g snijden beide de y-as in het punt (0, ) en de x-as in het punt (, 0). e grafiek van
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieUitwerkingen H10 Integraalrekening
Uitwerkingen H Integraalrekening. De tweede benadering is de beste. a. Onder de grafiek liggen nog witte vlakdelen. Boven de grafiek steken blauwe vlakdelen uit. c. Neem bijvoorbeeld rechthoeken.. Als
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-II
Twee machten van maimumscore 5 f' ( ) = ln() + ln() Uit f' ( ) = volgt dat = Dus + = ( = ) Hieruit volgt = a+ a, met a =, moet minimaal zijn De vergelijking a = moet worden opgelost Dit geeft Hieruit volgt
Nadere informatieParagraaf 14.0 : Eenheidscirkel
Hoofdstuk 14 Allerlei formules (V6 Wis A) Pagina 1 van 12 Paragraaf 14.0 : Eenheidscirkel De eenheidscirkel met graden Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ) = x coordinaat
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 18 mei uur
Eamen VW 016 tijdvak 1 woensdag 18 mei 13.30-16.30 uur wiskunde (pilot) it eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieVraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h
Een regenton maximumscore h V ( rx ( )) dx π 0 00 ( rx ( )) ( x x ) + Een primitieve van + x x is x+ 7 x x π Dus V ( h 7 h h ) + 00 π π V h+ h h h+ h h 00 0 ( ) ( ) maximumscore Het volume van de regenton
Nadere informatieICT - Cycloïden en andere bewegingen
ICT - Ccloïden en andere bewegingen bladzijde 80 a ( 0, ) b Als de middelpuntshoek radiaal is, is de bijbehorende booglengte: omtrek π π = meter. er seconde wordt er over radiaal gedraaid en wordt er dus
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1 vwo 2002-I
Eindexamen wiskunde B1 vwo 00-I Verschuivend zwaartepunt Een kubusvormige bak met deksel heeft binnenmaten 10 bij 10 bij 10 cm en weegt 1 kilogram. Het zwaartepunt B van de bak ligt in het centrum van
Nadere informatieTrillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude
Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast
Nadere informatiewiskunde B vwo 2015-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b
Nadere informatie2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:
0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1 vwo 2005-II
Eindeamen wiskunde B vwo 2005-II Twee benaderingen van sin Met domein [0, ] is gegeven de functie f() = sin. De grafiek van f snijdt de -as in en en heeft als top T. Zie figuur. figuur T Gegeven is verder
Nadere informatie0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen
0. voorkennis Periodieke verbanden Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen Er zijn twee verschillende tekendriehoeken: de 45-45 -90 driehoek en de 30-0 -90 -driehoek. Kenmerken
Nadere informatiedx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Nadere informatieC. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.
G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-I
wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-II
Koffiekan Bij het zetten van koffie wordt soms een koffiezetapparaat gebruikt. eze opgave gaat over een koffiezetapparaat waarbij de koffiekan, zonder het handvat en de bovenrand, de vorm heeft van een
Nadere informatieExtra oefening en Oefentoets Helpdesk
Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatie