Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006

Transcriptie

1 Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006

2 Inhoudsopgave 1 Topologische ruimten 2 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 7 3 Convergentie en continuïteit 8 4 Separatie-eigenschappen 14 5 Compactheid 16 6 Samenhang 17 7 Initiale en finale structuren 18 8 Stabiliteit voor constructies 22 9 Compact Hausdorff en lokaal compact 24 1

3 Hoofdstuk 1 Topologische ruimten 1. Hoeveel topologieën bestaan er op de verzameling {0, 1, 2}? 2. Indien (T i ) i I een verzameling topologieën is op een verzameling X, zijn dan i I T i en i I T i topologieën op X? 3. Toon dat een topologie is op N. 4. Toon dat {U N; x N : x U (2N + 1) x + 1 U} T = {U [0, 1]; x [0, 1] : x U x 2 U} een topologie is op [0, 1]. Vergelijk deze met de Euclidische topologie op [0, 1]. 5. Bewijs dat de verzameling een topologie is op R. {A R; x A ɛ > 0 [x, x + ɛ[ A} 6. Zij X een verzameling en x X. Bewijs dat de verzameling een topologie is op X. 7. Toon dat {A X; A = X of x / A} T = {U R 2 ; (x, y) R 2 : (x, y) U {(λx, λy); λ [0, 1]} U} een topologie is op R 2. Vergelijk deze met de Euclidische topologie op R 2. 2

4 HOOFDSTUK 1. TOPOLOGISCHE RUIMTEN 3 8. Toon dat T = {U R; 0 U R \ U Q} een topologie is op R. Vergelijk T met de Euclidische topologie op R. 9. Voor m N en U N N stellen we Toon dat S U m = {n N; (m, n) / U}. {U N N; (0, 0) U {m N; S U m is oneindig} is eindig} een topologie is op N N. 10. Voor m N en U N N stellen we en voor U N N stellen we Toon dat S U m = {n N; (m, n) / U} T U = {m N; (m, 0) / U}. T = {U N N; (0, 0) U T U is eindig en (m, 0) U S U m is eindig} een topologie is op N N. 11. Toon dat T = {U R 3 ; (0, 0, 0) U R 3 \ U is hoogstens aftelbaar} een topologie is op R Bewijs dat de verzamelingen en 13. Is {[x, y]; x y, x Q, y Q}, {[x, y]; x y, x Q, y R \ Q}, {[x, y]; x y, x R \ Q, y R \ Q} basisen zijn voor drie verschillende topologieën op R. B = {]q, + [; q Q} {, R} een topologie op R? Zo niet, beschrijf expliciet de unieke topologie T op R waarvoor B een subbasis is. Is B een basis voor T?

5 HOOFDSTUK 1. TOPOLOGISCHE RUIMTEN Zij (X, ) een partiële orde. Stel voor x X, U L (x) = {y X; y x} en U R (x) = {y X; x y}. Bewijs: (a) De verzamelingen {U L (x); x X} en {U R (x); x X} zijn basisen voor topologieën T L en T R op X. (b) T L = {G P(X); x G U L (x) G}. (c) In (X, T L ) is elke willekeurige intersectie van open delen open. (d) De discrete topologie is de enige topologie op X die fijner is dan T L en T R. 15. Zij d een metriek op een verzameling X. Voor elke x X en A P(X) \ { } definieert men de afstand van x tot A als d(x, A) = inf{d(x, a); a A}. Bewijs de equivalentie van volgende uitspraken: (a) x is afsluitingspunt van A in (X, T d ) (b) d(x, A) = Indien D en D dicht zijn in de topologische ruimte X, is dan ook D D dicht in X? 17. Zij X een topologische ruimte en B een willekeurig deel van X. Bewijs dan: (a) voor een open deel A van X geldt A B = A clb = (b) B is gesloten in X als en slechts als voor elk deel C van X geldt dat B clc = cl(b C). 18. Als X een topologische ruimte is en (A i ) i I een familie deelverzamelingen van X, welke inclusie geldt dan i.h.a. tussen cl( i I A i) en i I cla i? Wat als I eindig is? 19. Indien T en T topologieën zijn op een verzameling X, toon dan de equivalentie van volgende uitspraken: (a) T T, (b) A X : int T A int T A, (c) A X : cl T A cl T A, (d) x X : V T (x) V T (x). 20. Toon dat in een topologische ruimte (X, T ) volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) B T B T, (b) A P(X), x X : x cla a A, x cl{a},

6 HOOFDSTUK 1. TOPOLOGISCHE RUIMTEN 5 (c) elk punt van X heeft een kleinste omgeving in (X, T ). Ruimten die aan een van vorige (en dus aan alle vorige) voorwaarden voldoen, heten eindig voortgebracht. 21. Neem een topologische ruimte (X, T ). Bewijs dat er juist een topologie U op X bestaat met de eigenschap A P(X) : cl U A = {x X; a A : x cl T {a}}. Toon dat de topologie U de kleinste is van alle topologieën S op X met de eigenschappen S is fijner dan T en (X, S) is eindig voortgebracht. 22. Toon dat in een topologische ruimte (X, T ) volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) x, x X : x cl{x } x cl{x}, (b) x X, G T : x G cl{x} G, (c) elk open deel in (X, T ) is een unie van gesloten delen, (d) x, x X : V(x) V(x ) V(x) = V(x ), (e) x X : cl{x} = V(x). Topologische ruimten die aan een van vorige (en dus aan alle vorige) voorwaarden voldoen, heten symmetrische of R 0 -ruimten. 23. Een deelverzameling van een topologische ruimte heet regulier open als ze samenvalt met het inwendige van haar sluiting. Een topologische ruimte heet semiregulier als ze een basis bezit bestaande uit regulier open verzamelingen. (a) Toon dat het inwendige van een gesloten verzameling in een topologische ruimte steeds een regulier open verzameling is. (b) Indien een overaftelbare verzameling X de topologie {G X; X \ G is hoogstens aftelbaar} { } draagt, toon dan dat er slechts twee deelverzamelingen van X regulier open zijn. 24. Indien A een deelverzameling is van een topologische ruimte X, toon dan de equivalentie van volgende eigenschappen: (a) A =, (b) A is open en gesloten in X. Indien A open is in X, bewijs dan dat A een leeg inwendige heeft.

7 HOOFDSTUK 1. TOPOLOGISCHE RUIMTEN Zij X een topologische ruimte. Toon dat, voor elk deel A van X, de elementen uit de collectie G = {inta, A, int(x \ A)} twee aan twee disjunct zijn en dat G = X. 26. Zij X een topologische ruimte en A X. Toon dat inta (X \ A) dicht is in X. 27. Een deelverzameling A van een topologische ruimte X heet semi-open indien er een open deel U van X bestaat zodat U A clu. (a) Toon dat een deel A van X semi-open is als en slechts als voor elk dicht deel D van X geldt cla = cl(a D). (b) Toon dat een deel D van X dicht is in X als en slechts als voor elk semi-open deel A van X geldt cla = cl(a D). 28. Zij (X, T ) een topologische ruimte, A X, T A de spoortopologie van T op A. Bewijs dan voor een deel B van A: cl (A,TA )(B) = cl (X,T ) (B) A. 29. Toon dat voor een deel A X in een topologische ruimte (X, T ) de volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) Er bestaat een open deel B in (X, T ) en een gesloten deel C in (X, T ) zodat A = B C. (b) A is open in de deelruimte cla van (X, T ). (c) Voor elke a A bestaat een open omgeving U van a in (X, T ) zodat U A open is in de deelruimte cla van (X, T ). Een deel A dat aan de vorige equivalente eigenschappen voldoet heet lokaal gesloten in (X, T ). De ruimte (X, T ) heet gecomplementeerd indien elk lokaal gesloten deel van (X, T ) gesloten is. 30. Indien X en Y topologische ruimten zijn, A X, B Y, toon dan dat voor de rand (A B) van A B in de productruimte X Y geldt (A B) = ( A clb) (cla B). 31. Indien X en Y topologische ruimten zijn, x X en y Y, B X (x)een omgevingenbasis van x in X en B Y (y)een omgevingenbasis van y in Y, bewijs dan dat {B 1 B 2 ; B 1 B X (x), B 2 B Y (y)} een omgevingenbasis is van (x, y) in X Y voor de producttopologie.

