Hoofdstuk 1 : Regels voor het differentieren

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 1 : Regels voor het differentieren"

Suzanna de Haan
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Hoofdstuk : Regels voor het differentieren Kern : Afgeleide en raaklijn a) stijgend op en dalend op en b) f f f f helling waarde - f 8 De helling in het punt f ; is 8 In het punt ; heeft de raaklijn aan de grafiek richtingscoefficient 8 f De helling in het punt f is - In het punt heeft de raaklijn aan de grafiek richtingscoefficient -. a) f f b) g t t t g t t t c) f p p p π f p p d) h a a a π h a a a e) s t t t a t s t t t a 8t t a f) f π f π π a) V πr r V π π dm liter b) V πr V π r πr r V π π liter Bij straal heeft de koperen bol een inhoud van, liter. Als de straal vervolgens met toeneemt (naar r=), dan neemt de inhoud ongeveer met, liter toe (s, liter) De toename van, dm zal s ongeveer voor een volumetoename van liter zorgen. Deze toename is m.b.v de afgeleide berekent. Het volume neemt iets meer toe. (Zie grafiek op de volgende pagina).*pi*** *pi*-7*pi - - -

2 a) f b) f f f c) f f 9 9 d) f f e) f # f % f) f f # g) f h) # & # f $ f f $ f f i) f f f f ' ) H 7 G L 7 (H in m ; G in kg ; L in m.) a) L 8 H 7 G G 7 G H 7 G 7 G G# 7 b) L 7 H G 7 G H 7 G 7 997G 7 H m per kg. De vrouw zal ongeveer m huidoppervlak kwijtraken. ) f a) f Raaklijn : y f f ( ) y * y b) f +. Dus Q is het punt Raaklijn : y f ( + ) y ) y f +. Dus R is het punt Raaklijn in R : y f ( + ) y, y f +. Dus S is het punt Raaklijn in S : y f ( ) y, y 7 f. Dus A is (-,) f Dus B is (,) f Dus C is (,-) f f f-. Dus richtingscoefficient van raaklijn in A is

3 f. Dus richtingscoefficient van raaklijn in B is f. Dus richtingscoefficient van raaklijn in C is y b ligt op raaklijn, s b b Vergelijking van raaklijn in A is : y y b (,) ligt op raaklijn, s b b Vergelijking van raaklijn in B is : y y b (,-) ligt op raaklijn, s b b Vergelijking van raaklijn in C is : y 8) f f f De richtingscoefficienten van beide raaklijnen is s.. / De -coordinaat van Q is - f 8 8 Q ( 9a) -***+**+* f f Horizontale raaklijn, s richtingscoefficient is. f / Er is een horizontale raaklijn in het punt f En in het punt f 7

4 9b) **+* f 9 f Horizontale raaklijn als f b ac 8 De discriminant is kleiner dan. f is nooit. 9c) h p h p Er is een horizontale raaklijn als h Er is nergens een horizontale raaklijn als h h p p p p p ) **+.**-* f f f 8 9 Er zijn s horizontale raaklijnen voor en f. In het punt (,) is er een horizontale raaklijn. Dit punt ligt op de -as. f 9 9

5 Kern : De proctregel a) De lengte verandert, m/uur De breedte verandert, m/uur b) A t l b t/ t 8t t t 8t t c) A t 8t t A t 8 8t A 8 A 8 8 d) l t en b t l t( b t Bij c blijkt dat A t niet constant is en l t( b t is wel constant. a) f ( f 7 b) f 7 ) f f 7 f 9 8 a) A t t7 t9 A t t t( 8 t t 8 8t b) A t 8 t 8 8t a) f / ) f ( 9 9 b) f 7 f c) f / ) f 7 9 d) f 7 ) f 7 / e) f 7 : f 7 8 f) f 8 f f 7 f k 77 7) k / 7 7/ ; 7/

6 a) f f ( ; b) f f- ( c) f f (; 7 7 f f f ( f f 8 f f f Differentieren m.b.v. de machtsregel f f & Kern : Kettingregel 8 tijd p y q, t t t 9 t < t < t a) t t en y t t t t t,s y t t b) t en y t t = t t t t, s y t t c) t en y t t t, s y t d) t en y < t t ; t, s y t e) t en y t t t t, s y t f) t en y t t t, s y t t

