Approximatietheorie. De Stelling van Carleman. Mies Versloot. 14 juli Bachelorproject Begeleiding: prof. dr. Jan Wiegerinck

Transcriptie

1 Approximatietheorie De Stelling van Carleman Mies Versloot 14 juli 2017 Bachelorproject Begeleiding: prof. dr. Jan Wiegerinck Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

2 Samenvatting We bespreken eerst de constructie van de Algemene Stelling, die ons vertelt wanneer we op een gesloten verzameling in C met leeg inwendige continue functies tangentieel kunnen benaderen met holomorfe functies op C. Hiervoor hebben we de Stelling van Arakelian nodig, die ons vertelt wanneer we op een gesloten verzameling in C een continue functie die holomorf is op het inwendige uniform kunnen benaderen met holomorfe functies op C. Verder kijken we naar het verband tussen uniforme en tangentiële approximatie. Een gesloten verzameling met leeg inwendige laat tangentieel approximatie toe als en alleen als deze verzameling uniforme approximatie toelaat. Vervolgens kijken we naar de belangrijkste stelling van deze scriptie, de Stelling van Carleman, een speciaal geval van de Algemene Stelling. De Stelling van Carleman zegt dat continue functies op R tangentieel te benaderen zijn met holomorfe functies op C. Hiervan geven we een eigen bewijs, dat we zullen uitbreiden voor andere verzamelingen die ook aan de Algemene Stelling voldoen. Titel: Approximatietheorie De Stelling van Carleman Auteur: Mies Versloot, Begeleiding: prof. dr. Jan Wiegerinck Einddatum: 14 juli 2017 Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam 2

3 Inhoudsopgave Inleiding 4 1 Voorkennis Topologie Maattheorie en Functionaalanalyse Approximatietheorie De Algemene Stelling Stelling van Arakelian Verband uniforme en tangentiële benadering Speciale gevallen Stappenplan Stelling van Carleman Andere gevallen Conclusie 31 5 Populaire samenvatting 32 Bibliografie 34 3

4

5 Inleiding Het onderwerp van deze scriptie, Approximatietheorie, beschrijft een groot vakgebied in de wiskunde. Approximatietheorie: het benaderen van functies met andere functies, kan op heel veel verschillende manieren, met verschillende soorten functies, op verschillende soorten verzamelingen. In deze scriptie zullen we ons vooral richten op de Stelling van Carleman. Dit is een stelling die in 1927 bewezen is door de Zweedse wiskundige Torsten Carleman ( ). Carleman hield zich bezig met klassieke analyse en de toepassingen daarvan. Zijn grootste interesses naast Approximatietheorie waren Integratietheorie en Quasi-analytische functies. [2] Torsten Carleman In deze scriptie kijken we hoofdzakelijk naar de volgende stelling: Stelling van Carleman. Zij f een continue functie op R en ε een positieve continue functie op R. Dan bestaat er een holomorfe functie h op C zodat voor t R geldt f(t) h(t) < ε(t). In het eerste hoofdstuk bespreken we een aantal resultaten uit verschillende delen van de wiskunde die we later nodig gaan hebben voor het bewijzen van de stellingen in deze scriptie. In het tweede hoofdstuk zullen we kijken naar de constructie van de Algemene Stelling: Algemene Stelling. Zij F C, F gesloten in C, F = met eigenschappen (K 1 ) en (K 2 ). Zij verder f C(F ) en ε een positieve continue functie op F, dan bestaat er een holomorfe functie h op C zodat voor alle t F geldt f(t) h(t) < ε(t) We bespreken de eigenschappen (K 1 ) en (K 2 ) later in deze scriptie. De Stelling van Carleman is een speciaal geval van de Algemene Stelling: R is gesloten in C, het inwendige van R is leeg en R voldoet aan de eigenschappen (K 1 ) en (K 2 ), zoals we later zullen bewijzen. De Algemene Stelling is gebaseerd op de Stelling van Arakelian. Een stelling die in 1968 werd bewezen door de Armeense wiskundige Norair Arakelian (1936- heden). Norair Arakelian 4

6 Stelling van Arakelian. Zij F G gesloten met G een gebied waarvoor geldt dat F eigenschappen (K 1 ) en (K 2 ) heeft. Zij verder f A(F ) en ε > 0, dan bestaat er een holomorfe functie h op G zodat voor alle t F geldt f(t) h(t) < ε Om de Algemene Stelling compleet te maken, bekijken we het verband tussen uniforme approximatie, de meest bekende manier van benaderen, en tangentiële approximatie, de manier van benaderen die ook in de stelling van Carleman gebruikt wordt. Bij tangentiële approximatie willen we het verschil tussen twee functies kleiner krijgen dan een positieve continue functie ε(t), waar we bij uniforme approximatie het verschil kleiner willen krijgen dan een positieve constante ε. Het blijkt dat tangentiële approximatie een sterkere manier van benaderen is dan uniforme approximatie. Verder bewijzen we dat deze manieren equivalent zijn als het inwendinge van het domein van onze functie leeg is. Tenslotte gaan we in het derde hoofdstuk verder in op de Stelling van Carleman, we zullen hier een eigen bewijs met behulp van een opgave uit [12] geven. Dit bewijs zullen we uitbreiden naar andere verzamelingen die voldoen aan de Algemene Stelling. Dit is het hoofddoel van deze scriptie. 5

7 1 Voorkennis Voordat we naar de Algemene Stelling en de Stelling van Carleman kunnen kijken hebben we eerst een paar resultaten nodig uit verschillende delen van de analyse. Deze resultaten zullen in latere hoofdstukken gebruikt worden om andere stellingen te bewijzen. 1.1 Topologie De volgende definities komen uit de topologie en zijn te vinden in [1] en [4] deze definities zijn vooral van toepassing in Sectie 2.1. Definitie 1.1 (Lokaal samenhangend). Een topologische ruimte S heet lokaal samenhangend in a S, als voor iedere omgeving U van a een samenhangende verzameling V U bestaat, waar a in bevat zit. De ruimte S heet lokaal samenhangend als deze lokaal samenhangend is in elk punt. Deze definitie zullen we illustreren aan de hand van een voorbeeld: Voorbeeld 1.2. We bekijken de verzameling F = [ 1, 0) (0, 1]. Deze verzameling is zeker niet samenhangend, maar wel lokaal samenhangend. Als we een punt a F, a 1, 1, dan geldt voor elke open omgeving van dit punt a dat het interval (a ε, a+ε) voor een ε > 0 bevat moet zitten in deze omgeving, dit interval is samenhangend. Voor 1 geldt dat voor elke open omgeving van dit punt het interval [ 1, 1 + ε) voor een ε > 0 bevat moet zitten in deze omgeving, dit interval is ook samenhangend. Analoog voor het punt 1. Dus F is lokaal samenhangend in elk punt en dus lokaal samenhangend. Definitie 1.3 (Eenpunts-compactificatie). Voor een verzameling G C definiëren we de eenpunts-compactificatie van G als G = G { }, met een ideaal punt. In G geldt dat E G open is als E open is in G of als E = G \K voor een compacte deelverzameling K van G. Opmerking 1.4. We zeggen dat een continue kromme γ een punt in G met het ideale punt van G verbindt als voor elke compacte deelverzameling K G geldt dat er een punt op γ is dat buiten K ligt. Dat wil zeggen γ : [0, 1) G zodat lim γ(t) = t 1 We zullen in deze scriptie vooral de definitie van lokaal samenhangend in het punt gebruiken, waarbij S = C, de eenpuntscompactificatie van C. 6

