Uitwerkingen H10 Integraalrekening

Transcriptie

1 Uitwerkingen H Integraalrekening. De tweede benadering is de beste. a. Onder de grafiek liggen nog witte vlakdelen. Boven de grafiek steken blauwe vlakdelen uit. c. Neem bijvoorbeeld rechthoeken.. Als je de ondersom gaat tekenen, dan is de hoogte van het eerste rechthoekje gelijk aan de functiewaarde bij,. Het tweede rechthoekje heeft een hoogte die gelijk is aan de functiewaarde bij, enz. Als je de bovensom gaat tekenen dat is de hoogte van het eerste rechthoekje gelijk aan de functiewaarde bij en het e rechthoekje heeft de hoogte gelijk aan de functiewaarde bij, enz... Gegeven f(), Op het interval [,] zijn er dus rechthoeken. Het midden is bij, ;,6 ;, ;, en bij,. O(V) f(,)., + f(,6)., +.+ f(,).,,. f (, +, n),. ( (, +, n) ) n n Voer in : nmin ; u n ( (,+,.n) ).,; u n Min.96.. ; v(n) v(n-) + u en v n Min.96 De gevraagde Riemansom is v(), Natuurlijk kan je ook gewoon de functie waarden berekenen enz. O(V) (7,99 + 7, ,6 +,6).,,. Gegeven f() ( + 6) De breedte van een rechthoek is,. We krijgen : O ondersom ( f( ) + f(,) f(,) ), ( + +, +,7 + +,6).(,),9 O f(,) + f( ) + f(,) + f( ) + f(,) + f()., ( +, +,7 + +,6 +,9).,,6,9 < O(V) <,6 bovensom. Gegeven f Zie figuur: + a. Bij de Riemansom hebben we steeds de middens nodig. Het interval is hier [, 6] en 6 rechthoeken. Het midden bij,,, ;, ;., O(V) ( f(,) + f(,) + f(,) + f,) + f(,) + f(,) ). (, +, 66 +,77 +,667 +, +,) 6,

2 (. + n) Anders: O(V) f(, +. n).. n n (. + n) + Voer in : nmin ; u n ((-(.+n))/(.+n); u n Min,.. ; v(n) v(n-) + u en v n Min, De gevraagde Riemansom is v() 6, O ondersom f() + f() + f() + f() + f() + f(6). ( + +, +,7 +, +, + ).,9 O f() + f() + f() + f() + f() + f(). bovensom ( 7,9,9 O(V) 7,9 6. a. Dan wordt de oppervlakte gehalveerd. Naarmate de verdeling steeds fijner wordt, wordt het verschil tussen de boven en de ondersom steeds kleiner. Het verschil gaat zelfs naar. Dit komt doordat oneindig klein wordt Voer in : y OW 9 OV 7 d 7 fnint(y,,,9) 7, 9, 9. Gegeven f() + Voer in y ± d OW fnint(y,, - 7, 7) 6 7-7, 6, Gegeven: f() 6 - Voer in y 6 ; y Calc intersect geeft voor : en. OV fd fnint(y,,,),67

3 . a. Voer in y + 6+ ; y Gelijkstellen geeft (calc. intersect of algebraïsch) geeft voor :, en. OV fd fnint( y,,, ), OW fd fnint( y,,, ),67. a. Voer in: y en y + O(U) fnint( y,,, ) O(V) fnint (y,,, ) 7, O(W) O(U) O(V) 7,7 c. Voer in y y y y d fnint( y,,,) 7,7 Geeft dus hetzelfde resultaat.. a. Voer in: y ; y Gelijkstellen geeft voor : en O( V) ( y y ) d fnint( y y,,,), Zie figuur. Snijpunt met de -as. ( ) (voldoen allebei) O(W) ( y ) d fnint( y,,,),67

4 . Voer in: y ; y Calc intersect geeft voor achtereenvolgens: -,; -,;,7,, OV f g d fnint( y y,,.,.), 6,7, OW g f d fnint( y y,,.,.7), O(V) + O(W),6 +,,7. Voer in: y sin ; y, Calc intersect geeft voor :,7 π sin d fnint(sin,,, π ),7 OW y y d fnint( y y,,,.7), en dit is niet de helft van O(V). Dus de lijn deelt V niet in delen met gelijke oppervlakte.. Voer in : y sin() π a. O(V) f d fnint( y,,, π ) π π O(W) ( sin ) d fnint( y,,, π ) π f d fnint( y,,, π ) Dat komt omdat de uitkomst van de integraal negatief is als f c. onder de -as ligt. π π f d abs(sin) d fnint( abs(sin),,, π ) Uitkomst is de totale oppervlakte van V en W. 6. Voer in : y + 6 ; O( gebieden) fnint (abs( y ),,, ),