8 Hoofdstuk 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 1. Zij X een verzameling met #X 2. Indien A P(X) \ {, X}, toon dan dat {, A, X} een niet metrizeerbare topologie is op X. 2. Bewijs dat een topologische ruimte met eindige drager metrizeerbaar is als en slechts als ze discreet is. 3. Zij d : X X R + een metriek op een verzameling X. Bewijs dan dat door d (x, y) = Min{d(x, y), 1} een metriek op X gedefinieerd wordt en dat de door d en d geïnduceerde topologieën T d en T d op X gelijk zijn. 4. Toon dat een topologische ruimte X aan het tweede aftelbaarheidsaxioma voldoet als en slechts als voor elke basis B van X een hoogstens aftelbare basis B B van X bestaat. (Neem voor de niet triviale implicatie een hoogstens aftelbare basis A van X en beschouw C = {(A, A ) A A; B B : A B A }. Maak dan een hoogstens aftelbare basis B B waarvoor een afbeelding C B bestaat.) 5. Onderzoek voor volgende topologieën of ze aan het eerste en/of het tweede aftelbaarheidsaxioma voldoen en of ze separabel en/of Lindelöf zijn: (a) de topologie in oefening 3 in Hoofdstuk 1, (b) de topologie in oefening 4 in Hoofdstuk 1, (c) de topologie in oefening 5 in Hoofdstuk 1, (d) de topologie in oefening 8 in Hoofdstuk 1, (e) de topologie in oefening 11 in Hoofdstuk 1. 7

9 Hoofdstuk 3 Convergentie en continuïteit 1. Zij T de in oefening 10 in Hoofdstuk 1 gedefinieerde topologie op X = N N. Bewijs dan: (a) De rij N X : n (n, 0) is convergent naar (0, 0) in (X, T ). (b) Voor elke m N is de rij N X : n (m, n) convergent naar (m, 0) in (X, T ). (c) In (X, T ) is (0, 0) een afsluitingspunt van Y = N 0 N 0, hoewel er geen rij bestaat in Y die in (X, T ) naar (0, 0) convergeert. 2. Beschouw de in oefening 11 in Hoofdstuk 1 ingevoerde topologische ruimte (R 3, T ). Bewijs dat (0, 0, 0) een afsluitingspunt is van Y = R 3 \ {(0, 0, 0)}, hoewel er geen rij bestaat in Y die naar (0, 0, 0) convergeert. 3. Zij F een filter op een verzameling X en B een eindige, niet lege deelverzameling van F, toon dan dat B F. 4. Zij (F i ) i I een niet lege familie filters op een verzameling X. Toon dat de intersectie i I F i opnieuw een filter is op X en dat i I F i = { i I F i ; i I : F i F i }. Toon dat de unie van (F i ) i I in het algemeen geen filter op X hoeft te zijn. 5. Zij X een verzameling, U een ultrafilter op X en F 1 en F 2 filters op X, toon dan F 1 F 2 U F 1 U of F 2 U. 6. Bewijs: 8

10 HOOFDSTUK 3. CONVERGENTIE EN CONTINUÏTEIT 9 (a) De doorsnede van twee filters met hoogstens aftelbare basis op X is een filter met hoogstens aftelbare basis op X. (b) Voor een overaftelbare verzameling X heeft de filter {A X; X \ A is eindig} geen hoogstens aftelbare basis. 7. Een filter A op een verzameling X heet een elementaire filter op X indien een rij (x n ) n in X bestaat zodat A = {A X; {n; x n / A} is eindig}. Bewijs: (a) De doorsnede van twee elementaire filters op X is een elementaire filter op X. (b) Indien een filter F op X een aftelbare basis heeft, dan bestaat een elementaire filter A op X zodat F A en F is de intersectie van alle elementaire filters op X die F omvatten. 8. Zij (X, T ) een topologische ruimte en B een filterbasis op X. Toon de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) B is convergent in (X, T ), (b) voor iedere open overdekking G van X bestaat er B B en G G zodat B G. 9. Zij (X, T ) een topologische ruimte, A X en x A. Toon de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) x inta, (b) voor iedere filterbasis B op X die convergeert naar x in (X, T ) geldt A stackb. 10. Zij a < b in R en f : [a, b] R een continue functie. De verzameling N van alle netten op [a, b] is partieel geordend door de relatie P < Q Q is een verfijning van P. Als P = (x 0, x 1,..., x n ) N stellen we en R P = { n f(ξ i )(x i x i 1 ); i {1, 2,..., n} ξ i ]x i 1, x i [}, i=1 A P = {R Q ; Q N, P < Q} B = {A P ; P N }. Bewijs dat B een convergente filterbasis is op R met de Euclididsche topologie. 11. Beschouw de topologische ruimte (R, T ) zoals ingevoerd in oefening 8 in Hoofdstuk 1. Bepaal in (R, T ) alle convergentie- en adherentiepunten van de filter stack{r \ Q}.

11 HOOFDSTUK 3. CONVERGENTIE EN CONTINUÏTEIT Zij X een topologische ruimte. Als F een filter is op X en x X, stellen we F x = {F F; x F }. Bewijs: (a) F x is een filter op X, (b) F x F, (c) voor elke x X geldt F x x F x, (d) F x x F x. Toon verder dat voor een topologische ruimte X de volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) X is symmetrisch, (b) voor elke filter F op X en voor elke x X geldt F x F x is convergent. 13. Zij X een topologische ruimte. Indien F een filter is op X, ga na dat {O X; O is open in X en O F} basis is voor een filter F op X. Bewijs dat voor x X de filter F naar x convergeert als en slechts als de filter F naar x convergeert. Toon dat de filter F aan x adhereert indien de filter F aan x adhereert. 14. Bewijs voor een topologische ruimte X de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) Elke filter op X convergeert in X, (b) {cl{x}; x X}, (c) elke open overdekking van X bevat X, (d) er bestaat een x X met V(x) = {X}. 15. Zijn (X, T ) en (Y, S) topologische ruimten en f : X Y een afbeelding. Toon de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) f : (X, T ) (Y, S) is continu, (b) voor elke deelverzameling B van Y geldt cl (X,T ) f 1 (B) f 1 (cl (Y,S) B). 16. Als op [0, 1] de topologie T = {U [0, 1]; x [0, 1] : x U x 2 U} uit oefening 4 van Hoofdstuk 1 beschouwd wordt, onderzoek dan of de afbeeldingen ([0, 1], T ) ([0, 1], T ) : x x 2 en continu zijn. ([0, 1], T ) ([0, 1], T ) : x 1 x

12 HOOFDSTUK 3. CONVERGENTIE EN CONTINUÏTEIT Zij (X, T ) een topologische ruimte, T E de Euclidische topologie op R, D een dicht deel van (X, T E ) en f : X R een afbeelding. Bewijs dat volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) f : (X, T ) (R, T E ) is continu, (b) voor elke d D is open in (X, T ) en gesloten in (X, T ), (c) voor elke d D zijn open in (X, T ). {x X; f(x) < d} {x X; f(x) d} {x X; f(x) < d} en {x X; f(x) > d} 18. Zijn (X, T ) en (Y, U) topologische ruimten, S een subbasis voor U, f : X Y een afbeelding en D de deelverzameling van X bestaande uit alle punten waarin f niet continu is, bewijs dan D = f 1 (S) \ intf 1 (S). S S 19. Als f : X Y een continue afbeelding is tussen topologische ruimten X en Y, en als D een dicht deel is van X, is dan f(d) een dicht deel van Y? 20. Bewijs dat voor een bijectie f : X Y tussen topologische ruimten (X, T ) en (Y, S) de volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) f : (X, T ) (Y, S) is een homeomorfisme, (b) voor elke basis B van T is {f(b); B B} een basis van S. 21. De topologie T l op R wordt gedefinieerd als enige topologie op X met als subbasis {], x[; x R} en de topologie T r op R wordt gedefinieerd als enige topologie op X met als subbasis {]x, [; x R}. Toon dat een homeomorfisme is. f : (R, T l ) (R, T r ) : x x 22. Zijn X en Y twee homeomorfe topologische ruimten. Toon dat uit de metrizeerbaarheid van X de metrizeerbaarheid van Y volgt.

13 HOOFDSTUK 3. CONVERGENTIE EN CONTINUÏTEIT Vind alle homeomorfismen f : (X, T ) (X, T ) als X = {a, b, c, d} en als T de topologie is op X met subbasis {, {a}, {b}, {a, b}, {c, d}, X}. 24. Voor een deel A van een verzameling X is I A de indicatorfunctie van A { 1 als x A X R : x 0 als x / A. Indien nu A een deel is van een topologische ruimte (X, T ), x X en T E de Euclidische topologie op R, toon dan de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) x A, (b) I A : (X, T ) (R, T E ) is niet continu in x. 25. Bewijs dat, indien (X, T ) een symmetrische topologische ruimte is, (Y, S) een willekeurige topologische ruimte en f : (X, T ) (Y, S) een continue gesloten surjectie, (Y, S) een symmetrische topologische ruimte is. 26. Zij (X, T ) een topologische ruimte en U de kleinste van alle topologieën op X die eindig voortgebracht zijn en fijner dan T (zie oefening 20 in Hoofdstuk 1). Indien nu (Y, S) een eindig voortgebrachte topologische ruimte is en f : Y X een afbeelding, toon dan dat volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) f : (Y, S) (X, T ) is continu, (b) f : (Y, S) (X, U) is continu. 27. Zijn (X, T ) en (Y, S) topologische ruimten, A een basis van T en f : X Y een afbeelding. Bewijs de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) f is open, (b) voor elke A A is f(a) open in (Y, S). Geldt de equivalentie ook in het geval dat A slechts een subbasis van T is? 28. Toon dat, met de Euclidische topologieën op [0, 2π], [ 1, 1] en op R, de afbeelding [0, 2π] R : x sin x gesloten is, maar niet open en dat de afbeelding open is, maar niet gesloten. R [ 1, 1] : x sin x 29. Beschouw topologische ruimten (X, T ) en (Y, S), een afbeelding f : X Y, de grafiek G f = {(x, f(x)) X Y ; x X} van f, de afbeelding g : X X Y : x (x, f(x)) en de corestrictie g c : X G f : x (x, f(x)) van g. Bewijs de equivalentie van volgende voorwaarden:

