OEFENOPGAVEN OVER REEKSEN

Transcriptie

1 OEFENOPGAVEN OVER REEKSEN Opgave. Bereen n=0 ( 3 n + 6n 7 n ) (antwoord 0). Opgave. Ga voor de volgende reesen na of ze convergent of divergent zijn: a) (convergent); (ln ) b) c) d) e) f) g) h) (ln ) 000 ln (divergent); (divergent); (divergent); (convergent); (e /3 ) (convergent); 5 (convergent);! (divergent).

2 MEETKUNDIGE REEKSEN Er geldt: = als < r < (convergent), r = + r + r r + = als r (divergent), =0 bestaat niet als r (divergent). Hieruit volgt dat Namelij r = =a ra r als < r <. r = r a + r a+ + r a+ + = r a ( + r + r + ) = =a Verder geldt voor convergente reesen Voorbeeld. Bereen a en =0 b dat =0 ( ) ( (λa + µb ) = λ a + µ b ). =0 =0 ) ( ( ). =0 ra r. Oplossing. Volgens bovenstaande reenregels geldt ) ( ( ( ( ) 3 ( = ) ) ) ( 3 ( = ) ) 3/5 = 5 3/5 + 7 / ( /) = = = 67 6.

3 We beijen reesen CONVERGENTIECRITERIA a met a 0 voor alle. Omdat alle termen 0 zijn is de =0 rees altijd gedefinieerd, maar hij an eindig of oneindig zijn. De rees is convergent als hij eindig is, en divergent als hij oneindig is. Hoe bepalen we of a convergent of divergent is? We meren eerst het volgende op. Het maat voor de convergentie of divergentie van een rees niet uit of we een eindig aantal termen weglaten of toevoegen. Anders gezegd: voor el willeeurig getal r geldt =0 3 a convergent =0 a convergent. =r De rees lins van de pijl is a 0 + a +, d.w.z. begint bij 0, en de rees rechts van de pijl begint pas bij a r, d.w.z. we hebben de termen a 0,..., a r weggehaald. ) Limietenmer. Kij altijd eerst naar lim a. Als lim a 0 of niet bestaat dan is a divergent. =0 =0 Als lim a = 0 dan is er geen uitsluitsel. Dan an + 5 Voorbeelden: 7 a zowel convergeren als divergeren. =0 is divergent, want lim is divergent (zie onder) maar lim =0. + 5/ 7 = 7 0. ) Integraalenmer. Zij f(x) een continue, monotoon dalende functie op [a, ) met f(x) 0 voor x a. Dan geldt: f(x)dx convergent = f() convergent, a a f(x)dx divergent = =a f() divergent. =a Dit criterium an worden gebruit voor reesen van het type α of (ln ) β.

4 4 Voorbeeld. α is convergent als α > en divergent als α. Namelij als α 0 dan is lim α 0 dus is Als α > 0 en α dan is Verder is Dus x α dx B B ( B α α divergent. =0 [ x α dx B ) ( B α ] B α x α { als α <, = = als α >. α α B [ ] x dx x B dx ln x =. B B x α dx is convergent als α > en divergent als 0 < α <. (ln ) 3 We ijen naar x(ln x) dx. We bepalen eerst de primitieven van. We doen 3 x(ln x) 3 dit met behulp van de substitutie u = ln x. Dan geldt Dus De integraal du = x dx, x(ln x) dx = 3 u du = 3 u + C = (ln x) + C. B dx x(ln x) 3 B B [ dx x(ln x) 3 (ln x) ] B B ( (ln B) (ln ) ) = (ln ) <. x(ln x) dx is convergent. Dus is convergent. 3 (ln ) 3

5 3) Vergelijingsenmer. Zijn. Dan geldt: a en b reesen met a 0 en b 0 voor alle a (i) Stel lim = l met 0 < l <. Dan geldt: b b convergent = =0 b divergent = =0 a convergent, =0 a divergent. =0 5 a (ii) Stel lim = 0. Dan geldt: b b convergent = =0 a convergent. =0 a (iii) Stel lim =. Dan geldt: b b divergent = =0 a divergent. Dit criterium wordt meestal toegepast met b = α. Zoe bij gegeven a een macht α zodat a van de zelfde orde van grootte is als α a, bereen lim en pas het criterium α toe. + Mer op: als heel erg groot is dan is +. Pas het vergelijingsenmer toe met a = + en b =. Er geldt a lim b + / + =. De rees / is divergent. Dus + is divergent. + 3 Mer op: als heel erg groot is, dan is + (want dan is verwaarloosbaar ten =0

6 6 opzichte van ) en 3 3, dus + 3 toe met a = + 3 en b =. Er geldt a + lim b 3 3 =. Pas het vergelijingsenmer = 3. Er geldt: + is divergent. Dus is oo divergent. 3 ln (ln ) a Mer op: lim = 0 als b > 0 (machten van groeien veel harder dan machten van b ln ). Pas het vergelijingsenmer toe met a = / ln and b = /. Er geldt De rees a / ln lim b / ln =. divergeert. Dus ln divergeert. sin(/ ) sin x Er geldt lim = dus voor x heel dicht bij 0 geldt sin x x. In het bijzonder x 0 x sin(/ ) / voor heel groot. Pas het vergelijingsenmer to met a = sin(/ ) en b = /. Er geldt (via de substitutie x = / ), De rees a sin(/ ) sin x lim b / x x =. is convergent. Dus sin(/ ) is convergent.

7 7 4) Quotiëntenmer. Stel a 0 voor alle. a + (i) Als lim < dan is a convergent. a =0 a + (ii) Als lim > dan is a divergent. a =0 a + a + (iii) Als lim = of als lim niet bestaat dan geeft dit criterium geen uitsluitsel. a a Dit criterium moet worden gebruit wanneer er in a faculteiten (!, ()! e.d.) of exponentiële termen (, 3 e.d.), vooromen. =0 Pas het quotiëntcriterium toe met a =. Er geldt Dus a + a = a + lim a Wegens het quotiëntcriterium is =0 5! ( + ) ( + ) = + ( + ) = ( + + ) =. convergent. =0 Pas het quotiëntcriterium toe met a = 5. Er geldt! Dus lim a + a a + a = 5+ ( + )!! 5 = 5 + ( + ) 5 = = 0. Wegens het quotiëntcriterium is Opmering. Er geldt dat =0! ()! =0 =0 5! convergent. x! convergent is voor alle x en =0 x! = ex.

8 8 Pas het quotiëntcriterium toe met a =!. Er geldt ()! Dus a + a = = a + lim a ( + )! (( + ))! ()!! == ( + )! ( + )! ()!! ( + ) ( + )( + ) = + ( + )( + ). + ( + )( + )! Wegens het quotiëntcriterium is ()! convergent. =0 + ( + )( + ) = 0.