5 7. Voer in : y abs(( ) (,)),, -.,.7),7 Door weer de absolute waarde te nemen van de verschilfuncties, zorg je er steeds voor dat de uitkomsten van de integralen positief zijn. De oppervlakten worden dus opgeteld.. Voer in y + 7 en y Met de optie intersect vinden we de twee buitenste snijpunten namelijk : -,96 en, ( De twee middelste snijpunten hebben we niet nodig!!!), Nu geldt : O(totaal) abs( y y). d fnint( abs( y y),,.96,.),,96 9. Gegeven f + met 6 a. Nu tussen en straal is f() 9 Inhoud π.9. 7π Tussen en 6. straal is f() Inhoud π.. π De benadering is nu : π + 7π + π π. Gegeven f() Zie figuur. Snijpunt met y-as is (,) en met de -as: (, ) Voer in y π.( ) I(V) π ( ) d fnint(y,,, ),. Voer in: y, Calc zero geeft voor : -,97;,6. I( L) fnint ( π y,,.97,.6) 7,9. Gegeven f() 9 - en l : y + 6 Snijpunten ( )( + ) -. De punten (-,) en (,). Voer in y π.(9 - ) en y π.( + 6). We hebben ook nog het rechtersnijpunt nodig. 9 -

6 Inhoud y d + y d fnint( y,,,) + fnint( y,,,) 6,6 + 7,96,99 6. Gegeven f() + en de lijnen y ; en. a. + g T (, ) f Voer in y en y π.y Inhoud y d fnint( y,,,), De inhoud verandert niet als alles naar beneden wordt verschoven.. Gegeven + f en de lijnen y ; en a. Wentelen om de -as. Zie figuur. Voer in y f() en y en y π.y π.y Inhoud,7 y d fnint( y,,,) 6 7 Nu wentelen om de lijn y + T (, ) Eerst transleren f + g Nu g() wentelen om de -as. Voer in y en y π. y Inhoud y d fnint( y,,,),6

7 7. Gegeven l : y, ; de -as en de lijn a. Voer in : y, en y π.y y I(V) L, y d fnint( y,,,) V O 6 7 Nu W is ingesloten door l en de y-as en de lijn y Goed kijken in de figuur. I(W) inhoud cilinder I(V) inhoud cilinder is π.., M I(W),, 6, 6. Als V gaat wentelen om de -as dan is de inhoud het verschil van de twee omwentelingscilinders. De grote cilinder heeft de straal en lengte I(cilinder groot) π.. π De kleine cilinder heeft straal en lengte. I(cilinder klein) π.. π De gevraagde inhoud is dus π - π π 7. Voer in: y ; y ; Calc intersect geeft voor : en. I( L) fnint( π ( y y ),,, ),. Voer in: y ; y. Calc intersect geeft en,6 I( L) fnint( π ( y y ),,,.6),9

8 9. Gegeven f() + en g + Zie de figuur. Eerst de twee functies invoeren en met intersect de snijpunten bepalen -,,, De gevraagde som van de inhouden is : I(som),,,, π π + π π,,,, y d y d y d y d fnint( π( y y ),,.,.) + fnint( π( y y ),,.,.), ,,. Gegeven : f en g + Zie figuur. a. Voer in y f() en y g() Met intersect krijgen we de snijpunten bij -,69 en,6 I( L) fnint( π ( y y ),,.69,.6 ) 6,9 Nu wentelen om de lijn y Alles naar beneden transleren. Voer in y - en y + Verder blijkt dat we y en y moeten wisselen. De -coördinaten blijven hetzelfde. I(M) I( L) fnint( π ( y y ),,., ) 69,. a. Hier heeft f een grotere afstand tot de -as dan g(). De -as kan liggen vanaf het minimum van g en dan verder omlaag. Nu is het net andersom. De -as kan liggen vanaf het maimum van f en verder omhoog.. f a+b a. O(p) oppervlakte rechthoek + oppervlakte driehoek p +,.p. (ap+ b b) bp +,.p.ap,ap + bp O (p) ap + b. Dit is de vergelijking van de functie f.. a. f p O(p) 7 6 Voor alle waarden van p is de oppervlakte gelijk aan p.