14 HOOFDSTUK 3. CONVERGENTIE EN CONTINUÏTEIT 13 (a) f : (X, T ) (Y, S) is continu. (b) g c : (X, T ) (G f, (T S) Gf ) is een homeomorfisme. (c) g : (X, T ) (X Y, T S) is continu. 30. Indien (X, T ) en (Z, S) topologische ruimten zijn, (Y, T Y ) een deelruimte van (X, T ), en f : Z X een functie met f(z) Y, bewijs dan dat volgende uitspraken equivalent zijn: (a) f : (Z, S) (X, T ) is continu, (b) f : (Z, S) (Y, T Y ) is continu.

15 Hoofdstuk 4 Separatie-eigenschappen 1. Zij X een topologische ruimte. Bewijs de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) X is T1, (b) voor elk element x X en elk deel A X is x een ophopingspunt van A in X als en slechts als elke omgeving van x oneindig veel elementen van A bevat. 2. Zij een partiële orde op een verzameling X. De topologie T wordt gedefinieerd als enige topologie op X met als subbasis waar en {], x[; x X} {]x, [; x X} ], x[= {t X; t x en t x} ]x, [= {t X; x t en t x}. Toon dat, indien totaal is, (X, T ) Hausdorff is. 3. Toon dat in een A1-ruimte X de volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) X is een Hausdorff-ruimte, (b) elke convergente rij in X heeft juist een convergentiepunt. 4. Zij (X, T ) een T1-ruimte met #X 2, en zij (Y, S) een topologische ruimte die niet T1 is, construeer dan een niet constante continue afbeelding f : (X, T ) (Y, S). 5. Zij (X, T ) en (Y, S) topologische ruimten met (Y, S) Hausdorff. Indien f : (X, T ) (Y, S) en g : (X, T ) (Y, S) continue afbeeldingen zijn, toon dan dat {x X; f(x) = g(x)} gesloten is in (X, T ). 14

16 HOOFDSTUK 4. SEPARATIE-EIGENSCHAPPEN Zij (X, T ) en (Y, S) topologische ruimten met (X, T ) Hausdorff. Indien f : (X, T ) (Y, S) en g : (Y, S) (X, T ) continue afbeeldingen zijn met f g = id Y, bewijs dan dat dat g(y ) gesloten in (X, T ). 7. In een topologische ruimte X definiëren we voor elk deel A van X een deel w(a) van X door w(a) = {x X; elke omgeving van x snijdt elke omgeving van A}. Bewijs de volgende eigenschappen: (a) voor elk deel A van X geldt cla w(a), (b) als A open is, geldt cla = w(a), (c) X is regulier als en slechts als voor elk deel A van X geldt dat cla = w(a). 8. Met de notaties van opgave 3.13, toon de equivalentie van: (a) X is regulier, (b) voor elke filter F op X en voor elke x X adhereert F aan x als en slechts als de filter F aan x adhereert. 9. Bewijs dat de Sierpinski normaal is maar niet regulier.

17 Hoofdstuk 5 Compactheid 1. Bewijs dat elke compacte metriseerbare ruimte separabel is. 2. Zij T cof de topologie der eindige complementen op een oneindige verzameling X. Bepaal alle convergentiepunten van de filter T cof \ { } en van een willekeurige ultrafilter op X in (X, T cof ). Leid af dat (X, T cof ) compact is. 3. Beschouw topologische ruimten (X, T ) en (Y, S), een afbeelding f : X Y en veronderstel dat de grafiek G f = {(x, f(x)) X Y ; x X} van f een gesloten deel is van de productruimte (X Y, T S). Bewijs dan dat f(k) gesloten is in (Y, S) voor elk compact deel K van (X, T ). 4. Zijn X en Y twee topologische ruimten, A een compact deel van X, B een compact deel van Y en zij W een omgeving van A B in de productruimte X Y. Bewijs dat er omgevingen U van A in X en V van B in Y bestaan zodat U V W. 5. Toon dat voor een convergente rij (x n ) n met convergentiepunt x in een topologische ruimte X de verzameling {x n ; n} {x} compact is in X. 6. Zij (X, T ) een topologische ruimte en A X, bewijs dan de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) De deelruimte (A, T A ) is compact, (b) elk deel G T met A G bezit een eindig deel G A G. G met 7. Toon dat in een A1-ruimte X de volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) X is een Hausdorff-ruimte, (b) elke convergente rij in X heeft juist een convergentiepunt, (c) X is T1 en elk compact deel van X is gesloten in X. 16

