Toegepaste Wiskunde deel 1

Transcriptie

1 Toegepaste Wiskunde deel Uitwerkingen etra opgaven hoofdstuk Functies. y f ( ) 4 ( )( ) is minimaal -4 voor 0 y g f ( ) ( ) 4 ( )( ) bestaat wanneer D en B 4, ( )( ) 0, voor het domein en het bereik geldt dus D g,, en B 0,. g y h f f. ( ) ( ) ( 4) 4 ( )( ) bestaat wanneer ( )( ) 0, het maimum is 4 (voor 0 ), voor het domein en het bereik geldt dus D,en B 0, y k f h. h ( ) ( ) 4 bestaat voor alle waarden van, heeft een minimale waarde 0 ), voor het domein en het bereik geldt dus D en B 0, (voor k.. a. De rechte lijn door de punten (,) en (5,-) heeft als vergelijking: ( ) y ( ) ( 5) y ( 5) y 5 7 Het antwoord is dus: y f ( ). 0 7 De rechte lijn door het punten (,5) met rico heeft als vergelijking: y 5 ( ) y 5 6. Het antwoord is dus: y f ( ). Een parabool met als top (,) heeft de vergelijking y a( ). Omdat de parabool door de oorsprong gaat, geldt 0 a(0 ) 9a 0 a. De gevraagde functie is dus y f. ( ) 9 ( ). a. 7 ( ) 7 ( ) 8 6 ( ) 6 ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( ) 9 ( ) 9 ( ) 9 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) k 9. f

2 Toegepaste Wiskunde deel 4. a. f ( ) 4 5 en g( ) Bepalen snijpunt: f ( ) g( ) Uit de tekening blijkt: f ( ) g( ) wanneer

3 Toegepaste Wiskunde deel f ( ) 4 6 en g ( ) 6 Bepalen snijpunten: f ( ) g( ) ( )( 4) 0 4 Uit de tekening blijkt: f ( ) g( ) wanneer of 4 f ( ) 8 4 en g ( ) 4 Bepalen snijpunten: f ( ) g( ) ( 4)( 6) Uit de tekening blijkt: f ( ) g( ) wanneer 6 of 4.

4 Toegepaste Wiskunde deel f ( ) 4 8 en g( ) Bepalen snijpunten: f ( ) g( ) ( ) 4( ) ( ) 4 6 Uit de tekening blijkt: f ( ) g( ) wanneer a. Zie tekening. Bepalen snijpunt grafiek y f ( ) met lijn y : Uit de tekening blijkt: f( ) wanneer of wanneer Zie tekening. 4

5 Toegepaste Wiskunde deel Bepalen snijpunt grafiek y f ( ) met lijn y : Uit de tekening blijkt: f( ) wanneer of wanneer 4 6. a. (0,6) 0,6 (0,6) (0,6) (het ongelijkheidsteken klapt om, omdat het grondtal kleiner is dan ). log0 0 log0 ~ log0 5,68 5,68 log 0,76 (het ongelijkheidsteken klapt om, omdat gedeeld wordt door -). 0 0 (het ongelijkheidsteken klapt om, omdat het grondtal kleiner is dan ). ( ) ( ) log 0,,49 e. 0, f. log( ) log( ) ( ) log ( ) log log log log log (log log) log log ( 0, 65) 0,89, 696

6 Toegepaste Wiskunde deel g. 6 ( ) 6 stel y y y 6 0 ( y )( y ) 0 y. Los dus op: (want 0 ). h. log( 5) log( ) log( 5) log( ) log( 5) log( ) log log log log log log( 5) log( ) log( 5) log( ) 0 log(( 5)( )) log ( 5)( ) Stel , ,79 (vervalt, want de logaritmen bestaan alleen wanneer,5) i. log log log log log (het ongelijkheidsteken klapt om, omdat het grondtal kleiner is dan ). 8 8 j. 9 log( ) log( ) log log( ) log moet wel >0 zijn, dus Conclusie: Merk op:

