De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een xy-assenstelsel: naar boven, een negatief getal schuift de parabool naar beneden.

Transcriptie

1 Samenvatting H29: Parabolen en Hyperbolen De standaard parabool heeft als formule y = x 2 Deze vorm moet je vlot en netjes kunnen tekenen. De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een xy-assenstelsel: X Y De grafiek ziet er dan zo uit: Deze standaardvorm kun je op verschillende punten aanpassen: Verticaal verschuiven (omhoog en omlaag) Horizontaal verschuiven (links en rechts) De breedte of smalte veranderen. De hele parabool spiegelen in de x-as De standaard vorm wordt dan als volgt aangepast: y = c (x a) 2 + b Hierbij geeft b de verticale verschuiving aan, een positief getal schuift de parabool naar boven, een negatief getal schuift de parabool naar beneden. (x a) geeft een verschuiving naar rechts aan. (x + a) geeft een verschuiving naar links aan. c geeft de breedte aan, een c > 1 maakt de parabool smaller. De x-getallen die je in het kwadraat doet, stijgen bij een c > 1 sneller, of worden groter als je dat zo wilt zeggen. BV: c = 2 Normaal geeft x = 3 de waarde 9 (3 2 is immer 9) met c =2 geeft dit als waarde 18 ( je berekent immers = 18) Een c 0 < x < 1 maakt de parabool breder. De x-getallen die je in het kwadraat doet, stijgen bij een c 0 < x < 1 langzamer, of worden kleiner als je dat zo wilt zeggen. BV: c = ½ Normaal geeft x = 3 de waarde 9 (3 2 is immer 9) met c = ½ geeft dit als waarde 4,5 ( je berekent immers ½ 3 2 = 4,5) Is c negatief dan is de grafiek tevens omgekeerd, gespiegeld in de x-as. Voorbeeld formule: y = -2 (x - 3) Deze parabool heeft als top (3,2) De top is immers 2 naar boven en 3 naar rechts verschoven. De parabool is gespiegeld in de x-as en de parabool is smaller gemaakt want c = 2. De grafiek van deze parabool ziet er dan zo uit:

2 Omgekeerd moet je bij een grafiek van een parabool ook de juiste formule kunnen maken. Schrijf eerst de standaard vorm op: y = c (x a) 2 + b Zoek de verticale verschuiving, zoek de horizontale verschuiving. Deze waarden kun je uit de grafiek aflezen. Bepaal of c positief of negatief is, dit kun je zien aan de vorm, standaard of gespiegeld. Schrijf de grafiek uit met de waarden voor a en b en nu kun je met een goed afleesbaar punt, een roosterpunt dus, de waarde van c bepalen. Een voorbeeld: a = +2 (de top is immers 2 naar links geschoven) b = -3 (de top is immer 3 naar beneden geschoven) c = negatief (de parabool is immer gespiegeld) Nu kun je dus maken: y = c (x+2) 2-3 Let wel op dat je niet - c neerzet, je onthoud alvast even dat c negatief moet worden! Nu heb je een mooi roosterpunt nodig (0,5) is hier goed buikbaar, invullen levert op: -5 = c (0+2) = 4c -3-2 = 4c C = - ½ en dit klopt want we weten nog dat c negatief moest worden! Nu is de formule dus: y = - ½ (x+2) 2-3 en zijn we klaar.