9 c. do p en dat is gelijk aan de vergelijking van de gegeven functie. dp d. Uit c volgt dat O(p) p Als de oppervlakte van naar p is dan moeten we dus uitkomen bij p. 6 a. F ( + ) + F' 6.( + ). ( + ) f F is een primitieve van f. 9 c. G e G' e +. e. e + e. e e. G is een primitieven van g. + ln H ln + ln + H' +.ln. H is een primitieve van h. d.. a. e e..e e.( e ) 6e e + e J J' e e e e + e e + J is een primitieve van j. e e F is dus een primitieven van f() F F' c. d. G e G' e. e G is dus een primitieven van g() e + H H'..ln() H is dus een primitieven van h() ln() ln() J.ln J'.ln +. ln + J is een primitieven van j() ln() + 6. a. F n n n a ' a n + + c F + n+ n + a f Gevolg: F is een primitieve van f. Als n - is de noemer van de coëfficiënt van F gelijk aan nul: dat mag niet. g F F'. g.ln( g) g f ln( g) ln( g) F is een primitieve van f. c. F e + c F' e f F is een primitieve van f.

10 d. e. F ln + c F' f F is een primitieve van f. F ln + c F'.ln +. ln f F is een primitieve van f. f. g F.( ln ) c F'.(.ln. ).ln log ln( g) + ln( g) + ln( g) ln ln( g) F is een primitieve van f. 7. a. Bij n - is de noemer dan en dat mag niet. De primitieve van is y ln +c want bij differentiëren krijg je c. Stel G() af. ( ) dan geldt G () af. ' a. f af. is een primitieven van a.f. a. f 6 F 6 + c +c f + F + + c + +c c. d. f F c f F +c ln() c e. f F + c +c ln() ln() f. + f + +. F ln + c ln + c 9. f F + c + c a. f e F e +c

11 c. d. 6 6 g G + c + + c + + c f + F + +c ln() e. f ln F.( ln ) + c ln + c f. f ln ln + ln F ln +.ln() + c. a. c. f e F e + + +c f. F..( ) + c + c + + f F c F + c + c f ( ) ln( ) ln( ) ln ln ln F + c +c d. e. f. f log log( ) log ln ln() F ( ln + c) ( ln ) + c ln() ln() ln f.log log() + log log() +. log() +.ln ln() ln() F log(). +.( ln ) + c ln(). Gegeven f() a. Een primitieve is : F() - + c Primitieve door (,) + c c De primitieve is : F() - +

12 c. Nu y - + c raakt de -as - + c en y,,., + c c,, c,. Gegeven : f ( ) f + Een primitieve is: + + c Door punt (,7) c 7 c c 6 F() a. c. f F + c f O F + c + c c zie figuur.: O() O Op p p p p O( p). Gegeven: f a. Eerst de snijpunten met de -as - ( ) Opp. ( ) d [ ] 7. 6 Nu moet gelden: p p ( ) d [ ] p p Voer in : y, en y Met intersect vinden p, p,7(vervalt, want buiten het gebied) c. I( L) π( ) d π ( ) d π + 79 d. Nu moet gelden : q 7 π π π π 79 q I( L) ( ) d d + 7 q 7 π π q q + q π Voer in : y 7 7 Met de optie intersect vinden we q, en y

13 . Gegeven f() en de lijn y 6 a. Eerst de snijpunten berekenen ( + )( ) ; 6 d 6 OV p O(links) 6 d ; p 6 6p p p p p p ( ) p p + 6p+ Voer in: y + 6+ ; y Calc intersect geeft: p, Ook kan uiteraard: y fnint (6,,, ) ; y + /; window : [, ] [, ] calc intersect. c. I(L) π(6 ) π π( 6 ) π d d + d d π π π ( 7) π (,6) 66 π 6. a. Bedenk dat f te schrijven is als + +. Eerst de snijpunten dit geeft:. ( ) ( ) O( V) f g d d + + d + ln + + ln + ln() ln ln() ln() p>: zie figuur

14 p p OW ( + + ) ( + ) d d [ ] p ln ln( p) p e 7. Gegeven f() a. Snijpunten f OV ( ) d ln ln ln ln a OV ( ) ( ) d ln a a a a + ln ln ln ln Nu geldt: O(V ) 6 - ln Voer in: y + ; y 6 ln ln ln Calc intersect geeft: a,6 a. Gegeven f() a. Zie figuur. f f() ; Coördinaten snijpunten met lijnen: (, ) (, ) We gaan eerst de totale oppervlakte berekenen. + d + + ( ) + OV De verhouding van de delen is O(V ) en O(V ) : d + 6 a a a a a

