TW2040: Complexe Functietheorie

Transcriptie

1 TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33

2 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen voor analytische functies K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 2 / 33

3 Uniforme Convergentie Herhaling: een rij functies f n n van D naar C convergeert uniform op D naar een functie f : D C als voor elke ε > 0 een N N bestaat zó dat voor alle n N en alle z D geldt f n (z) f (z) < ε K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 3 / 33

4 Lokale Uniforme Convergentie Een rij functies f n n van D naar C convergeert lokaal uniform op D naar een functie f : D C als voor elke z 0 D een r > 0 bestaat zó dat de rij f n n uniform naar f convergeert op U r (z 0 ) D. Dus: voor elke z 0 D bestaat een r > 0 zodanig dat voor elke ε > 0 een N N bestaat zó dat voor alle n N en alle z U r (z 0 ) D geldt f n (z) f (z) < ε K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 4 / 33

5 Lokale Uniforme Convergentie: voorbeelden De rij f n n op D = {z : z < 1}, met f n (z) = z n. Deze rij convergeert puntsgewijs naar de nulfunctie op D. Deze rij convergeert niet uniform naar de nulfunctie op D Deze rij convergeert wel uniform naar de nulfunctie op U r (z) als z D en r = 1 2 (1 z ). Deze rij is niet uniform convergent maar wel lokaal unform convergent K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 5 / 33

6 Lokale Uniforme Convergentie: voorbeelden De machtreeksen voor exp(z), sin z, cos z,... convergeren allemaal lokaal uniform (maar niet uniform) op C. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 6 / 33

7 Lokale Uniforme Convergentie: gebruik Lokale uniforme convergentie is vaak goed genoeg: de limiet van een lokaal uniform convergente rij continue functies is continu, want continuïteit is een lokale eigenschap. Als K compact is en f n n is lokaal uniform convergent op K dan is f n n ook uniform convergent op K. Even naar het bord. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 7 / 33

8 Lokale Uniforme Convergentie: gebruik Belangrijk: zij f n n lokaal uniform convergent op D, met limiet f, dan geldt lim f n (ζ) dζ = f (ζ) dζ n α α voor elke stuksgewijs gladde kromme α in D. Want: K = {α(t) : a t b} is compact, dus de rij convergeert uniform op K. En dan volgt de bewering uit f n f l(α) sup{ f n (z) f (z) : z K } α α K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 8 / 33

9 Lokale Uniforme Convergentie en analytische functies Stelling (III.1.3) Zij D open en f n n een rij analytische functies van D naar C die lokaal uniform naar f : D C convergeert. Dan is f ook analytisch en de rij f n n convergeert lokaal uniform naar f. Analytisch. De Morera: de integraal van f over elke gesloten kromme is gelijk aan 0. En, natuurlijk,... K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 9 / 33

10 Lokale Uniforme Convergentie en analytische functies... voor de afgeleide: f (z) = 1 2πi = lim n α 1 2πi = lim f n n(z) f (ζ) (ζ z) 2 dζ α f n (ζ) (ζ z) 2 dζ want f n f uniform op een cirkeltje α om z. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 10 / 33

11 Lokale Uniforme Convergentie en analytische functies De convergentie is lokaal uniform: neem z 0 vast kies eerst R > 0 zò dat de gesloten schijf Ū R (z 0 ) binnen D ligt dan convergeert f n n uniform naar f op Ū R (z 0 ) Neem nu r = 1 2 R en α de cirkel om z 0 met straal R. We integreren over α K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 11 / 33

12 Lokale Uniforme Convergentie en analytische functies Als nu z z 0 r en ζ z 0 = R dan ζ z r en dus f n(z) f (z) 1 f n (ζ) f (ζ) = 2πi α (ζ z) 2 dζ R r 2 sup{ f n (ζ) f (ζ) : ζ z 0 = R } onafhankelijk van z. Dit bewijs werkt voor elke afgeleide. Dus f (k) n f (k) lokaal uniform voor alle k. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 12 / 33