7 f( ) Toegepaste Wiskunde deel f ( ) f ( ) f ( ) log log log log log f 4( ) log f ( ) log( ) log Als y log y f is de inverse van f Als y ( ) log y f is de inverse van f 4 De grafieken van f en f zijn gespiegeld t.o.v. de y -as De grafieken van f en f 4 zijn gespiegeld t.o.v. de -as De grafieken van f en f zijn gespiegeld t.o.v. de lijn y De grafieken van f en f 4 zijn gespiegeld t.o.v. de lijn y 8. a. f ( ) f( ) g( ) 4 : eerst spiegelen t.o.v. de y -as, vervolgens 4 omhoog schuiven f ( ) f ( ) ( 4) f ( ) ( 4) g( ) ( 4) : eerst over een afstand 4 naar rechts schuiven, dan met een factor uitrekken (vertikaal), vervolgens omhoog schuiven f ( ) log f( ) log( ) g( ) log( ) : eerst spiegelen t.o.v. de -as, vervolgens spiegelen t.o.v. de y -as f ( ) f ( ) 4 g( ) : inkrimpen (horizontaal) met een factor. e. ( ) ( ) ( ) f f g : eerst over een afstand naar rechts verschuiven, vervolgens omhoog schuiven. f ( ) f ( ) f ( ) ( 5) 5 g( ) 5 : eerst spiegelen f. t.o.v. de -as, dan 5 naar rechts schuiven, vervolgens met een factor uitrekken (vertikaal). g. f ( ) f( ) g( ) 5: eerst met een factor uitrekken (vertikaal), dan 5 omhoog schuiven. h. f ( ) f ( ) f( ) g( ) : eerst 4 naar rechts verschuiven, dan met een factor uitrekken (vertikaal), vervolgens omhoog schuiven. 9. a. y f ( ) is samengesteld uit de standaardfuncties y h( u) u u g ( ) en

8 Toegepaste Wiskunde deel y f ( ) log is samengesteld uit de standaardfuncties u g( ) (dit is de som van twee standaardfuncties), v h( u) log u en y k() v v. y f u h, ( ) log( ) is samengesteld uit de standaardfuncties ( ) v k( u) u, w m( ) v ( w is feitelijk de som van een samengestelde functie en een standaardfunctie) en y n( w) log( w). ( ) ( 4) y f is samengesteld uit de standaardfuncties y h() v v en v g ( ) 4 e. y f ( ) log is samengesteld uit de standaardfuncties v g( ) log y h() v v f. y f 5 ( ) ( ) is samengesteld uit de standaardfuncties v g ( ) y h v v 5 () en 0. a. y y y (met y 0 ),dus y f ( ) en zijn elkaars inversen (voor 0 ). y g ( ) log log 0 y y y,dus y f ( ) log en inversen. ( ) 0 y g zijn elkaars y y y( ) y y y y ( y ) y y dus y f ( ) en y g( ) zijn elkaars inversen. y y ( ) ( ) 4 Dus ( ) y 4 y 4 (alleen +, want ) y 4 y f ( ) en y g( ) 4 zijn elkaars inversen. e. y log y log y, dus zijn elkaars inversen. f. y f ( ) en y g( ) log

9 Toegepaste Wiskunde deel 5 y 5 y 5 ( y 5) y, dus y f ( ) 5 en y g( ) zijn elkaars inversen. 5. a. : f ( ) : f ( ) ( ) f ( ) 7 8 ( 8)( ) 8: f ( ) ( 8)( ) 8: f ( ) ( 8)( )

10 Toegepaste Wiskunde deel f ( ) 0 f : ( ) ( ) 0 ( ) f : ( ) ( ) 0 8 ( ) 9 f ( ) f 0 : ( ) ( )( ) : f ( ) ( )( ) 0 : f ( ) ( )( ) f 0 : ( ) ( )( ) : f ( ) ( )( ) 0 : f ( ) ( )( )

11 Toegepaste Wiskunde deel. a. D ( 5) 4 p 0 5 4p 0 p 5 4 D ( p ) 4 ( p ) 0 p 6 p 9 4 p 4 0 p p 5 0 p p 5 ( p ) 5 ( p ) 4 4 De discriminant is dus positief voor elke waarde van p D ( p) 46 0 p p 4 6 p 6 D ( p) 4 p( ) 0 p 4p 0 p( p 4) 0 p 4 p 0( p 0 vervalt, want dan is de vergelijking niet kwadratisch). p p p p p f ( ) p q ( ) q ( ) q ( ) q.. Het minimum is dus gelijk aan: Verder is p q 0. () f p q p q q p. p Combinatie van de beide voorwaarden leidt tot: q0 p. Hieruit volgt: 0 p 4 p p 4 p p p 8 en p 6 Voor q volgt: q 8 7 en q 6 4. V o L 5log, met de gegevens ingevuld: Vi log log 5 0 Vi 5, mv 0,68 Vi Vi Vi 0