Tentamen Analyse 4. Maandag 16 juni 2008, uur

Transcriptie

1 Tentamen Analyse 4 Maandag 16 juni 2008, uur Vermeld uw naam (met voornaam en voorletters) en uw studentnummer. Er zijn geen hulpmiddelen toegestaan. Dit tentamen bestaat uit zes opgaven. Vergeet de achterkant niet. 1. Toon aan dat het polynoom p(z) = z 7 + 3z 5 14z precies drie nulpunten (multipliciteiten meegerekend) in de open eenheidsschijf D(0, 1) heeft. 2. Beschouw de functie f: C \ {0, i, i} C, gegeven door f(z) = ei/z z (z C, z 0, i, i). (a) Bepaal voor ieder van de punten 0, i en i de aard van de singulariteit van f in het betreffende punt. (b) Toon aan dat f een ophefbare singulariteit heeft in. (c) Bepaal in ieder van de polen van f het residu van f. (d) Bereken f(z) dz, waarbij γ de contour in de onderstaande figuur γ is. 3. Bereken 0 x sin x 1 + x 2 dx. Z.O.Z 1

2 4. Gegeven is de functie g(z) = 1/(1 + 2z 2 ) op zijn natuurlijke definitiegebied in het complexe vlak. (a) Bepaal de machtreeks van g rond z = 0. (b) Bepaal voor de afgeleide g (z) = 4z/(1 + 2z 2 ) 2 de machtreeks rond z = 0. (c) Verklaar, zonder de coëfficiënten ervan te gebruiken, waarom de convergentiestraal van de machtreeks in het vorige onderdeel gelijk is aan 1/ 2. (d) Bepaal de Laurentreeks van g op de annulus {z C : z > 1/ 2}. 5. Zij u: D(0, 1) R een continue functie op de gesloten eenheidsschijf die harmonisch is op de open eenheidsschijf D(0, 1). Veronderstel dat u(x, y) = x 2 als (x, y) op de eenheidscirkel D(0, 1) ligt. (a) Toon aan dat 0 < u(x, y) < 1 als (x, y) D(0, 1). (b) Bereken u(0, 0). 6. Zij h: C C een holomorfe functie. (a) Bewijs dat j: C C, gedefinieerd door j(z) = h( z) voor z C, eveneens een holomorfe functie is. (b) Stel dat h de reële as in zichzelf afbeeldt, dus h(z) R als z R. Bewijs dat dan h(z) = h( z) voor alle z C. (c) Stel dat h zowel de imaginaire als de reële as in zichzelf afbeeldt. Bewijs dat dan h( z) = h(z) voor alle z C. 2

3 en normering 1. Toon aan dat het polynoom p(z) = z 7 + 3z 5 14z precies drie nulpunten (multipliciteiten meegerekend) in de open eenheidsschijf D(0, 1) heeft. Stelling van Rouché. Het idee is dat p(z) en g(z) = 14z 3 even veel nulpunten hebben binnen de eenheidsschijf. Volgens de stelling van Rouché is dit waar als p(ζ) g(ζ) < p(ζ) + g(ζ) op de eenheidscirkel. Merk nu op dat, als ζ = 1, p(ζ) g(ζ) = ζ 7 + 3ζ ζ ζ = 13 < 14 = g(ζ). Normering: 1 punt voor de goede formulering van Rouché, 1 punten voor de goede splitsing in p en g, 1 punt voor de ongelijkheid, 1 punt voor de drie nulpunten van 14z Beschouw de functie f: C \ {0, i, i} C, gegeven door f(z) = ei/z z (z C, z 0, i, i). (a) Bepaal voor ieder van de punten 0, i en i de aard van de singulariteit van f in het betreffende punt. (b) Toon aan dat f een ophefbare singulariteit heeft in. (c) Bepaal in ieder van de polen van f het residu van f. (d) Bereken f(z) dz, waarbij γ de contour in de onderstaande figuur γ is. 3

4 (a) Polen van orde 1 in ±i en essentiele singulariteit in 0. (b) De functie heeft een ophefbare singulariteit in als lim z 0 f(1/z) bestaat. Schrijf dit uit. (c) Zoals al blijkt uit het antwoord in a) zijn de polen van orde 1 en is het residu dus gelijk aan lim z ±i f(z) (z ± i). (d) Volgens de residuenstelling is de integraal gelijk aan 2πi keer de som van de residuen, gewogen met de windingsgetallen. De kromme loopt duidelijk 1 keer rond +i tegen de klok in en 1 keer rond i met de klok mee. Het eerste windingsgetal is +1 en het tweede is 1. Normering: (a) 2 punten waarvan 1 voor de polen en 1 voor de essentiële singulariteit (b) 1 punt (c) 1 punt (d) 2 punten waarvan 1 voor de residuenstelling (expliciet geformuleerd of blijkend uit de wijze van berekening) en 1 voor het goed bepalen van de windingsgetallen. Bij onderdeel (a) hoeft de orde van de pool niet te worden genoemd: dit komt vanzelf bij (c) terug. 3. Bereken 0 x sin x 1 + x 2 dx. De functie is even, dus x sin x dx = 2 x sin x dx. Schrijf de sinus 1+x x 2 als het imaginaire deel van e ix dus x sin x dx = Im 1 + x2 xe ix 1 + x 2 dx. De functie f(z) = zeiz 1+z 2 is holomorf buiten de polen ±i. Neem de standaardcontour γ R van R naar +R langs de x-as en via een cirkelboog terug door het bovenhalfvlak. Volgens de stelling van Cauchy is 4