13 Stone-Weierstraß Stelling Als f : [0, 1] R continu is dan is er een rij polynomen p n n zó dat p n f, uniform op [0, 1]. Stel p n n is een rij complexe polynomen zó dat p n f, uniform op {z : z 1}. Dan is f continu op {z : z 1} en analytisch op {z : z < 1}. Dus, bijvoorbeeld, z is niet de uniforme limiet van een rij (complexe) polynomen. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 13 / 33

14 Normale convergentie Als f n n een rij functies is dan noemen we de (bijbehorende) reeks fn normaal convergent (op D) als voor elke z 0 D een r > 0 en een rij M n n positieve reële getallen bestaan met fn (z) Mn voor z U r (z 0 ) D, en Mn convergeert K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 14 / 33

15 Normale convergentie Welbekend: als f n normaal convergent is dan is f n ook lokaal uniform en lokaal absoluut convergent. (M-test van Weierstraß) Ook waar: Als f n een normaal convergente reeks van analytische functies is dan is ook f n normaal convergent. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 15 / 33

16 Normale convergentie Laat z 0 D, als r > 0 en M n n als in de definitie zijn en α de cirkel om z 0 met straal r dan geldt, als z z r f n(z) = 1 2πi α f n (ζ) (ζ z) 2 dζ 4M n r Maak dergelijke afschattingen voor hogere afgeleiden. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 16 / 33

17 De Riemann ζ-functie In de getaltheorie heten de complexe getallen s en s = σ + it. Voor n N nemen we s n s, hoofdtak: n s = exp(s ln n). En dus n s = n σ. De reeks 1 n s convergeert absoluut en uniform op elk halfvlak D δ = {s : Re s 1 + δ} (met δ > 0). De gewone M-test met M n = n (1+δ) werkt uitstekend. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 17 / 33

18 De Riemann ζ-functie De reeks convergeert dus normaal op D = {s : Re s > 0} en de som is analytisch op D. ζ(s) = Dit is de ζ-functie van Riemann. n=1 1 n s K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 18 / 33

19 Oude kennis Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen voor analytische functies Elke machtreeks an z n heeft een convergentiestraal: een getal r 0 of zó dat an z n convergeert absoluut als z < r en an z n divergeert als z > r. Zie Opgave III.2.6: r = lim sup n n a n. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 19 / 33

20 Nieuwe kennis Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen voor analytische functies Karakteriseringen van r. Definieer r 1 = sup{t 0 : lim n a n t n = 0} r 2 = sup{t 0 : a n t n n is begrensd} Dan geldt: r = r 1 = r 2. Er geldt zeker r r 1 r 2 : want als n a nt n convergeert dan lim n a n t n = 0 en als lim n a n t n = 0 dan is a n t n n begrensd K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 20 / 33

21 Nieuwe kennis Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen voor analytische functies Neem aan r 2 > 0, neem ρ < r 2 en ρ 1 met ρ < ρ 1 < r 2. Zij M = sup{ a n ρ n 1 : n N} (die bestaat want ρ 1 < r 2 ). Als z ρ dan geldt ( ) ρ n ( ) ρ n a n z n a n ρ n = a n ρ n 1 M ρ 1 ρ 1 Wegens het Majorantencriterium geldt nu dat n a nz n absoluut convergeert als z ρ, dus ρ r. Conclusie: r 2 r. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 21 / 33

22 Normale convergentie Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen voor analytische functies De machtreeks a n z n, met convergentiestraal r, is normaal convergent op U r (0). Immers: de reeks is absoluut en uniform convergent op U ρ (0) voor elke ρ < r. En nu zien we weer: is analytisch op U r (0) en f (z) = f (z) = a n z n n=0 na n z n 1 n=1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 22 / 33

