Convergentie van een rij

Transcriptie

1 Hoofdstuk Convergentie van een rij. Basis. Bepaal de som van de volgende oneindige meetkundige rijen a) b) , +... c) Schrijf de volgende repeterende decimalen als een breuk: a) b) c) Het quotiënt =... VWO 200). Een meisje van 0 jaar krijgt gedurende een aantal dagen een pijnstillend middel. Via een injectie wordt er elke ochtend 0 mg toegevoegd. 2 uur later is er nog 60 procent aanwezig van de werkzame stof. Met s n wordt het aantal mg werkzame stof onmiddellijk na de n-de injectie bedoeld. a) Toon aan dat s 3 = ) ) 2 b) Bepaal de formule voor s n. c) Bereken s. d) Een overdosis treedt op bij 23 mg werkzame stof in het bloed. Doet deze zich voor? Zo ja wanneer? e) Stel dat men deze dosis elke dag voor langere tijd toedient. Wat gebeurt er?. We laten een tennisbal vallen vanaf de toren van Pisa hoogte 7 m). Wanneer we ervan uitgaan dat het balletje na elke val terug veert naar 7 procent van de hoogte waarop hij losgelaten is. Bereken welke afstand de tennisbal in totaal zal afleggen. 6. De volgende rijen zijn gegeven met een recursief voorschrift. Als we aannemen dat deze rijen convergeren bepaal dan de limiet door gebruik te maken van lim u n+ = lim u n = α n + n + a) u n+ = u n met u = 3

2 b) u n+ = u n + 3 met u = 2 c) u n+ = 6 u n met u = d) u n+ = u n ) 2 2u n + 2 met u = 3/2 7. Gegeven een aantal rijen, bewijs door gebruik te maken van het monotoon stijgend/dalend en begrensd zijn dat ze een eindige limiet hebben. a) u n = 2n b) u n = 2n 7 3n + 2 c) u n = 2.0 n 8. Een persoon met een oorontsteking neemt elke uur een pilletje dat 200 mg antibiotica bevat. Na uur is er nog 2 % van de antibiotica aanwezig in het lichaam van de persoon. Hoeveel antibiotica is er aanwezig in het lichaam van de persoon: a) Onmiddellijk na het innemen van het derde pilletje. b) Onmiddellijk na het innemen van het zesde pilletje. c) Hoeveel mg antibiotica is er op lange termijn aanwezig in het lichaam juist voor het nemen van een pilletje? d) Hoeveel mg antibiotica is er op lange termijn aanwezig in het lichaam juist na het nemen van een pilletje? 9. Hartpatiënten worden behandeld met dioxine. 90 % van de dosis wordt gedurende een dag afgebroken door het lichaam. Bepaal zelf een doseer schema rekening houdend met het feit dat de maximale effectieve hoeveelheid 3 mg/l en de minimale effectieve hoeveelheid 0. mg/l is. 0. In een bak zit 7 liter water, met daarin 320 gram zout opgelost. We voeren de volgende verdunning uit: voeg liter water toe aan de bak; roer goed; schep er liter water uit, zodat er weer 7 liter overblijft. We voeren deze verdunning bij herhaling uit. a) Hoeveel gram zout is er nog over in de bak als je twee keer de verdunning hebt uitgevoerd? b) Na n keer verdunnen, is er nog g n gram zout over in de bak. Geef een recursieve formule voor g n. c) Geef een expliciete formule voor g n.. Anneke zit in de brugklas. Elke week krijgt ze een overhoring Engels. De eerste keer had ze nog niet door hoe het werkte en haalde ze een. Ze heeft zich daardoor niet uit het veld laten slaan; alle volgende overhoringen scoorde Anneke een 0. Na elke nieuwe overhoring berekent ze het gemiddelde van alle overhoringen tot dan toe. a) Bereken het gemiddelde dat Anneke heeft na 2 overhoringen. En na 3, na en na overhoringen. b) Het gemiddelde na n overhoringen noemen we g n. Geef een expliciete formule voor g n. c) Na hoeveel overhoringen komt het gemiddelde boven de 9.6? HOOFDSTUK. CONVERGENTIE VAN EEN RIJ Pagina 2