5 γ R f(z) dz = 2πi Res(i) = 2πi 1 2e = πi e. Nu moeten we beredeneren dat de bijdrage aan de integraal van de cirkelboog naar nul gaat als R. Dat kun je niet doen op de standaardmanier: maximum van de functie booglengte, want de teller is orde R en de noemer is orde R 2. Een methode om in te zien dat het toch klopt gaat als in voorbeeld in het boek. Verdeel de boog in twee stukken: y > R en y < R. Normering: even functie 1 punt; schrijven als imaginair deel 1 punt; residu in i 1 punt; contour 1 punt; het probleem van de contour zien en oplossen samen 1 punt; rekenwerk inclusief correcte afschattingen 1 punt. 4. Gegeven is de functie g(z) = 1/(1 + 2z 2 ) op zijn natuurlijke definitiegebied in het complexe vlak. (a) Bepaal de machtreeks van g rond z = 0. (b) Bepaal voor de afgeleide g (z) = 4z/(1 + 2z 2 ) 2 de machtreeks rond z = 0. (c) Verklaar, zonder de coëfficiënten ervan te gebruiken, waarom de convergentiestraal van de machtreeks in het vorige onderdeel gelijk is aan 1/ 2. (d) Bepaal de Laurentreeks van g op de annulus {z C : z > 1/ 2}. (a) De moeder van alle machtreeksen is 1/(1 x) = 1+x+x 2 +x voor x < 1. Hier geeft dit dus dat voor z klein genoeg z = ( 2) n z 2n, 2 (b) Machtreeksen kunnen termsgewijs gedifferentieerd worden op hun convergentieschijf. (c) Voor de Laurentreeks op het buitengebied moet je de functie ontwikkelen in machten van 1/z. Het is het handigste om de Laurentreeks van g te bepalen: omdat die uniform convergeert kun je die immers termsgewijs differentiëren. 5 n=0

6 Normering: (a) 1 punt (b) 1 punt (c) 1 punt (d) 2 punten waarvan 1 voor de opmerking dat je moet ontwikkelen naar 1/z. 5. Zij u: D(0, 1) R een continue functie op de gesloten eenheidsschijf die harmonisch is op de open eenheidsschijf D(0, 1). Veronderstel dat u(x, y) = x 2 als (x, y) op de eenheidscirkel D(0, 1) ligt. (a) Toon aan dat 0 < u(x, y) < 1 als (x, y) D(0, 1). (b) Bereken u(0, 0).. Een enkeling ziet misschien dat de oplossing van dit Dirichlet probleem gelijk is aan 1 2 (1+x2 y 2 ). Omdat de oplossing uniek is volgen de antwoorden hieruit, maar bij deze redeneerwijze moet de uniciteitsstelling dan wel volledig en correct vermeld staan. (a) Het maximum op de rand is 1 en het minimum is daar 0. Gebruik het maximum/minimum-principe voor harmonische functies. (b) De waarde in 0 is het gemiddelde van de waarde op de eenheidscirkel, dit is een eenvoudig geval van de toepassing van de Poisson kern in Normering: (a) 1 punt (b) 2 punten waarvan 1 voor de opmerking dat u(0, 0) het gemiddelde is en 1 voor het opstellen/uitrekenen van de integraal. Bij het opstellen van de integraal moet er wel een argument gegeven worden waarom het klopt voor straal 1. Indien dit het alternatieve argument hierboven is hoeft uniforme convergentie niet geverifieerd te worden. 6. Zij h: C C een holomorfe functie. (a) Bewijs dat j: C C, gedefinieerd door j(z) = h( z) voor z C, eveneens een holomorfe functie is. (b) Stel dat h de reële as in zichzelf afbeeldt, dus h(z) R als z R. Bewijs dat dan h(z) = h( z) voor alle z C. (c) Stel dat h zowel de imaginaire als de reële as in zichzelf afbeeldt. Bewijs dat dan h( z) = h(z) voor alle z C. (a) Kun je doen via Cauchy-Riemann, maar dan moet je rekenen. Het handigst is: een functie h is holomorf rond P dan en slechts dan als h rond P te ontwikkelen is in een machtreeks in z P. (b) Twee holomorfe functies zijn gelijk als ze overeenstemmen op een 6

7 verzameling met een verdichtingspunt dat binnen hun domein van holomorfie ligt. Op de reële rechte doet de conjugatie operatie niets. (c) Onderdeel b was spiegelen in de x-as en nu kunnen we ook spiegelen in de y-as. De cruciale opmerking is dat z = z als z volledig imaginair is. Normering: (a) 1 punt (b) 1 punt (c) 1 punt. Punten per opgave (in totaal 27): 1: 4 2: 6 3: 6 4: 5 5: 3 6: 3 Tentamencijfer = (som van de punten + 3)/3. Eindcijfer = max(t, 0.8T + 0.2H), met de gebruikelijke afronding. Hierbij is T het tentamencijfer en H het gemiddelde huiswerkcijfer. 7