8 1.2 Maattheorie en Functionaalanalyse De volgende stellingen komen uit de maattheorie ([11]) en functionaalanalyse ([10]) en zullen we gebruiken in Sectie 3.2. Stelling 1.5 (Gedomineerde convergentiestelling van Lebesgue). Zij (X, A, µ) een maatruimte en (u j ) j N L 1 (µ) een rij van functies zodat u j w voor alle j N en een w L 1 +(µ). Als u(x) = lim j u j (x) bestaat voor bijna elke x X, dan u L 1 (µ) en we hebben lim j u j dµ = lim u jdµ j Stelling 1.6 (Stelling van Hahn-Banach). Zij X een reële of complexe genormeerde ruimte en W een lineaire deelruimte van X. Voor elke f W W bestaat er een uitbreiding f X X van f W zodat f X = f W. Waarbij W en X de duale van W respectievelijk X aangeven. De volgende stelling is een direct gevolg van de stelling van Hahn-Banach. Stelling 1.7. Zij X een reële of complexe genormeerde ruimte en W een lineaire deelruimte van X. Veronderstel nu dat x X voldoet aan δ = inf x w > 0 w W Dan bestaat er L X zodat L = 1, L(x) = δ, en L(w) = 0 voor alle w W. Gevolg 1.8. Als voor alle lineaire functionalen L op X waarvoor geldt dat deze identiek 0 is op W impliceert dat deze identiek 0 is op heel X, dan geldt W = X, dat wil zeggen dat W dicht ligt in X. Bewijs. Dit is precies de contrapositief van Stelling 1.7 Opmerking 1.9. Een deelverzameling van R 2 kan canoniek ingebed worden in C, dus een deelverzameling van R 2 kunnen we zien als een deelverzameling van C. Stelling Bekijk de grafiek G(f) van een reële continue functie f als een deelverzameling van C, dan is deze verzameling gesloten in C. Bewijs. We nemen {z n } met z n = x n + iy n een rijtje in G(f) dat convergeert naar z = x + iy in C. Dan convergeert {x n } naar x in R en {y n } naar y in R. Verder geldt dat y n = f(x n ) voor alle n N, want z n G(f) voor alle n N. Omdat f een continue functie is, geldt y = lim y n = lim f(x n) = f(x). n n Hieruit volgt dat z = x + if(x), dus z G(f), zodoende is G(f) gesloten in C. 7

9 1.3 Approximatietheorie Verder zijn er voor deze scriptie een aantal stellingen uit de approximatietheorie nodig, deze komen uit het eerste hoofdstuk van de syllabus Advanced Function Theory [12] en het boek Vorlesungen über Approximation im Komplexen [1]. Stelling 1.11 (Approximatiestelling van Stone-Weierstrass). Zij K compact in R n. Dan geldt dat elke continue functie f op K uniform benaderd kan worden met polynomen. Stelling 1.12 (Stelling van Runge). Zij f holomorf op een omgeving van een compacte verzameling K C. Dan is f op K de uniforme limiet van een rij van rationale functies met hoogstens polen in het complement van K. Gevolg Als C\K uit één component bestaat dan is f de uniforme limiet van holomorfe polynomen op K. Stelling 1.14 (Stelling van Hartogs-Rosenthal). Veronderstel dat K een compacte verzameling in C is van 2-dimensionaal Lebesgue maat 0. Dat liggen de rationale functies met polen buiten K dicht in C(K). Stelling 1.15 (Mergelyan). Zij K een compacte verzameling in C zodat C\K samenhangend is. Zij f een continue functie op K die holomorf is op het inwendige van K. Dan is f de uniforme limiet van een rij van holomorfe polynomen op K. Het bewijs van de stelling van Mergelyan zullen we in deze scriptie niet geven, dit is te vinden in [1, p. 92] De voorgaande stellingen vertellen ons allemaal iets over approximatie op compacte verzamelingen. In deze scriptie zullen we kijken naar approximatie op gesloten verzamelingen en dan vooral deelverzamelingen van C. Deze verzamelingen zijn dus in tegenstelling tot de eerder genoemde compacte verzamelingen onbegrensd, maar door de compacte en dus begrensde verzamelingen uit te breiden kunnen we wat zeggen over de gesloten, onbegrensde verzamelingen. 8

10 2 De Algemene Stelling In dit hoofdstuk gaan we in op de constructie van de Algemene Stelling van deze scriptie. Deze stelling vertelt ons wanneer we op een gesloten verzameling in C met leeg inwendige continue functies tangentieel kunnen benaderen met holomorfe functies op C. Voordat we deze stelling kunnen formuleren moeten we het eerst hebben over de Stelling van Arakelian en een stelling over een nieuwe manier van benaderen, tangentiële approximatie. Beide stellingen komen uit het boek Vorlesungen über Approximation im Komplexen van Dieter Gaier [1]. In dit hoofdstuk zullen we ons vooral richten op de constructie van deze Algemene Stelling, het bewijs hiervan zullen we achterwege laten. Naast deze constructie zullen de stellingen ondersteund worden met voorbeelden die we wel bewijzen. 2.1 Stelling van Arakelian De Stelling van Arakelian is in 1968 geformuleerd en bewezen door de Armeense wiskundige Norair Arakelian. Deze stelling vertelt ons wanneer een continue functie op een gesloten verzameling uniform approximeerbaar is. Voordat we de Stelling van Arakelian kunnen formuleren, moeten we eerst twee eigenschappen definiëren. Definitie 2.1. Een verzameling F G, F gesloten in G, met G een willekeurig gebied voldoet aan eigenschap (K 1 ) als G \F samenhangend is. Voorbeeld 2.2. We nemen F = {z C : z 1} en G = C. Eerst tonen we aan dat F gesloten is in C. Het complement van F in G is gelijk aan {z C : z > 1}. Om aan te tonen dat deze verzameling open is in C, nemen we een punt z 0 {z C : z > 1} en ε = z 0 e Arg(z 0)i. Dan geldt dat B ε (z 0 ) = {z C : z z 0 < ε} bevat zit in {z C : z > 1}, waaruit we kunnen concluderen dat deze verzameling open is in C, dus F is gesloten in C. Vervolgens moeten we laten zien dat 9

11 G \F = {z C : z > 1} { } samenhangend is. Hiervoor gebruiken we het feit dat een padsamenhangende verzameling ook samenhangend is. Om aan te tonen dat de verzameling padsamenhangend is moeten we aantonen dat er een continue kromme tussen elke twee punten in G \F bestaat. Voor twee willekeurige punten v, w {z C : z > 1} nemen we de kromme γ : [0, 1] {z C : z > 1} met γ(t) = (1 t)v + tw. Voor de continue kromme tussen een willekeurig punt y {z C : z > 1} en, definiëren we de kromme ρ : [0, 1) {z C : z > 1} met ρ(t) = yt 1 1 t, zodat lim t 1 ρ(t) =. Dus tussen elke twee punten in G \F bestaat een pad, dit geeft ons dat G \F padsamenhangend is, en dus samenhangend. Hiermee geldt dat F = {z C : z 1} aan eigenschap (K 1 ) voldoet. Voorbeeld 2.3. We nemen F = {z C : 1 2 z 1} en G = C. We tonen eerst aan dat F gesloten is in C. Het complement van F in G is gelijk aan {z C : z > 1} {z C : z < 1 2 }. In het vorige voorbeeld hebben we al bewezen dat {z C : z > 1} een open verzameling is in C. Om aan te tonen dat ook {z C : z < 1 2 } open is in C, nemen we een z 0 {z C : z < 1 2 } en ε = z earg(z0)i. Dan geldt dat B ε (z 0 ) = {z C : z z 0 < ε} bevat zit in {z C : z < 1 2 }, waardoor deze verzameling open is in C. Hierdoor geldt dat het complement van F in G de vereniging is van twee open verzamelingen, wat opnieuw open is. Dus F is gesloten in C. Hier geldt echter dat G \F niet samenhangend is. Zoals eerder gezegd is de verzameling {z C : z < 1 2 } open in C, dus deze verzameling is wegens Definitie 1.3 ook open in C. Ook geldt dat {z C : z > 1} open is in C en wegens opnieuw Definitie 1.3 geldt dat {z C : z > 1} { } open is in C. Dus we hebben twee open verzamelingen waarvoor geldt dat ze disjunct, niet-leeg en open zijn en er geldt dat de vereniging gelijk is aan G \F. Dus deze verzamelingen vormen een splitsing van G \F, dus G \F is niet samenhangend. Hieruit kunnen we concluderen dat F = {z C : 1 2 z 1} niet aan eigenschap (K 1 ) voldoet. De tweede eigenschap gaat over lokaal samenhangendheid in. Definitie 2.4. Een verzameling F G, F gesloten in G, met G een willekeurig gebied voldoet aan eigenschap (K 2 ) als G \F lokaal samenhangend is in. 10

12 De definitie van lokaal samenhangend is besproken in Hoofdstuk 1 (Definitie 1.1). Lokaal samenhangend in betekent dus dat voor elke omgeving U van er een samenhangende verzameling V U bestaat zodat V. Deze definitie is voor het punt ook anders te formuleren. Lemma 2.5 (Lokaal samenhangend). De ruimte G \F is lokaal samenhangend in als en alleen als geldt dat voor iedere omgeving U van er een omgeving V U van bestaat zodat ieder punt z V \F, z door een continue kromme γ U\F in G met verbonden kan worden. Dit lemma zegt eigenlijk dat een verzameling lokaal samenhangend is in als en alleen als deze lokaal wegsamenhangend is in. Dat lokaal wegsamenhangendheid lokaal samenhangendheid impliceert is een bekend resultaat, de andere kant op is daarentegen niet triviaal, het bewijs hiervan wordt gegeven in [1, p ]. Er volgen nu twee voorbeelden waarbij de eerste verzameling G \F wel lokaal samenhangend is in en de tweede juist niet. Voorbeeld 2.6. We nemen G = C en F de vereniging van twee spiralen naar, zoals afgebeeld in onderstaande afbeelding. Het middelpunt van deze spiralen is het punt en deze spiralen lopen vanaf 0. Om aan te tonen dat deze verzameling F gesloten is in C kijken we eerst naar één spiraal, de vereniging van gesloten verzamelingen is opnieuw gesloten. Deze spiraal is de grafiek G(f) van een continue functie f : R R 2 voor een zekere b R als deelverzameling van C. Daarom kunnen we Stelling 1.10 gebruiken. Deze stelling geeft ons dat de spiraal gesloten is in C. Dit geldt voor beide spiralen, dus F is gesloten in C. De verzameling G \F is daarnaast ook lokaal samenhangend in. Voor elke open omgeving U van is er een ε > 0 zodat B ε ( )\F bevat zit in U. Dit bolletje is samenhangend. Beide spiralen zijn een spiraal naar 0 getransformeerd met de functie 1 z. Deze spiralen naar 0 zijn van de vorm { x(t) = be at cos(t) y(t) = be at sin(t) De spiralen uit F hebben dezelfde a R maar een andere br. Voor een punt z 0 B ε ( )\F geldt dat dit punt op een spiraal ligt die niet één van de twee spiralen uit F 11

13 is, dus een spiraal met dezelfde a als de spiralen uit F maar een andere b. Nu kunnen we als continue kromme γ : [0, 1) B ε ( )\F van z 0 naar deze spiraal nemen met lim γ(t) =. t 1 Dus B ε ( )\F is padsamenhangend en daarmee samenhangend. Zodoende is G \F lokaal samenhangend in. Hieruit volgt dat F aan eigenschap (K 2 ) voldoet. Voorbeeld 2.7. We nemen G = C en F n = {z C : z = n}, voor alle n N. Definieer F = n N F n C. We tonen eerst aan dat deze verzameling gesloten is in C. We nemen een punt z 0 G\F, dan geldt z 0 / N en we kiezen ε = min{ z z, z z }. Dan geldt dat B ε (z 0 ) = {z C : z z 0 < ε} bevat zit in G\F. Hiermee is G\F open in C en F gesloten in C. Hier geldt echter dat G \F niet lokaal samenhangend is in. We nemen een omgeving U van, dan geldt voor elke omgeving V U van dat er een n N bestaat zodat F n V. Hierdoor is V niet samenhangend, V kan altijd gesplitst worden in het deel onder de verzameling F n en het deel boven deze verzameling. Zodoende geldt dat G \F niet lokaal samenhangend is in. De verzameling F = n N F n C met F n = {z C : z = n} voldoet dus niet aan eigenschap (K 2 ). Met deze twee definities heeft Norair Arakelian de volgende stelling geformuleerd en bewezen. Stelling 2.8 (Stelling van Arakelian). Zij F G gesloten met G een gebied waarvoor geldt dat F eigenschappen (K 1 ) en (K 2 ) heeft. Zij verder f A(F ) en ε > 0, dan bestaat er een holomorfe functie h op G zodat voor alle t F geldt f(t) h(t) < ε Voor deze scriptie zullen we alleen kijken naar G = C. We zullen het bewijs van deze stelling niet geven. 12

14 Voorbeeld 2.9. We nemen F = R C. Eerst laten we zien dat R gesloten is in C. Hiervoor kijken we naar het complement C\R. We nemen een z 0 C\R met z 0 = x 0 + iy 0 en ε = y 0. Dan geldt dat B ε (z 0 ) = {z C : z z 0 < ε} bevat zit in C\R, zodoende is C\R open in C en R gesloten in C. We willen laten zien dat deze verzameling aan eigenschap (K 1 ) en (K 2 ) voldoet. Dus C \R is samenhangend en lokaal samenhangend in. Om te laten zien dat C \R samenhangend is gebruiken we het feit dat padsamenhangendheid samenhangendheid impliceert. Padsamenhangend zegt dat er tussen elke twee punten in een verzameling een continue kromme bestaat die deze punten verbindt. We definiëren de continue kromme ρ z : [0, 1) C\R tussen z C\R en zodat Dan geldt ρ z (t) = (1 t)z + 1, voor t [0, 1). 1 t lim ρ 1(t) =, t 1 en ρ z C\R. Dus we kunnen elk punt z C\R met een continue kromme ρ z C\R met verbinden. Nu kunnen we twee willekeurige punten v, w C\R verbinden door als continue kromme de kromme γ := ρ 1 v ρ w te nemen zodat { ρw (2t) als t [0, 1 2 γ(t) = ] ρ 1 v (2t 1) als t [ 1 2, 1]. Dus C \R is padsamenhangend en daarmee samenhangend. Om aan te tonen dat C \R ook lokaal samenhangend is in bekijken we een open omgeving U van in C \R. We zien dat er altijd een ε > 0 bestaat zodat B ε ( )\R bevat zit in U. Deze verzameling is samenhangend. Net als bij de gehele verzameling gebruiken we opnieuw dat deze verzameling padsamenhangend is. Met dezelfde continue krommes als voor de gehele verzameling zien we dat er een pad is tussen elk paar punten in B ε ( )\R, dus B ε ( )\R is padsamenhangend en samenhangend. Hiermee hebben we bewezen dat C \R lokaal samenhangend is in. Hieruit volgt dat de verzameling F = R aan eigenschap (K 1 ) en (K 2 ) voldoet en elke continue functie op R dus uniform benaderd kan worden met een holomorfe functie op C. 13

15 Voorbeeld We nemen F = {z C : z = 1}. We moeten eerst laten zien dat deze verzameling gesloten in C. Hiervoor kijken we naar het complement {z C : z 1}. We nemen z 0 {z C : z 1} en ε = z 0 e iarg(z 0). Dan geldt dat B ε (z 0 ) = {z C : z z 0 < ε} bevat zit in {z C : z 1}. Dus is {z C : z 1} open in C en {z C : z = 1} gesloten in C. Verder geldt dat deze verzameling wel aan eigenschap (K 2 ) voldoet, maar niet aan eigenschap (K 1 ). Om aan te tonen dat F aan eigenschap (K 2 ) voldoet, laten we zien dat C\F lokaal samenhangend is in. We zien dat als we een open omgeving U van nemen in C\F, er altijd een ε > 0 bestaat zodat B ε ( ) bevat zit in U. Dit bolletje is samenhangend voor elke ε > 0, dus C\F is lokaal samenhangend in. Hieruit volgt dat F = {z C : z = 1} aan eigenschap (K 2 ) voldoet. De verzameling C \F is echter niet samenhangend. Neem U = {z C : z < 1} en V = {z C : z > 1} { }, er geldt dat U en V open zijn in C. De verzameling U is open in C en met Definitie 1.3 ook open in C. Verder geldt dat V = C \K met K = {z C : z 1}, deze verzameling is gesloten en begrensd en daarom compact in C, dus met Definitie 1.3 is V open in C. Ook geldt dat C \F = U V, daarnaast zijn U en V niet-leeg en disjunct. Dit geeft ons dat er een splitsing bestaat van C \F, dus deze verzameling is niet samenhangend. De verzameling F = {z C : z = 1} voldoet dus niet aan de voorwaarden van stelling van Arakelian. Dus er bestaat een continue functie f op F en een ε > 0 zodat voor alle holomorfe functies h op C geldt dat f(z) h(z) ε. We bekijken de functie f(z) = 1 z op F, stel dat deze functie wel te benaderen is met een holomorfe functie h op C, dan geldt 1 z h(z) < 1 2. Dan geldt ook F 1 z h(z) dz < F 1 2 dz. 14

16 We zien dat F 1 z h(z) dz = = F F F 1 z h(z)dz 1 z dz h(z)dz F 1 z dz = 2πi = 2π. Ook zien we dat Dit geeft een tegenspraak, dus f(z) = 1 z F 1 dz = π. 2 is niet te benaderen op F. In het volgende voorbeeld geven we een verzameling die wel aan eigenschap (K 1 ) voldoet maar niet aan eigenschap (K 2 ). Voorbeeld We nemen eerst G = C \{0} en F = C (\{x+iy : x R\{0}, sin(1/x) x < y < sin(1/x)+ x } {0}). We zeggen f(x) = sin(1/x)+ x en g(x) = sin(1/x) x. We laten zien dat voor deze verzamelingen geldt dat F G gesloten is, dat G \F samenhangend is en dat G \F niet lokaal samenhangend is in 0. Als we vervolgens op deze verzamelingen de transformatie 1 z toepassen, deze transformatie is continu op C \{0}, dan zien we dat voor de verzamelingen Ĝ = C en ˆF gelijk aan F na de transformatie met 1 z geldt dat Ĝ \ ˆF samenhangend is, maar niet lokaal samenhangend in, dus deze verzamelingen voldoen wel aan eigenschap (K 1 ) maar niet aan eigenschap (K 2 ). Er geldt dat F G want 0 / F. Ook geldt dat F gesloten is in G, hiervoor kijken we naar G\F. Deze verzameling is open, we nemen z 0 {x+iy : x R\{0}, sin(1/x) x < y < sin(1/x)+ x }, f(x) en g(x) kruisen niet en er zal altijd ruimte δ > 0 tussen de lijnen voor en na een top blijven. Wegens continuïteit van de sinus geldt dat er ε 1 > 0 een η 1 > 0 bestaat zodat als z 0 z < η 1 impliceert dat f(z 0 ) f(z) < ε 1. Hetzelfde geldt voor g(x) met ε 2 en η 2. Als we nu µ := min{δ, f(z 0 ) ε 1, g(z 0 ) ε 2, η 1, η 2 } nemen, dan geldt dat B µ (z 0 ) bevat zit in {x + iy : x R\{0}, sin(1/x) x < y < sin(1/x) + x }. Dus {x + iy : x R\{0}, sin(1/x) x < y < sin(1/x) + x } is open in G en F is gesloten in G. 15

17 Om te laten zien dat F aan eigenschap (K 1 ) voldoet moeten we laten zien dat G \F samenhangend is. Er geldt G = G {0} in dit geval, dus G = C. Eerst merken we op dat de verzamelingen {x + iy : x R + \{0}, sin(1/x) x < y < sin(1/x) + x } en {x + iy : x R \{0}, sin(1/x) x < y < sin(1/x) + x } padsamenhangend zijn. Om te bewijzen dat de gehele verzameling samenhangend is moeten we laten zien dat er geen splitsing bestaat, dit doen we met tegenspraak. Stel dus dat er wel een splitsing bestaat, er bestaan U en V niet-leeg, disjunct en open in C zodat G \F = U V. Dan geldt dat 0 U of 0 V, zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat 0 U. De verzameling U moet open zijn, dus er bestaat een bolletje van straal ε om 0 dat bevat zit in U. Dit bolletje moet een deel van {x + iy : x R + \{0}, sin(1/x) x < y < sin(1/x)+ x } en een deel van {x+iy : x R \{0}, sin(1/x) x < y < sin(1/x)+ x } bevatten. Deze verzamelingen zijn beide padsamenhangend, daardoor moeten {x + iy : x R + \{0}, sin(1/x) x < y < sin(1/x)+ x } en {x+iy : x R \{0}, sin(1/x) x < y < sin(1/x) + x } in hun geheel bevat zitten in U. Dan geldt U = G \F, dus V is leeg. Tegenspraak, dus G \F is samenhangend. Hiermee hebben we laten zien dat F aan eigenschap (K 1 ) voldoet. Nu laten we zien dat G \F niet lokaal samenhangend is in 0. We zien dat voor elke omgeving van 0 waarvoor geldt dat de afstand tot 0 maximaal 1 2 is geldt dat het niet meer mogelijk is om van elk punt met een continue kromme naar 0 te komen. De verzameling wordt afgebroken en daardoor zit er elke keer een stuk uit F tussen. Dus geldt met Lemma 2.5 er geldt dat G \F niet lokaal samenhangend is in 0. Hiermee geldt wat we eerder gesteld hadden, dus ˆF met Ĝ = C voldoet wel aan eigenschap (K 1 ) maar niet aan eigenschap (K 2 ). 2.2 Verband uniforme en tangentiële benadering De meest bekende manier van benaderen die gebruikt wordt in de analyse is uniforme approximatie. Deze manier van benaderen kan met holomorfe functies en meromorfe functies. Notatie Zij F een gesloten verzameling dan noteren we de functies die continu zijn op F en holomorf op het inwendige van F met A(F ). Opmerking Als F een leeg inwendige heeft geldt A(F ) = C(F ). Definitie 2.14 (Meromorfe functie). Een functie f heet meromorf op een gebied G als f holomorf is in alle punten van G met uitzondering van geïsoleerde singuliere punten die allemaal polen van f zijn. [12] Definitie 2.15 (Uniforme approximatie). Een functie f A(F ) heet uniform holomorf (meromorf) approximeerbaar als voor alle ε > 0 er een holomorfe functie g (meromorfe functie m) op G bestaat zodat f(t) g(t) < ε, ( f(t) m(t) < ε, ) voor alle t F. Een andere, sterkere, manier van benaderen is tangentiële approximatie, hier willen we het verschil tussen de functie en zijn benadering niet kleiner praten dan een zeker positief getal, maar zelfs kleiner dan een willekeurige positieve functie. 16

18 Definitie 2.16 (Tangentiële approximatie). Een functie f A(F ) heet tangentieel holomorf (meromorf) approximeerbaar als voor elke positieve continue functie ε(t) er een holomorfe functie g (meromorfe functie m) op G bestaat zodat f(t) g(t) < ε(t), ( f(t) m(t) < ε(t), ) voor alle t F. Het is gemakkelijk in te zien dat tangentiële approximatie uniforme approximatie impliceert, neem voor ε(t) de constante functie zodat ε(t) = ε voor alle t F. De implicatie de andere kant op is niet zo triviaal en is ook niet noodzakelijk waar. Stelling Zij G een gebied en F G gesloten in G met F = dan geldt voor iedere continue functie f op F dat deze tangentieel approximeerbaar met een holomorfe functie of een meromorfe functie op G is alleen en alleen als deze uniform approximeerbaar is met een holomorfe functie respectievelijk meromorfe functie op G. Bewijs. Zoals net al genoemd is de implicatie van links naar rechts triviaal door voor ε(t) een constante functie te nemen. De implicatie van rechts naar links is minder triviaal. We zullen deze eerst voor holomorfe functies bewijzen en daarna voor meromorfe functies. We willen bewijzen dat als een continue functie f op F uniform approximeerbaar is met holomorfe functies op G dat deze dan ook tangentieel approximeerbaar is met holomorfe functies op G. Dus als voor alle ε > 0 geldt dat er een holomorfe functie g op G bestaat zodat f(t) g(t) < ε voor alle t F, dan geldt voor alle positieve continue functies ε(t) op F dat er een holomorfe functie h op G bestaat zodat f(t) h(t) < ε(t) voor alle t F. De functie ε(t) is een positieve continue functie op F, hierdoor is log ε(t) een continue functie op F. We hebben aangenomen dat elke continue functie f op F uniform holomorf approximeerbaar is, dus ook log ε(t). Dit geeft ons dat er een een holomorfe functie g 1 op G bestaat zodat log ε(t) g 1 (t) < 1 voor alle t F. Nu definiëren we de functie h = e g 1 1, deze functie is opnieuw holomorf op G, vanwege het feit dat de e-macht een gehele functie is. Deze functie h heeft geen nulpunten op G, dus kunnen we kijken naar de continue functie f/h. Onze aanname geeft ons nu dat er een holomorfe functie g 2 op G bestaat zodat Dus (f/h)(t) g 2 (t) < 1, voor alle t F. f(t) g 2 (t)h(t) < h(t) = e g 1 1 = e Reg 1 1 log ε(t) < e = ε(t). 17

19 Aangezien het product van holomorfe functies opnieuw holomorf is, is g 2 h een holomorfe functie op G. Hiermee hebben we bewezen dat een continue functie f op F tangentieel approximeerbaar is met holomorfe functies op G als deze functie uniform approximeerbaar is met holomorfe functies op G [1]. Nu willen we bewijzen dat als een continue functie f op F uniform meromorf approximeerbaar op G dat deze dan ook tangentieel meromorf approximeerbaar is op G. Dus als er voor alle ε > 0 een meromorfe functie m op G bestaat zodat f(t) m(t) < ε, voor alle t F, dan geldt voor alle positieve continue functies ε(t) op F dat er een meromorfe functie r op G bestaat zodat f(t) r(t) < ε(t), voor alle t F. Met de aanname dat f uniform meromorf approximeerbaar is definiëren we een continue functie h(t) := min{ 1 2, ε(t)} op F. Deze functie is continu op F omdat de constante functie 1 2 continu is, en we ε(t) een positieve continue functie op F kiezen. Ook geldt dat 2 h continu is op F. Hierdoor geldt met onze aanname dat er een meromorfe functie m 1 op G bestaat zodat 2 h(t) m 1(t) < 1, voor alle t F. We kiezen deze meromorfe functie m 1 zo dat deze geen nulpunten heeft op F. Dat dit kan wordt bewezen in [9, p. 236]. Daardoor geldt dat m 1 (t) > 2 h(t) 1 > 1 h(t), want h(t) = min{ 1 2, ε(t)} < 1 voor alle t F. Aangezien de functie m 1f opnieuw een continue functie op F is, geldt er dat er nog een meromorfe functie m 2 op G bestaat zodat m 1 (t)f(t) m 2 (t) < 1, voor alle t F. Dus f(t) m 2 (t)/m 1 (t) < 1/ m 1 (t) < h(t) = min{ 1, ε(t)} ε(t). 2 We hebben m 1 zo gekozen dat deze geen nulpunten op F bevat, dus r := m 2 /m 1 is opnieuw een meromorfe functie op F. Hiermee hebben we een meromorfe functie op F gevonden zodat f(t) r(t) < ε(t), voor alle t F. De functies f en ε waren willekeurig, dus geldt voor iedere continue functie f dat deze tangentieel meromorf approximeerbaar is. [8]. Als we deze stelling nu combineren met de stelling van Arakelian krijgen we de stelling waar we in eerste instantie mee begonnen: 18

20 Stelling Zij F C, F gesloten in C, F = met eigenschappen (K 1 ) en (K 2 ). Zij verder f C(F ) en ε een positieve continue functie op F, dan bestaat er een holomorfe functie h op C zodat voor alle t F geldt f(t) h(t) < ε(t). Nu we de stelling volledig geformuleerd hebben kunnen we terugkomen op een voorbeeld van eerder. Voorbeeld In voorbeeld 2.9 hebben we gezien dat F = R voldoet aan de eigenschappen (K 1 ) en (K 2 ) en daardoor geldt met Stelling 2.1 (Stelling van Arakelian) dat elke f A(R) uniform approximeerbaar is. Nu geldt met Stelling 2.17 dat elke f A(R) ook tangentieel approximeerbaar is, aangezien het inwendige van R leeg is in C. Dit voorbeeld is de Stelling van Carleman genoemd en zal een hoofdrol spelen in Sectie

21 3 Speciale gevallen In dit hoofdstuk zullen we een aantal speciale gevallen van de algemene stelling uit Hoofdstuk 2 bewijzen. Het eerste geval dat we bekijken is de stelling van Carleman, hierbij geldt dat F = R. Vervolgens kijken we naar meer exotische gevallen. 3.1 Stappenplan De bewijzen in dit hoofdstuk zullen allemaal volgens eenzelfde structuur gaan. Daarom hebben we eerst een algemeen stappenplan opgesteld waar voor de specifieke gevallen de variabelen kunnen worden ingevuld. De variabele verzameling in het stappenplan is de verzameling X, deze moet voldoen aan de Algemene Stelling (Stelling 2.18). Stap 1 (Definities). We definiëren eerst de compacte verzamelingen K n := B(0, n) 1 (B(0, n + 1) X) in C, de getallen ε n := inf t [ n 1,n+1] 2 ε(t) en de functies ε n n (t) := min{ 1 2, ε n n }1 [ n 1,n+1] (t). Stap 2. Zij P 0 een polynoom zodat P 0 f < ε 0 op B(0, 1) X met P 0 (a (1) i ) = f(a (1) i ). (3.1) Waarbij a (1) i X de punten zijn waarvoor geldt dat a (1) i = 1. Hiermee hebben we f benaderd met een polynoom op B(0, 1) X, met gelijke waarden in de randpunten. Definieer { f(z) P0 (z) als z A(0, 1, ) X H 0 (z) := 0 als z B(0, 1). Deze functie is holomorf op B(0, 1), hier is de functie namelijk identiek 0. De functie is ook continu op K 1, dankzij (3.1) geven beide definities van H 0 in de randpunten dezelfde waarde. Stap 3. Zij P 1 een polynoom zodat P 1 H 0 < ε 1 op K 1 met P 1 (a (2) i ) = H 0 (a (2) i ). (3.2) Waarbij a (2) i X de punten zijn waarvoor geldt dat a (2) i = 2. Als z A(0, 1, 2) X geldt P 0 (z) + P 1 (z) f(z) = f(z) H 0 (z) + P 1 (z) f(z) = P 1 (z) H 0 (z) < ε 1. 20

22 En als z B(0, 1) X Dus Definieer P 0 (z) + P 1 (z) f(z) P 0 (z) f(z) + P 1 (z) < ε 0 + ε 1. P 0 (z) + P 1 (z) f(z) < ε 0 + ε 1 op B(0, 2) X H 1 (z) := { H0 (z) P 1 (z) als z A(0, 2, ) X 0 als z B(0, 2). Deze functie is holomorf op B(0, 2), hier is de functie identiek 0. De functie H 0 is ook continu op K 2, de twee definities geven wegens (3.2) in de randpunten allebei 0. Stap 4. Zij P 2 een polynoom zodat P 2 H 1 < ε 2 op K 2 met P 2 (a (3) i ) = H 1 (a (3) i ). (3.3) Waarbij a (3) i X de punten zijn waarvoor geldt dat a (3) i = 3. Als z A(0, 2, 3) X dan P 0 (z) + P 1 (z) + P 2 (z) f(z) = f(z) H 0 (z) + P 1 (z) + P 2 (z) f(z) en als z B(0, 2) X = P 1 (z) + P 2 (z) H 0 (z) = P 2 (z) H 1 (z) < ε 2, P 0 (z) + P 1 (z) + P 2 (z) f(z) P 0 (z) + P 1 (z) f(z) + P 2 (z) < ε 0 + ε 1 + ε 2. Stap 5. Dit proces kunnen we voortzetten, we krijgen twee rijtjes {P n } en {H n }. Zij P k in het rijtje {P n }, k {0,..., n} zodat P k H k 1 < ε k op K k met P k (a (k+1) i ) = H k (a (k+1) i ). (3.4) Waarbij a (k+1) i X de punten zijn waarvoor geldt dat a (k+1) i = k + 1. Als z A(0, n, n + 1) X dan k P m (z) f(z) = f(z) H 0(z) + H 0 (z) H 1 (z) +... m=0 + H k 2 (z) H k 1 (z) + P k (z) f(z) = P k (z) H k 1 (z) < ε k 21

23 en als z B(0, n) X, dan n n 1 P k (x) f(x) P k (x) f(x) + P n(x) Definieer k=0 H n (z) := k=0 n 1 < ε k + ε n = k=0 n ε k. k=0 { Hn 1 (z) P n (z) als z A(0, n + 1, ) X 0 als z B(0, n + 1). Dus voor het rijtje {H n } geldt dat elke H k, k {0,..., n} gelijk is aan H k 1 P k op A(0, k + 1, ) X, en identiek 0 op B(0, k + 1) Stap 6 (Convergentie). Voor deze rij polynomen geldt dat de reeks k=0 P k uniform convergeert op iedere B(0, R). Dit tonen we aan met behulp van het Cauchy criterium. We willen laten zien dat er voor elke η > 0 een N N bestaat zodat voor m n > N geldt dat m P k. k=n+1 We kiezen η > 0. We weten dat P k < ε k op B(0, R) voor alle k > R. Voor N = max{ log( 1 η ) log(2) + 1, R} en m n > N, m k=n+1 P k < = m k=n+1 m k=n+1 m k=n+1 ε k min{ 1 2 k, ε k}1 [ k 1,k+1] 1 2 k < 1 2 N < η op B(0, R). Dus k=0 P k convergeert uniform op B(0, R). Dit geldt voor alle R N, dus convergeert deze reeks uniform op C. Stap 7. Met de stelling van Weierstrass geldt dat de limiet h := k=0 P k een holomorfe functie is. We kijken naar f(t) h(t), voor t X. 22

24 We mogen zonder verlies van algemeenheid aannemen dat m t m + 1. Dan geldt f(t) h(t) = f(t) P k (t) k=0 n = f(t) lim P k (t) n k=0 n = lim n f(t) P k (t) lim n k=m = lim n k=m lim n k=m = lim k=0 n ε k (t) n min{ 1 2 k, ε k}1 [ k 1,k+1] (t) n ε k 1 [ k 1,k+1] (t) n inf n s [ k 1,k+1] k=m < inf ε(s) ε(t). s [ m 1,m+1] Hiermee hebben we onze holomorfe functie h gevonden. 1 2 k ε(s)1 [ k 1,k+1] Dit stappenplan laat ons zien dat als we op elke compacte verzameling K n een polynoom P n kunnen vinden zodat we de waarde in de randpunten gelijk kunnen krijgen aan de waarde in de randpunten van een functie in A(K n ). 3.2 Stelling van Carleman Stelling 3.1 werd in 1927 bewezen door Torsten Carleman. Deze stelling wordt gegeven door: Stelling 3.1 (Stelling van Carleman). Zij f een continue functie op R en ε een positieve continue functie op R. Dan bestaat er een holomorfe functie h op C zodat voor t R geldt f(t) h(t) < ε(t). In deze scriptie zullen we een eigen bewijs van deze stelling geven met behulp van het stappenplan uit de vorige sectie, dit bewijs is ontstaan uit een opgave uit [12]. Hiervoor hebben we eerst een paar andere resultaten nodig. De eerste stelling is een speciaal geval van de Stelling van Mergelyan (Stelling 1.15). De Stelling van Mergelyan gaan we in deze scriptie niet bewijzen, het bewijs hiervan is te lang en te ingewikkeld. Het bewijs van dit speciale geval kunnen we daarentegen wel 23

25 geven, en dit is precies het geval dat we nodig hebben voor het bewijs van de Stelling van Carleman. Hiervoor herinneren we ons uit Hoofdstuk 2 dat A(K) de verzameling van continue functies op K die holomorf zijn op het inwendige van K is. Stelling 3.2. Zij K = B(0, n) [ n M, n+m]. Dan geldt dat f A(K) een uniforme limiet is van holomorfe polynomen op K. Bewijs. We laten zien dat voor elke maat µ op K die de rationale functies met polen buiten K annihileert, geldt dat deze maat geschreven kan worden als de som van twee maten µ 1 en µ 2 zodat µ 1 support heeft op B(0, n) en µ 2 op [ n M, n] [n, n + M] waarbij µ 1 en µ 2 de rationale functies ook annihileren. Voor deze twee maten kunnen we bewijzen dat als deze de rationale functies annihileren dat deze dan ook de holomorfe functies annihileren. Hiermee kunnen we de stelling bewijzen. Om een maat µ op K die de rationale functies annihileert te splitsen in µ 1 en µ 2 kijken z we naar de functies f m (z) := 2m voor m N en z C. Deze functies f (n+ε) 2m +z 2m m zijn rationaal en in het bijzonder hebben deze alleen polen buiten K. We nemen aan dat µ op K de rationale functies met polen buiten K annihileert, dan geldt voor een rationale functie g op C dat z 2m g(z)f m (z)dµ = g(z) (n + ε) 2m dµ = 0. + z2m Definieer nu Anders geschreven, dµ 2 := lim m, ε 0 f m(z)dµ = { 0 als z n dµ 2 = 1 [ n M, n] [n,n+m] dµ dµ als z > n. Deze maat heeft dus support op [ n M, n] [n, n + M], verder geldt g(z)dµ 2 = g(z) lim f m(z)dµ = lim g(z)f m (z)dµ = 0 m, ε 0 m, ε 0 dus µ 2 annihileert de rationale functies. * Hier gebruiken we de gedomineerde convergentiestelling van Lebesgue (Stelling 1.5). Dit mag, omdat geldt (f m ) m N L 1 (µ), want deze functies zijn continu. Ook geldt dat f m 2 voor alle m N en 2 L 1 +(µ). Als laatste geldt dat f(x) := lim m f m (x) bestaat. 24