18 Hoofdstuk 6 Samenhang 1. Laat door tegenvoorbeelden zien dat, indien A en B samenhangende delen zijn van een topologische ruimte X, de delen A B, A B, A en inta niet samenhangend hoeven te zijn. 2. Wordt een verzameling X voorzien van de topologie T cof = {A X; X \ A is eindig} { }, bewijs dan dat (X, T cof ) samenhangend is als en slechts als X ten hoogste een element bevat of oneindig is. 3. Zij X een topologische ruimte. Bewijs dat de ring C(X, R) meer dan twee idempotenten heeft (f(x).f(x) = f(x) voor alle x X) als en slechts als X niet samenhangend is. 4. Wordt een aftelbaar oneindige verzameling X voorzien van de topologie T cof = {A X; X \ A is eindig} { }, bewijs dan dat elke weg in (X, T cof ) constant is. 5. Is γ een weg in een Hausdorffruimte X, toon dan dat γ([0, 1]) een A2- ruimte is. 17

19 Hoofdstuk 7 Initiale en finale structuren 1. Zij T E de Euclidische topologie op R. Bepaal de initiale topologie op R voor de afbeelding f : R (R, T E ) gedefinieerd door f(x) = x. 2. Is (f i : (X, T ) (X i, T i )) i I een initiale bron, J een verzameling met I J en (f j : (X, T ) (X j, T j )) j J\I een bron van continue afbeeldingen, bewijs dan dat ook (f j : (X, T ) (X j, T j )) j J een initiale bron is. 3. Zij (f i : (X, T ) (X i, T i )) i I een continue bron zodat, voor een k I, f k : (X, T ) (X k, T k ) een homeomorfisme is, bewijs dan dat (f i : (X, T ) (X i, T i )) i I een initiale bron is. 4. Zij (f i : (X, T ) (X i, T i )) i I een continue bron zodat voor elk deel A van X en elk element x X \ cl X A een i I bestaat met f i (x) / cl Xi f i (A). Bewijs dat (f i : (X, T ) (X i, T i )) i I initiaal is. 5. Zij X een verzameling, T een topologie op X en (T i ) i I een verzameling topologieën op X, toon dan dat de bron (id X : (X, T ) (X, T i )) i I initiaal is als en slechts als T de supremumtopologie is van de familie (T i ) i I. 6. Zij (X, T ) een topologische ruimte, S 2 = ({0, 1}, {, {1}, {0, 1}}) de Sierpinski ruimte, I de verzameling van alle continue afbeeldingen (X, T ) S 2 en, voor elke i I, f i = i, bewijs dan dat de bron initiaal is. (f i : (X, T ) (X i, T i )) i I 7. Zijn (X, T ) en (Y, S) topologische ruimten en f : (X, T ) (Y, S) een initiale surjectie, toon dan dat f 1 (B) semi-open is in (X, T ) voor elk semi-open deel B van (Y, S). 18

