e x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt

Transcriptie

1 Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP3B 5 november, Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boeken) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering zo helder mogelijk.. Het polynoom p) = wordt beschouwd als functie p: R R. a) Laat zien dat p een nulpunt heeft in het interval, ) en in het interval, ). b) Bepaal alle complee nulpunten van p.. Bepaal de afgeleides van de volgende functies: arcsin ) 3. Bepaal de volgende integralen: e d e cos sin t) cost) dt d 4. De kromme in R wordt gegeven in poolcoördinaten door middel van r = 3 + ϕ cosϕ). Het punt 3 + π, π ) in Cartesische coördinaten correspondeert met ϕ = π in 8 4 poolcoördinaten. Wat is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in Cartesische coördinaten) aan de kromme in dit punt? 5. Stel f) = )e met domein R. a) Bepaal de nulpunten van f, en geef aan waar f positief/negatief is. b) Heeft f scheve/horizontale/verticale) asymptoten? c) Bepaal de afgeleide van f. d) Bepaal de etreme waarden maima/minima en lokaal/globaal) van f. e) Laat zien dat de afgeleide functie de waarde aanneemt in het interval, ). 6. Vereenvoudig tanarccos ). 7. De juiste formulering van de tussenwaardestelling is: a) De functie f : [a, b] R neemt elke waarde uit zijn bereik aan. b) Een continue functie f : [a, b] R neemt elke waarde tussen fa) en fb) aan. c) Een functie f : a, b) R neemt elke waarde tussen fa) en fb) aan. d) Elke continue functie f : [a, b] R is differentieerbaar. Bij deze vraag kunt u gokken. Een fout antwoord geeft aftrek, géén antwoord geeft geen aftrek.

2 Tentamen Calculus NWI-NP3B Figuur : Plaatje voor opgave Zie Figuur ). Stella vertrekt van het punt G, en zij wil naar punt B, en wel zo snel mogelijk. Het kanaal is km breed, en het corresponderende punt B aan de overkant is 4 km verderop. Het water is stilstaand. Ze roeit 4 km/u en ze loopt hard met een snelheid van 6 km/u. Wat is haar optimale route? 9. a) Veronderstel dat f and g continue functies zijn op [a, b] en differentieerbaar op a, b). Veronderstel bovendien dat ga) gb). Laat zien dat er een c a, b) bestaat met fb) fa) gb) ga) = f c) g c) b) Laat zien dat als f en g differentieerbare functies zijn met f) = g) = en g) voor, dan geldt f) g) = f ) g ) aangenomen dat beide ieten bestaan. c) Bereken cos) + 4 Normering Opgave Gratis Totaal Punten Het tentamencijfer T is de gebruikelijke afronding van het totaal aantal behaalde punten gedeeld door Voor deze opgave scoort u minimaal H 5/ punten, mits uw gemiddelde huiswerkcijfer H 6. is.

3 Tentamen Calculus NWI-NP3B 3 Opgave. Summiere uitwerkingen en hints a) p ) = ) 6 + ) 3 = 64 8 = 54 >, p) = <, p) = = 7 >. p is een polynoom, dus continu. Pas de tussenwaardestelling toe op de functie p beperkt tot [, ] en [, ]. NB De epliciete nulpunten zijn en. b) Merk op dat = pz) = z 3 )z 3 + ), dus de nulpunten zijn oplossingen van z 3 = = e iπ en z 3 = = e iπ. Dus de oplossingen zijn e iπ =, e πi/3, e 4πi/3 en e iπ/3, e i3π/3 =, e iπ/3 De complee nulpunten kunnen dan worden geschreven als e πi/3 = + 3i, e 4πi/3 = 3i en e iπ/3 = + 3i), 3 e iπ/3 = 3i) NB Omdat het een polynoom met reële coëfficiënten betreft, zijn de nulpunten comple geconjugeerd. Opgave. Bepaal de afgeleides van de volgende functies: d arcsin ) ) = d ) = ) Gebruik de hoofdstelling van de integraalrekening en de kettingregel; d e cos sin t) cost) dt = cos sin e ) cose )e cos sin )) cos ) ) d = cos sin e ) cose )e + cos sin )) cos ) Opgave 3. Gebruik de kettingregel of substitutieregel) Splits de breuk d = e d = e = e d = + arctan) = + arctan)