15 9. Gegeven f() ( )d ( )d I L π π π π π 6π π π π π a a ( ) π( ) d π( ) ( a a) ( a a+ IV π ( π) π ) Nu geldt dus : π( a a+ ) 9π a a+ 9 a a 7 D..( 7) a + + a + a (vervalt). Gegeven f() ( + ) a. F() a( + ) 6 + c F () a.6( + ). a( + ) Nu geldt: a( + ) ( + ) a O a V a V We moeten G(). Fa ( + b) + cgaan differentiëren a G (). F '( ab + b). a F '( a + b) f ( a + b) a. 6 a f ( ) De primitieve heeft de vorm van ( ) 7. Terugdifferentiëren geeft 7.( ) 6. De primitieve is: 7 + c g (+ ) De primitieve heeft de vorm van ( + ) - ( + ) Terugdifferentiëren geeft -.( + ) -. De primitieve is: ( + ) + c + c 6 6( + ) c. h.( ) De primitieve heeft de vorm van Terugdifferentiëren geeft ( ). ( ) De primitieve is: ( ) + c ( ) + c ( )

16 d. j.( ) De primitieve heeft de vorm van.( ) Terugdifferentiëren geeft De primitieve is: ( ) + c +c ( ) 6. a. f F() ln( ) + c f() De primitieve heeft de vorm van ln( ). Terugdifferentiëren geeft. F() ln( ) + c c. f e De primitieve heeft de vorm van e Terugdifferentiëren geeft e. F e + c d. f ln( ) De primitieve heeft de vorm van ( ).ln( ) Terugdifferentiëren geeft.ln( ) + ( -)...ln( ) + F() ( ).ln( ) +c e. f. g. f (+ ) + (+ ) De primitieve heeft de vorm van Terugdifferentiëren geeft ( ). ( ) F ( ) + c ( ) + c f( ) De primitieve heeft de vorm van Terugdifferentiëren geeft.ln(). f F + c.ln() De primitieve heeft de vorm van Terugdifferentiëren geeft -.ln().(-) F + c.ln() ( + ) ln( + ) h. f log(+ ).ln( + ) De primitieve heeft de vorm van ln() ln() ( + ).ln(+)

17 Terugdifferentiëren geeft.ln( + ) +( + )...ln( + ) + + F. (+ ).ln(+ ) + c ln() 7. Gegeven: f + en g a. Eerst het snijpunt , +, Opp. d + d +, Apart: Een primitieve van g() heeft de vorm : ln( ) Nu deze vorm differentiëren.( ) Een primitieve is.ln( ) Op dezelfde manier is een primitieve van f() : ln( + ) Opp., ln( ) ln( ) ln() ln() ln() ln() , ( ln( ln() + ln() ln() ) ( ln( ln() ) ln 6 Nu het omwentelingslichaam van V., I(V) π d d + π +, Apart: Een primitieven van.( ) Nu deze vorm differentiëren -( ) -.- ( ) Een primitieve is.( ) ( ) Op ongeveer dezelfde maniet is een primitieve van f() : ( + ),, komt van de vorm ( ) - IV π ( ) π ( ) π π a. Als je dat zou doen dan heb bij het terugdifferentiëren te maken met de productregel en dan kom je totaal niet uit.

18 GX a. G' a... a. Dit is een andere vorm. Zie ook de opmerking bij vraag a. c. Als we een primitieve van wel uit. h moeten vinden dan komt de vorm van vraag bij De constante a is dan Een primitieve van h() is dan : F(), ( ) ( ) 6. y, a π I π d π d π π L is een kegel met straal grondcirkel is en hoogte De inhoud van de afgeknotte kegel is :. π..6. π. p. p π p p p p 7 7. y, I( Kp ). π... π., p. p 7π π,7 p. π 7π 6,7p p p 9. Een bol kunnen we zien als het omwentelingslichaam van een cirkel met straal r. Bol met straal r. Definieer dus een halve cirkel met middelpunt (,) en straal r en ga deze omwentelen om de -as. + y r y r r r (bol) d ( r I π y π r d π r ) π( r r ) πr 6. Gegeven de cirkel + y r r I(V) r r π r d π r π r π r r r π r