3 .2 Verdieping. Hieronder zie je in figuur. de eerste vier stadia in het ontstaan van de zeef van Sierpinski. Dit is een voorbeeld van een fractaal. De zwarte driehoek waar we mee starten in figuur 0 heeft oppervlakte. De witte driehoek in figuur noemen we van orde. De witte driehoekjes die er in figuur 2 bijkomen noemen we van orde 2, enzovoorts. Figuur.: opeenvolgende stadia van de zeef van Sierpinksy a) Hoe groot is de oppervlakte van de witte driehoek van orde? b) Wat is de oppervlakte van een witte driehoek van orde 2? En hoeveel driehoeken zijn er van orde 2? Dezelfde vragen voor driehoeken van orde 3. c) Wat is de oppervlakte van een witte driehoek van orde n? En hoeveel driehoeken van orde n zijn er? d) Bepaal de rij bestaande uit opeenvolgende oppervlakten. e) Welke rij is dit? f) Bepaal de oneindige som van al deze oppervlakten. 2. Bereken de volgende limieten: a) lim + ) 2n n + 2n b) lim + ) n n + n c) d) lim n + lim n n n n 3 ) n ) 2n.3 Wiskundig denken en experimentele wiskunde. Bespreek voor onderstaande rijen hoe de limiet afhangt van de eerste term. a) u n+ = u n b) u n+ = u n + 3 c) u n+ = 6 u n d) u n+ = u n ) 2 2u n + 2 e) u n+ = u n + 2. De methode van Heroon om 3 te berekenen werd besproken bij convergentie van recursieve rijen Kan jij een recursief voorschrift geven waarmee je: a) kan bepalen b) 7 kan bepalen HOOFDSTUK. CONVERGENTIE VAN EEN RIJ Pagina 3

4 HOOFDSTUK. CONVERGENTIE VAN EEN RIJ Pagina

5 Hoofdstuk 2 Convergentie van een rij: oplossingen 2. Basis. Bepaal de som van de volgende oneindige meetkundige rijen a) We hebben een meetkundige rij waarvan u = en rede q = 0 s = u q = 0. = 0 9 b) , +... We hebben een meetkundige rij waarvan u = 6 en rede q = 2 s = u q = 6 0. = 32 c) We hebben een meetkundige rij waarvan u = 8 en rede q = s = u q = = 8 / = Schrijf de volgende repeterende decimalen als een breuk: a) We kunnen dit bekijken als: )

6 Wat er tussen de haakjes staat is de oneindige som van termen van een meetkundige rij met u = 0.3 en rede q = en is dus: = u q = = = 3 Hieruit volgt: = = = 7 3 b) We kunnen dit bekijken als: ) Wat er tussen de haakjes staat is de oneindige som van termen van een meetkundige rij met u = 0.23 en rede q = en is dus: = u q = = = Hieruit volgt: c) We kunnen dit bekijken als:, = = = ) Wat er tussen de haakjes staat is de oneindige som van termen van een meetkundige rij met u = 0.00 en rede q = en is dus: = u q = = = 999 Hieruit volgt: = = = Het quotiënt =... VWO 200) We kunnen dezelfde redenering als hierboven toepassen: en = = = = = = = = = 3 HOOFDSTUK 2. CONVERGENTIE VAN EEN RIJ: OPLOSSINGEN Pagina 6

7 . Een meisje van 0 jaar krijgt gedurende een aantal dagen een pijnstillend middel. Via een injectie wordt er elke ochtend 0 mg toegevoegd. 2 uur later is er nog 60 procent aanwezig van de werkzame stof. Met s n wordt het aantal mg werkzame stof onmiddellijk na de n-de injectie bedoeld. a) Toon aan dat s 3 = ) ) 2 s 3 is de hoeveelheid van het pijnstillend middel aanwezig in het lichaam van het meisje juist na de derde injectie. i. Van de eerste inspuiting blijft er nog 0.0.6) 2 over, aangezien die hoeveelheid al 2 keer met 0 % gedaald is. ii. Van de tweede inspuiting blijft er nog 0.0.6) over iii. Van de derde inspuiting blijft er onmiddellijk na de injectie nog 0 mg over. s 3 = ) ) 2 Maar je kan die opeenvolgende sommen: s, s 2, s 3, s,... ook bekijken als de opeenvolgende termen van de rij met als recursief voorschrift: { s = 0 s n+ = s n b) Bepaal de formule voor s n. Zetten we dezelfde redenering verder als hierboven dan zien we dat: c) s = s n = ) ) ) n d) Met behulp van het grafisch rekentoetsel en het recursief voorschrift kan je berekenen dat: s = 0.0 s 2 = 6.0 s 3 = 9.6 s = s = s 6 = s 7 = s 8 = Hieruit kunnen we besluiten dat er zich een overdosis voordoet na de de inspuiting. e) Gebruikmakend van het recursief voorschrift en wanneer we ervan uitgaan dat de limiet van de rij s n eindig is volgt er dat: s n+ = 0 + s n 0, 6 lim n+ = lim n.0, 6 α = 0 + α.0, 6 0.α = 0 α = 0 0. = 2 Hieruit kunnen we besluiten dat op langere termijn de hoeveelheid werkzame stof naar 2 mg streeft. HOOFDSTUK 2. CONVERGENTIE VAN EEN RIJ: OPLOSSINGEN Pagina 7

8 . De afstanden afgelegd door de tennisbal zien er als volgt uit: ) ) De eerste afstand = 7) wordt slechts keer afgelegd de bal valt vanop een bepaalde hoogte), zie figuur 2. en 2.2) Figuur 2.: Stuiterende bal Figuur 2.2: Stuiterende bal Als we de eerste term buiten beschouwing laten dan hebben we de oneindige som van termen van een meetkundige rij met rede q = 0.7 waarvan de oneindige som ) ) s = u = = = 6 7 = 32 q HOOFDSTUK 2. CONVERGENTIE VAN EEN RIJ: OPLOSSINGEN Pagina 8

9 Besluit: de tennisbal legt in totaal = 399 meter af. 6. a) u n+ = u n met u = 3 u n+ = u n lim u n+ = lim un α = α α 2 = α kwadrateringsvoorwaarde α 0) α 2 2.α 3 = 0 α = α = 3 Aangezien alle termen van de rij positief zijn en rekening houdend met de kwadrateringsvoorwaarde) kunnen we besluiten dat: lim u n = 3 b) u n+ = u n + 3 met u = 2 u n+ = u n + 3 lim u n+ = lim u n + 3 ) α = α α = 3 α = Besluit: lim u n = c) u n+ = 6 u n met u = HOOFDSTUK 2. CONVERGENTIE VAN EEN RIJ: OPLOSSINGEN Pagina 9

10 u n+ = 6 u n lim n+ = lim 6 u n α = 6 α α 6 α) = 6 α 6 α α 2 + 6α 6 α = 0 α = α = Aangezien alle termen kleiner zijn dan kunnen we besluiten dat: lim u n = d) u n+ = u n ) 2 2u n + 2 met u = 3/2 u n+ = u n ) 2 2u n + 2 lim u n+ = lim un ) 2 2u n + 2 ) α 2 + 3α 2 = 0 α = α 2 2α + 2 α = α = 2 Aangezien alle termen kleiner zijn dan 2 kunnen we besluiten dat: lim u n = 7. a) We bekijken een aantal termen van de rij: u n = 2n 2,, 6, 8,... Dit doet ons vermoeden dat de rij monotoon dalend is. Monotoon dalend: we moeten aantonen dat: HOOFDSTUK 2. CONVERGENTIE VAN EEN RIJ: OPLOSSINGEN Pagina 0

11 u n+ u n 2n + ) 2n 2n + 2 2n 2n < 2n < 2 2n > 0 en 2n + 2 > 0) Aangezien er steeds geldt dat: 0 < 2, kunnen we besluiten dat de rij monotoon dalend is. Begrensd: Aangezien alle termen groter zijn dan 0 kunnen we 0 als ondergrens nemen. Besluit: de rij is convergent b) We bekijken een aantal termen van de rij: u n = 2n 7 3n + 2.0, 0.37, , 0.07, 0.76,... Dit doet ons vermoeden dat de rij monotoon stijgend is. Monotoon stijgend: we moeten aantonen dat: u n+ u n 2n + ) 7 2n 7 3n + ) + 2 3n + 2 2n 2n 7 3n + 3n + 2 2n )3n + 2) 2n 7)3n + ) 3n + > 0 en 3n + 2 > 0) 6n 2 n + n 0 6n 2 2n + 0n 3 n 0 n Aangezien er steeds geldt dat: 0 3, kunnen we besluiten dat de rij monotoon stijgend is. Begrensd: Aangezien alle termen groter zijn dan 0 kunnen we 0 als ondergrens nemen. 2n 7 3n + 2 < 2n 3n + 2 < 2n 3n = 2 3 Hieruit kunnen we besluiten dat 2 3 een bovengrens is. HOOFDSTUK 2. CONVERGENTIE VAN EEN RIJ: OPLOSSINGEN Pagina

12 Besluit: de rij is convergent c) We bekijken een aantal termen van de rij: u n = 2.0 n 0.2, 0.02, 0.002, ,... Dit doet ons vermoeden dat de rij monotoon dalend is. Monotoon dalend: we moeten aantonen dat: u n+ u n 2.0 n+) 2.0 n 2.0 n 2.0 n 2.0 n n 0 0 Aangezien 0 voor n N 0, kunnen we besluiten dat de rij monotoon dalend is. Begrensd: Aangezien alle termen groter zijn dan 0 kunnen we dit als ondergrens beschouwen. 2.0 n > 0 n N 0 Hieruit kunnen we besluiten dat 0 een ondergrens is. Besluit: de rij is convergent 8. Een persoon met een oorontsteking neemt elke uur een pilletje dat 200 mg antibiotica bevat. Na uur is er nog 2 % van de antibiotica aanwezig in het lichaam van de persoon. Hoeveel antibiotica is er aanwezig in het lichaam van de persoon: a) i. Onmiddellijk na het innemen van het eerste pilletje: 200 mg. ii. Onmiddellijk na het innemen van het tweede pilletje: mg. iii. Onmiddellijk na het innemen van het tweede pilletje: ) = mg. b) ) ) ) ) = mg HOOFDSTUK 2. CONVERGENTIE VAN EEN RIJ: OPLOSSINGEN Pagina 2

13 c) mg d) mg 9. Het doel is om de dagelijkse doseerhoeveelheid x) dioxine te bepalen zodat de hoeveelheid dioxine aanwezig in het lichaam van de hartpatiënten op termijn evolueert naar een waarde tussen 0. mg/l en 3 mg/l. De limiet van de convergente rij met als recursief voorschrift: u n+ = 0. u n + x met u = x moet tussen 3 en 0. liggen. We beginnen met de doseerhoeveelheid x) te bepalen opdat de hoeveelheid dioxine in het lichaam op termijn naar 3 mg/l evolueert. Concreet betekent dit: lim u n+ = lim u n = 3 u n+ = 0. u n + x lim n+ = lim n + x) 3 = x x = 2.7 Besluit: om op termijn naar 3 mg/l dioxine in het lichaam te evolueren dient de dagelijkse dosis 2.7 mg/l te zijn. Tenslotte bepalen we de doseerhoeveelheid x) opdat de hoeveelheid dioxine in het lichaam op termijn naar 0. mg/l evolueert. Concreet betekent dit: lim u n+ = lim u n = 0. u n+ = 0. u n + x lim n+ = lim n + x) 0. = x x = 0. Besluit: om op termijn naar 0. mg/l dioxine in het lichaam te evolueren dient de dagelijkse dosis 0. mg/l te zijn. De dagelijkse dosis moet tussen 0. mg/l en 2.7 mg/l te liggen. 0. a) Na verdunning is er nog = 280 g zout in de bak. 8 Na de 2 de verdunning is er nog = = 2 g zout in de bak. 8 HOOFDSTUK 2. CONVERGENTIE VAN EEN RIJ: OPLOSSINGEN Pagina 3

14 b). g n+ = g n 7 8 en g 0 = 320 c) Geef een expliciete formule voor g n = ) n.. Anneke begint met een toets van op 0. Beschouwen we dit als de eerste term van de rij met gemiddelden. g n noemen we het gemiddelde van Anneke na n toetsen. a) g = g 2 = + 0 = )0 g 3 = = 7 dus g 3 = 3 3 g = )0 = 7.7 of g = g = )0 = 8.2 of g = b) Algemeen kunnen we zeggen dat g n = + n )0 n c) + n )0 n > n )0 > 9.6n + 0n 0 > 9.6n 0.n > 9 n > 9 0. = 22. Anneke zal na haar 23 ste toets een gemiddelde groter dan 9.6 hebben. 2.2 Verdieping. a) Aangezien de zwarte driehoek oppervlakte heeft, en de driehoek van orde / van de total oppervlakte =) is volgt er dat S = HOOFDSTUK 2. CONVERGENTIE VAN EEN RIJ: OPLOSSINGEN Pagina

15 b) S 2 = = ) 2 waarvan er 3 voorkomen en dus is totale oppervlakte van alle driehoeken van orde 2 3 S 2 = 3 ) 2 = 3 2 S 3 = ) 2 = ) 3 waarvan er 9 voorkomen en dus is totale oppervlakte van alle driehoeken van orde 3 = ) 3 9 S 3 = 9 = 9 3 c) S n = ) n waarvan er 3 n voorkomen en dus is totale oppervlakte van alle driehoeken van orde n = 3 n S n = 3 n ) n = 3 n n d), 3 2, 9 3,..., 3 n n,... e) Dit is een meetkundige rij waarvan de rede q = 3 f) De oneindige som van alle termen van deze meetkundige rij: s = u q = 3 = = 2. We maken gebruik van: lim + n = e n) a) Stellen we 2n = t, dan zal ook t + als n + en krijgen we lim + ) t = e t + t b) Stellen we n = t n = t), dan zal ook t + als n + en krijgen we lim + ) t = t + t lim t + + ) ) t = e t HOOFDSTUK 2. CONVERGENTIE VAN EEN RIJ: OPLOSSINGEN Pagina

16 c) Stellen we n 3 3t = t n = ), dan zal ook t + als n + en krijgen we lim + ) 3t = t + t lim t + + ) ) t 3 = e 3 t d) Stellen we n 3 = t n = t + 3), dan zal ook t + als n + en krijgen we lim t + t + 3 t ) 2t+6 = lim + 3 ) 2t+6 t + t Voeren we opnieuw een substitutie uit: t + en krijgen we: t 3 = k t = 3k), dan zal ook k + als lim + ) 6k+6 = k + k lim k + = e 6 lim + ) 6 k + k = e 6. 6 = e 6 + ) ) k 6. lim + ) 6 k k + k 2.3 Wiskundig denken en experimentele wiskunde. Bepaal de mogelijke limieten van deze rijen en interpreteer deze naargelang de eerste term wijzigt. 2. De methode van Heroon, is een algoritme werkwijze) om de vierkantswortel van een getal te bepalen. u n+ = u n + a ) 2 u n HOOFDSTUK 2. CONVERGENTIE VAN EEN RIJ: OPLOSSINGEN Pagina 6