Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Transcriptie

1 Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012

2 Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair verband Begrippen Maten Grafieken Kwadratisch verband Figuren Verhoudingstabel Snijpunten Exponentieel verband Toepassingen Procenten Formules Wortelverband Breuken Machtsverband Aannames Periodiek verband 2

3 Assenstelsel 2. Grafieken en formules Assenstelsel Grafieken Snijpunten Formules Coördinaten, assenstelsel en oorsprong Een assenstelsel heeft een x-as en een y-as. Het snijpunt van de x-as en y-as heeft de oorsprong, O. De plaats van een punt wordt aangegeven met twee coördinaten: (x-coördinaat, y-coördinaat) Stapgrootte Als je een assenstelsel tekent moet je op beide assen getallen zetten die met gelijke hoeveelheid toenemen. Deze hoeveelheid heet de stapgrootte. De stapgrootte van de x-as en y-as hoeft niet gelijk te zijn! Zaagtand Een zaagtand wordt gebruikt aan het begin van de x-as of y-as. Met de zaagtand hoef je niet op 0 te beginnen op je as en voorkom je een leegte. 3

4 Grafieken 2. Grafieken en formules Assenstelsel Grafieken Snijpunten Formules Vorm van de grafiek Rode lijn: stijgend, de waarde wordt groter. Groene lijn: constante, de waarde blijft gelijk. Blauwe lijn: dalend, de waarde wordt kleiner. Grafieken aflezen Welke waarde is er gevraagd? Kijk op welke as deze waarde staat. Zoek in de grafiek het punt op. Kijk op de andere as welke waarde erbij hoort. Gevraagd de y-waarde bij x=2. De 2 staat op de x-as. Ga verticaal naar boven naar de lijn. Ga vanaf dit snijpunt rechts naar de y-as. Deze waarde is 2. Het antwoord is y =

5 Grafieken Grafiek bij een tabel tekenen Teken een horizontale as met de gegevens van de bovenste rij van de tabel. Kies een handige stapgrootte. Teken een verticale as met de gegevens van de onderste rij van de tabel. Kijk naar het laagste en hoogste getal en kies een handige stapgrootte. Schrijf bij de assen de betekenis van de getallen. Zet de punten uit de tabel in het assenstelsel en verbind deze punten. tijd in seconden hoogte in meters Neem op de horizontale as de tijd in stappen van 1. Neem op de verticale as de hoogte in stappen van 4. Zet bij de horizontale as de tijd in seconden en bij de verticale as de hoogte in meters. Geef de punten (0,2), (2,4), (4,8), (6,14) en (8,16) aan en verbind ze met elkaar. 16 Let op: Niet bij alle grafieken kan door de punten een Vloeiende lijn getrokken worden. Bijvoorbeeld als het om aantallen gaat. hoogte tijd 5

6 Snijpunten 2. Grafieken en formules Assenstelsel Grafieken Snijpunten Formules Hoe bereken je een snijpunt met behulp van inklemmen? Teken het punt op de grafiek waarbij het snijpunt hoort. Lees op de horizontale as af tussen welke hele getallen de x-coördinaat ligt. Schat de waarde van de x-coördinaat op één decimaal en maak een tabel. Vul de tabel in en zoek de waarde van de x-coördinaat waarbij de uitkomst zo dicht mogelijk bij de y-coördinaat ligt. Een vergelijking oplossen op deze manier heet inklemmen. Gevraagd: het snijpunt van 3p 2 + 4p = b en b = 200 Zie de grafiek hiernaast. Schatting: p ligt tussen 7 en 8. Schatting: p = 7,5. p 7,3 7,4 7,5 7,6 b 189,1 193,9 198,8 203, ,8 = 1,2 203,7 200 = 3,7 198,8 ligt het dichtste bij 200. Dus de oplossing is p = 7,