26 Definieer µ 1 := µ µ 2. Deze maat heeft support op B(0, n). Verder annihileert µ 1 de rationale functies, µ en µ 2 annihileren namelijk de rationale functies, dus µ 1 = µ µ 2 ook. Vervolgens tonen we aan dat µ 1 en µ 2 ook de holomorfe functies annihileren. De verzameling B(0, n) is compact en het complement van B(0, n) bestaat uit één component, dus met Gevolg 1.13 weten we dat elke functie h holomorf op een omgeving van B(0, n) de uniforme limiet is van holomorfe polynomen op B(0, n). Een functie die holomorf is op een omgeving van B(0, n) is in het bijzonder continu op B(0, n) en holomorf op B(0, n). Dit geeft ons dat de holomorfe polynomen op B(0, n) dicht liggen in de continue functies op B(0, n) die holomorf zijn op B(0, n). Aangezien holomorfe polynomen rationale functies zijn geldt dat µ 1 de holomorfe polynomen op B(0, n) annihileert. Met Stelling 1.7 weten we dat µ 1 ook de continue functies op B(0, n) die holomorf zijn op B(0, n) annihileert. De Approximatiestelling van Stone-Weierstrass (Stelling 1.11) vertelt ons een continue functie op [ n M, n] [n, n + M] uniform benaderd kan worden met holomorfe polynomen. We weten dat µ 2 de rationale functies met polen buiten K annihileert, µ 2 annihileert dus op K ook de holomorfe polynomen. Met bovengenoemde en Stelling 1.7 annihileert µ 2 ook de continue functies op [ n M, n] [n, n + M]. Dus voor µ = µ 1 + µ 2 geldt dat als f A(K) fdµ = fdµ 1 + fdµ 2 = 0. Dus µ annihileert de continue functies op K die holomorf zijn op B(0, n). Nu geldt met Stelling 1.8 dat de holomorfe polynomen op K dicht liggen in de continue functies op K die holomorf zijn op het inwendige van K, dus f A(K) is een uniforme limiet van holomorfe polynomen op K. Lemma 3.3. Als voor een functie f op R geldt dat er een polynoom Q en ε > 0 bestaat zodat Q f < 1 3 ε op B(0, n) [ n 1, n + 1], dan bestaat er ook een polynoom P zodat P f < ε op B(0, n) [ n 1, n + 1] en P ( n 1) = f( n 1) en P (n + 1) = f(n + 1). Bewijs. We schrijven voor dit bewijs a = n + 1 en V = Q f. Als geldt dat V < 1 4ε op B(0, a 1) [ a, a], dan kunnen we de waarden in de randpunten a en a gelijk maken door een lineaire functie L met L(a) = V (a) en L( a) = V ( a) van Q af te trekken. Deze functie L ziet er als volgt uit: L : y = V (a) V ( a) V (a) + V ( a) x + 2a 2 Nu willen we laten zien dat L < 2 3ε op B(0, a 1) [ a, a]. 25

27 Er geldt L(z) = V (a) V ( a) V (a) + V ( a) z + 2a 2 V (a) V ( a) 2a z + V (a) + V ( a) 2 V (a) V ( a) 2 + V (a) + V ( a) 2 V (a) 2 + V ( a) 2 + V (a) 2 + V ( a) 2 < 1 6 ε ε ε ε = 2 3 ε. Dit geldt voor alle z B(0, a 1) [ a, a], dus L < 2 3ε. We definiëren P := Q L, dan geldt en P f = Q L f Q f + L < 1 3 ε ε = ε. P (a) = Q(a) L(a) ( V (a) V ( a) = Q(a) a + 2a = Q(a) V (a) = Q(a) Q(a) + f(a) = f(a) P ( a) = Q( a) L( a) ( V (a) V ( a) = Q( a) a + 2a = Q( a) V ( a) = Q( a) Q( a) + f( a) = f( a). ) V (a) + V ( a) 2 ) V (a) + V ( a) 2 Met deze twee resultaten kunnen we de stelling van Carleman bewijzen. Stelling 3.4 (Stelling van Carleman). Zij f een continue functie op R en ε een positieve continue functie op R. Dan bestaat er een holomorfe functie h op C zodat voor t R geldt f(t) h(t) < ε(t). 26

28 Bewijs. Voor het bewijs van de Stelling van Carleman gebruiken we het eerder genoemde stappenplan. We kiezen hier X = R, in Hoofdstuk 2 hebben we al bewezen dat R voldoet aan de Algemene Stelling (Stelling 2.18). We moeten dus alleen nog bewijzen dat we de benodigde polynomen kunnen vinden. Voor Stap 2 hebben we een polynoom P 0 nodig zodat P 0 f < ε 0 op [ 1, 1] met P 0 ( 1) = f( 1) en P 0 (1) = f(1). De approximatiestelling van Stone-Weierstrass geeft ons een polynoom Q 0 zodat Q 0 f < 1 3. Met Lemma 3.3 geldt dat er dan een polynoom P 0 bestaat die aan de voorwaarden voldoet. Voor Stap 3, 4 en 5 vinden we deze polynomen door Stelling 3.2 en Lemma 3.3 te gebruiken. Dit vanwege het feit dat de K n voor n 1 precies de verzamelingen uit Stelling 3.2 geven en H n A(K n+1 ) voor n 1. Nu zegt het Stappenplan dat er een holomorfe functie h op C bestaat zodat h(t) f(t) < ε(t), voor alle t R. Dit is het resultaat dat we wilden bewijzen. 3.3 Andere gevallen In deze sectie kijken we naar meer exotische gevallen dan X = R. Om te zorgen dat we het stappenplan kunnen gebruiken moeten we een verzameling vinden die voldoet aan de Algemene Stelling (Stelling 2.18), en moeten we de benodigde polynomen kunnen vinden. Voordat we naar deze nieuwe verzameling gaan kijken hebben we eerst wat notatie nodig: Notatie 3.5. In de volgende stelling en het bewijs daarvan zullen we de volgende notatie gebruiken, voor een reële continue functie f schrijven we G A (f) := {x + if(x) : x A} met A R. Als we nu kijken naar k < reële continue functies g k, zodat lim n g k (x) = en g k (0) = 0 voor alle k zodat e iφ kg R (g k ) in geen enkel ander punt dan 0 snijden. Dan kijken we naar de verzameling X = k n=0 eiφn G R (g n ). Deze verzameling voldoet aan de Algemene Stelling, dus we kunnen het stappenplan gebruiken. 27