7 h a) Inhoud van de vaas is dm h,s V h dm b) dm in minuut t dm in t minuten,dan V t c) h V h V h t t a Schakels : u en y > u b t t Schakels : u t en u c t t Schakels : u t en y u d Schakels : u en y u e t is geen ketting f Schakels : u en y u, dm^ a) g Schakels : u en u Wisselen u en u, dan krijg je y b) u en u, dan krijg je y u en u, dan krijg je y u c) p ( ( u en y u a) f u en y u dy dy f u g u en y u dy dy g u 9 b) Haakjes wegwerken 7

8 a u en y u dy dy a- u b u en y > u dy dy b u c? u en y u c dy dy u d Zowel kettingregel als proctregel gebruiken Stel f u en y u dy dy f u u u Stel g Dan d g ( f g 8 f d e? u en y u dy dy e u A A f ( u en y u dy dy f u f u en y u dy dy f u 7a) f 9 g 9 7b) f 9 u 9 en y > u u f dy dy u 9 8 f 8 g 9 u 9 en y u u g 9 A 9 B u 9 A 9 dy dy 9 A 9 9 A A 8

9 sqrt(9+*) /sqrt(9+*) -.8* +8..8* a) f u en y u dy dy f u u & 9 A 8 8b) f A A 8 A f a &@ aa a f a 8d) f a a &@ aa a A a A f a Dus f a* f a 9a) D g C D 9b) g 9 9 Differentieren m.b.v de proctregel en de kettingregel Stel f 9 u 9 en y > u u dy dy f u u 9 Stel h g h 8 f E g h ( f h ( f g g

10 9 9 De punten, waarin de helling is : ; en ; 9c) g- 9 9 Kern : Uiterste waarden a) f f f f f daalt stijgt f heeft een minimum in (9 f 9 = 9 7 b) f D f C Differentieren m.b.v. de proktregel en de kettingregel. Stel g u en y F u u dy dy g u f D fg f f b.n b.n. betekent : bestaat niet ( f f daalt stijgt f heeft een minimum in c) f u en y u f = ; dy dy f u H f A f f stijgend dalend f heeft een maimum in (, f = d) f D f C f I

11 f J J K f f daalt stijgt f heeft een minimum in ( f = (,-7) e) f 8 8 ( ) u 8 en y u dy dy f u 8 A 8 A H 8 H 8 H f b.n b.n. - f daalt stijgt f heeft een minimum in ( f = 8 f) f D f RL f 9 f H f b.n f daalt stijgt stijgt daalt f heeft een minimum in f = 9 f heeft een maimum in f = 9 a) f 8 8 M 8 M N Domein van f is : [ ; D b) f 8 u 8 en y > u dy dy f O u u 8 f 8 H 8 H H f heeft een maimum in P Het maimum is 8 c) f en f De vergelijking van de raaklijn in het punt (-,) is : y b b uitrekenen door (-,) in te vullen : b b y

12 De vergelijking van de raaklijn in het punt (,) is : y b b uitrekenen door (,) in te vullen : b b y Het snijpunt is (,) d) een cirkel met straal 8 a) Inhoud is liter. h h O h O O Bij, *, *, dm gebruik je het minste glas. b) O O O Bij ** dm gebruik je het minste glas. dm ) Stel de hoogte van de kegel, dan is de straal van de grondcirkel = InhoudI = π ; π ( π π I π π π I π π π π Q Q (vervalt) Q is de hoogte van de kegel Q 7 is de straal van de grondcirkel. a) πr h h πr O r πr πr πr πr r b) *pi**+/ 8... O r πr r πr r O r πr r πr r πr r πr r π

13 r a) T b) BD π dm h 8 dm T uur = min. AD en CD f differentieren m.b.v. de kettingregel u en y u f dy dy u u T T A Q 9 Dus,9 km rechts van B. ) Zet een assenstelsel in de figuur: de oorsprong in het midden van de grondcirkel en de as van de kegel vormt de y-as. De vergelijking voor de buitenrand van de kegel is: y Er geldt h y en r, s h I r r πr h πr r πr I r πr πr 7 I r πr πr 7 πr r π 7 πr r π 7 πr r 7 πr π r r De inhoud is maimaal als r en h

Vergelijkbare documenten

7.1 De afgeleide van gebroken functies [1]

7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Regels voor het differentiëren: f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = 0 Algemeen geldt: f() = a n geeft f () = na n-1 Voorbeeld 1: