OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0.

Transcriptie

1 OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE (COLLEGE NAJAAR 6).. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking (z + i) 4 = 6 in het complee vlak. a. Schrijf het getal i in poolcoördinaten. b. Bereken de rechthoekige coördinaten van het getal ( i) 5. a. Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking y 4y + 5y =. b. Los het volgende beginwaardenprobleem op: { y 4y + 5y = y() =, y () =. 4. Voor welke c R is de functie f c gegeven door f c () = { + c voor > voor continu op R? En voor welke c is f c differentieerbaar op R? 5. Bepaal de vergelijking van de lijn die de grafiek van y = e raakt en door het punt (, ) gaat. 6. Bereken de hoek waaronder de kromme K met vergelijking ( ) + y = 6 de positieve y-as snijdt. 7. Bereken a. lim c. lim +. b. lim + + e. lim ln d. lim f. lim sin ln.

2 8. Bewijs m.b.v. de middelwaardestelling dat e > + als. 9a. Leg uit dat de functie f() = ln + op [/, ) inverteerbaar is. b. Bereken (f ) ().. Bewijs m.b.v. volledige inductie dat voor n een positief geheel getal d n d n = (n)! 5 n n! (5 ) n 5.. Bereken de richtingscoëfficiënt van de lijn die de grafiek van y = ln sinh in het punt A met A = ln loodrecht snijdt. a. Toon aan dat voor < / ( + ) arctan = arctan + C voor een zekere constante C en bepaal C. b. Toon aan dat voor > / ( + ) arctan = arctan + D voor een zekere constante D en bepaal D.

3 a. Onderzoek en schets de grafiek van f() = (Bepaal snijpunten met de assen, etremen, asymptoten, gedrag in de randpunten van het domein). b. Onderzoek en schets de grafiek van g() = ln. Geef ook de coördinaten van eventuele buigpunten. 4a. Bepaal het Taylorpolynoom P () van orde voor tan rond = π/4. b. Benader tan 7 π m.b.v. P. c. Toon aan dat tan 7 π P ( 7 π) 8 ( π 6 ). 5. Bereken de volgende limieten: sin a. lim. b. lim cos + (sin ). 6. Het gebied V wordt ingesloten door de grafiek van f() = en de -as. De lijn l : y = ( a) verdeelt V in twee delen met gelijke oppervlakte. Bepaal a. 7. W is het gebied ingesloten door de grafiek van f() = e, de -as en de y-as. π a. Toon aan dat de oppervlakte van W gelijk is aan. (Gebruik partieel integreren. Je mag ook π gebruiken dat e d =.) b. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door W om de -as te wentelen. c. Bereken de y-coördinaat van het zwaartepunt (de centroïde ) van W. 8. Bereken van de volgende volgende functies de primitieven: a. f () = ln. b. f () = arcsin. c. f () = 4+. d. f 4 () = ++ (+) ( +). e. f 5 () = sin Laat I n = aan de hand hiervan I 4. sin n tdt zijn. Gebruik partieel integreren om I n in I n uit te drukken en bepaal. Bereken de lengte van de kromme y = 4 tussen de punten (, ) en (, 6).. Het (tentvormige) vijfvlak ABCD.EF heeft als grondvlak de rechthoek ABCD met zijden AB =, AD =. De ribbe EF is evenwijdig aan AB, heeft lengte en ligt op een afstand boven het grondvlak. De overige ribben zijn AE, BF, CF en DE.

4 a. Toon aan dat de verticale doorsnede op een hoogte h vanaf het grondvlak (met < h < ) een rechthoek is met oppervlakte ( h)( h). b. Bereken de inhoud van het vijfvlak.. Los de volgende beginwaardeproblemen op: a. y y = cos, y(π) = π. b. y = y, y() =.. Bereken d e t dt. d 4a. Bepaal de Taylorreeks van e rond =. b. Bepaal de coëfficiënt van 6 in de Taylorreeks van van deze Taylorreeks? rond =. Wat is de convergentiestraal 9 4

5 Antwoorden.. De vier oplossingen zijn dus z = i + (cos π/4 + i sin π/4), i + (cos π/4 + i sin π/4), i + (cos 5π/4 + i sin 5π/4), i + (cos 7π/4 + i sin 7π/4), z = i + ( + i), i + ( + i), i + ( i), i + ( i). a. i = 4(cos( π/) + i sin( π/)). b. i heeft modulus en argument π/4, dus ( i) 5 = 5.. y() = Ae cos + Be sin. b. Invullen geeft A =, B = dus y() = e cos. 4. Voor c > is f c continu, voor c > is f c differentieerbaar. Merk op dat f c voor alle c differentieerbaar is buiten =. 5. De vergelijking is y = e 5 ( ). 6. Differentiëren geeft ( ) + 4yy =. =, y = invullen geeft y = dus de hoek is ; ; /; -; ln(/5);. Voor f gebruik de insluitstelling: < sin < voor < < π dus 8. Laat f() = e, dan is = lim ln lim sin ln lim =. f() f() { = f (c) = e c > voor > < voor <, waarbij c tussen en ligt. Conclusie: f() > voor. 9. f () = + ln dus f () > als > /. f is stijgend op [/, ) en dus inverteerbaar. b. (f ) () = /(f (y)) y=f () = /f () =.. Doen. Vergeet niet om ook het geval n = (of n = ) na te gaan.. Voor < is y = ln( sinh ) en dus is y ( ln ) = cosh( ln ) sinh( ln ) = 5/4 /4 = 5/. De richtingscoëfficiënt van de loodlijn op de grafiek is dus /5.. Voor < /, resp. voor > / ( zijn arctan en arctan + ) differentieerbare functies en hebben dezelfde afgeleide (nagaan), dus ze zijn op een constante na gelijk. Door een geschikte waarde in te vullen vind je C = π/ en D = π/. 5