19 6. Gegeven de cirkel c: + y 6 9 I(bol).6 π π Nu moet gelden : p π π π π ( + ) 6 p p Voer in : y 6 + Met de optie zero vinden we,7 p,7 p.(6 ) d 6 6 p p 9 6. Gegeven + y en k: y -,7 + 6, Eerst het snijpunt van k met de -as -,7 + 6,,7 6, Kijk goed in de figuur I(V) π.. π d π π 9 π π ( 7 9) π 7 9 π π a. Zie figuur AB + 6, A(,) ; B(,) C yc C(, ) Het is dus een betere benadering. Lengte AC CB,,,69,6 6, 6. Gegeven f() f () Lengte boog + d Voer in y ( + ) Lengte boog fnint(y,,,),9 De gevraagde omtrek is :,9 +, +, V O 6 7

20 6. Gegeven f () De opstaande stukken hebben de lengte en ( de functiewaarden) f '( ).ln() Voer in : y (.ln() ) en y + y d Booglengte + (.ln()) fnint (y,,, ) 7,79 De gevraagde omtrek is : ,79 9, V O 66. f() - + en y Eerst de snijpunten ( ) Zie ook de figuur. De horizontale lengte is. f () - 6 Voer in y 6 en y + ( y ) Booglengte is : ' + f d fnint (y,,, ), De gevraagde omtrek is ongeveer, 67. We definiëren een assenstelsel met O op de brug onder het laagste punt van de kabel, de -as op de brug: zie figuur hierboven. Top van de parabool op de y-as, dus parabool van de vorm

21 6. y a + b door (, ) geeft b y a y + f f door (6, 6) geeft 6 a 6 a,7,7 ',76 6 bg AB + (,76 ) d meter a. f (), meter,6,6,6,6,6,6,6,6 ( ), ( e e ) f e + e f ', e e lengte kabel +, e e d fnint ( +,,, ), m c. Zie rechtsboven de figuur. y,6,6 (e + e ) Opp net fnint ( y,, -, ) 9 m 69. Gegeven y De twee cilinders met hoogte zijn te zien in de figuur. De straal van de onderste cilinder bevindt zich op een hoogte,. Nu geldt dus,, De straal van de onderste cilinder is,. De straal van de bovenste cilinder is op een hoogte van,. Nu geldt :,, de straal van de bovenste cilinder is,. O 6 7

22 7. a. y y + y + y + I y π π π dy ( ) y + y + dy ( y + y + y ) π π,π O y 6 7 Het snijpunt met y 9 I I ( cilinder) πy d π π ( ) d 7 π π 7 6 π π π π,π 7. Gegeven y en punt P(p, q) a. W q Bij y q hoort p en dus ook q. y y π π I dy ydy πy π π p p p π π I V y d d y p π π Nu gaan we W q wentelen om de y-as. q q q I ( Wq ) π dy πydy π y πq Deze twee zijn gelijk, dus π p πq Omdat p q is dus q p, dit invullen geeft πp πp p p p p p p p p, p vervalt dus p en q p 6 p

23 7. Gegeven de functie: f + 6 a. π ( 6) π 6 I L + d + π( (9 )) 9π Nu V om de y-as. Eerst berekenen. y ( + 6) y + 6 y 6,y,y y + 9 Verder is het snijpunt met de y-as bij y IM π dy π,y y+ 9 6 π y y y π, + 9, ,. π. 6 V O c. f wentelen om de lijn - Eerst transleren naar rechts en vervolgens het nieuwe gebied wentelen om de y-as. T (,) y + 6 y ( ) + 6 Nu y () y,y,y I π dy π, y dy π y π, π - W O y 7. Gegeven a. f( )., e +, OV f d e d, e e e + e e y V O

24 Lengte gebogen stuk is + ', +, f ' e, e De booglengte is : Voer in : y f d, + f ' d + e d, e en y + y Totale omtrek is dan 6,9 + e + + e 6,6 c. f e e en f e Booglengte is fnint (y,,, ) 6,9 We hebben te maken met een wenteling van een rechthoek en de functie f. e + π π Eerst apart : e,, ln(,y ) I K e dy y e e, y, ln, y -, ln,y e e 6,9 + 6,9 + ln(, ) π π I K dy y dy e e 6,9 +,7,6 De uitkomst van de e integraal vinden we door in te voeren : y π ln(, ). Met de optie integraal uit het calc-menu vinden we de waarde van de integraal.