7 Snijpunten Hoe reken je het snijpunt uit van een horizontale lijn en machtsformule? Lees eerst uit de grafiek af hoe groot de eerste coördinaat ongeveer is. Vul de gevonden waarde in de formule in. Benader door inklemmen de juiste waarde van de eerste coördinaat. Maak daarna een tabel. Schrijf de coördinaten van het snijpunt op. 4 Hiernaast is de machtsformule y = 0, 2x getekend en de constante formule y = 5. Bij het rechter snijpunt is x ongeveer 2,3. 0,2 x 2,3 4 = 5,59, dus te hoog. Tabel: x 2,1 2,2 2,3 2,4 y 4,68 5,59 De coördinaten van het rechter snijpunt zijn ongeveer (2,2; 5) 7

8 Snijpunten Vergelijking oplossen 1. Zorg dat de letters aan de linkerkant komen te staan. 2. Zorg dat de getallen aan de rechterkant komen te staan. 3. Deel door het getal wat voor de letter staat. Let op: Alles wat je aan de formule verandert moet aan 2 kanten! Los op: 9h 17 = 5h h 5h 17 = 5h 5h h 17 = 3 4h = h = 20, beide kanten 4h : 4= 20 : 4 Oplossing h = 5 Omslagpunt Een snijpunt van twee lineaire grafieken wordt ook wel het omslagpunt genoemd. Grafiek 1 ligt tot het omslagpunt boven grafiek 2. Na het omslagpunt is grafiek 2 groter dan grafiek 1. Het omslagpunt van twee lineaire formules kun je op dezelfde manier uitrekenen als hierboven

9 Formules 2. Grafieken en formules Assenstelsel Grafieken Snijpunten Formules Rekenen met een formule Met de formule0,10a + 2,50 = b kun je voora eenwaardeinvullenomb uitterekenen. Schrijfhet getalin de formulein plaatsvan a. Maak de berekening. Schrijf je antwoord op. Formule anders schrijven 0,10 a + 2,50 = b met a=12 0,10 x ,50 = b 1,20 + 2,50 = b b = 3,70 - k x 0, = t - t = k x 0, Je kan een formule ook anders schrijven. - t = 0,5 x k + 34 Vermenigvuldigingspunt Op het examen wordt een vermenigvuldigteken(x) vaak door een vermenigvuldigpunt( ) vervangen. 9

10 Formules Formules met haakjes Het is gebruikelijk om het getal waarmee je vermenigvuldigt voor de haakjes te zetten - Dus niet: p = (3 + q) x 8 - Wat beter is: p = 8(3 + q) Let op: bij het uitrekenen van formules met haakjes eerst de haakjes wegwerken! Formules combineren Soms is het handig om van twee formules een te maken. De formules: b = 6a en k = b-7 Samen wordt dit: k = (6a) -7 = 6a -7 Gelijksoortige termen 4k + 7k = m 4k en 7k zijn gelijksoortig 11k = m 3a + 5b = c 3a en 5b zijn niet gelijksoortig Deze formule kan niet korter! 10

11 Formules Grafiek bij een formule Teken een tabel bij de formule. Teken een assenstelsel met goede stapgrootte. Teken de grafiek. Hoe kies je de juiste formule bij een tabel? Vul alle formules in voor de eerste tijdstap uit de tabel. Vul bij de overgebleven formules de tweede tijdstap in. Controleer de overgebleven formule. t a A a= t + 3 B a = t x C a = t x t=0 A a = = 3 Klopt B a = 0 x = 7 Kloptniet C a = 0 x = 3 Klopt 2. t=1 A a = 1 x = 4 Kloptniet C a = 1 x = 10 Klopt 3. t=2 a = 2 x = 17 Klopt t=3 a = 3 x = 24 Klopt t=4 a = 4 x = 31 Klopt 11

12 Tips & Tricks Gebruikbijhet oplossenvan eenopgaveeenstappenplanalsdie eris. Oefengenoegmet het vindenvan eensnijpunt, hoe vakerje ditdoetdes temeerhandigheid je erin krijgt. Je kan dan sneller de oplossing vinden. 12