1 Lineaire functies Het verband tussen s en t kun je ook beschrijven met een formule of functievoorschrift.

Transcriptie

1 Lineaire functies.. Formule, tabel en grafiek. Het verband tussen twee grootheden kun je op verschillende manieren beschrijven. We nemen als voorbeeld het verband tussen de afstand s tot een bepaald punt (O) van iemand die met constante snelheid loopt en de tijd (t ).. De man begon te lopen (t 0 s) op meter links van punt O (s - m ). Hij liep met een constante snelheid van m/s. De afstand (s) tot punt O verandert iedere seconde met m. In de grafiek is de afstand s vertikaal uitgezet in meter en de tijd horizontaal in seconden. Op t 6, s was de man op 4, m rechts van punt O (verticale blauwe lijn). De grafiek is een rechte lijn, men spreekt van een lineair verband. Als s negatief is, dan is de man links van O. Het verband tussen s en t kun je ook beschrijven met een formule of functievoorschrift. s + t of s ( t) + t Bij de tweede notatie is te zien dat s afhangt van t. s is een functie van t, in dit geval een lineaire functie. s noemt men de afhankelijke variabele en t de onafhankelijk variabele. Het verband kun je ook beschrijven met een tabel. s is het symbool van de grootheid afstand en meter (m) is de eenheid. t is het symbool van de grootheid tijd en seconde (s) is de eenheid. Om verwarring te voorkomen worden grootheden cursief geschreven. 9 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

2 Opgave. Functievoorschrift bedenken bij beschrijving van een beweging. Bedenk voor de volgende bewegingen een voorschrift voor de functie s(t). Controleer de juistheid met behulp van de simulatie.. a P begint op 4 meter links van O en loopt met snelheid van,5 m/s naar rechts. b Q begint op meter rechts van O en loopt met een snelheid van m/s naar links. c R start op 0 meter rechts van O en loopt met constante snelheid naar links. Hij is na 4 seconden in punt O. d S loopt even hard als P in dezelfde richting, maar heeft in het begin een afstand van 4 meter rechts van O. e T is altijd meter verder naar links dan R. f A heeft altijd dezelfde afstand tot O als P, maar dan aan de andere kant van O.. Betekenis van snijpunt van lineaire grafieken Als A en B beide een beweging uitvoeren over dezelfde rechte weg dan er een mogelijkheid dat ze op een bepaald moment op dezelfde plaats zijn. Voorbeeld: Voor A geldt: s ( t) t en voor B geldt: s ( t) t+ A beweegt dus naar rechts met een snelheid van m/s en is gestart op meter links van referentiepunt O. B beweegt naar links met een snelheid van m/s en is gestart op meter rechts van O. Het is dus zeker dat ze elkaar tegenkomen. 0 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

3 Als beide op een bepaald tijdstip op dezelfde plaats zijn, dan geldt: t t+ t 6 t A () B() Na seconden komen ze elkaar tegen op m rechts van punt O. Je kunt ook berekenen wanneer A m verder naar rechts is dan B. Dan geldt: A B (t ) ( t+ ) t + t t 8 t 6 (6) 9en A B (6) A (6) B (6) 9 ( ) Opgave. Functievoorschrift bedenken bij een grafiek. In onderstaande figuur zijn de grafieken getekend die horen bij de rechtlijnige beweging met constante snelheid van A, B en C. Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

4 a Bedenk voor de bewegingen van A, B en C een voorschrift voor de functie s(t). b Bereken het snijpunt van de grafiek van A en B. c Bereken het snijpunt van de grafiek van A en C. d Bereken tijdstip en plaats waar C B inhaalt. e Bereken de afstand tussen A en C op t 8 min. s A (8) s C (8).. f Bereken het tijdstip waarop C 0 meter links van A is.. Behoefte aan oefening met balansmethode? Kies voor a + b c + d Opgave.. Behoefte aan oefening met haakjes? Kies voor k(a + b)# Eigenschappen beschrijven van bewegingen aan de hand van een functievoorschrift. Voor de volgende auto s geldt is het functievoorschrift gegeven. (s in km en t in uur) A : s(t) 0,5 + 50t B : s(t) -0,5-0t C : s(t) 5 + 5t D : s(t) 5 + 5(t ) E : s(t) 60t F : s(t) 0,5 + 0t G : s(t) 50t -0 a Bereken de beginplaats van auto A. s A (0). km b Bereken het tijdstip waar A en B elkaar tegenkomen. c D heeft dezelfde snelheid als C, begint op dezelfde plaats maar start uur later. Hoe kun je zien dat D uur later vertrekt dan C? Wat is het verschil in de s-t- grafiek van C en D? d Welk functievoorschrift hoort bij een auto H die precies dezelfde beweging uitvoert als E, maar,5 uur later vertrekt? Hoeveel is de grafiek van H verschoven t.o.v. de grafiek van E? e Voor welke waardes van t geldt dat s F > s G? f Voor welke waardes van t geldt dat s F s G +? g Welk functievoorschrift hoort bij een auto K die dezelfde snelheid heeft als auto G maar waarvoor geldt s(0) 0 m? h Wat is het verschil in de s-t-grafiek van G en K? Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

5 . R In het algemeen kun je het functievoorschrift voor een rechtlijnige beweging met constante snelheid schrijven als s(t) at + b. Welke betekenis hebben a en b in de s-t-grafiek? Welke betekenis hebben a en b voor de beweging? b s(0) Waarom? R Hoe bepaal je het snijpunt van twee grafieken? Hoe bepaal je de tijd waarop de afstand tussen twee bewegende auto s een bepaalde waarde heeft? R Van een bepaalde rechtlijnige beweging is de s-t-grafiek gegeven. Teken hierin de grafiek van eenzelfde beweging die p seconden later vertrokken is. Teken hierin de grafiek van eenzelfde beweging die q meter meer naar links vertrokken is. R4 Voor een beweging geldt het functievoorschrift: s(t) 0t + 5 Eenzelfde beweging heeft een functievoorschrift s(t) 0(t 5) + 0? Wat is het verschil van de grafieken van deze functies? R5 Wat betekent het voor de beweging als je de grafiek naar links verschuift? Wat betekent het voor de beweging als je de grafiek naar beneden verschuift?. Functievoorschrift en constantes bij lineair verband. Omdat de onafhankelijk variabele op de -as uitgezet wordt en de afhankelijk variabele op de y-as wordt een lineaire functie vaak geschreven in de vorm y() a + b a is de richtingscoëfficiënt (r.c.) (Eng: slope) a is de toename van y als met toeneemt. b is de beginwaarde of snijpunt met y-as (Eng: intercept) b is de waarde van y als 0 ofwel y(0) b De waardes van die mogelijk zijn noemt men het domein (D f ). De bijbehorende y- waardes men het bereik (B f). Als een functievoorschrift gebruikt wordt voor een beperkt gebied van -waardes wordt dat aangegeven met een intervalnotatie. Met <-0,0> bedoelt men alle reële getallen tussen -0 en 0. Met [-0,0] bedoelt men alle reële getallen -0 en 0, inclusief -0 en 0. Met [-0,0> bedoelt men alle reële getallen tussen -0 en 0 inclusief -0. Met <-0,0] bedoelt men alle reële getallen -0 en 0, inclusief 0. Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

6 In plaats van <-0,0> kun je ook noteren { ϵ R -0 < <0 },de zogenaamde accolade-notatie. Hier staat dus: is een element van R (reële getallen) met een waarde tussen -0 en 0. Reële getallen kun je schrijven als een eindig of oneindig voortlopend decimaal getal en horen bij een punt op een getallenlijn. Hiertoe behoren de gehele getallen, de rationale getallen(breuken) en de irrationale getallen (wortels, π en e). Voorbeeld : -0; -/; -0,4 ; ; 0/7; π; 0 Als y() + 5 en voor het domein geldt (waardes van ) <-,> dan is het bereik ( waardes van y) <,9> 4 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

7 In wiskundige grafieken is de schaalverdeling van en y-as meestal hetzelfde. Vandaar dat men de steilheid van de grafiek aanduid met richtingscoëfficiënt, de coëfficiënt die de richting bepaald. In de science-vakken hebben de grootheden langs de assen een eenheid en is de schaalverdeling van de verticale as om praktische redenen meestal anders dan die van de horizontale as. Het is dan beter de term hellingsgetal (slope) te gebruiken. Het hellingsgetal heeft dan meestal ook een fysische betekenis. Bij onderstaande s-t-grafiek is het hellingsgetal de snelheid in m/s!. Opgave.4 Welke functievoorschrift zit er in de black bo? Een functiemachine maakt van een waarde van y.. De onafhankelijk variabele wordt ook wel het origineel genoemd en de afhankelijk variabele y het beeld genoemd. Dus van het origineel wordt het beeld y gevormd. Bij een lineair verband kun je aan de hand van de coördinaten van twee punten het functievoorschrift bepalen. Voorbeeld: Bepaal het functievoorschrift in de haakjesvorm y() van de grafiek die door de punten (,4) en (4,7) loopt. y 7 4 a y + b 4 punt (,4) invullen y( ) + levert 4 + b b of y( ),5 + 5 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

8 Bepaal het functievoorschrift in de haakjesvorm y() van de grafiek die door de volgende punten loopt. Controleer de juistheid met behulp van de applet. a (,9) en (,7) b (0,0) en (,-) c (-,-5) en (,) d (,4;,) en (,4;,5) e (-,) en (-,) f (0,0; 0,) en (0,04; 0,5) Opgave.5. Grafiek tekenen met functievoorschrift. Teken in het diagram de grafiek die hoort bij de volgende functievoorschriften. Controleer met applet. a y() - b y() - c y() -( - ) d y() -( - ) + 4 e y() -( +).. R6 Hoe kun je de grafiek van vraag c snel tekenen als je uitgaat van de grafiek van vraag b? R7 Hoe kun je de grafiek van vraag d snel tekenen als je uitgaat van de grafiek van vraag c? R8 Hoe kun je de grafiek van vraag e snel tekenen als je uitgaat van de grafiek van vraag c? R9 Wat is de betekenis van het teken van de richtingscoëfficiënt? R0 Wat is de snelste manier om de grafiek te tekenen als je het functievoorschrift kent? R Welk functievoorschrift hoort bij de grafiek die 4 schaaldelen naar rechts en schaaldelen naar beneden verschoven is t.o.v. de grafiek van y() 6 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

9 Opgave.6 Functievoorschrift opstellen als slope en intercept gegeven zijn. Teken in onderstaand schema de grafieken aan de hand van ` onderstaande gegevens. Schrijf ook de eenheden langs de assen. Hellingsgetal (slope) Beginwaarde (intercept) a - m/s m b - c 0,8 mmol - 0,05 d g/ml,0 g e - f -%/ 0 C,5 % a b c d e f.. Behoefte aan etra oefening met lineaire functies? Alle opgaven zijn geschikt. R Bij het hellingsgetal is het vermelden van de eenheid belangrijk. Geef een voorbeeld waaruit dat blijkt. R Als de grootheid op de y-as geen eenheid heeft (dimensieloos) dan is de eenheid van de slope altijd / (eenheid langs -as) of (eenheid langs -as) - Leg uit. R4 Als zoals bij een beweging de tijd op de -as wordt uitgezet is het domein [0, >. Leg uit..4 Gelijkheden en ongelijkheden. Zoals we gezien hebben bij de functievoorschriften voor een beweging kun je snijpunt van twee grafieken vinden door de functies aan elkaar gelijk te stellen. Zo kun je ook bepalen voor welke waardes van de y-waarde van de ene grafiek groter of kleiner is dan de y-waarde van de andere grafiek. 7 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

10 In de figuur zijn de grafieken getekend van y A + en y B + Voor welke waardes van is y y? A B In punt S geldt : y y + + A B Voor het domein [-, > geldt : y A y B + + Als bij een ongelijkheid links en rechts gedeeld of vermenigvuldigd wordt met een teken dan wordt het >teken een <teken en omgekeerd Voorbeeld: Opgave.7 Gelijk en ongelijkheden. Voor welke waarde(n) van geldt : Controleer je antwoorden met applet. a 4 b 4 c d > 4 e > 4 f g,,4 > + h < i 4 + > + WIMS toetsenbank 8 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

11 Opgave.8. Functiewaardes met elkaar vergelijken. Controleer je antwoorden met applet. De volgende functievoorschriften zijn gegeven: A : y() B : y() -5 7 C : y() + 4 D : y() E : y() F : y() a Voor welke waarde van is y A y B? b Voor welke waarde van is y C y B? c Voor welke waarde van is y F y B? d Voor welke waarde van is y E y B? e Bereken de coördinaten van het snijpunt van E en F. f Voor welk domein geldt dat < y D < 0? Maak een schets van de grafiek van D en teken hierin het domein. g Voor welk domein geldt dat 0< y E <? h Bepaal het functievoorschrift van de grafiek die door het snijpunt van A en B gaat en evenwijdig is aan C. Opgave.9.4 Behoefte aan etra oefening met lineaire functies? Kies voor lineaire ongelijkheid I en II Kostenanalyse met lineaire verbanden. Voor de kostenberekening van een bepaalde analyse gebruikt men de volgende verbanden. Met apparatuur A zijn de kosten : K(n) ,5n Met apparatuur B zijn de kosten : K(n) ,5n Hierbij is K het bedrag van de totale kosten bij n analyses. a Bij welk aantal analyses is het interessanter apparatuur B aan te schaffen? b Bij welk aantal analyses zijn de kosten per analyse met apparatuur B 0% goedkoper dan bij A?.4 R5 De y-waarde van A is 0 meer dan die van B. Voor welke waarde van geldt dit? Wat is de wiskundige notatie van dit probleem? R6 - > 0 is hetzelfde als < 0 Leg uit met behulp van de -as. R7 Geef op de -as aan voor welke waardes van ( ) > ( - + ). Waarom is het verstandig eerst de waarde van het snijpunt te berekenen? R8 Beschrijf met eigen woorden de betekenis van de volgende wiskundige notatie voor een rechte lijn 5 y A 5 voor het domein [-,5]. Beschrijf het domein ook met de intervalnotatie. 9 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

12 .5 Inverse functie Voor het omrekenen van de temperatuur in graden Fahrenheit ( F) naar graden Celsius ( C) geldt het functievoorschrift: 5 60 C ( F) F 9 9 Voor het omrekenen van de temperatuur in graden Celsius ( C) naar graden Fahrenheit ( F) geldt het functievoorschrift: 9 F ( C) C+ 5 C(F) en F(C) zijn inverse functies. De grafieken van C(F) en F(C) zijn gespiegeld t.o.v. de lijn F C. In wiskundige notatie krijgen de functie het voorschrift: y ( ) en y ( ) y C en F y F en C y - () is de inverse functie van y() Bij inverse functies geldt: rc ( y ) rc( y) 0 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

13 Voorbeeld: Bepaal de inverse functie van y ( ) + y + y y y y ( ) is de inverse functie van y ( ) + Bij praktische toepassingen is de grootheid in y - () hetzelfde als de grootheid y en is de grootheid in y() hetzelfde als de grootheid y -. Opgave.0 Inverse functie opstellen Stel het voorschrift op van de inverse functie y - () van: Controleer je antwoorden met applet. a y() b C(F) -5 7F c y() + 4 d y() Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

14 e y() f s(t) 0t + 00 Opgave. Inverse functie bij meten van etinctie. Bij een analyse is de volgende ijkgrafiek gemaakt. Voor verschillende concentraties(c) van een opgeloste stof is de etinctie (E) bepaald. Op de y-as is de etinctie E (geen eenheid) uitgezet tegen de concentratie c van de standaardoplossingen in mol/l. Met Ecel wordt onderstaande grafiek gemaakt. a Controleer de waarde van het hellingsgetal. b Welke eenheid heeft het hellingsgetal? Door de etinctie van een monster te meten kan de concentratie berekend worden. Het is dan handig de inverse functie (y) of wel de functie c(e) op te stellen. c Stel het functievoorschrift van c(e) op. d Bereken de concentratie van een monster met E 0,4. e Wat is de betekenis van het getal -0,04 in het functievoorschrift y()..6 Functie in de vergelijkingsvorm py + q r. Twee vergelijkingen met twee onbekenden. Het functievoorschrift kan ook gegeven worden in de vergelijkingsvorm of standaardvorm py + q r met p, q en r als constanten. q De lijn heeft dan een richtingscoëfficiënt en een snijpunt met de p y-as r want p q y + p Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken r p

15 Voorbeeld: + y 4 y + 4 ( rc en snijpunt + y y y+ ( rc y as (0;4) en snijpunt y as (0; ) Deze vorm van functienotatie kom je vooral tegen als en y in twee verschillende formules voorkomen. Je krijgt dan twee vergelijkingen met twee onbekenden. Voorbeeld: Je moet 8,5 kg van een water-alcohol mengsel maken door een mengsel met 0 m % alcohol te mengen met een mengsel met 5m % alcohol. Hoeveel moet je van ieder mengsel nemen? vergelijking : + y 8,5 massabalans totaal vergelijking : 0, + 0,05y 0,09 8,5 massabalans alcohol Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

16 grafische oplossing d.m.v. het snijpunt Je kunt het snijpunt ook wiskundig bepalen. Methode : slim vermenigvuldigen en optellen of aftrekken De tweede vergelijking is met 5 vermenigvuldigd zodat een van de termen van de twee vergelijkingen hetzelfde is. Je had ook de eerste vergelijking met 0,05 kunnen vermenigvuldigen. Vervolgens zijn de termen links en rechts van elkaar afgetrokken zodat de gelijke term ( in dit geval ) wegvalt. 4 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

17 Methode : substitutiemethode y wordt geïsoleerd in vergelijking en ingevuld in vergelijking. Men noemt dit de substitutiemethode. + y + y 6 ( ) 5y 9 y,8 +,8 -, (waardes kloppen met grafiek).5 Opgave. Op de oefensite van WIMS staan enkele goede toepassingen. Kies voor toepassing I en II. Opgaven met het functievoorschrift py + q r Bepaal richtingscoëfficiënt en snijpunt y-as van de grafieken met het volgende functievoorschrift. Controleer je antwoorden met applet.4. a y + 4 b y 4 c + y 0 d y 0 e y +,5 + 0 f Bepaal het snijpunt met de -as van de grafiek bij vraag a. g Voor welk domein geldt dat y > bij de grafiek van vraag b. h Bereken de coördinaten van het snijpunt S van de grafieken van opgave a en c. i Bereken de coördinaten van het snijpunt S van de grafieken van opgave b en e j Wat is het verschil tussen de grafieken van + y en + y Opgave.. Twee vergelijkingen met twee onbekenden. Bereken de waardes van en y die aan beide vergelijkingen voldoen. Controleer je antwoorden met applet.. a y + 0 en y+ 0 5 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

18 b + y en y+ c y 0,5 en + y 0 d 0,5y + 0 en y+ e y + 0 en y+ 4 f 4 y 0 en y+ 0 Opgave.4 Twee vergelijkingen met twee onbekenden bij mengproces. Een mengsel water-alcohol met 0 m% alcohol wordt gemengd met een water-alcohol met 96 m% alcohol. Er moet 00 kg gemaakt worden met een alcoholgehalte van 40 m%. a Bereken de hoeveelheden van de toegevoerde mengsels. b Controleer het antwoord met applet....7 Grafieken loodrecht op elkaar Als twee lijnen loodrecht op elkaar staan is het product van de rc s gelijk aan -. De rc van de rode lijn is gelijk aan en de rc van de blauwe lijn is -0,5 Het product is -. Bovenstaande is natuurlijk alleen het geval als - en y-as dezelfde schaalverdeling hebben! 6 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

19 Opgave.5 Opgaven met richtingscoëfficiënt of hellingsgetal (slope). Bepaal functievoorschrift voor de grafiek, die: a evenwijdig is met de grafiek van y ( ) 4 en door het punt (0,0) gaat. b evenwijdig is met de grafiek van y + 0 en door het punt (,) gaat. c loodrecht staat op de grafiek van y ( ) 4 en door het punt (-,) gaat. d gaat door de punten (-,-) en (,). e het verband aangeeft tussen de etinctie E (vertikaal) en de concentratie c. De grafiek heeft een intercept van 0,0 en een slope van 40 L/mol. E(c). Wat is de eenheid van de onafhankelijk variabele? f het verband aangeeft tussen E en c en de vorm heeft van c(e). De waarde van E bij een bepaalde waarde van c zijn bij opgave e en f hetzelfde. Welke eenheid heeft het hellingsgetal?.5 R9 Bepaal de inverse functie van y a + b. Bepaal hiermee de inverse functie van y +. Voor een beweging met constante snelheid geldt: s t ofwel y ( y is de afstand en is de tijd) Voor de inverse functie hiervan geldt: t s+ ofwel y + Wat is nu de betekenis van y - en? R0 Teken beide grafieken en de grafiek van y. Conclusie? Het product van de richtingscoëfficiënten van een functie en zijn inverse is gelijk aan. Waarom? R Hoe bepaal je het snijpunt van lineaire grafieken als het functievoorschrift van de soort y a + b is? R Hoe bepaal je de richtingscoëfficiënt van een lijn die loodrecht staat op de lijn met functievoorschrift y + - 0? R Hoe bepaal je het snijpunt van + 4y - 0 en +y - 0? R4 Hoe bepaal je het functievoorschrift voor een lijn die schaaldelen naar rechts verschoven is t.o.v. + 4y - 0? R5 Hoe bepaal je het functievoorschrift voor een lijn die schaaldelen naar boven verschoven is t.o.v. + 4y - 0? R6 Hoe los je vergelijkingen met onbekenden op van het type p + qy r? R7 Wat is een puntspiegeling? Wanneer heb je daar mee te maken? 7 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

20 S Samenvatting lineaire functies. Op de site is een mindmap beschikbaar met het complete overzicht van alle functies.. functievoorschrift lijn door twee punten 8 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

21 . evenwijdige lijn verschuiven van grafiek 9 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

22 .5 lijn loodrecht inverse functie.6. algemeen 0 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

23 .6. praktisch voorbeeld snijpunt twee lijnen en ongelijkheden Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

24 .8 vergelijkingsvorm ( verg. met onbekenden) Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

25 Kwadratische functies.. Algemeen functievoorschrift kwadratische functie. Bij een kwadratisch verband komt in het functievoorschrift een kwadraat voor van de onafhankelijk variabele. In de meest algemene vorm geldt: f( ) a + b + c a, b en c zijn coëfficiënten die de vorm van de grafiek bepalen. De grafiek is een parabool en heeft een maimum of een minimum. Een parabool met een maimum zoals hierboven noemt men een bergparabool. Een parabool met een minimum noemt men dalparabool. Als het maimum boven de y-as of het minimum onder de -as ligt heb je twee snijpunten met de -as. De -waarde van het maimum of minimum ligt precies tussen de snijpunten in. Enkele voorbeelden van kwadratische functies:. s ( v) 0,064v. h ( t) 4,9t + 0t+ 5., 4,75+ 0,75 0 In functie is s de remweg en v de snelheid van een remmende auto. Functie is afkomstig uit de natuurkunde. Hierin wordt het verband aangegeven tussen de hoogte h en de tijd t van een steen die vanaf een hoogte van 5 meter met een snelheid van 0 m/s omhoog gegooid wordt. Vergelijking komt uit de chemie. Hier komen evenwichtsreacties voor, zoals NH4Cl(g) NH(g) + HCl(g). Als je NH toevoegt zal de reactie naar links verlopen. Met behulp van de evenwichtsconstante K kom je dan op een vergelijking waarin het aantal mol NH is, dat omgezet wordt. Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

26 Opgave. De waardes van a, b en c in de drie voorbeeldfuncties. a Vul onderstaande tabel in. De nummers horen bij de specifieke voorbeelden van de inleiding.. b Probeer voor vergelijking via applet. de snijpunten te bepalen met de -as. Ligt de top precies tussen de snijpunten? Controleer de juistheid door de gevonden waardes in te vullen in het functievoorschrift. c Verander de waarde van a, b en c en beschrijf het gevolg voor de grafiek. 4 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

27 .. R Waarom krijg je een bergparabool als a < 0 en een dalparabool als a>0? Welke vorm krijgt de grafiek als a 0? R Wat is de betekenis van de coëfficiënt c? Als c 0 dan is een van de snijpunten 0. Waarom? R Wat is de betekenis van de coëfficiënt b? R4 Er zijn geen snijpunten met de -as als de top van de parabool onder de -as ligt en a negatief is. Waarom? R5 Wanneer zijn er geen snijpunten met de -as bij een dalparabool? Toets je kennis van de vorm van parabolen.. Functievoorschrift f() a( + p)( + q) voor een parabool. Het functievoorschrift van een kwadratisch verband kan ook geschreven worden in de vorm: f() a( + p)( + q) voorbeeld : f() ( )( + ) met p - en q In deze vorm zie je meteen waar de snijpunten met de -as liggen en kun je de ook de plaats van de top uitrekenen. ( )( + ) 0 als of als - ofwel en - De top moet dus liggen tussen - en + top top 0,5 De coördinaten van het snijpunt met de y-as : (0,-) want f(0) (0 )(0 + ) - 5 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

28 Ontbinden van f() a + b + c Als je a ( + p)( + q) uitwerkt dan krijg je a ( + q+ p + p q) a( + (p+ q) + p q)) De factor (p + q), die voor de staat, is de som van de -waardes van de snijpunten. De factor pq, het losse getal, is het product van deze -waardes. Je moet dus getallen zoeken die opgeteld gelijk zijn aan de factor van en vermenigvuldigd gelijk zijn aan het losse getal. Nog een voorbeeld: f() - + -( + 6) -( + )( ) want en Opgave... Behoefte om te oefenen met ontbinden in factoren? Kies voor type: ( a)( b) 0 Kies voor type: a( + b)(c d) 0 Oefenen met a(+p)(+q) en a + b + c Controleer je antwoorden met applet. Stel een functie op in de vorm f () a( + p)( + q) van de gegevens bij opgave a, b en c. a Met snijpunten - en 5 en snijpunt y-as (0; 5) b Met snijpunten en 5 en snijpunt y-as (0; -) c Met snijpunten -0,5 en en snijpunt y-as (0; -) d Bereken de coördinaten van het maimum of minimum bij a en b. Stel een functie op in de vorm f() a + b + c van de functievoorschriften van opgave e, f en g. e f() ( + )( + ) f f() -( + )( - ) g f() -( - )( + ) h Schets de grafiek bij de functievoorschriften van opgave e, f en g. 6 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

29 Opgave. Ontbind in factoren ofwel schrijf in de vorm f() a( + p)( + q) Controleer je antwoorden met applet.. a f() ` b f() c f() d f() 4 4 Ontbindt in factoren ofwel schrijf in de vorm ( + p)( + q) 0 en bepaal de coӧrdinaten van de snijpunten met de -as. e + 0 f 8 0 g h Opgave.4. Functievoorschrift opstellen bij grafiek. Stel het functievoorschrift op bij onderstaande grafieken. Controleer je antwoorden met applet.. Voorbeeld voor grafiek A: f( ) a( + 6)( 6) en top (0, 8) 8 a(0+ 6)(0 6) 8 6 a a f( ) ( + 6)( 6) a Welke voorschrift hoort bij grafiek A, B, C en D? b Werk haakje weg bij ( 6)( + 6) c Werk haakjes weg bij ( 6) d Ontbind in factoren : Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

30 e Welke van de twee onderstaande grafieken hoort bij opgave c?. functievoorschrift f() a( + p) + q voor een parabool Het functievoorschrift van een kwadratisch verband kan ook geschreven worden in de vorm: f() a( + p) + q Voorbeeld : f() -( ) + zie grafiek hiernaast. In deze vorm kun je meteen de coördinaten van de top of het dal zien. In het algemeen : (-p, q) en in dit voorbeeld : (,) Als dan f() Als dan f( ) < Ook de snijpunten zijn nu te berekenen. -( ) + 0 -( ) - ( ),5 ( ) ±, 5, 5 0,775 en +, 5,5 (, 5) en ( +, 5) zijn de eacte waardes 0,775 en,5 zijn de waardes in decimalen. Deze laatste zijn uiteraard het meest praktisch. 8 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

31 Omgekeerd kun je bij iedere kwadratische functie een kwadraat afsplitsen.. Voorbeeld: f() - 6 Algemeen : f( ) a( + p) f( ) a( f( ) a 6 a a + q + p+ p+ p ) + q + ap+ ap f( ) a ( + p)( + p) + q + q + ap+ ap + q - ap - p a ap + q -6 q -6-ap 6 ( ) f( ) ( 0,5) 6,75 6,75 Dus f() ( 0,5) 6,75 coördinaten van het dal : (0,5;-6,75) Men noemt deze herleiding kwadraat afsplitsen. Opgave.5. Functievoorschrift in de vorm van f() a( + p) + q Schrijf de volgende functies in deze vorm en bereken de coördinaten van de top of dal en de snijpunten (indien mogelijk) met de -as. Controleer met applet... a f() b g() c h() d k() + 6 e y +4 + f y Snijpunten en top van f() a + b + c Ook in de algemene functie kun je een kwadraat afsplitsen en daaruit een formule afleiden voor de -waarde van de snijpunten met de -as en de etreme waarde (top of dal). Als de coëfficiënten a,b en c geen mooie getallen zijn is het ontbinden in factoren of het kwadraatafsplitsen geen handige manier 9 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

32 om top, dal of nulpunten te bepalen. In dat geval kun je beter gebruik maken van de zogenaamde abc-formule. De afleiding van de abc-formule: 40 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

33 Voorbeeld : f ( ),5,,5± (,5) 4 4,5± 8,5 4,5 8,5,5+ 8,5 Eact: en 4 4 Afgerond : 0,454 en, 0 b,5 Voor de etreme waarde geldt : 0, 875 a 4 Er zijn geen oplossingen of snijpunten als : (b 4ac) < 0 Er is één oplossing en dus een raakpunt als : (b 4ac) 0 Er zijn twee oplossingen of snijpunten als : (b 4ac) > 0 De term (b 4ac) noemt men de discriminant (D). Het is verstandig om eerst D uit te rekenen. Voorbeeld : f ( ),5+ D,5 4,75 Het getal onder de wortel is negatief, dat kan niet, dus er zijn geen snijpunten.,5 De etreme waarde ligt bij : 0, Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

34 Opgave.6.. Gebruik van de abc-formule. Bepaal voor de grafieken van de volgende functies de coördinaten van de snijpunten met de -as en het maimum of minimum. Controleer met applet... a f() b g() c h() d k() + e m() -f() f n() f() Behoefte aan meer oefening met gebruik abc-formule? WIMS-site : kies a + b + c 0 (met abc-formule)..5 Enkele bijzondere functies met b0, c0 en één raakpunt. ) Als b 0 heb je de vorm f() a + c Je kunt dan zonder gebruik van de abc-formule direct de snijpunten bepalen. Voorbeeld : f( ) , ± De snijpunten met de -as zijn: (,0) en (,0) ls b 0 krijg je parabool met een dal of top op de y-as. Als c < 0 dan geen snijpunten. Je kunt de functie ook schrijven als f ( ) ( )( + ) Voorbeeld : 9 4 ± a 0 a en, ± f( ) ( + a)( a a a) 4 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

35 ) Als c 0 heb je de vorm f() a + b (a + b) Voorbeeld : f() 4 9 (4 9) f() 0 als 0 of als 4 9 ( 0 en 4 9 ) Als c 0 is gaat de grafiek altijd door (0,0). Een van de snijpunten heeft dan de coördinaten (0,0). ) Als er één raakpunt is met de -as. Voorbeeld : f() ( ) f() 0 heeft één oplossing, nl. Als je de haakjes van ( ) weg werkt, krijg je: ( )( ) ( -) noemt men het dubbele product. Algemeen: a( + p) a( + p+ p Voorbeeld : ( a) 4 4a+ a Of omgekeerd: + 8 ( 6+ 9) ( ) ) Opgave.7. Snijpunten bepalen met de as. Controleer de antwoorden met applet.. Bepaal de coördinaten van de snijpunten met de -as en de top of dal bij de parabolen met het volgende functievoorschrift: a f() - 4 b f() c f() d f() ( 4) e f() - f f() 4( + ) g Waarom heeft k() - 4 geen snijpunten? 4 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

36 h Bedenk het functievoorschrift bij de parabolen in de afbeelding. Ze hebben beide de snijpunten (-,0) en (,0). De een heeft een top in (0,4). De ander heeft een dal in (0,-4). Opgave.8. Ontbind de volgende functies in factoren. Controleer de antwoorden met applet.. a f() - 7 b f() 7 c f() + 4 d f() e f() f f() 9-6 g f() h f() Verschuiven van grafieken Je kunt de grafiek bij f ( ) + + horizontaal of vertikaal verschuiven door het voorschrift als volgt aan te passen. Zie grafieken op volgende pagina. 44 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

37 Als je in plaats van de term ( ) plaatst dan krijg je voor dezelfde y-waardes als eerst voor 0 en voor dezelfde y- waardes als eerst voor. De grafiek verschuift dus naar rechts. Als je in plaats van de term ( + ) plaatst dan krijg je voor - dezelfde y-waardes als eerst voor 0 en voor - dezelfde y- waardes als eerst voor -. De grafiek verschuift dus naar links. Als je in het voorschrift het getal + vervangt door het getal zullen alle y-waardes met vermeerderd worden. De grafiek verschuift dus naar boven. Opgave.9.. De functie f ( ) ( ) + ( ) + kun je ook in de vorm a + b + c. schrijven. f( ) ( 4+ 4) + ( ) f( ) + Als je van beide voorschriften de grafiek tekent met applet. zullen ze elkaar overlappen. tekent Verschuiven van grafieken. Controleer de antwoorden met applet.. Stel het functievoorschrift f() in de vorm van a( +p)( + q) op voor: a de grafiek die de -as snijdt in (-,0) en (,0) en een dal heeft met y-waarde - b de grafiek die naar rechts verschoven is t.o.v. a 45 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

38 c de grafiek die naar links verschoven is t.o.v. a d de grafiek die naar beneden verschoven is t.o.v. a e de grafiek die naar boven verschoven en naar links verschoven is t.o.v. a. f Schrijf de functies bij b, c en d in de vorm a + b + c. Opgave.0. Een derdegraads functie kan snijpunten hebben. De functie f() ( + )( - )( - ) is hieronder afgebeeld. a Schrijf het functievoorschrift zonder haakjes. Controleer dit functievoorschrift met applet... b Bereken het snijpunt met de y as en controleer in grafiek. c Hoeveel moet je de grafiek omhoog schuiven zodat er snijpunt en raakpunt is. Bedenk het voorschrift bij deze grafiek? d Wat wordt het functievoorschrift met de haakjes als je i.p.v. de term ( ) invult.wat zijn de gevolgen voor de grafiek? f() ( + )( - )( - ). R6 Wat is het voordeel om het functievoorschrift f() a + b + c te schrijven in de vorm f() a( + p)( + q). Hoe bepaal je p en q? Geef voorbeeld. Waarom is deze manier alleen geschikt voor mooie getallen. Hoe bepaal je de coördinaten van de top? R7 Als de snijpunten met de -as en de coördinaten van de top gegeven zijn kun je het functievoorschrift opstellen. Geef voorbeeld. R8 Als de snijpunten met de -as en de coördinaten van een punt op de grafiek gegeven zijn kun je het functievoorschrift opstellen. Geef voorbeeld. R9-46 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

39 . R0 Wat is het voordeel om het functievoorschrift f() a + b + c te schrijven in de vorm f() a( + p) + q Hoe bepaal je p en q? Geef voorbeeld. R Wat is het verschil tussen de grafiek van f() a + b + c en g() a( - ) + b( ) + c - 4 Kies waardes voor a,b en c en controleer met applet.. R Laat zien dat a ( + a)( a). Laat zien dat 8 a 8 ( 4 + a 4 )( + a )( + a)( a). Waarom kunnen de eerste twee factoren niet gelijk zijn aan 0? Laat zien dat (a b) a -ab + b. Laat zien dat + 4k + k ( + k) k. ( k constante) R Voor de snijpunten met as geldt: a( + p) + q 0 q q Dus ( + p) p± ±, a a Hoe bepaal je de coördinaten van de top of het dal? Geef voorbeelden. Voor welke waardes van (-q/a) zijn er geen snijpunten? Kies waardes voor a en q en controleer dit met applet.. Voor welke waarde van (-q/a) is er één raakpunt met de -as? R4 We hebben gebruik gemaakt van notatie-mogelijkheden voor een tweedegraads functie. Welke notatie heeft welk voordeel. R5 De abc-formule is de algemene tool om de oplossingen van een vierkantsvergelijking te vinden. Geef een voorbeeld. R6 Welke betekenis heeft de term (b -4ac)? R7 Voor de etreme waarde van een parabool (top of dal) gelden de b 4ac b coördinaten (, ). a 4a Leidt dit af en controleer dit met een zelf gekozen functie. R8 Laat met een schetsje het verschil zien tussen de grafiek van: f() en f(-a). g() en g(+b). f() en f() - a. f() en p f(). f ( ) f() en b f() en -f() f() en f(-) f() en f() - en 47 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

40 .7 Gelijkheden en ongelijkheden met kwadratische functie. Voorbeeld : parabool en y-waarde Voor welke waardes van geldt: We rekenen eerst uit voor welke waardes van de y-waarde gelijk is aan , 5±,5 0, en 4 5± en,5+ 4,8 afgerond eact Er is hier sprake van een dalparabool (a>0), dus tussen de snijpunten in geldt y 0. Je kunt dit ook aangeven in een tekenoverzicht. De groene grafiek hoort bij ( 5+ ) Voorbeeld : Parabool en rechte lijn Voor welke waarden van geldt: f() g() f() en g() + Ofwel: Voor welke waardes van is de y-waarde van f() kleiner of gelijk dan de y-waarde van g() b± 0 6± 0 6± 5, a 4 4,5-0,5 5 en,5 + 0,5 5 (eact) 0,8 en,6 ( decimalen) 48 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

41 Dus ofwel als 0,8,6 ( 6 + ) is een dalparabool, dus het gevraagde domein ligt tussen de snijpunten Zie tekenoverzicht in afbeelding. Voorbeeld : y (parabool) > y (parabool) Voor welke waardes van geldt > ? In het -y-diagram hiernaast zijn de grafieken van f() en g() getekend. Je kunt uit de grafiek aflezen dat f () en g() een snijpunt hebben bij en Berekening snijpunten van de parabolen: b 4ac b± 9 9± 9, a 6 en f() > g() als > 0 9± 6 ( 9 + 6) is een dalparabool, de y-waarde is groter dan 0 links en rechts van de snijpunten. Zie tekenoverzicht in figuur. Omdat de snijpunten geen deel zijn van de oplossing worden ze aangegeven als een open rondje. Dus f() > g() als < of > Opgave.. Grafieken vergelijken. Voor welk domein is de y-waarde van functie groter is dan die van functie. Maak hierbij ook een tekenoverzicht zoals in het voorgaande voorbeeld. Controleer met applet Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

42 . Behoefte aan etra oefening op WIMS-site. Kies voor : a( + b + c) en a + b + c Opgave. Snijpunten bepalen.. In deze opgave zijn steeds functies gegeven. Bepaal de snijpunten van deze functies. Sommigen kunnen ontbonden worden, bij andere zal de abc- formule toepast moeten worden. Controleer de antwoorden met applet... a h() 6 en g() b h() en g() - c h() en g() + 4 d h() en g() Opgave. Snijpunten bepalen.. In deze opgave zijn steeds functies gegeven met daarin de variabele a. Voor welke waarde van a is er een raakpunt en voor welke waarde van a zijn er geen snijpunten? Controleer de antwoorden met applet... a h() + en g() a b h() + a en g() c h() a + en g() a.8 Functie opstellen als drie punten van grafiek gegeven zijn. Als je de coördinaten van punten van de grafiek kent, kun je het functievoorschrift bepalen. Voorbeeld: De punten zijn (-,-); (-,) en (,) Invullen van de - en y-waardes in de algemene vergelijking ( a + b+ c) levert drie vergelijkingen met onbekenden. - 4a b + c a b + c 9a + b+ c Uit en volgt: -5 a b Uit en volgt: -8a 4b 50 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

43 Uit en volgt: 4-0a a -/0 -, Invullen in (4) geeft -5 ( -,) b b,7 Invullen in () - 4 (-,) -,7 + c c 5,8 Dus: y() -, +,7 + 5,8 Controle: y() -9,9 + 5, + 5,8 Klopt! Opgave.4 Stel het functievoorschrift op voor de grafiek. Stel een functievoorschrift op voor een grafiek die door de volgende. punten. Controleer met applet... a (,); (-,6) en (,) ` b (-,-4); (,-) en (,-8) c (0,); (,4) en (4,) R9 Hoe kun je met een tekenoverzicht het domein waar f() > g() aangeven? R0 Laat zien hoe je vergelijkingen met onbekenden oplost. Geef een voorbeeld van een toepassing. Opgave.5.9 Toepassingen kwadratische functies. Berekeningen aan de remweg. Hoe harder een auto rijdt des te langer is zijn remweg. Bij een noodstop slippen de wielen en ontstaat een remspoor. De politie kan uit de lengte van het remspoor een redelijke inschatting maken van de snelheid aan het begin van de remweg. Voor de remweg s en de snelheid v 0 geldt: s( v 0 0 ) v f g Tijdens het remmen gelden de functies: v ( t) f g t+ v 0 s( t) 0,5 f g t + v0 t s(v 0 ) is de remweg in meter bij een beginsnelheid v 0. v(t) is de snelheid in m/s na t seconden remmen s(t) is de afgelegde weg na t seconden remmen. g 9,8 m/s (de versnelling van de zwaartekracht). f is de wrijvingscoëfficiënt van het wegdek. omstandigheden wrijvingscoëfficiënt f droog wegdek 0,8 nat wegdek 0,4 sneeuw 0, 5 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

44 . Een auto heeft een snelheid van 0 m/s en voert een noodstop uit op een droog wegdek. a Teken de v-t-grafiek met behulp van applet... b Bepaal de helling van deze grafiek in m/s. Wat is de natuurkundige betekenis van de helling? c Bereken de remtijd, de tijd waarbinnen de auto tot stilstand komt. d Stel de functie s (v 0 ) op voor remmen op een droog wegdek en de functie s (v 0 ) voor remmen op een besneeuwd wegdek. e Teken de s-v 0 -grafiek van beide functies met behulp van applet... f Teken hierin ook de grafiek van een stilstaande auto. Deze auto staat op t 0 op 0 m afstand van de remmende auto. Conclusie? De volgende vragen hebben betrekking op remmen op besneeuwd wegdek. g Stel de s(t)-functie op voor een auto met v 0 0 m/s. h Bepaal de coëfficiënten a,b en c als je deze functie schrijft als f() a + b + c. i Teken de s-t-grafiek van de functie bij opgave g) met behulp van applet... j Bepaal de top van de parabool van opgave h). k Bepaal de functie v(t) voor het remmen op besneeuwd wegdek. l Teken de v-t-grafiek van de functie bij opgave k) met behulp van applet... m Bereken het tijdstip waarop v 0 m/s. Klopt deze waarde met het antwoord van opgave j)? n Stel het functievoorschrift op voor de afgelegde weg van een auto B die seconden later begint met remmen. Opgave.6 Berekeningen aan een kogelbaan. Een golfbal wordt met een snelheid van 0 m/s onder een hoek van 60 0 weggeslagen. In de -richting is er een constante snelheid van 0 m/s. Ten gevolge van de zwaartekracht neemt de snelheid in de y- richting eerst af tot nul en vervolgens weer toe. 5 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

45 .. (t) 0t + (0) is de horizontale afstand (in m) y(t) -4,9t + 7,t + y(0) y is de verticale afstand (in m) v y (t) -9,8t + 7, v y is de snelheid in verticale richting t is de tijd (in s) Met applet. kun je oefenen met de kogelbaan en de antwoorden controleren. a Wat is de betekenis van (0) en y(0)? b Hoe groot was de snelheid op t 0 in de y-richting? c Stel de functie y() op voor de baan van de bal ( (0) 0 en y(0) 0) door t te substitueren. Teken de functie met applet. en vergelijk de vorm met die van applet. In deze applet kun je zelf metingen verrichten.. Opgave.7 d Bereken de snijpunten met de -as en de plaats van de top. e Bereken het tijdstip waarop de bal op maimale hoogte is. f Bereken en y op dit tijdstip. Controleer met het antwoord van vraag d. g Stel de functie y() op voor de baan van de bal als (0) 0 en y(0) 5. Teken de functie met applet. en vergelijk de vorm met die van applet. h Bereken de nulpunten van de y(t)-functie als y(0) 5 Wat is de betekenis van deze nulpunten? Waarom is een van deze nulpunten niet van toepassing? Berekeningen aan valbeweging. Voor de valbeweging van een massa A geldt de plaatsfunctie y(t) -4,9t - 0t + 0 en de snelheidsfunctie v (t) -9,8t 0 y(t) is de hoogte in meter na t seconden a Vanaf welke hoogte valt de massa en wat is de snelheid bij het begin van de valbeweging? b Maak een schets van de grafiek van beide functies. Bereken eerst de snijpunten met de t-as en de coördinaten van de top. c Bepaal het functievoorschrift voor een massa B die seconde later met dezelfde beginsnelheid naar beneden gegooid wordt ( v(0) - 0 m/s) 5 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

46 . d Maak een schets van de grafiek van de functie van B. Controleer met applet... Opgave.8 Optimalisering tweedegraads functie. Je hebt een koord met een lengte van 0 m en moet daarmee een zo groot mogelijk rechthoekig oppervlak afzetten.. a Stel de functie A() op voor de oppervlakte. b Bepaal de snijpunten met de -as. Zijn de gevonden waardes juist? c Bepaal het maimum van deze oppervlakte. Controleer met applet.. 54 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

47 S Samenvatting kwadratische functies. Op de site is een mindmap beschikbaar met het complete overzicht van alle functies.. algemeen functievoorschrift en de betekenis van de coëfficiënten a, b en c Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

48 . Het functievoorschrift f() a( + p)( + q) (ontbinden in factoren) 56 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

49 . Het functievoorschrift f() a( + p) + q (kwadraat afsplitsen) 57 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

50 .4. Afleiding abc-formule, de algemene formule om snijpunten met -as te bepalen. 58 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

51 .4. Gebruik abc-formule (Bepalen van de snijpunten met -as en etreme waarde)..4. Tekenen van een parabool m.b.v. functievoorschrift 59 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

52 .4.4 Betekenis discriminant ( 0, of snijpunten met -as).4.5 Toepassing discriminant ( snijpunten of raakpunten met lijn of parabool). 60 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

53 .5. Bijzondere tweedegraads functie met b 0.5. Bijzondere tweedegraads functie met c 0 6 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

54 .6 transformatie parabool 6 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

55 .7 gelijkheden en ongelijkheden.7. parabool en lijn.7. twee parabolen 6 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

56 Gebroken functies. Functievoorschrift en grafiek van gebroken functie. De grafiek van een gebroken functie is bij een bepaalde waarde van onderbroken. Voor deze waarde van is er geen waarde van y. Als vanaf rechts nadert tot 0 wordt y oneindig groot en als vanaf links nadert tot 0 wordt y oneindig groot maar negatief. De grafiek noemt men ook wel een hyperbool en de verticale lijn door 0 noemt men een grenslijn of asymptoot. De grafiek zal deze lijn nooit snijden. Er is ook een horizontale asymptoot voor y 0. Als oneindig groot maar negatief wordt zal y de waarde 0 van onderen naderen en als oneindig groot wordt zal y de waarde 0 van boven naderen. Hyperbolen krijg je bijvoorbeeld als de waarde van y afneemt bij een grotere waarde van. Voorbeeld: Om een analyse te doen heeft men een apparaat aangeschaft dat 0000,- kost. Per analyse zijn de kosten 00,- De kosten per analyse worden bepaald door het aantal analyses n 0000 K( n) + 00 n n Er is een verticale asymptoot voor n 0 en een horizontale asymptoot y 00 voor n gaat naar oneindig. Zie grafiek op volgende pagina. 64 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

57 De negatieve waardes van n hebben hier geen praktische betekenis.. In deze afbeelding is alleen het stuk van de grafiek in het eerste kwadrant te zien. De negatieve waardes van n hebben geen betekenis. Algemeen voorschrift voor een gebroken functie: a f ( ) + d b + c Met onderstaande tool kun je de betekenis van de coëfficiënten onderzoeken. 65 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

58 Voorbeeld: 5 lim ( + ) f( ) Als positief is en zeer groot wordt dan nadert de y-waarde van onder 5 naar. De term ( ) is negatief en gaat naar Als negatief is en zeer groot wordt dan nadert y-waarde van boven 5 naar. De term ( ) is positief en gaat naar Wiskundige notatie lim ( + ) en lim ( + ) Een limiet is een grenswaarde. nadert tot waarde. Als de term ( + 4) zeer klein wordt (naar 0 gaat) wordt de term 5 ( ) zeer groot (gaat naar oneindig). + 4 Als negatief is en van links nadert tot -4 dan nadert de y-waarde naar + oneindig. Als negatief is en van rechts nadert tot -4 dan nadert de y-waarde naar - oneindig. Wiskundige notatie: en 5 lim ( + ) Er zijn twee grenslijnen of asymptoten (blauwe lijnen in de afbeelding). Een horizontale asymptoot : y Een verticale asymptoot: Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

59 Je kunt het functievoorschrift van een gebroken functie ook schrijven in de vorm van: a+ b y c + d,5 Voorbeeld: y + Er is een horizontale asymptoot y,5, omdat,5,5 y, 5 als zeer groot wordt. Wiskundige notatie:,5,5,5,5 lim ( ) lim lim, Er is een verticale asymptoot, omdat y + als of y - als of,5,5 lim ( ) + en lim ( ) + + Voor het snijpunt met de y-as geldt: (0,-) 67 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

60 Opgave.. Functievoorschrift gebroken functie. Bepaal de asymptoten van de volgende gebroken functies en controleer de juistheid met applet.. a y b y + c y + d y 0,5 0,5+,5 e y 4 f y g y h y i y Opgave.. Grafieken verschuiven. Controleer de juistheid met applet.. 4+ Bepaal het functievoorschrift waarmee de grafiek van f ( ) op de volgende manier verplaatst wordt: a naar links en naar beneden. b naar rechts en naar boven. Welke verschuiving hoort bij het volgende functievoorschrift? 4( + ) + c g ( ) + ( + ) a+ b d Schrijf g() in de vorm c+ d a e Schrijf g() in de vorm + d b+ c f Bepaal de asymptoten van f() en g(). Conclusie? 68 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

61 Opgave. Limieten Bepaal de volgende limieten. a lim ( ) 4 4 b lim ( + ),5 + c lim ( ) d lim ( ). R R f ( ) + kun je ook schrijven als f ( ) + + Laat zien waarom. De grafieken horen bij de functievoorschriften h() + 8, + 8 g() + en f ( ) + Welke grafiek hoort bij welk voorschrift? Waarom gaat de y-waarde van de hyperbool naar bij het snijpunt van g() met de -as? 69 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

62 R R4 h( ) Bereken lim Klopt dit met de grafiek? g ( ) + 8 Bij f ( ) in de vorige vraag zie je direct dat de y de + horizontale asymptoot en - de verticale asymptoot is. Voor het snijpunt met de verticale as geldt : y 4. Als van links nadert tot - dan nadert f() tot Als van rechts nadert tot - dan nadert f() tot + Laat zien waarom dat zo is. + 8 Waarom is de functie f( ) niet gedefinieerd voor + -? Opgave.4. Functievoorschrift herleiden Controleer de juistheid met applet.. a+ b a Schrijf y + in de vorm y c + d a+ b b Schrijf y + in de vorm y c + d + 4 a c Schrijf y in de vorm y + d b+ c 0,5 a d Schrijf y in de vorm y + d + b+ c + 7 e y ( -) + Als - dan y -. Waarom is dat? ( 4) f y ( ) Schets de grafiek. Wat is er aan de hand bij? 70 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

63 7 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken 4 - ) ( of - a 5 a y y a a y - ) ( of 4-4 b b b 5 b y y y b 5a b 5a b a 6 - b a b a y. Functievoorschrift opstellen bij bepaalde gegevens. Voorbeeld : Als je de asymptoten van een hyperbool kent en een punt waar deze doorheen gaat kun je het functievoorschrift opstellen en dus ook de grafiek tekenen. De asymptoten zijn en y. De hyperbool gaat door het punt (,5). of Voorbeeld : Als je asymptoot en punten kent. Asymptoot : en punten (,) en (5,-)

64 Je hebt nu vergelijkingen met onbekenden. Opgave.5. Bepaal functievoorschrift van de hyperbool. Controleer de juistheid met applet.. a De grafiek heeft de asymptoten en y - en gaat door het punt P met coördinaten (,). b De grafiek heeft de asymptoten - en y en gaat door het punt Q met coördinaten (-4, ). c De grafiek heeft de asymptoot en gaat door de punten (,) en (5,).. Gelijkheden en ongelijkheden bij gebroken functie. Voorbeeld : hyperbool en y-waarde + Voor welke waarde van geldt: 0,5 We gaan deze ongelijkheid herleiden: + + (0,5 ) ,5 0,5 0,5 Als -7 dan y-waarde 0 Oplossing : -7 of > 4 of { R <, 7] of < 4, > } 7 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

65 Voorbeeld : hyperbool en lijn In de afbeelding kun je zien dat er 0, en snijpunten mogelijk zijn. De lijn y - heeft geen snijpunten met de hyperbool en de lijn y heeft er. Berekening van de snijpunten van: 4+ f ( ) en g() Deze vergelijking heeft geen oplossingen omdat (b 4ac) < 0 Dit klopt met de grafiek! Berekening van de snijpunten van: 4+ f ( ) en h() b 4ac b b 4ac a b+ b 4ac a afgerond:,46 en 4, Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

66 De waardes kloppen met de grafiek! Als je de snijpunten berekend hebt kun je ook aangeven voor welke waardes van de ene functie groter is dan de andere. Voorbeeld: > > > 0 of < > 0 ( ) is een dalparabool met snijpunten en + Tussen de snijpunten is de y-waarde < 0. Dus de oplossing: <,46 of < < 4,46 Klopt met grafiek! Opgave.6. Snijpunten bepalen en tekenonderzoek. Controleer de juistheid met applet.. + a Bereken de snijpunten van f ( ) en g( ) + + b Bewijs dat f ( ) en g( ) + 5 geen snijpunt hebben. + c Bereken de snijpunten van en + d Bepaal m.b.v. een tekenoverzicht het domein waarvoor geldt + > 0 e Bepaal m.b.v. een tekenoverzicht het domein waarvoor geldt + 74 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

67 Opgave.7.. Oefenen op de site van WIMS met ongelijkheden lijn en hyperbool. Kies voor rechte lijn en hyperbool (H4) Snijpunten bepalen en ongelijkheden. Controleer de juistheid met applet.. + a Voor welk domein geldt: > + b Bereken het snijpunt van + en + c Bereken het snijpunt van en + Opgave.8. Snijpunten bepalen en ongelijkheden. Controleer de juistheid met applet.. In de figuur hierna zijn de grafieken weergegeven van de functies f() + g() h() ( + )( ) + k() a Welke grafiek hoort bij welke functie en waarom? b Welke waarde heeft k() voor die waarde van waarvoor geldt dat f() g()? c Bereken de waarde van h() voor deze waarde van. d Bepaal het functievoorschrift van de functie n() f() + g(). 75 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

68 Opgave.9 Michaelis-Menten Een klassiek voorbeeld van een gebroken functie in de boichemie is de vergelijking van Michaelis -Menten. vma [ s] v [ s ] + km v snelheid waarmee een chemische stof s door enzymen wordt omgezet in mol/s. v ma is de maimale omzetsnelheid die bereikt wordt. [s] is de concentratie van de stof s in mol/l k m is de concentratie van de stof s als v 0,5v ma voorbeeld: v ma 00 μmol/s ; k m 0,5 μmol/l en 0 < [s] < 6 μmol/l a+ b a Schrijf de formule van Michaelis Menten in de vorm y c + d b Wat zijn de asymptoten? c Waarom is bij deze toepassing alleen het kwadrant met positieve - en y-as zinvol? d Bereken als y 50. Hoe noemt men deze waarde van?.4 Lineariseren hyperbool Om uit te zoeken of een grafiek hyperbolisch is of om een bepaalde coëfficiënt te bepalen is het vaak handiger een gebroken functie om te zetten in een lineaire functie. 00 s s+ 0,5 Als v dan geldt ook 0,0+ 0,005 s + 0,5 v 00 s s Deze functie heeft de vorm y a + b. 76 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

69 Als je nu /s uitzet op de -as en /v op de y-as moet krijg je een rechte lijn met helling 0,005 ofwel k m /v ma en een snijpunt met de y-as van 0,0 ofwel /v ma. y ( 0) 0,0 vma 00 μmol/s v rc k v ma ma m m 0,005 k 0,5 μmol/l De lijn is recht dus y /v is evenredig met /s. Voor de grafiek geldt het functievoorschrift : y 0, ,0 Opgave.0 Lineariseren Bij een biochemische reactie hangt de omzetsnelheid van een stof s af van de concentratie [s] volgens de vergelijking van Michaelis Menten vma [ s] v. [ s ] + k m Deze formule kun je ook schrijven als v v ma k + v m ma [ s] a Leidt de formule voor /v af van de formule voor v. b Schrijf de formule van /v als een functie y() waarin y /v en /[s]. In onderstaande grafiek is /v op de y-as uitgezet en /[s] op de -as. v in μmol/s en s in μmol/l 77 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

70 c Bereken v ma en k m m.b.v. de grafiek d Stel de y()- functie op waarin y v en s e Klopt het functievoorschrift met de onderstaande grafiek?. R5 Welke gegevens heb je nodig om het functievoorschrift van een hyperbool op te stellen? R6 Bij ongelijkheden (<, >,, ) is een tekenoverzicht een handige tool. Leg m.b.v. een voorbeeld uit hoe dit werkt. R7 Soms kun je de coëfficiënten van een hyperbolisch verband beter bepalen door de functie te lineariseren. Laat dit zien m.b.v. de vergelijking van Michaelis Menten. 78 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

71 Opgave. Gebroken functie in de optica. Als je een voorwerp gaat afbeelden met een lens geldt f is brandpuntsafstand van de lens. v is de afstand van het voorwerp tot de lens. b is de afstand van het beeld tot de lens. De vergroting van het beeld is b/v f + en v b.. a Stel de functie b(v) op als f 0 b Teken de grafiek van b(v) met behulp van applet. c Bepaal de horizontale en verticale asymptoot. d Wat is de fysische betekenis van de verticale asymptoot? e Wat gebeurt er met de grootte van de afbeelding als het voorwerp in het brandpunt staat? Controleer met applet. en. f Wat gebeurt er met de grootte en plaats van het beeld als het voorwerp ver weg staat van de lens? Controleer met applet. en...5 Samenstellen van gebroken functies. Als je twee gebroken functies bij elkaar optelt krijg je dezelfde verticale asymptoten. Voorbeeld: + ( + )( ) + ( )( + ) ( + )( ) ( + )( ) 7 ( + )( ) 79 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

72 De verticale asymptoten van de samengestelde functie blijven - en. De horizontale asymptoot wordt y, de som van beide afzonderlijke horizontale asymptoten. Je kunt het ook zien aan de term in de teller en de term in de noemer. Als je twee gebroken functies met elkaar vermenigvuldigt komen beide verticale asymptoten terug en zal de horizontale asymptoot gelijk zijn aan het product van de afzonderlijke horizontale asymptoten. + ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) lim ( ) lim 80 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

73 Opgave.. Functievoorschrift samengestelde gebroken functies. Bepaal de asymptoten van de volgende samengestelde functies en controleer de juistheid met applet.. a b c d y + + ( ) y + + y + + ( + + ) y ( )( + ). R Bij + doe je dezelfde bewerking als + ( )( + ) 7 bij + Laat zien. 6 Voor welke waardes van is de samengestelde functie niet gedefinieerd. R Bij doe je dezelfde bewerking als + ( )( + ) bij Laat zien. 6 Voor welke waardes van is de samengestelde functie niet gedefinieerd? R0 Leg met behulp van een voorbeeld uit waarom de verticale asymptoten beide terugkomen in de grafiek van het product van twee gebroken functies. Waarom is de horizontale asymptoot gelijk aan het product van de afzonderlijke horizontale asymptoten? 8 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

74 .6 Andere functies met asymptoten. a De soort met de vorm f ( ) met a en n ϵ R n Deze functie heeft de asymptoot 0 en y 0 Hieronder is de functie f ( ) afgebeeld. lim( ) 0 lim( ) 0 lim ( ) 0 lim ( ) 0 Als n even is, is de grafiek gespiegeld t.o.v. de y-as. Hieronder is de grafiek van f ( ) afgebeeld. Als n oneven is, is sprake van een puntspiegeling t.o.v. (0,0). lim( ) lim( ) 0 0 lim ( ) 0 lim ( ) 0 8 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

75 a Opgave. Functievoorschrift y en soortgelijk. n Bepaal de asymptoten van de volgende functies en controleer de. juistheid met applet.. a f ( ) + ( ) b f ( ) + ( + ) c Welk voorschrift hoort bij de grafiek die t.o.v. f ( ) 4 schaaldelen naar links en schaaldelen naar beneden is verschoven. d Welk voorschrift hoort bij de grafiek die t.o.v. y,5 schaaldelen naar links en,5 schaaldelen naar boven is verschoven. a Opgave.4 Functievoorschrift y en soortgelijk. n In onderstaande figuur zijn de grafieken afgebeeld van f ( ) 4 g ( ) 4 h ( ) ( ) 4 k ( ) ( ) + Welke grafiek hoort bij welk functievoorschrift? 8 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

76 Opgave.5 Geluidsintensiteit Als een geluidsbron met een geluidsvermogen P van 0 W in alle richtingen evenveel geluidsenergie uitzendt zal deze energie zich verspreiden over een bolvormig oppervlak (A 4πr ). 0 Voor de geluidsintensiteit I geldt dan: I( ) 4 π I is de geluidsenergie per seconde per m in een punt P op een afstand van de geluidsbron(geluidsvermogen is 0 W). I in W/m en in meter. a Je kunt de functie van I() ook schrijven als I( ) k Welke waarde heeft k en wat is de eenheid van k? b De functie van I ( ) k geldt voor de geluidsintensiteit in ( + ) een punt Q. Waar ligt punt Q? c Welk functievoorschrift geldt voor I als de geluidsbron 5 zoveel energie levert op een plaats die meter dichter bij de bron ligt. 84 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

77 S Samenvatting gebroken functies. Op de site is een mindmap beschikbaar met het complete overzicht van alle functies... opbouw functievoorschrift tivities/graphsketcher/ 85 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

78 .. algemeen functievoorschrift.. Opstellen functievoorschrift als asymptoten en punt gegeven zijn. 86 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

79 .. Opstellen van functievoorschrift als asymptoot en punten gegeven zijn.. transformatie bij hyperbool 87 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

80 .4 gelijkheden en ongelijkheden gebroken functies. 88 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

81 4 Machtsfuncties en wortelfuncties. 4. Functievoorschrift en grafiek bij machtsfuncties. Het meest algemene functievoorschrift is f() a b (b ϵ N) In het bovenstaande diagram zijn de grafieken van,, 4, 5 en 6 afgebeeld. Hoe groter de eponent hoe steiler de grafiek. De functies met een even macht zijn gespiegeld t.o.v. de y-as. De functies met een oneven macht zijn gespiegeld t.o.v. het punt (0,0). (-) is namelijk -() en (-) is gelijk aan () Verder gaan alle even grafieken door (,) en (-,) en alle oneven grafieken door (,) en (-,-). Net zoals bij de voorgaande lineaire, kwadratische en gebroken functie kun je ook hier de functie vermenigvuldigen met een bepaalde factor en horizontaal en verticaal verschuiven. Opgave 4.. Vermenigvuldigen en verschuiven. Beschrijf welke verschuiving en/of vermenigvuldiging de grafiek van de functie f() 4 heeft ondergaan. Controleer met applet... a g() ( ) b h() ( + ) 4 - c k() -( ) 4 89 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

82 Opgave 4. Oefenen met haakjes. Haakjes worden veel gebruikt bij algebraïsche formuleringen. Vaardigheid daarmee is nuttig, vooral als je gebruik gaat maken van computeralgebra. Schrijf de volgende functies zonder haakjes. a Voorbeeld: ( ) 4 (( ) ) ( - +) Het onder elkaar schrijven kan een hulpmiddel zijn Met applet. teken je eerst de grafiek van ( ) 4 en vervolgens de grafiek van Bij juiste uitwerking zal de tweede grafiek de eerste overlappen. b g() ( ) c h() ( + ) 4 - d k() -( ) 4 e m() ( )( + -) f n() ( )( + ) g p() 0,(( ) + ) h q() ( )( + )( )(- + ) 4. Functievoorschrift bij gebroken eponent. (breuk als eponent). Het meest algemene functievoorschrift is f ( ) of f ( ) a Als de eponent < zijn de grafieken afnemend stijgend. b In de volgende figuur zijn de grafieken afgebeeld van : 5 5,,, 6 of 5,,, 6 5 a b b a 90 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

83 Hoe groter de eponent hoe steiler de grafiek voor >. De grafiek van 99/00 zal ongeveer samenvallen met de grafiek van. In plaats van kun je ook schrijven ofwel. want ( ) en ( ) ( 4) ( 4) 4 is strijdig met ( 4) Dus is de tot de macht ½ of de tweede machtswortel van. Zoook: want ( ) en ( ) 5 In plaats van 6 kun je ook schrijven 6 5. ( 4) 4 a 4 b a Of algemener f ( ) b De macht met een breuk als eponent noemt men ook wel een oneigenlijke macht. De functie is niet gedefinieerd voor < 0. Hieronder is een voorbeeld te zien van een tegenstrijdigheid die kan optreden bij een macht met gebroken eponent en negatief grondtal. ( 4) 6 deze bestaat niet! a Als > zijn de grafieken toenemend stijgend. b 5 In de volgende figuur zijn de grafieken van,,, getekend bestaat ook voor < Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

84 Opgave 4. Grafieken met gebroken eponent herkennen. In de figuur zijn de grafieken getekend van 6 5 f() g() h() 5 6 k() m() Opgave 4.4. Welke grafiek hoort bij welke functie en waarom? Controleer de juistheid met applet.. Grafieken met gebroken eponent herkennen. In de figuur zijn de grafieken getekend van f() g() 5 h() k(). Welke grafiek hoort bij welke functie en waarom? Controleer de juistheid met applet.. 9 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

85 Opgave 4.5 Grafieken met gebroken eponent. In de figuur zijn de grafieken getekend van 5 f() g() h() k() m(). voor 0 Welke grafiek hoort bij welke functie en waarom? Controleer de juistheid met applet.. Opgave 4.6. Machtsfuncties beschrijven. Geef voor de volgende functies aan voor welk domein ze gedefinieerd zijn en zo ja of sprake is van lijnspiegeling t.o.v de y as of puntspiegeling ten opzichte van het punt (0,0). Is de grafiek toenemend stijgend (of dalend) of afnemend stijgend (of dalend)? Controleer de juistheid met applet.. a f() 4 b g() c h() d k() e l() -0,5 4 f m() ( ) g n() + 4. WIMS-site : kies Vergelijkingen met eponenten ( a b) 9 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

86 94 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken a a b a b a ab b a b a b a b a b a + ) ( 4. Regels voor machten De regels voor machten: Enkele voorbeelden: ) c b a c b a a b c b ) (a ) c b a ) (a a b c b a ) -5,5,5 5 0,5 0,5 4 c b a b ) (c a c b ) (a Opgave 4.7 Machtsfuncties samenstellen. f() ; g() ; h() ; k() 4 Bepaal het functievoorschrift en het domein waarvoor de functies gedefinieerd zijn. Controleer met applet.. a u() f() b v() g() 4 c w() k() g() d p() ) ( ) ( ) ( h f k e v() ) ( ) ( g h f w() ) ( ) ( h k Opgave 4.8 Schrijf zo eenvoudig mogelijk. a 5 ) ( p p p b y y y ) ( c ) ( a b b a d 4 6 ) ( y y.

87 Opgave 4.9 Schrijf als één macht van. a c 7 e b d 5 4 f Functievoorschrift met decimaal getal als eponent (b ϵ R) Positieve eponent. In onderstaande afbeelding zijn de machtsfunctie te zien waarbij de eponent respectievelijk de waardes heeft van 0,; 0,5; 0,7; ;,5 en 0. Alle grafieken gaan door (,) omdat a ongeacht de waarde van a. 0 neemt voor < 0,5 vrijwel niet toe, terwijl 0, juist heel sterk stijgt in dit domein. Negatieve eponent. f ( ) Een negatieve eponent betekent dat de reciproke waarde van de functie wordt uitgerekend. ( als 6 dan ) 6 Enkele voorbeelden van notatie: 4 en 4 0,5 In onderstaande afbeelding zijn de grafieken te zien van:,,, 95 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

88 Deze grafieken zijn bij de gebroken functies besproken. Opgave 4.0. Grafieken herkennen. In de figuur hierna zijn de grafieken getekend van f() 0, g() 0,9 h(), k(),9 Welke grafiek hoort bij welke functie en waarom? Controleer de juistheid met applet.. 96 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

89 Opgave 4. Machtsfuncties samenstellen. f() 0,4 ; g() ; h(),7 ; k(),5. Bepaal het functievoorschrift en de mogelijke waardes voor voor de volgende functies en controleer met applet.. a u() f() b v() g() 4 c w() k() g() k( ) d p() h( ) f( ) h( ) e v() g( ) k( ) f w() h( ) Opgave 4. Toepassing van een machtsfunctie De (normale) hartslag S van een rustend zoogdier hangt af van het lichaamsgewicht G van het dier. Daarvoor geldt de 4 formule: S k G Hierin is S het aantal slagen per minuut, G het gewicht in kg. De bioloog Stahl vond voor de constante k de waarde 4. a Het gewicht van een volwassen olifant is 4000 kg. Hoeveel slagen per minuut maakt het hart van een slapende volwassen olifant? b Hoeveel weegt een zoogdier dat in rustende toestand een keer zo snelle hartslag heeft als een olifant van 4000 kg? 4. WIMS-site : kies Vergelijkingen met negatieve eponenten 4. R De grafiek van a is in het eerste kwadrant of afnemend stijgend of toenemend stijgend. Waardoor wordt dat bepaald? Bij welke waardes van a is sprake van lijnspiegeling en bij welke waardes is sprake van puntspiegeling. R Oneigenlijke machten met een breuk als eponent kun je ook schrijven als een hogere machtswortel. Geef enkele voorbeelden. Deze functies zijn niet gedefinieerd voor < 0 omdat tegenstrijdigheid op kan treden. Geef een voorbeeld. R Welke betekenis hebben a, b en c in het volgende a functievoorschrift? f ( ) b ( c) Voor welke waarde van a is de functie gedefinieerd voor alle reële waarden van. Voor welk domein is de functie gedefinieerd als a een niet geheel getal is? 97 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

90 R4 Wat is het verschil in de grafiek van f() 4 en g() ( ) 4 en h() (( )) 4? Controleer dit met applet.. R5 Wat is het voorschrift van de reciproke functie van f( )? Wat is het voorschrift van een functie die altijd even groot is maar tegengesteld aan f(). 4.5 Gelijkheden en ongelijkheden bij machtsfunctie. Voorbeeld : y-waarde en bepaalde waarde Voor welke waarde van geldt: Dus 0,5 0,5 0,79 afgerond Voorbeeld : snijpunt met rechte lijn 0,5 Voor welk domein geldt dat 0,5 of 0,5 0,5 ( > 6 6 b 0,5 ) 0,5 7+ 4< 0 4ac 7±, nulpunten : opl : 0,5 > > (4 ) dalparoboo l afgerond : ,5 < < 0,7 0,5 en > < 0,7 Door te kwadrateren is het groene stuk grafiek erbij gekomen. Een van de oplossingen bestaat niet, namelijk 0,5. Je kunt de juistheid ook controleren door 0,5 in te vullen in 0.5 0,5 en ( ). Je krijgt dan : y 0,95 en y -, en dat klopt dus niet! Omdat de lijn stijgt en een snijpunt heeft bij 0,7 is de oplossing: 0 0,7 98 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

91 Voorbeeld : snijpunt twee machtsfuncties Voor welk domein geldt : 0 ( ) 0 0 en is steiler dan dus is de oplossing Voorbeeld 4: snijpunt twee wortelfuncties Voor welk domein geldt : + < ( ) + < ( ) 4( + ) < ( ) < 0 + 7< 0 < Voor ( + ) moet - en voor ( - ) moet, dus er is geen oplossing. De y-waarde van + is altijd groter. Opgave 4. Schets de grafiek van de gegeven functies. 4 In onderstaande grafiek is de grafiek afgebeeld van f(). Controleer de juistheid met applet.. Schets de grafiek van: 4 a g( ) 4 b h( ) 0,5 99 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

92 4 c k ( ) ( ) Voor welk domein is deze functie gedefinieerd? 4 d m ( ) ( ) + Opgave 4.4. Opgave Snijpunten en ongelijkheden met wortelfuncties. Controleer de juistheid met applet.. Voor welke waardes van geldt: a + 4 b + 4 > c > 4 d Verschuiven en vermenigvuldigen van wortelfuncties. Het verschuiven en vermenigvuldigen gaat op dezelfde manier als bij alle tot nu behandelde functies en grafieken. Vergelijk bij alle vragen t.o.v. de functie f() Welke bewerking de grafiek ondergaan bij t.o.v. de grafiek van? Geef ook voor welke waardes van de functie bestaat. Controleer de juistheid met applet.. a g() + b h() + c k() + + d h() + e k() f m() ( + ) g n() Schrijf deze functie ook als macht met gebroken eponent f p() ( ) + Oefenen op de site van WIMS met vergelijkingen met wortels. Vergelijkingen met wortels (diverse) Vergelijkingen met wortels en breuken(lineair) Vergelijkingen met wortels en breuken(kwadratisch) Vergelijkingen met negatieve eponenten. 00 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

93 4.6 Functievoorschrift met absolute waarde De y-waarde van de modulusfunctie f ( ) is altijd positief. Het antwoord van de bewerking tussen de modulusstrepen wordt altijd positief gemaakt. f ( ) f ( ) f( ) als > 0 f( ) als < 0 f( ) als > 0 f( ) als < 0 In onderstaande figuur zijn de grafieken te zien van, en. De negatieve stukken van de grafiek zijn dus gespiegeld t.o.v. de -as. Een functie als f ( ) kan met behulp de modulusfunctie vereenvoudigd weergegeven worden. f ( ) f( ) De oplossing van een wortel moet namelijk altijd positief zijn! Opgave 4.7. Modulusstrepen gebruiken. Controleer de juistheid met applet.. Geef de functievoorschriften voor het hele domein R zonder modulusstrepen a f ( ) b f( ) ( ) 0 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

94 c d f ( ) + f ( ) Functievoorschrift van polynoom. Een polynoom of veelterm is samengesteld uit machten. Enkele voorbeelden:. y 4 5 0,5 +. y 4( )( +,5)( ). y 0,0,0 + 0,70-0, y + 5. y a 0 + a + a + a +.+ a n- n- + a n n Bij nr. kun je snijpunten met de -as meteen zien. Bij nr. 4 kun je nog verder herleiden om de snijpunten te vinden. y + y ( + ) y ( + )( ) (Zie onderstaande grafiek.) Je ziet ook dat de etreme waardes (top en dal) niet precies tussen de snijpunten in liggen! Bij nr. 5 staat de meest algemene functie-notatie voor een polynoom. Polynomen worden ook wel gebruikt om een formule te vinden bij een kromme die via metingen bepaald is. Je spreekt dan van een polynomische regressie. 0 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

95 De volgende data wordt door het programma Ecel als volgt verwerkt. y,4,,7 4, 5,7 Opgave 4.8 Polynomen a Bepaal de nulpunten van de polynoom f() 4 +. b Bepaal de nulpunten van de polynoom g() ( )( +)( + ) c Bereken het snijpunt van g() met de y-as. d In onderstaande figuur is met de applet. de grafiek getekend met het functievoorschrift,verkregen via polynomische regressie met Ecel in het voorbeeld hiervoor. y 0,00 4 0, , , ,87 Verklaar het verschil met de grafiek in Ecel! 0 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

96 4.8 Wortelfunctie is de inverse functie van de kwadratische functie. Als y dan y Vervolgens wordt y uitgezet op de horizontale as, dus y wordt en andersom. Voor de inverse functie geldt dus: y ( ) De grafiek van f ( ) en f ( ) zijn gespiegeld t.o.v. de lijn y. Dit geldt uiteraard alleen voor het domein waarin de functies gedefinieerd zijn, dus voor 0. Opgave 4.9 Inverse van parabool is wortel of andersom. Stel van de volgende functies de inverse op en geef het domein waarvoor f ( ) deze gedefinieerd zijn. Controleer antwoord met applet.. Teken hierbij ook de lijn y. a f ( ) + b f ( ) ( + ) c f ( ) + d f ( ) + 04 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

97 S4 Samenvatting machts- en wortelfuncties. Op de site is een mindmap beschikbaar met het complete overzicht van alle functies. 4.. functievoorschrift 4.. Als eponent een geheel getal is. 4.. Als eponent een gebroken getal is. 05 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

98 4. transformatie 4.. transformatie machtsfunctie. 4.. transformatie wortelfunctie. 06 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

99 4.. absolute waarde 4..4 spiegelen van wortelfuncties 07 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

100 4. gelijkheden en ongelijkheden 4.. wortel en lijn 08 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

101 4.., en 4.4 wortel is inverse functie van macht 09 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

102 5 Eponentiële en logaritmische functies. 5. Functievoorschrift en grafiek bij eponent als variabele. Het meest algemene functievoorschrift is f( ) a b c In de bovenstaande grafiek is het kapitaal y dat iemand op zijn renterekening heeft staan uitgezet tegen het aantal jaren. Per jaar groeit het kapitaal met 7%. Het beginkapitaal y (0) was 00,- Dus na 0 jaar is het kapitaal y(0) 00 (,07) 0 Ieder jaar groeit het kapitaal met een factor,07. Het functievoorschrift is dus y() y(0),07 of met symbolen die meer betekenis hebben K(t) K(0) (,07) t. Na hoeveel jaar is het kapitaal gegroeid met 80%? y, (,07),8 (,07) Ofwel: Welke eponent geeft bij het grondgetal,07 het antwoord,8? In wiskundige taal :,07 log,8 log,8 8, 69 log,07 Na 8,69 jaar is het kapitaal met 80% gegroeid. 0 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

103 In onderstaande figuur zijn de grafieken van f( ) en f ( ) ( ) afgebeeld. Het grondtal moet groter zijn dan 0!. Als grondtal < dan is de grafiek dalend, je vermenigvuldigd namelijk telkens met een getal <. Er is een asymptoot y 0 voor Als grondtal > dan is de grafiek stijgend. Er is een grenslijn y 0 voor -. Met applet. kun je de betekenis van de coëfficiënten in c f( ) a b onderzoeken. 5. Basiseigenschappen van logaritme. Als je uit wil rekenen voor welke waarde van de vergelijking, 4waar is, moet je dus de eponent bepalen. Wiskundige notatie voor de eponent, log(4) In woorden:, log(4) is de eponent die bij het grondtal, het antwoord 4 geeft. Of met getallen :,, log(4) 4 Hoe bereken je, log(4)? De meeste in Nederland gebruikte rekenmachine kennen twee standaardlogarimen, nl de log met grondtal 0 en de log met het bijzondere grondtal e (, ). Ofwel de 0 log (of gewoon log) en de e log (ook wel ln of natuurlijke logaritme). Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

104 , log(4) 0 controle:, 0 log(4) of log(,) 4,, log(4),98 afgerond 4 log(4) log(,),5 0,67 4,( afgerond) Met de log-functie kun je dus iedere eponent bij ieder grondtal uitrekenen. log() is de eponent die bij het grondtal 0 het antwoord geeft. a log() is de eponent die bij het grondtal a het antwoord geeft. Voorwaarden: a > 0 en a en > 0 Je kunt geen eponent vinden die als antwoord een waarde oplevert van 0 Verdere basisregels logaritme:... log( a b) log( a) + log( b) a log( ) log( a) log( b) b n log( a ) n log( a) In woorden:. De eponent log(a b) is gelijk aan de som van de eponenten log(a) en log(b). voorbeeld: log( ab) 5 ab 0 5 log( a), a 0,log( b), b 0. De eponent log( b a ) is gelijk aan het verschil van de eponenten log(a) en log(b). voorbeeld: a 0 0 0, a 0, b 0 b a log( ) log( a), log( b) b. De eponent van a n is n zo groot als de eponent van a voorbeeld: log(0) 00 log(0 ) 00 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

105 Enkele voorbeeldopgaven: Voorbeeld Bereken de eponent in,5 5 Geef het antwoord eact en afgerond op decimalen. ` ` eact:,5 afgerond : eact : log(5) log(5) log(,5) 5 6,9 5 log(5000),98 0,794,76 Voorbeeld Schrijf het getal 5000 als een macht met grondtal 5. Geef het antwoord eact en afgerond op decimalen. 5 log(5000) afgerond: log(5000) log(5) Voorbeeld log() 0,0 en log() 0,477 Bereken zonder rekenmachine: log(0,00) ; log( 0 ) ; log(600); log(8) log(8) log( ) log() 0,90 4,979 0,69897 log( 0 ) log() + log(0 ) 0,0+,0 6,9 log(0,00) log() log(000) 0,0,699 log(600) log( 00) log() + log() + log(00),778 Opgave 5. Basisberekeningen met logaritmen a Bereken als 4 8 a b Bereken a als,4 0 Geef antwoord eact in met decimalen. c Schrijf het getal 0,000 als een macht met grondtal 0. d Schrijf het getal 000 als een macht met grondtal. log() 0,0 ; log() 0,477 Bereken zonder rekenmachine: e log(6) ; log(0,0) ; log(6 0-6 ) f log( 5 ) ; log( 4-4 ) ; log( 0 5 ) 4 8 g Laat zien dat log() log(9) log( ) log(7) 4 log() h 4... log(...) i 5 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

106 Opgave 5. Onderzoek naar de betekenis van de eponent. In onderstaande figuur zijn de grafieken getekend van f() ; g() 7 ; h() (/) ; k() (/7) a Waarom is f() h(-) b Welke grafiek hoort bij welke functie? c Voor welk domein geldt h() > k() d Bereken als f() g( ) e Bereken als f( ) f Waarom geldt: g ( )? k( ) Opgave 5. Herleiden van de eponent. + kun je schrijven als 4 Schrijf nu de volgende functies om in de vorm van b a, dus alleen als eponent. a f() + b g() - c h() 4 d k() +4 e l() 5 - f m() 9 g n() 6 - h p() b +a 4 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

107 Opgave 5.4 Opgave 5.5. Kapitaalgroei berekenen. A heeft een kapitaal van 00 en krijgt 5% rente per jaar. B heeft een kapitaal van 000 en krijgt 7% rente per jaar. a Bereken na hoeveel jaar B evenveel kapitaal heeft als A? b Bereken het verschil in kapitaal tussen A en B na 6 jaar. c Teken de grafiek van de functies van het kapitaal van A en B en controleer de antwoorden van a en b. Controleer de juistheid met applet.. Afkoelcurve. Een heet voorwerp heeft een temperatuur van 60 0 C met de omgeving. De omgeving heeft een temperatuur van 0 0 C. Het temperatuurverschil (ΔT) met de omgeving neemt af met een halfwaardetijd (T /) van 0 min. Dat betekent dat ΔT iedere 0 minuten gehalveerd wordt. Het aantal keer 0 minuten is de variabele n. Dus ΔT (0) 40 0 C, ΔT () 0 0 C, ΔT () 0 0 C enz. a Stel de functie ΔT (n) op waarmee je het temperatuurverschil uit kunt rekenen op een bepaald tijdstip? b Bereken ΔT als n. c Bereken n en de tijd t als ΔT 0 0 C. d Bereken ΔT als t 4 min. e Stel de functie T (t) op door n uit te drukken in t (seconden). T is de temperatuur van het voorwerp. (Als n dan t 600 s) Opgave 5.6. Controleer de juistheid met applet.. Herleiden van de eponent. Stel het functievoorschrift op dat op bij de volgende waarden hoort: Controleer de juistheid met applet.. 5 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

108 Opgave Ook bacteriёn groeien eponentieel. Onderstaande grafiek is afkomstig van een biologie site over bacteriën. Bij de juiste omstandigheden kunnen bacteriёn zich iedere 0 minuten verdubbelen en zijn er na uur ongeveer 70 miljard nakomelingen. Na n delingen zijn er n bacteriёn voortgekomen uit bacterie. Dus N(n) N(0) n N is het aantal bacteriёn na n delingen. Je kunt ook schrijven: N( t) N(0) T is de verdubbelingstijd of generatietijd, de tijd waarin een bacterie zich gedeeld heeft. t is de tijd van de bacteriegroei, dus n t/t a T 0 min. Bereken het aantal verdubbelingen in uur. b Bereken het theoretisch aantal bacteriёn afkomstig van voorouder na uur groei. In werkelijkheid zal de groei van het aantal bacteriёn minder zijn doordat er een tekort aan voedsel en vervuiling door eigen afvalstoffen. In onderstaande afbeelding zijn twee grafieken te zien. De rode grafiek hoort bij de theoretische groei. De verticale as is een 0 log-schaal zodat ook de afleesbaarheid veel beter is dan op de lineaire schaal hiervoor. t T 6 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

109 De groene lijn is de echte groeigrafiek. In het begin is de groei langzaam omdat de bacteriёn moeten wennen aan de omgeving, daarna is de groei eponentieel of logaritmisch en vervolgens sterven ze af. De eponent op het eind van de logfase is met 6 toegenomen op de 0 log schaal, dus het aantal is 0 6 groter. c Hoe kun je zien dat het aantal bacteriën in de log-fase met een factor 0 6 is gegroeid? d Teken op enkellog papier de grafiek van N( t) N(0) Kies domein van uur T 0 min. N(0) t T Opgave 5.8 Onderzoek eponentiële grafieken. In onderstaande grafiek zijn 4 eponentiële grafieken getekend. f ( ),5 g( ).5 h( ) k( ),5 7 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

110 Welke grafiek hoort bij welke functie en waarom? Opgave 5.9. Kengetallen bij eponentiële functies. In onderstaande figuur is de grafiek afgebeeld van f() Controleer de juistheid met applet... 8 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

111 Schets in bovenstaande figuur de grafiek van: a g() - b h() c k() d l() + e m() 0,5 f n() + g p() - h q() ( ) i r() 4 j s() - 5. R Wat is het verschil tussen een machtsfunctie en een eponentiële functie? Geef van beide een toepassing. R Wat is het verschil tussen de grafiek van en -? Waarom is de functie (-) niet gedefinieerd? Tip: (-) 0 bestaat wel en (-) 0, bestaat niet! Controleer met applet.. R Waarom is + hetzelfde als? Als je de grafiek van een schaaldeel naar rechts verschuift krijg je de grafiek van /. Waarom? Waarom is 4 hetzelfde als ( )? Als 0 dan - 0, Waarom? R4 Zijn en - reciproke functies? Wat is het verschil in de grafiek van deze functies? R5 Welke bewerking heeft de grafiek van ondergaan t.o.v. de grafiek van +? Controleer dit met applet.. R6 Waarom gaan alle grafieken van f() a b door het punt (0,)? 5. Het grondtal kan iedere waarde hebben. a b c d 4 4 0,5 n 0 (),5 n Bij c) geldt : Dus 4,5,4 0,477, 4 k 4,5 ofwel k,5 log4 log4 log,5 k Bij d) geldt : 0 ofwel k log 0,477 0, 477 Dus 0,4 9 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

112 Grondtal en eponent worden gekozen afhankelijk van de toepassing. Voorbeeld: Bij een zuur is de concentratie van de H O + -ionen bepalend voor de sterkte van een zuur. Als je de concentratie schrijft als een macht met grondtal 0 dan noemt men de eponent de ph ofwel de zuurgraad. [H O + ] 0 -ph of ph -log[h O + ] Als ph dan [H O + ] 0 - mol/l Als ph 0 dan [H O + ] 0 0 mol/l Opgave 5.0. Eponentiële functie met verschillende grondtallen. Schrijf f() met een ander grondtal. Controleer de juistheid met applet.. Kies voor het grondtal 0,5;,5 ; 4 ; 0 en Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

113 Opgave 5. Eponentiële functie c(h O + ) 0 -ph In onderstaande figuur is de grafiek van 0 -ph afgebeeld. Op de horizontale as is de ph uitgezet. a Voor welke waarde van de ph is de concentratie groter dan mol/l? b Bereken de ph als c 0,5 mol/l. c Bereken c als de ph 0. Opgave 5. ph-waarde is een eponent. c 0 -ph f() 0 ( 4) g() 0 f() is de concentratie van de H O + -ionen van een oplossing g() is de concentratie van de OH - ionen van een oplossing. is de ph ; (4 ) poh a Bereken f() en g() b Voor welke waarde van is f() 0,005 c Als > 7 is de oplossing basisch. Welke waardes heeft f() dan? Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

114 5.4 0 log () is de inverse functie van 0 Bij een cuvet die gevuld is met een gekleurde oplossing zal een bepaald percentage van het opvallende licht geabsorbeerd worden. Als 50% van het licht door het cuvet gaat is de transmissie T 0,50. Als de oplossing een zo grote concentratie heeft zal er 50% van 50% doorgelaten worden. De transmissie is dan T 0,5. 0,50 0-0,0 en 0,5 0-0,60 Je ziet dat de eponent is dus evenredig met de concentratie. Deze -eponent noemt men de etinctie E. ( Engels: A van absorbance) E T 0 of E 0 log( T) ( 0 log wordt geschreven als log) De etinctie (E) is evenredig met de concentratie (c). y 0 of 0 log( y) Verwisselen van en y levert de inverse functie y 0 log( ) Ander voorbeelden : y f( ) y y f ( ) f ( ) y y f ( ) 5. In de volgende figuur zijn de grafieken van de genoemde functies en de inverse afgebeeld. log is niet gedefinieerd voor 0 is niet gedefinieerd voor < 0 WIMS-site : kies Vergelijkingen met a b Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

115 0 en log() en 0,5 en De grafiek van log heeft een limiet voor 0. Wat is waarde van log als 0 -? Als y 0 dan log( y) of log( y) f( ) 0 en f ( ) log( ) zijn inverse functies. In onderstaande figuur zijn de grafieken van deze functies getekend. De log-functie is niet gedefinieerd voor 0. Grafieken van functies en hun inverse zijn gespiegeld t.o.v. de lijn y. Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

116 Opgave 5. Inverse functies Bepaal de inverse functie van : a y + b y c y d y Voor welk domein geldt dit? e y + Voor welk domein geldt dit?. Opgave 5.4 Controleer met applet.. Logaritmische grafieken. a In onderstaande figuur zijn de grafieken getekend van log( ), log( ) en log( + ). Welke grafiek hoort bij welke functie en waarom? b In onderstaande figuur zijn de grafieken getekend van log(), log() en 4 log().welke grafiek hoort bij welke functie en waarom? 4 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

117 c In onderstaande figuur zijn de grafieken getekend van log(), log( ) en log( ). Welke grafiek hoort bij welke functie en waarom? d In onderstaande figuur zijn de grafieken getekend van log(), log( 5 ) en log(). Welke grafiek hoort bij welke functie en waarom? e In onderstaande figuur zijn de grafieken getekend van log(), log( - ) en -log(). Welke grafiek hoort bij welke functie en waarom? 5 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

118 5. R7 Wat is de betekenis van log()? Waarom is 0 log? R8 Wat is het verschil tussen log() en log()? Waarom is log( ) log() Tip: kies voor het getal 0. R9 De grafiek van log( ) is gespiegeld t.o.v. de grafiek van log( ). Van welk soort spiegeling is hier sprake? log( ) is hetzelfde als log( - ) Waarom? Controleer met applet.. R0 log() log() + log() Waarom? Wat is het verschil in grafiek tussen log() en log()? R R log( ) log() log(5) Waarom? 5 Wat is het verschil in grafiek tussen log en log( )? 5 log() Waarom is log() gelijk aan? log() Tip: Stel log() a, log() b en log() c en bewijs dat a b/c Opgave 5.5 ph -log[h O + ] In onderstaande figuur is de grafiek van ph log[h O + ] afgebeeld. Op de -as is de concentratie [H O + ] uitgezet in mol/l. a Bereken de ph als [H O + ] 0,05 mol/l. b Hoeveel neemt de ph toe als c verandert van 0-4 naar 0-5 mol/l? c Bereken [H O + ] als ph 0,7 en controleer het antwoord met bovenstaande grafiek. 6 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

119 Opgave 5.6 Grafiek van E -log(t) Als je de transmissie T schrijft als een macht met grondgetal 0 dan is de eponent de etinctie E. Als T (00% doorlatend) dan E 0. a Bereken E als T 0%. Bij een cuvet dat gevuld is met een concentratie van 0 mmol/l is de etinctie E 0,0 b Bereken de transmissie T. c Bereken de transmissie als de concentratie 5 mmol/l bedraagt. d Waarom zal het meetgebied 0, <E <0,6 het meest geschikt zijn? Opgave 5.7 Afname van radio-activiteit is eponentieel. Een kern van het koolstofatoom 4 C verandert onder uitzending van een elektron in een stikstofkern 4 N. Een koolstof-4 atoom is dus niet stabiel en verandert in een ander atoom. Men noemt dit radioactief verval en het uitzenden van elektronen β-straling. In een periode van 5700 jaar vervalt de helft van de kernen. Bijna alle koolstof atomen zijn van het type C en zijn stabiel. 4 C en C zijn isotopen van koolstof. Ze hebben dezelfde chemische eigenschappen, maar het aantal deeltjes in de kern is verschillend. 4 deeltjes is blijkbaar niet stabiel. 7 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

120 Voor het aantal atoomkernen 4 C geldt: N(n) N(0) (0,5) n Voor de massa van de 4 C-atomen geldt: m (n) m(0) (0,5) n N(n) is het aantal atomen 4 C in mol of in %. m(n) is de massa van de hoeveelheid 4 C in kg of %. N(0) en m(0) zijn de hoeveelheden in het begin. n is het aantal halfwaardetijden dat voorbij is. a Stel een functie op voor het aantal 4 C-atomen in % (N) dat na een bepaalde tijd nog niet vervallen is. b Teken een grafiek waarin het aantal (in%) is uitgezet tegen de tijd. c Bereken de periode waarin N is afgenomen tot 0%. 5. R Voor het radioactief verval van een bepaald isotoop geldt: t n 5700 N(0) 0, of N( t) N(0) N( n) 5 Laat zien waarom deze functies hetzelfde zijn. Na hoeveel jaar is het aantal kernen gehalveerd? Hoeveel % is er nog over als (t/5700) 4? R4 Hoe ziet deze functie er uit voor de isotoop 60 Co? 5.5 De functies e en ln () In de techniek en wetenschap kom je ook vaak de functie e tegen. e, het getal van Euler, is een bijzonder getal. e e, De grafiek van e heeft dezelfde vorm als die van. De grafiek van loopt uiteraard minder steil. Het bijzondere van een e-macht is dat de helling van de raaklijn in een bepaald punt dezelfde waarde heeft als y. y e Als heeft de helling de waarde e (,7) In onderstaande figuur zijn de grafieken getekend van, e en van,7. 8 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

121 De helling van de raaklijn in het punt (;,7) is gelijk aan,7. De helling van de raaklijn in het punt (0,) is gelijk aan. Deze eigenschap maakt de grafiek van een e-macht interessant om veranderingen te bestuderen. Bij het onderdeel differentiëren komen we hier op terug. Net zoals je ieder getal kunt schrijven als een macht met grondtal 0, kun je ieder getal ook schrijven als een macht met grondtal e. 0 0,00 ofwel log( ) 0, 00 ( log( ) is hetzelfde als 0 log() ) e 0,69 ofwel ln( ) 0, 69 ( ln( ) is hetzelfde als e log() ) ln noemt men ook wel de natuurlijke logaritme, de logaritme met grondtal e. Voor kun je ook schrijven e 0, 69 In de grafiek hierboven zie je dat bij y gelijk is aan,7 en de helling gelijk is aan,7. (e,7 afgerond op cijfers) Bij y e is de helling in ieder punt gelijk aan y. Voor y e is de helling in ieder punt gelijk aan y. In onderstaande figuur zijn de grafieken van deze functies getekend en de raaklijnen in het punt (0,). De helling is respectievelijk en. De functie f ( ) ln( ) is de inverse functie van f ( ) e y y ln( ) e y e Zie grafiek op volgende pagina. 9 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

122 Grafieken van functies f ( ) ln( ) en t.o.v. de lijn y. f ( ) e zijn gespiegeld Opgave 5.8 e als grondtal van de eponentiële functie. Schrijf als macht met grondtal e. a 00 b c e d Schrijf als een eponentiёle functie met grondtal e. e y() f N(t) N(0) (0,5) t g m(t) 00 () -0,5 t h Welke functie is de inverse van e? 5.4 R5 Wat betekent ln(00). R6 is hetzelfde als e ln. Waarom? R7 Als je schrijft als e 0,69 kun je eenvoudig de helling van de raaklijn in ieder punt bepalen. Hoe? R8 Waarom snijden de grafieken van en e elkaar voor 0? R9 Waarom geldt: log() log(e) ln() 0,44 ln()? R0 Hoe kun je waarde van e bepalen als je log() en ln() weet? 5. WIMS-site : kies Vergelijkingen met e I t/m III 0 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

123 5.5 Vergelijkingen en ongelijkheden met eponentiële en logaritmische functies. gelijkheden Voorbeeld Voorbeeld 5 eact log(5) log(5) afgerond, 9 log() Voorbeeld Soms kun je een van de grondtallen hetzelfde maken ( ) ( ) /5 4 Als de grondtallen niet hetzelfde zijn, zijn er meerdere mogelijkheden: Voorbeeld 4 Aanpak : Maak grondtallen hetzelfde. (4+ ) 6,4+,7 (,7 6,4,9 of eact ( log( ) e) (4+ ),585(4+ ) Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken ),585 (4+ ) (4+ ) 4 ( log( e)) + ( log( e)) log( e) 4 ( log( e)) ( ( log( e))) 4 ( log( e)) ( ( log( e))) Het is duidelijk dat het niet nodig is iets eact uit te schrijven als de getallen ook een onnauwkeurigheid hebben. Aanpak : Je kunt ook links en rechts van het gelijkteken de logaritme nemen. (4+ ) log() (4+ )log() log() 4log() + log() (log() log()) 4log() 4log() eact of,9 afgerond log() log() Laatste aanpak geeft minder werk bij de eacte oplossing.

124 In de volgende figuur kun je zien dat de oplossing klopt met het snijpunt van de grafieken van en ( + 4). Het snijpunt ligt bij -,9 Ongelijkheden: Voorbeeld 5 Voor welke waardes van geldt: > 4 - Aanpak : >,6( ) want 4,6 >,5,6,6 >,5 > 0,77 De rode grafiek ligt boven de blauwe voorbij 0,77 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

125 Aanpak : log( ) > log(4 ( ) ) log() > ( )log(4) log() + log(4) > log(4) ( log() + log(4)) > log(4) log(4) > eact of > 0,774 log() + log(4) Voorbeeld 6 met grondtal < Aanpak : (0,5 ) ( ) > ( ) < (0,5 ) 0,5 < - < - > teken wordt < teken omdat grondtal < : /) > (/) omdat < De blauwe grafiek van( ) ligt boven de rode grafiek voor < - Aanpak : ( ) > ( ) (0,5 ) - > -(0,5 ) - > -0,5 + -0,5 > 0,5 < - < - Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

126 Voorbeeld 7: Vergelijking met logaritmische functies. Als je grondtal gelijk maakt zijn de argumenten gelijk aan elkaar. Aanpak : log( + ) ( + ) 0,5 > dus 4 log( log( + + ) + oplossing isgoed 4 + ) log( ) zoals 4 log( + ) + + log a 4 4 log( + log a + ) Je kunt 4 log( + ) ook schrijven als log( + ) / Aanpak : log( + ) log( + ) log( + ) log( + ) log() log(4) log( + ) log( Verder volgens aanpak. + ) ( + ) + Snijpunt: ( 0,5; log(,5)) of afgerond (0,5;0,58) De grafiek van 4 log( +) bestaat ook voor < 0. De grafiek van log(+) bestaat voor > -. 4 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

127 Opgave 5.9. Vergelijkingen met eponentiële functies. Voor welke waarde van geldt: a 9 b ( ) c 4 d e ( ) 8 4 f + 4 g 5 h Controleer met applet.. Opgave 5.0 Ongelijkheden met eponentiële functies. Voor welke waarde van geldt: a > 9 + b 4 5 c d e + < <. Controleer met applet.. Opgave 5. Vergelijkingen en ongelijkheden met logaritmische functies. Voor welke waarde van geldt: a log( ) > log() b log(4 ) c log( + ) < log( ) d log( + ) e ln( ) > 4 f log( ) > log() Tip: log( ) en stel p. Controleer met applet.. 5 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

128 5. WIMS-site : kies Vergelijkingen met a g b kies Vergelijkingen III t/m VII 5.5 p R Als a > a dan is soms > p en soms < p. Waar door wordt dat bepaald?, e, 4 kun je allemaal schrijven als een macht met het hetzelfde grondtal. ln() e e ( log e) 4 Leidt dit zelf eens af. R 4 4 log( ) log( ) en log( ) log( ) Bewijs! Wat is het nut van het veranderen van grondtal? 6 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

129 S5 Samenvatting ep-en log-functies. Op de site is een mindmap beschikbaar met het complete overzicht van alle functies. 5. functievoorschrift eponentiële functies 5.. met grondtal > of < 5.. met grondtal e 7 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

130 5.. betekenis logaritme 5.. Basisregels logaritmen 8 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

131 5.. afkoelproces als practische toepassing eponentiële functie eponentiële versus logaritmische functies 9 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

132 5.. toepassing in de chemie 5.. verschillend grondgetal 40 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

133 5.. verschillend argument 5..4 natuurlijke logaritme 4 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

134 5.4 gelijkheden en ongelijkheden 5.4. dezelfde ep-grafiek met ander grondtal 5.4. dezelfde log-grafiek met een ander grondtal 4 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

135 6 Goniometrische functies. 6. Goniometrische verhoudingsgetallen en grafieken. Geluid kan door van alles en nog wat veroorzaakt worden. Je kunt het waarnemen via het oor of een microfoon. Een microfoon meet eigenlijk de variatie in luchtdruk als het geluid voorbij komt. Bij een zuivere toon blijkt de drukverandering sinusvormig op en neer te schommelen. Als je de druk in een grafiek uitzet tegen de tijd krijg je een zogenaamde sinusgrafiek. Door de traagheid van ons oor horen wij één toon maar als je het geluid via een microfoon omzet in een elektrisch signaal zie je dat bij een zeer lage toon van 0 Hz ( lager kun je niet horen) de druk 0 per seconde heen en weer schommelt. Een stemvork zorgt voor sinusvormige drukschommelingen. 4 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

136 Een sinusgrafiek krijg je ook als je de hoogte van een punt dat met constante snelheid ronddraait in een cirkel uitzet tegen de tijd of tegen de grootte van de gedraaide hoek. Het rode punt draait met constante snelheid rond tegen de wijzers van de klok in. De hoogte h tot de horizontale blauwe lijn verandert. Ook de afstand b tot de verticale blauwe lijn verandert. Als de hoek α klein is verandert h sneller dan wanneer α bijna 90 0 (graden) is. Als de hoek α klein is verandert b minder snel dan wanneer α bijna 90 0 is. De maimale uitwijking in verticale en horizontale richting noemt men de amplitude (A). De verhouding tussen h en de schuine zijde met lengte A noemt men de sinus van hoek α (sin α). h sin( α) h A sin( α) A Vertikaal is h uitgezet en horizontaal de hoek (tot ongeveer, rad) 44 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

137 De verhouding tussen b en de schuine zijde met lengte A noemt men de cosinus van hoek α (cos α). b cos( α) b A cos( α) A Onder de horizontale lijn is h negatief. Links van de verticale lijn is b negatief. De verhouding tussen h en de afstand b noemt men de tangens van hoek α (tan α). h sin( α) tan( α ) b cos( α) In onderstaande tabel staan de waardes van sin(α) en cos (α) voor verschillende waardes van α van 0 tot 60 graden ( rond). De hoek kan in graden ( 0 ) en in radialen (rad) gegeven worden. Op je rekenmachine kun je instellen in welke hoekeenheid je wil werken. radiaal is de hoek waarbij een stukje cirkel hoort dat even lang is als de straal. omwenteling heeft een lengte van π r en een middelpuntshoek van π radialen. Hieronder is de grafiek afgebeeld van y sin(α) afgebeeld ( A ) y is de hoogte van het ronddraaiend punt en α is de hoek in radialen. 45 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

138 Hieronder zijn de grafieken van sin(α) en cos(α) afgebeeld. Als sin(α) 0 dan cos(α) Als α 0,5π rad,57 rad dan sin(α) en cos(α) 0 Als α >,57 rad (90 0 ) en α < 4,7 rad (70 0 ) dan cos(α) < 0 omdat b < 0. Als α >,4 rad (80 0 ) en α < 6,8 rad (60 0 ) dan sin(α) < 0 omdat h < 0. Hieronder zijn de grafieken van sin(α), cos(α) en tan(α) afgebeeld. sin( α) sin( α) tan( α ) cos( α) cos( α) Als sin(α) en cos(α) 0 dan tan(α ) Als sin(α) en cos(α) 0 dan tan(α ) - Als sin(α) - en cos(α) 0 dan tan(α ) Als sin(α) - en cos(α) 0 dan tan(α) - 6. tan(α) < 0 als sin(α) > 0 en cos(α) < 0 of andersom. 46 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

139 6.4 Als een van de verhoudingsgetallen sin, cos of tan bekend is, kun Je de grootte van de hoek uitrekenen met de inverse bewerking. Als sin(α) 0, dan α arcsin(0,) 0,0 rad of α (π 0,0),04 rad. De rekenmachine geeft altijd de kleinste hoek als antwoord. En verder zijn natuurlijk de hoeken met een geheel aantal π kleiner of groter ook mogelijke oplossingen. Dus α (0,0 + k π) rad of α (,04 + k π) rad ( k Ζ) (Ζ is de verzameling van alle positie en negatieve gehele getallen). In plaats van arcsin(α) wordt ook wel asin(α) of sin - (α) gebruikt. Voor kleine hoeken geldt: sin(α) α (α in radialen) 6.4 Als cos(α) 0, dan α arccos(0,),7 rad of α (π,7) 5,0 rad. 6.4 Dus α (,7 + k π) rad of α (5,0 + k π) rad. k ϵ In plaats van arccos(α) wordt ook wel acos(α) of cos - (α) gebruikt. Als cos(α) dan α 0 rad en als cos(α) 0 dan α π/ rad Als tan(α) dan α arctan(), rad of α (π +,) 4,5 rad. 47 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

140 Dus α (, + k π) rad of α (4,5 + k π) rad ( k ϵ ). In plaats van arctan(α) wordt ook wel atan(α) of tan - (α) gebruikt. Als tan() 0 dan 0 rad en als tan() dan π/ rad. Onder de horizontale lijn is h negatief. Opgave 6. Rekenen met de goniometrische verhoudingsgetallen. Een punt beweegt linksom en heeft een hoek α (groene lijn) afgelegd van radiaal. De cirkel heeft een straal van. a Bereken de hoek α in graden. b Bereken de sinus, de cosinus en de tangens van de hoek α. c Bereken de grootte van sin, cos en tan van een hoek van rad. d Bereken de grootte van sin, cos en tan van een hoek van 4 rad. e Bereken de grootte van sin, cos en tan van een hoek van 5 rad. 6.4 Controleer de antwoorden met applet Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

141 Opgave 6. Opgave Bereken de hoek α in radialen. Geef alle mogelijke waardes van α tussen 0 en π als: a sin(α) 0,5 b sin(α) 0, c cos(α) - 0, d sin(α + ) 0,7 e 4sin(α) - 4 f -sin(α) 0,6 g tan(α) h tan( α) - i sin(α - ) 0,6 Controleer de antwoorden met applet 6.4. Ontbinden van een vector. Veel grootheden zoals plaats, snelheid, versnelling, kracht hebben een grootte en een richting en kun je aangeven via een pijl of vector. Zo n vector kun je ontbinden in een horizontale en verticale vector. De horizontale component heeft een lengte van R Rcos(θ) en de verticale component heeft een lengte van R y Rsin(θ). Ry De hoek α kun je berekenen met θ arctan( ) en de lengte van de R vector R + R R y In onderstaande afbeelding is de hoek gegeven in graden. 6.5 a R 5 en θ 0, rad Bereken R en R y. b R 0 en R y 6 Bereken R en θ (in rad). c R 0 en θ 0,0 rad Bereken R. d R y en R 0 Bereken R en θ (in rad). e R y 0 en θ,0 rad Bereken R en R. 49 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

142 Opgave 6.4 Hellend vlak Het hellend vlak is 0 m lang en de hoek kun je veranderen. Bij een hellingshoek van 0 is het hoogteverschil,6 m. 6.6 a Bereken de hellingshoek die nodig is om een hoogteverschil te krijgen van 5, m? b Bereken het hoogteverschil bij een hoek van 5 0. Als je een kist op de helling zet zal deze blijven staan als de hoek niet te groot is. De zwaartekracht(f g ) wordt in evenwicht gehouden door de normaalkracht(f N ) en de wrijvingskracht(f f ). Je kunt F g ontbinden in twee componenten, een in de richting van de helling en een in de richting loodrecht op de helling. (F g 50,0 N) c Bereken de grootte van de twee componenten. d Bereken de grootte van F N en F f. 50 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

143 R Wat heeft een cirkelomwenteling te maken met een sinus of cosinus? R Met welke factor moet je het aantal graden vermenigvuldigen om R radialen te krijgen? Met welke factor moet je het aantal radialen vermenigvuldigen om graden te krijgen? R4 Waarom zijn de verhoudingsgetallen sinus en cosinus en -? Waarom kan de tangens een zeer grote waarde hebben? R5 Hoe lang is de cirkelboog als r en de middelpuntshoek rad? Hoe lang is de cirkelboog bij een middelpuntshoek van π radialen? Hoe wordt deze lengte ook wel genoemd? R6 Waarom is sin(α) gelijk aan cos(π/ α)? Waarom is sin(α) gelijk aan sin(α + π)? Als sin() a, dan ook sin( + k π) a en ook sin(π + k π) a (k ϵ Z) Waarom? R7 Waarom geldt: sin (α) + cos (α)? (sin (α) (sin(α))? R8 Hoe bereken je de hoek als je een van de goniometrische verhoudingsgetallen kent? R9 sin(π α) sin(α) Waarom? cos(π α) cos(α) Waarom? tan(π + α) tan(α) Waarom? R0 Hoe kun je een vector ontbinden in een - en y-component? Hoe kun je een vector ontbinden in componenten die loodrecht op elkaar staan? 6. Goniometrische functies. Bij iedere harmonische verandering, zoals druk bij geluid en spanning bij wisselstroom of de uitwijking van een massa aan een veer kun je verandering zien als de y-component (of -component) van een punt dat over een cirkel kan ronddraaien. 5 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

144 y ( α) Asinα (α is de middelpuntshoek en y is de hoogte) Je kunt voor de hoek α ook schrijven: α p + α 0 Je krijgt dan het functievoorschrift y() Asin(p + α 0 ) p π periode Als periode π of,4 dan p p wordt frequentie genoemd. Als p en neemt toe met π dan neemt α toe met π rad. Hieronder zijn de grafieken afgebeeld van y sin( ), y sin() en y sin(). Bij sin() is er omwenteling of periode, bij sin() zijn er twee periodes en bij sin() zijn er drie periodes op een domein van π. Dus p is het aantal periodes op π. Hieronder zijn de grafieken afgebeeld van y sin(), y sin(+ ) en y sin(+ ). Als 0 dan y 0, y sin() en y sin() α 0 is hoek als 0. 5 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