20 HOOFDSTUK 7. INITIALE EN FINALE STRUCTUREN Beschouw een verzameling X, een topologische ruimte (Y, S) en een afbeelding f : X Y. Stel verder G = {G X; f(g) S}, T de topologie op X met G als subbasis en I de initiale topologie op X voor de bron (f : X (Y, S)). Bewijs dan: (a) indien f surjectief is, dan is f : (X, T ) (Y, S) continu, (b) indien f injectief is, dan is T I, (c) indien f bijectief is, dan is G = T = I. 9. Bewijs dat een inbedding f : (X, T ) (Y, S) open (resp. gesloten) is als en slechts als f(x) open (resp. gesloten) is in (Y, S). 10. Beschouw een familie ((X i, T i )) i I van topologische ruimten en een element (a i ) i I Π i I X i. Stel D = {(x i ) i I Π i I X i ; {i I; x i a i } is eindig} en bewijs dat D dicht is in de productruimte (Π i I X i, Π i I T i ). 11. Beschouw topologische ruimten (X, T ) en (Y, S) waar (Y, S) Hausdorff is. Indien f : (X, T ) (Y, S) een continue afbeelding is, bewijs dan dat de grafiek G f = {(x, f(x)) X Y ; x X} van f een gesloten deel is van de productruimte (X Y, T S). 12. Beschouw topologische ruimten (X, T ) en (Y, S), een afbeelding f : X Y met grafiek G f = {(x, f(x)) X Y ; x X} en P de producttopologie van T en S op X Y. Stel nu I de in itiale topologie op X voor de bron (f : X (Y, S)), U de supremumtopologie van T en I op X. Toon dat de deelruimte (G f, P Gf ) van (X Y, P) homeomorf is met (X, U). Wat kan je hieruit afleiden indien f : (X, T ) (Y, S) continu is? 13. Beschouw topologische ruimten (X, T ) en (Y, S), een afbeelding f : X Y, de grafiek G f = {(x, f(x)) X Y ; x X} van f, de afbeelding g : X X Y : x (x, f(x)) en de corestrictie g c : X G f : x (x, f(x)) van g. Bewijs de equivalentie van volgende voorwaarden: (a) f : (X, T ) (Y, S) is continu. (b) g c : (X, T ) (G f, (T S) Gf ) is een homeomorfisme. (c) g : (X, T ) (X Y, T S) is continu. 14. (a) Geef een voorbeeld van een projectie pr k : (Π i I X i, Π i I T i ) (X k, T k ) die niet gesloten is. (b) Geef een voorbeeld van een deel A van Π i I X i dat niet open is voor Π i I T i maar waarvoor toch alle projecties pr i (A) open zijn.

21 HOOFDSTUK 7. INITIALE EN FINALE STRUCTUREN Is (f i : (X i, T i ) (X, T )) i I een finale sink, J een verzameling met I J en (f j : (X j, T j ) (X, T )) j J\I een sink van continue afbeeldingen, bewijs dan dat (f j : (X j, T j ) (X, T )) j J een finale sink is. 16. Zij (f i : (X i, T i ) (X, T )) i I een continue bron zodat, voor een k I, f k : (X k, T k ) (X, T ) een homeomorfisme is, bewijs dan dat (f i : (X i, T i ) (X, T )) i I een finale sink is. 17. Zij D 2 een discrete topologische ruimte met twee punten. Bewijs dat D 2 een quotiënt is van Q met de Euclidische topologie. 18. Bewijs dat N (als deelruimte van R met de Euclidische topologie) een quotiënt is van R \ Q (als deelruimte van R met de Euclidische topologie). 19. Beschouw een groep G van homeomorfismen van een topologische ruimte X. Bewijs dat door xry g G : g(x) = y een equivalentierelatie R op X wordt gedefinieerd. Toon dat de canonische quotiëntafbeelding X X R open is. 20. Zij (X, T ) een topologische ruimte, R een equivalentierelatie op X, X R de quotiëntverzameling, ϕ : X X R de canonische quotiëntafbeelding en T R de quotiënttopologie op X R. Voor A X stellen we S(A) = {x X; y X : yrx y A}. (a) Geef een voorbeeld van een equivalentie R op een verzameling X en een deel A van X waar S(A) A. (b) Bewijs dat ϕ : (X, T ) (X R, T R) open is als en slechts als voor elk gesloten deel A van (X, T ), S(A) een gesloten deel is van (X, T ). 21. Een retractie van (X, T ) naar (Y, S) is een continue afbeelding f : (X, T ) (Y, S) zodat een continue afbeelding g : (Y, S) (X, T ) bestaat met f g = id Y. Een snede van (Y, S) naar (X, T ) is een continue afbeelding g : (Y, S) (X, T ) zodat een continue afbeelding f : (X, T ) (Y, S) bestaat met f g = id Y. (Y, S) heet retract van (X, T ) indien een retractie f : (X, T ) (Y, S) bestaat. (a) Bewijs dat een retractie steeds een quotiëntafbeelding is. (b) Bewijs dat een initiale surjectie steeds een retractie is. (c) Bewijs dat een snede steeds een inbedding is. (d) Indien (X, T ) een Hausdorffruimte is en f : (X, T ) (Y, S) een retractie met snede g : (Y, S) (X, T ), toon dan dat g(y ) een gesloten deel is van (X, T ).