29 Lemma 3.6. Als voor een functie f op k n=0 eiφn G R (g n ) geldt dat er een polynoom Q en ε > 0 bestaan zodat Q f < 1 c ε op B(0, n) (B(0, n + 1) k n=0 eiφn G R (g n )) met c een constante die van k, n en de minimale afstand tussen twee punten van C(0, n + 1) k n=0 eiφn G R (g n ) afhangt, dan bestaat er een polynoom P zodat P f < ε k op B(0, n) (B(0, n + 1) n=0 eiφn G R (g n )) met P (a j ) = f(a j ) voor alle j {0,..., 2k 1} waar a j de 2k punten op k n=0 eiφn G R (g n ) zijn waarvoor geldt dat a j = n + 1. Bewijs. We schrijven c = n + 1, V := Q f en m = min{ a m a j : m j}. Als geldt dat Q f < 1 c ε op B(0, n) k n=0 eiφn G [ n 1,n+1] (g n ), dan kunnen we de waarden in de randpunten a i gelijk maken door een polynoom p van graad 2k 1 met p(a j ) = f(a j ) Q(a j ) van Q af te trekken. Deze functie construeren we met behulp van Lagrange interpolatie, dit geeft de volgende functie: p(z) = 2k 1 l=0 2k 1 i=0 i l z a i a l a i V (a l ). We laten zien dat p < 2k ( ) 2n+2 2k 1 1 m c ε op B(0, n) k n=0 eiφn G [ n 1,n+1] (g n ). Er geldt 2k 1 2k 1 z a i p(z) = V (a l ) l=0 2k 1 l=0 2k 1 l=0 V (a l ) i=0 i l 2k 1 i=0 i l 2k 1 V (a l ) i=0 i l a l a i z a i a l a i 2n + 2 m 2k 1 ( 2n + 2 = V (a l ) m l=0 ( ) 2n + 2 2k 1 1 < 2k m c ε ) 2k 1 Dit geldt voor alle z B(0, n) k n=0 eiφn G [ n 1,n+1] (g n ). Nu definiëren we P := Q p, dan geldt 28

30 P f = Q p f Q f + p < 1 ( ) 2n + 2 2k 1 c ε + 2k 1 m c ε = ε. Waar we c de constante nemen waarvoor dit geldt. En P (a j ) = Q(a j ) p(a j ) 2k+1 = Q(a j ) l=0 2k+1 V (a l ) 2k+1 = Q(a j ) V (a j ) = Q(a j ) V (a j ) Dit geldt voor alle a j, j {0,..., 2k 1}. i=0 i l i=0 i l a j a i a j a i a j a i a l a i = Q(a j ) Q(a j ) + f(a j ) = f(a j ) Stelling 3.7. Zij f een continue functie op k n=0 eiφn G R (g n ) en ε een positieve continue functie op R. Dan bestaat er een holomorfe functie h op C zodat voor alle t k n=0 eiφn G R (g n ) geldt f(t) h(t) < ε(t). Bewijs. Voor dit bewijs gebruiken we opnieuw het stappenplan uit Sectie 3.1. We kiezen X = k n=0 eiφn G R (g n ), deze verzameling voldoet aan Stelling 2.18, dus we mogen het stappenplan gebruiken. Verder moeten we de benodigde polynomen nog vinden. Hiervoor gebruiken we voor elke stap (stap 2, 3, 4 en 5) eerst Stelling 1.15, de Stelling van Mergelyan. Er geldt dat C\K n samenhangend is voor elke n. Dus er bestaat een polynoom Q n zodat Q n f < 1 c ε n, 29

31 op K n voor een zekere constante c die afhangt van k, n en de minimale afstand tussen twee randpunten van B(0, n + 1) k n=0 eiφn G R (g n ). Hierdoor kunnen we Lemma 3.6 gebruiken. En vinden we een polynoom P n zodat P n f < ε n op K n. Nu vertelt het stappenplan ons dat er een holomorfe functie h op C bestaat zodat f(t) h(t) < ε(t), k voor alle t e iφn G R (g n ). n=0 Dit is het resultaat dat we wilden bewijzen. We kunnen het stappenplan dus gebruiken voor verzamelingen van de vorm k n=0 eiφn G R (g n ) voor alle k <. Hierdoor weten we dat we dit bewijs ook kunnen gebruiken voor eenvoudigere gevallen als X = R ir of X = G R (g) voor een reële continue functie g. 30

32 4 Conclusie We hebben eerst gekeken naar de Algmene Stelling, deze stelling vertelt ons wanneer we op een gesloten verzameling met leeg inwendige continue functies met holomorfe functies tangentieel kunnen benaderen. We hebben deze stelling geconstrueerd uit de Stelling van Arakelian en een stelling over het verband tussen uniforme en tangentiële approximatie. De Stelling van Arakelian vertelt ons wanneer we op een gesloten verzameling continue functies die holomorf zijn op het inwendige van deze verzameling uniform kunnen benaderen met holomorfe functies. Verder hebben we bewezen dat tangentiële approximatie mogelijk is op een gesloten verzameling met leeg inwendige als en alleen als er uniforme approximatie mogelijk is op deze verzameling. Met dit resultaat zien we dat als we een gesloten verzameling met leeg inwendige bekijken, de Stelling van Arakelian geldt met tangentiële approximatie in plaats van uniforme approximatie. Verder hebben we naar de Stelling van Carleman gekeken, de hoofdstelling van deze scriptie. Deze stelling zegt dat een continue functie op R tangentieel benaderd kan worden met een holomorfe functie op C. Hiervan hebben we een eigen bewijs gegeven. De structuur van dit bewijs hebben we vervolgens gebruikt om meer gevallen van de Algemene Stelling te bewijzen. We hebben hier gekeken naar gesloten verzamelingen van de vorm k n=0 eiφn G R (g n ) met k < en g n reële continue functies. Een vervolg hiervan zou kunnen zijn om te kijken naar verzamelingen van de vorm {f(x) + ig(x) : x R} met f en g reële continue functies, waarbij lim x f(x) = en lim x g(x) =. Voor deze verzamelingen geldt voor een zekere N N dat als n N de verzameling zich voor x A(0, n, ) net zo gaat gedragen als de eerder besproken verzamelingen en de benadering dus mogelijk is. Ook hier kunnen we weer een eindige vereniging van maken met de eis dat de verzamelingen alleen snijden in het punt 0. 31

33 5 Populaire samenvatting Approximatietheorie is het benaderen van functies met andere functies, dit kan op heel veel verschillende manieren, met verschillende soorten functies, op verschillende soorten verzamelingen. De eenvoudigste manier om dit te doen is met polynomen. Definitie 5.1. Een polynoom is een functie van de volgende vorm: f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = Voorbeeld 5.2. Een voorbeeld van een polynoom is 3 + 2x + 5x 3 + x 4. n a k x k. Als we nu de functie f(x) = x bekijken op het interval [ 1, 1] - dit is geen polynoom - dan ziet de benadering met een polynoom, waarbij f(x) = x blauw is en het polynoom groen, er als volgt uit: k=0 De volgende stelling vertelt ons dat dit altijd kan op een compacte (gesloten en begrensde) deelverzameling van R n. Stelling 5.3 (Approximatiestelling van Stone-Weierstrass). Zij K compact in R n. Dan geldt dat elke continue functie f op K uniform benaderd kan worden met polynomen. Voor deze scriptie kijken we niet naar begrensde verzamelingen maar naar onbegrensde verzamelingen; hier moeten we dus rekening houden met het punt. We zien dat als we een niet-constant polynoom hebben, een polynoom altijd naar of gaat als x 32