3 De abc-formule Wat kun je ermee? Net als met je bekende kennis van producten van twee termen en kwadraat afsplitsen kun je met de abc-formule 2 e graadsvergelijkingen oplossen. Wat betekenen de uitkomsten? Als je gewoon als opdracht de vergelijking moet oplossen dan zijn de uikomsten je oplossingen. In grafiek verband beteken de uitkomsten waar de x-waarden van de snijpunten met de x-as liggen. Als je die weet dan kun je de y-waarden erbij uitrekenen door de x-waarden in de formule in te vullen. De formule zelf moet je uit je hoofd kennen: De a, b en c waarden kun je zo aflezen uit de gegeven formule: y = 3x 2 6x -5 a = 3 b = -6 c = -5 Invullen levert de snijpunten met de x-as op want je berekend immers 3x 2 6x +5 = 0! Het stuk van de abc-formule b 2 4ac noemen de discriminant (D) Als D = < 0 dan geen snijpunten, je mag ook geen wortel trekken! Als D = 0 dan 1 snijpunt Als D = > 0 dan twee snijpunten Eerst D bereken is dus handig! Hyperbolen De algemene formule van hyperbolen ziet er altijd uit als: x y = een getal Bv x y = 10 Hier kun je dus snel een tabel en grafiek bij maken. X Y , ,5 2 1 De grafiek bestaat dus altijd uit 2 delen! De algemene vorm kun je altijd herschrijven naar: y = 10 : x of y = 10 / x De grafiek kruipt heel erg dicht naar de x-as en de y-as toe, Maar zullen deze nooit snijden! De x-as en y-as heten in zo n geval een asymptoot.

4 Snijpunten berekenen We kunnen parabolen laten snijden met de x-as maar ook met een andere scheve lijn. We kunnen hyperbolen laten snijden met scheve lijnen en als laatste kunnen we hyperbolen en parabolen met elkaar laten snijden. Een hoop stevig rekenwerk dus maar je moet er toch wel uit kunnen komen. Parabool en x-as: Gegeven de formule y = 4x 2-3x -10 Bereken de snijpunten met de x-as, y is dus 0!~ Abc formule levert op dat: D = (-3) 2 (4 4-10) D= = 169 Er zijn dus 2 snijpunten want D > 0! Invullen levert op: ( ) / 8 (3-169) / 8 (3 + 13) / 8 = 2 (3-13) / 8 = - 1¼ Dus (2,0) is een snijpunt Dus (- 1¼, 0) is een snijpunt Je kunt een tabel bij de formule maken en zelf narekenen dat het klopt. Parabool en scheve lijn: Gegeven de formule y = 4x 2-3x -10 en y = 2x -4 Bereken de snijpunten van de parabool en de rechte lijn: Dus: 4x 2-3x -10 = 2x -4 (op nul herleiden, dus 2x eraf en 4 erbij) 4x 2-5x - 6 = 0 Invullen in abc formule levert op dat: D = (-5) 2 (4 4-6) D= = 121 Er zijn dus 2 snijpunten want D > 0! Invullen levert op: ( ) / 8 (5-121) / 8 (5 + 11) / 8 = 2 (5-11) / 8 = - ¾ Dus (2,0) is een snijpunt Dus (-¾, -5,5) is een snijpunt (invullen in y = 2x -4) Plaatje ter controle: Ziet er goed uit.

5 Hyperbool en scheve lijn: Gegeven: x y = 10 en y = 2x / x = 2x = x (2x - 4) 10 = 2x 2-4x 2x 2-4x - 10 = 0 x 2-2x -5 = 0 a = 1, b = -2, c =-5 D = (-2) 2 -(4 1-5) D = = 24 Er zijn dus 2 snijpunten want D > 0 x = (2 + 24) / 2 x = (2-24) / 2 x = ( 3,45) x = 1-6 ( -1,45) y = 2(1 + 6) - 4 y = 2 (1-6) - 4 y = y = y = ( 2,90) y = ( -6,90) Snijpunten : (1 + 6, ) (1-6, ) Plaatje ter contrôle: Ziet er goed uit. hyperbool en parabool Gegeven: x y = 10 en 4x 2-3x / x = 4x 2-3x = x(4x 2-3x -10) 10 = 4x 3-3x 2-10x 4x 3-3x 2-10x -10 = 0 Tsja dit is een derdemachtsvergelijking en dat hoef je niet te kunnen. En aangezien er bij hyperbolen en parabolen altijd een derdemachtsvergelijking uit komt om op te lossen staat dit ook niet in je boekje. Veel succes!