22 HOOFDSTUK 7. INITIALE EN FINALE STRUCTUREN 21 (e) Indien een verzameling X uitgerust wordt met de topologie {G X; X \ G is eindig} { }, bewijs dan dat voor elke G T \ { }, de deelruimte (G, T G ) een retract is van (X, T ). Besluit, door voor X een oneindige verzameling te nemen, dat in d. de Hausdorff-voorwaarde niet kan vervangen worden door de T1-voorwaarde. 22. Neem ξ / [0, 1], stel Y = [0, 1] {ξ} en beschouw de deelruimte [ 1, 1] van de R met de Euclidische topologie. Stel Q de quotiënttopologie op Y voor de surjectie { ξ als x = 1 f : [ 1, 1] R : x x als x 1 Bewijs: (a) f : [ 1, 1] (Y, Q) is een open afbeelding, (b) (Y, Q) is geen Hausdorffruimte, (c) {(x, x ) [ 1, 1] 2 ; f(x) = f(x )} is niet gesloten in [ 1, 1] Zij X een topologische ruimte. Bewijs de equivalentie van volgende uitspraken: (a) X is homeomorf met een coproduct van indiscrete ruimten. (b) In X is elk open deel gesloten.

23 Hoofdstuk 8 Stabiliteit voor constructies 1. Laat R de Euclidische topologie dragen en Q de spoortopologie. Definieer de equivalentie R op R door xry x y Q. Bewijs dat de quotiëntruimte R R indiscreet is. 2. Toon dat voor een topologische ruimte (X, T ) de volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) (X, T ) is gecomplementeerd (zie opgave 29 in Hoofdstuk 1), (b) (X, T ) is een quotiëntruimte van een gecomplementeerde ruimte. 3. Zij (X, T ) een topologische ruimte. Beschouw de equivalentierelatie R = {(x, x ) X X; cl{x} = cl{x }} op X, X R de quotiëntverzameling, ϕ R : X X R de quotiëntafbeelding en T R de quotiënttopologie op X R voor R. Bewijs dat ϕ R : (X, T ) (X R, T R) zowel initiaal als finaal is. Toon verder, indien (X, T ) regulier is, dat (X R, T R) een reguliere Hausdorffruimte is. (Toon dat alle open delen van (X, T ) R-verzadigd zijn.) 4. Neem een gesloten deel A van een T3-ruimte X en definieer de equivalentie R op X door xrx x = x of {x, x } A. Toon dat de quotiëntruimte X R Hausdorff is. 5. Een topologische ruimte X heet een T0-ruimte indien voor elke x, y X geldt: (cl{x} = cl{y}) y = x. 22

24 HOOFDSTUK 8. STABILITEIT VOOR CONSTRUCTIES 23 (a) Geef een voorbeeld van een T0-ruimte die geen T1-ruimte is. (b) Toon voor een willekeurige topologische ruimte (X, T ) de quotiëntruimte (X R, T R), zoals geconstrueerd in opgave 3, een T0-ruimte is. (c) Toon voor een willekeurige topologische ruimte (X, T ) de equivalentie van volgende eigenschappen: i. (X, T ) is een T0-ruimte, ii. elke initiale bron (f i : (X, T ) (X i, T i )) i I is puntenscheidend, iii. elke initiale afbeelding f : (X, T ) (Y, S) is injectief. 6. Zij (f i : (X, T ) (X i, T i )) i I een initiale bron met voor elke i I (X i, T i ) een Hausdorffruimte. Toon dat (X, T ) Hausdorff is als en slechts als (X, T ) T0 is. 7. Stel X = {0, 1, 2, 3} en T = {, {0}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 1, 2}, X}. Bewijs dat (X, T ) normaal is maar dat niet iedere deelruimte van (X, T ) normaal is. 8. Zij X een Lindelöf-ruimte en Y compact. Bewijs dat de productruimte X Y Lindelöf is.

25 Hoofdstuk 9 Compact Hausdorff en lokaal compact 1. Bewijs dat Q als deelruimte van R met de Euclidische topologie niet lokaal compact is. 2. Toon dat voor een lokaal compacte Hausdorffruimte (X, T ) en een deel A van X de volgende voorwaarden equivalent zijn: (a) (A, T A ) is lokaal compact, (b) A is lokaal gesloten in (X, T ). (zie opgave 29 in Hoofdstuk 1) 3. Indien X lokaal compact is en Y een retract van X, bewijs dan dat ook Y lokaal compact is. 4. Zij gegeven een niet-compacte topologische ruimte (X, T ). Bewijs dat (X, T ) T1 is indien (X, T ) T1 is. 5. Zij X een compacte Hausdorff ruimte en A een familie gesloten en samenhangende delen van X die door de inclusie totaal geordend is. Bewijs dat A samenhangend is. 24