23 Voorbeeld 1 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen voor analytische functies De meetkundige reeks. De convergentiestraal is gelijk aan 1. We weten: n=0 = 1 1 z Verder: n zn divergeert voor alle z met z = 1. ( z < 1) K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 23 / 33

24 Voorbeeld 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen voor analytische functies De reeks n 1 n zn heeft convergentiestraal 1 (want lim n 1 n = 0 en 1 n tn n is onbegrensd als t > 1). Op de open schijf U 1 (0) is de somfunctie, f (z), dus analytisch en f (z) = n=1 n n zn 1 = n=0 z n = 1 1 z K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 24 / 33

25 Voorbeeld 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen voor analytische functies We hebben f (z) = (1 z) 1, en dus f (z) = Log(1 z) + 2kπi ( z < 1) voor een k Z. Maar f (0) = 0 en dus k = 0 en f (z) = Log(1 z) ( z < 1) K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 25 / 33

26 Voorbeeld 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen voor analytische functies Op de rand? De reeks divergeert als z = 1. De reeks n 1 n zn convergeert voor alle z met z 1 en z 1. En de som is overal gelijk aan Log(1 z). Zie blackboard voor een link (onder Web Links ). K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 26 / 33

27 Hoofdresultaat Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen voor analytische functies Stelling (III.2.2) Zij f : D C analytisch, zij a D en zij R de afstand van a tot het complement van D (als D = C dan R = ). Op de schijf {z : z a < R} geldt met f (z) = a n (z a) n n=0 a n = 1 f (ζ) 2πi α (ζ a) n+1 dζ = f (n) (a) n! waarbij α(t) = a + re it (0 t 2π) voor een r met 0 < r < R. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 27 / 33

28 Bewijs Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen voor analytische functies R 1 a z r R Neem z binnen de cirkel {w : w a = R} en neem R 1 zó dat z a = r < R 1 < R. Werk op de cirkel α met straal R 1 om a. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 28 / 33

29 Bewijs Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen voor analytische functies Pas de formule van Cauchy toe: f (z) = 1 We bouwen het quotient 1/(ζ z) om: 1 ζ z = 1 1 ζ a 1 z a ζ a 2πi = 1 ζ a α n=0 f (ζ) ζ z dζ. ( ) z a n ζ a De modulus, r/r 1, van het quotient in de som is kleiner dan 1 op α, dus deze reeks convergeert uniform op α. We mogen sommatie en integratie omwisselen. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 29 / 33

30 Bewijs Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen voor analytische functies f (z) = 1 2πi = 1 2πi = = n=0 n=0 α α 1 2πi 1 2πi f (ζ) ζ z dζ f (ζ) ζ a α n=0 Klaar, dankzij de formules van Cauchy. α ( ) z a n dζ ζ a f (ζ) (ζ a) n+1 (z a)n dζ f (ζ) dζ (z a)n (ζ a) n+1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 30 / 33

31 Opmerkingen Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen voor analytische functies De coëfficiënten zijn onafhankelijk van de straal van α. De machtreeks convergeert op de schijf U R (a). De convergentiestraal is dus ten minste zo groot als R, de afstand van a tot het complement van D. De convergentiestraal is gelijk aan de straal van de grootste schijf om a waarop de functie f nog analytisch (te maken) is. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 31 / 33

32 Voorbeeld Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen voor analytische functies Neem f (z) = Log(1 z) (hoofdtak) en a = 2 + i. Wat is de convergentiestraal van de Taylorreeks van f (z) om a? Zeker groter dan of gelijk aan 1: dat is de afstand van a tot het complement van het (gegeven) domein van f. 2 + i 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 32 / 33

33 Voorbeeld Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen voor analytische functies We kunnen ook de tak, log z, van de logaritme nemen met 0 < arg z < 2π en log( 1 + i) = 1 2 ln πi. In het eerste kwadrant geldt dan f (z) = log(1 z) en de convergentiestraal van de machtreeks om a is nu ten minste i 1 Beter kan niet: deze logaritme is in 1 niet analytisch te maken. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 33 / 33