4 Tentamen Calculus NWI-NP3B 4 Figuur : Kromme bij opgave 4. Opgave 4. De parametrisatie van de kromme is { ϕ) = 3 + ϕ cosϕ) ) cos ϕ yϕ) = 3 + ϕ cosϕ) ) sin ϕ Het gevraagde punt hoort bij ϕ = π, dus de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is 4 ) dy dy d = φ) dϕ d φ) dϕ = ϕ= 4 π = 4 π 4 π cosϕ) ϕ sinϕ) sinϕ) ϕ cosϕ) ) cosϕ) ) cosϕ) ϕ sinϕ) cosϕ) 3 + ϕ cosϕ) ) sinϕ) ) π ) 4 ) 3 + π ) 4 = π 4 Opgave 5. Stel f) = )e met domein R. ϕ= 4 π a) f) = dan en slechts dan als = of =. Het teken wordt bepaald door. Dus f negatief op, ) en positief op, ) en, ). b) )e =, )e = Er zijn geen problemen met het domein. Er is dus geen verticale asymptoot, wel een horizontale y = voor, en geen horizontale voor. Dan kan er ook geen scheve asymptoot zijn, want voor geen enkele a R kan )e a eindig zijn epontiële functie groeit harder dan elk polynoom).

5 Tentamen Calculus NWI-NP3B 5 c) f ) = e )e = e ) d) f ) = dan en slechts dan als = = ), dus als = ±. Door f te beperken tot [, ] weten we dat omdat f ) = = f) en f negatief op, ) en f continu en differentieerbaar is) dat f een minimum aanneemt in, ), en dat is een kritiek punt van f, dus dat is =. Omdat f buiten [, ] positief is, volgt dat het minimum f ) = )e + < in ook globaal is Door de tweede afgeleide f + ) < te berekenen volgt dat f een lokaal maimum f + ) = + )e in + heeft. Uit de iet voor volgt dat het maimum lokaal is en niet globaal. e) Gebruik f ) =, f) =, en dat we de middelwaardestelling kunnen toepassen op f beperkt to [, ], dan bestaat er een c, ) met f c) = een schatting levert c =.597.) Opgave 6. Maak een driehoek of f) f ) ) = tanarccos ) = sinarccos ) cosarccos ) = Opgave 7. Een continue functie f : [a, b] R neemt elke waarde tussen fa) en fb) aan. Opgave 8. Noem de afstand die Stella heeft geroeid in de richting van het kanaal, dus dat ze dan nog 4 km moet hardlopen van punt L naar punt B. Met Pythagoras volgt dat ze dan + km geroeid heeft. Hierover doet ze 4 + uur. Het hardlopen kost haar 4 ). We moeten dus 6 minimaliseren. Nu geldt T ) = ) 6 T ) = en dan T ) = dan en slechts dan als 4 + = = 4 = + = 6 = + = 5 = = = ± 5

6 Tentamen Calculus NWI-NP3B 6 Figuur 3: Kromme bij opgave 5. Aangezien negatieve geen zin heeft, betekent dat Stella = / 5 km in horizontale richting moet roeien. NB Je kunt ook de hoek waaronder ze weg moet roeien naar de overkant optimaliseren; zeg α. Dan is sinα) GL =, en de afstand die ze roeit is dan / sinα). Dan resteert hardlopen over de afstand LB = 4 cosα) GL = 4 cosα). De tijd is dan afhankelijk van de hoek; Differentiëren geeft sinα) tα) = 4 sinα) + cosα) 4 6 sinα) ). dt cosα) α) = dα 4 sin α) 6 Dus dt dα α) = geeft α = arccos 4 ). sin α) = 4 cosα) 6 sin α)

7 Tentamen Calculus NWI-NP3B 7 Merk op dat in vergelijking met de andere oplossing de correspondeert met cosarccos )) GL = 4 / sinarccos )) = /4) = / 5. Opgave 9. a) Stel h) = f) fa))gb) ga)) g) ga))fb) fa)) dan is ha) = en hb) =. Bovendien is h differentieerbaar op a, b) en continu op [a, b]. Met de middelwaardestelling volgt dat er een c a, b) bestaat met h c) = hb) ha) b a = = f c)gb) ga)) g c)fb) fa)) = = fb) fa) gb) ga) = f c) g c) omdat gb) ga). b) Schrijf f) g) f) f) = g) g) = f c) g c) vanwege deel a). Omdat c tussen en ligt volgt, als, dan ook c. Dus f) g) = f ) g ) c) Gebruik b) en eigenlijk zonder dat we weten dat de iet bestaat) en cos) + 4 = sin) = sin) + 4 = =