6 . f () = ( + 4), f() = + 5. Snijpunt met de y-as is (, /4), geen snijpunt met de + 4 -as. Minimum f() = 5, maimum f( 9) = 5. Asymptoten: = 4 (verticaal) en y = (scheve as.). Immers is lim (f() + ) = lim 5 ± ± + 4 =. b. g () = ln + ln. Domein >, Minimum g() =, maimum g(/e ) = 4/e. Geen snijpunten met de y-as, met de -as (, ) (raakpunt). Geen asymptoten, gedrag in = : lim ln =, lim g () = lim ln (ln + ) =. De grafiek daalt dus naar het punt (, ) met verticale raaklijn als van rechts naar gaat. g () = ln + ; er is een buigpunt in (/e, /e). Immers g (/e) = en g () verandert in = /e van teken. 4a. Laat h() = tan. Dan is h () = tan +, h () = tan (tan + ), h () = (6 tan + )(tan + ). Het e-orde Taylorpolynoom rond = π/4 is P () = h( π 4 ) + h ( π 4 )( π 4 ) + h ( π 4 )( π 4 ) = + ( π 4 ) + ( π 4 ). b. Een benadering van tan 7π wordt gegeven door P ( 7π ) en is gelijk aan π + π. De fout 8 wordt gegeven door h (c)! ( 7π π 4 ) met 7π 6 < c < π 4. Een bovengrens voor de fout is dus (h (c) < h (π/4) = 6) h(7π ) P ( 7π ) h (c) ( π! 6 ) 6π a. Gebuik de Taylorreeks rond = : lim sin cos + = lim ( /6 + O( 5 )) ( / + 4 /4 + O( 6 )) + = lim 4 /6 + O( 6 ) 4 / + O( 6 ) =. b. (sin ) = e ln sin. Nu is sin lim =, lim ln(sin ) = lim ln en dus is lim (sin ) = e =. 6. De inhoud van V is gelijk aan (, ) en (a, a a ). Dus moet gelden: = ( sin ) + ln = + = ( )d = 4. De snijpunten van l met de grafiek van f zijn a ( ( a))d = 6 a. 6

7 Dit geeft a = 4. 7a. De oppervlakte is gelijk aan t e t dt = e d. Na substitutie van = t wordt dit t[e t ] dt = lim a te t a + e t dt = π. b. De oppervlakte van het omwentelingslichaam is gelijk aan (gebruik partieel integreren) π e d = π lim a ( 4 )e a = 4 π. c. Volgens de regel van Pappos is de inhoud van het omwentelingslichaam gelijk aan πy Z maal de oppervlakte van W. Hierbij staat y Z voor de y-coördinaat van het zwaartepunt van W. Volgens a en b is dus πy z π = 4 π en dus is y Z = 4 π. 8a. 8 ln4. (Immers is = [ln ].) b. Partieel integreren geeft arcsin d = arcsin + + C. c. Substitutie van t = / geeft d = dt = arsinh t + C = ln(t + t + ) + C = ln( + + 4) + C t d. Breuksplitsen geeft dat f 4 () = ( + + ( + ) + + ). + Een primitieve is dus e. ln ln( + ) + arctan + C. sin 4 = ( cos ) = 4 cos + 4 ( + cos 4). Een primitieve is dus 8 sin + sin 4 + C Voor n > is I n = sin n cos + (n ) cos t sin n tdt = sin n cos + (n )(I n I n ) 7

8 dus Daar I = volgt dat ni n = (n )I n sin n cos. I 4 = 4 I 4 sin cos = 8 8 sin cos 4 sin cos.. De booglengte is gelijk aan + t dt. Partieel integeren geeft + t dt = t + t dus y () d = + 64 d = 8 6 t t t + = t t + + dt + dt + t t + dt = 6 t t arsinh t 6 = ln(6 + 57), omdat arsinh t = ln(t + t + ). a. De doorsnede op hoogte h is een rechthoek (omdat evenwijdige vlakken een gegeven vlak snijden volgens evenwijdige lijnen) met zijden ( h) en h. b. De inhoud is nu ( h)( h)dh = 7. a. De oplossing van de homogene vergelijking y = y (met scheiden van variabelen [ln y ] = / is y h () = C met C een constante. Nu is een integrerende factor: y ( ) y = y = cos. Primitiveren geeft y() = sin + C met een constante C. Invullen van y(π) = π geeft C =. b. Scheiden van variabelen geeft y /y = [ln y ] = / dus y() = Ce / en uit de randvoorwaarde volgt dat C = e.. Laat F () = e t dt. Dan is d d e t dt d d (F ( ) F ()) = F ( ) F () = e 4 e 4. 4a. e = e (( )e +e ( ) n+ ( ) n ( ) ) = e +e = e+e ( ) n n! n! n! +. (n )! n= ( ) / b. Voor u < geldt (binomiaalreeks) ( + u) / = u n. Laat nu u = 9. Dan geldt n n= ( ) / voor 9 < (en dus voor < /) ( 9 ) / = ( 9 ) n. De coëfficiënt van 6 n n= is dus ( ) / ( 9) = 79! 5 = n= n= 8