145 Je kunt y sin(+ ) ook schrijven als y sin ( + ) Hieraan kun je zien dat y 0,5 radiaal naar links verschoven is t.o.v. y. α0 In het functievoorschrift y( ) Asin p( + ) is te zien hoeveel p periodes er zijn op het domein [0,π] en hoeveel de grafiek verschoven is t.o.v. y ( ) Asin( p). Je kunt de grafiek ook nog naar boven of beneden verschuiven door er een constante bij op te tellen of vanaf te trekken. In de onderstaande figuur zijn de grafieken afgebeeld van y sin( ), y sin( ) en y sin( ) + 5 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

146 . De grafiek is 0,5 radiaal naar rechts geschoven omdat het argument ( ) bedraagt. ( 0,5) In onderstaande figuur is de grafiek afgebeeld van : π y( ) sin ( + ) 8 De grafiek is π/8 of 0,9 rad naar links verschoven. Controleer deze grafiek met applet.. Opgave 6.5. Onderzoek goniometrische functies. Welke grafiek hoort bij welk functievoorschrift en waarom? f() sin() g() sin() h() sin() k() sin() + Controleer met applet.. 54 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

147 Opgave 6.6. De functie y Acos(p) + b Hieronder zijn de afgebeeld: f() cos() g() cos() h() cos() k() cos() + Welke grafiek hoort bij welk functievoorschrift en waarom? Controleer met applet.. Opgave 6.7. Verschuiven, versterken en kortere periode. y is de hoogte van het draaiend punt en bepaald de hoek α. Hieronder zijn de afgebeeld: f() sin() g() sin( + π/) h() sin( - π/) k() sin() Welke grafiek hoort bij welk functievoorschrift en waarom? Controleer met applet.. 55 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

148 Opgave 6.8 De functie y As in(k+ c) + b y is de hoogte van het draaiend punt en bepaald de hoek. Hieronder zijn de afgebeeld: f() sin() g() sin(+) h() sin( + 4) k() sin( + ) -. Welke functie hoort bij welke grafiek en waarom? Controleer met applet.. Opgave 6.9 Schetsen van de grafiek y Asin (k+ c) + b. y is de hoogte van het draaiend punt en is bepalend voor de middelpuntshoek α. Hieronder is de grafiek van f() sin() afgebeeld. Maak schets van de grafieken met het volgend functievoorschrift. Controleer met applet.. g() sin( - ) k() sin( + ) - l() cos() + m() sin( + π) - n() cos(0,5) + 56 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

149 6.. R Waarom is cos() sin( + π/) R Wat is het voordeel om het functievoorschrift sin( + π/) te schrijven als sin( + π/4)? R Geef het functievoorschrift van een sinus met een 4 zo korte periode in rad dan y sin() R4 Voor een harmonische beweging geldt : y sin(5 + ) Bij welke waarde van is één periode uitgevoerd? Men spreekt bij deze grafiek ook wel van een frequentie van 5. Wat zal daarmee bedoeld worden? R5 Teken de grafiek van y sin(5 + ) voor het domein [0,π]. Hoeveel is de grafiek van deze functie verschoven t.o.v. sin(5)? R6 De grafiek van sin() is langs de -as ingedrukt t.o.v. de grafiek van sin(). Waarom is dat? Wat betekent dit voor de grafiek van sin(0,5)? R7 De grafiek van sin( - ) is rad naar rechts verschoven t.o.v. de grafiek van sin(). Waarom? Wat is er gebeurt met de grafiek sin( - ) + t.o.v. de grafiek van sin()? R8 De grafiek van sin(-) is,4 radialen verschoven t.o.v. de grafiek van sin(). Waarom? R9 Hoeveel is de grafiek van cos() naar rechts verschoven t.o.v van de grafiek van sin()? Waarom? R0 Welke grafiek hoort bij sin(), sin(-) en sin(π/ )? R Wat is het verschil in de grafiek van sin(+) en sin() +? 6. WIMS-site : Oefeningen om de kengetallen van de goniometrische functies te herkennen. 6. Goniometrische functies met tijd als onafhankelijk variabele. Als de hoek α is evenredig met de tijd toeneemt dan kun je voor deze hoek het volgende lineaire verband gebruiken: α ( t) ω t+ α 0 α is de hoek in rad t is de tijd in seconden ω (omega) is de hoeksnelheid in rad/s α 0 is de hoek als t 0 (de beginhoek) De hoeksnelheid van het ronddraaiende punt ω π T T is de periode of trillingstijd, in deze periode wordt één omwenteling gemaakt. 57 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

150 Je kunt de functie y() Asin(α) ook schrijven als π y( t) Asin( ω t+ α0) Asin( t+ α0) T Hieronder is de grafiek afgebeeld voor T s en A Op de -as staat nu de tijd in seconden. Als T s dan is de frequentie f 0, 5 Hz T 6.7 In dit geval is y de hoogte van een punt wat met constante snelheid ronddraait. Er zijn in de natuurkunde verschillende grootheden die veranderen in de tijd volgens een sinusfunctie. Hierbij kun je denken aan de beweging van een massa aan een veer, de beweging van een massa aan een slinger, wisselspanning, de geluidsdrukverandering bij een zuivere toon en de verandering van de elektrische veldsterkte en magnetische veldsterkte bij elektromagnetische golven zoals licht en radiogolven. Bij al deze sinusvormige veranderingen kun je een cirkelbeweging bedenken. Hier is dan sprake van een denk-beeldige cirkelbeweging. Hieronder is een simulatie afgebeeld van een wisselstroomcircuit. 58 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

151 Er zijn ook mechanische overbrengingen waarbij een lineaire beweging wordt omgezet wordt in een cirkelbeweging, zoals bij een benzinemotor. 6.8 π Opgave 6.0 De functie y ( t) Asin( t+α0) T Hieronder zijn de grafieken afgebeeld van:. U(t) sin(t + ) en I(t),5sin(t + ) Controleer met applet.. a Bepaal de amplitude A van beide functies. b Bereken de periodetijd van U(t) en controleer deze met de grafiek. c Bepaal de verschuiving van de grafieken in seconden en in periodetijden. ( bijv. verschuiving 0,4T) d Bepaal α 0 voor U(t). 59 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

152 π Opgave 6. De functie u ( t) Asin( t+α0) bij een veer-massa systeem. T 6.8 Simulatie van PhET (University of Colorado) De massa aan een veer voert een harmonische trilling uit. u is de uitwijking t.o.v. de evenwichtsstand (stippellijn). Voor de periodetijd geldt: T u( t) 0 sin(,44t+ π / ) π m is de massa in kg en C de veerconstante in N/m. Als m 0,50 kg dan T,00 s. A 0 cm a Bereken de veerconstante C. b Bepaal het functievoorschrift voor deze beweging als α 0 0 c Bepaal het functievoorschrift voor u(t) als m 0,00 kg (α 0 0) d Bepaal het functievoorschrift voor u(t) als m 0,00 kg en α 0,4 rad. e Voor de beweging van een massa aan de veer geldt: Bereken T, m en α 0. m C Opgave 6. De energieomzetting bij een veer-massa systeem. In de figuur hierna is de grootte van de verschillende soorten energie te zien op een bepaald moment. De lengte van de groene balk is een maat voor de kinetische energie(e k ), de licht blauwe balk geeft de veerenergie(e v ) aan en de donker blauwe balk de potentiële energie(e p ). De potentiële energie is gelijk aan mgh, waarin h de hoogte is t.o.v. een bepaald punt. 60 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

153 De rechter balk geeft de totale energie(e tot ) aan, deze is gelijk aan de som van de drie genoemde energieën. Bij het naar beneden vallen wordt de potentiële energie omgezet in kinetische energie en veerenergie. De kinetische energie is maimaal in de evenwichtsstand en de veerenergie is maimaal in de onderste stand. 6.9 Voor de veerenergie geldt: veer) π u ( t) Asin( t+α 0) en s(t) A u (t) (Als s A dan u 0) T A in m,c in N/m en E v in joule (J) Neem voor A en C de waardes uit de vorige opgave. De massa wordt losgelaten op een hoogte waarbij de veer niet uitgerekt is. E v ( t) Cs (s is de uitrekking van de. a Welke waarde heeft α 0? b Stel de functie s(t) op. c Teken met behulp van applet. de grafiek van u(t) en s(t). Kloppen deze met de simulatie? d Bereken de maimale waarde van E v. e Voor welke waarde van α is E v 0 J f Stel de functie h(t) en E p (t) op. 6 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

154 π Opgave 6. De functie u ( t) Asin( t+α0) bij een slinger. T Voor een slinger met een kleine uitwijking geldt de formule: π u ( t) Asin( t+α 0) 6.9 T u is de afstand van de massa tot de evenwichtsstand (stippellijn). α 0 is de hoek in het begin. Als de massa in de evenwichtsstand naar rechts gaat is α 0 0 rad. Voor de periodetijd geldt: T π g 9,8 m/s (versnelling zwaartekracht) l,00 m (lengte slinger) A 0,0 cm a Bereken de periodetijd T. b Bepaal het functievoorschrift voor u(t) als α 0 0 c Bepaal het functievoorschrift voor u(t) als l,00 m (α 0 0) d Bepaal het functievoorschrift voor u(t) als l,00 m en α 0,4 rad. e Voor de beweging van een massa aan een veer geldt: l g. u( t) 9sin(t+ π / ) Bereken T, l en α 0. f Teken de grafieken van b en c met applet.. Opgave 6.4 De energieomzetting bij een slinger. In onderstaande figuur is de grootte van de verschillende soorten energie te zien op een bepaald moment. De lengte van de groene balk is een maat voor de kinetische energie(e k ) en de lengte van de blauwe balk is een maat voor de potentiële energie(e p ). De potentiële energie is gelijk aan mgh, waarin h de hoogte is t.o.v. het laagste punt. De rechter balk geeft de totale energie(e tot ) aan, deze is gelijk aan de som van E k en E p. In de evenwichtsstand is E k maimaal en E p 0. Als de uitwijking maimaal is, is dat andersom. π Voor de snelheid geldt v ( t) vma cos( t+ α0) T πa vma E k 0,5mv T A 0 cm, T,85 s en m kg 6 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

155 6.0 a Bereken de maimale waarde van E k. b Bereken het hoogteverschil van de massa. c Bepaal het functievoorschrift voor E k (t) als α 0 0 rad d Voor de beweging van een massa aan een slinger geldt: u( t) sin(,4t+ π / ) u in cm Bereken T, l, α 0 en de maimale hoek van de slinger in rad. Opgave Lopende golf In onderstaande figuur is een afbeelding te zien van een simulatie gemaakt door PhET (University of Colorado). Het beginpunt van een koord voert een harmonische trilling uit. Doordat alle punten van het koord elastisch aan elkaar vast zitten voeren alle punten een harmonische trilling uit. Als er geen wrijving is hebben alle punten dezelfde amplitude. Punten die op ieder tijdstip dezelfde waarde voor u hebben zijn in fase. Ze hebben een hoekverschil van k π radialen. Punten die op ieder tijdstip een even grote maar tegengestelde uitwijking hebben zijn in tegenfase. Ze hebben een hoekverschil van k π. De afstand van twee punten die in fase zijn noemt men de golflengte λ. De golflengte is ook de afstand die de golf aflegt in T s. λ v T Voor punt A geldt : u( t) 4sin(00π t) 6 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

156 . 6. a Bepaal de golflengte. b Bereken de snelheid van de golf. c Bepaal het functievoorschrift u(t) voor punt E. d Bepaal het functievoorschrift u(t) voor punt C. e Bepaal het functievoorschrift u(t) voor punt B. f Teken met behulp van applet. de grafiek van u(t) van de punten B, C, E R Bij een harmonische trilling kun je altijd een cirkelbeweging denken. Wat is het voordeel om een cirkel als hulpfiguur te nemen? R Leg uit waarom ω π rad/s T R4 π In plaats van α kun je ook de formule ( t+α 0) gebruiken. T Waarom? π In plaats van ( t+α 0) kun je ook (πft + α 0 ) of (ωt + α 0 ) T gebruiken. Waarom? Wat is de praktische betekenis van t 0? R5 Voor de uitwijking van een verende massa t.o.v. de π evenwichtsstand geldt: u ( t) Asin( t+α 0). T 64 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

157 6. π Voor de snelheid geldt: v ( t) vma cos( t+ α0). T Geef een verklaring voor het verschil in de u-t en v-t-grafiek? R6 Geef een verklaring voor de vorm van de grafiek van f() sin () of f() (sin()). R7 Voor punt P geldt: y(t) 4sin(,5t + ) Voor punt Q geldt: y(t) 4sin(,5t + ) Beide punten liggen op een koord waar een sinusvormige golf doorheen gaat. Beschrijf het verschil in beweging van P en Q. R8 Als je de cirkelbeweging zou tekenen bij een slinger is het wellicht inzichtelijker om deze 90 0 te verdraaien. Waarom? R9 Als een punt dat een harmonische trilling uitvoert via een elastische tussenstof of via een elektrische- of magnetische kracht verbonden is met andere punten, dan gaan deze punten ook een harmonische trilling uitvoeren. Hoe verder verwijderd van de bron hoe later deze punten beginnen. Hoe is dit te zien in het functievoorschrift? Bekijk hiervoor ook applet 6.. Opgave 6.6 Eperiment om de viscositeit van een vloeistof te bepalen. Een slinger gaat heen en weer door een vloeistof die elektrische stroom geleid. De spanning U tussen de punten P en B wordt gemeten. De slinger is van metaal en geleidt dus goed. Het eperiment wordt gedaan om de wrijving te bepalen die de vloeistof veroorzaakt. De amplitude van de trilling zal afnemen. Als de slinger helemaal links is deze spanning 7V en helemaal rechts is dit V. In het midden is de spanning 5V. De spanning verloopt volgens een uitgedempte sinus. Er wordt een meting gedaan met twee verschillende vloeistoffen. U ( t) e U ( t) e 0,5t 0,t sin(4t) sin(4t) en 65 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

158 . Opgave 6.7 a Bereken de periodetijd en de frequentie. b Bereken de lengte van de slinger. c Welke functie hoort bij welke grafiek? Controleer met behulp van applet.. Spanning van de wandcontactdoos. Een stopcontact heeft twee aansluitpunten. Op het ene punt staat 0V en op het andere een wisselspanning van 0 V gemiddeld. De periodetijd is 0 ms. De spanning varieert volgens een sinus tussen de -5 en 5 V. De richting van de stroom is meestal niet belangrijk, de gemiddelde ofwel effectieve waarde wel, want hierdoor wordt het geleverde vermogen bepaald.. a Stel het functievoorschrift op voor dit signaal. b Wat is dit voorschrift als het stuk van de grafiek waar U < 0 omgeklapt wordt naar boven. Controleer met behulp van applet.. 66 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

159 Opgave 6.8 Faseverschil tussen spanning over weerstand en spoel wisselstroom. Een spoel en een weerstand zijn in serie geschakeld. De spanning over de weerstand is in fase verschoven t.o.v de spanning over de spoel. Als de verandering van de spanning over de weerstand (U R ) maimaal is, is de spanning over de spoel (U L ) 0 V minimaal en andersom. 6.6 a Stel het functievoorschrift op voor U R en U L op. Kies t 0 bij 8 s. b Schets in één cirkel het verloop van U R en U L op. 6.4 Gelijkheden en ongelijkheden met goniometrische functies. Voorbeeld : sin( + ), Als sin( ) sin( α) α + k π of π α + k π 67 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

160 68 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken π π π π π π π π π π π k k k k Z k k k k k k of,86 0,84 0,568 0,7) (,0,45,45,9 0,7 0,7) sin( ) sin( sin(0,7) ) sin( 0,65 sin(0,7) 0,708 arcsin( 0,65) 0,65 ) sin(, ) sin( ) mod( 5,5,;,0,05,05 ) mod( 6,,9; 0,05; 0,05 0,05 0,05,05,05 0,5 ) arccos( 0,5 ) cos( π π π π π π π π π π α α k k k k k k k Oplossing:, ) sin( + voor,0 < <,86 (+ k π) Voorbeeld : 5 0, ) cos( > + Zie figuur hierna.

161 De oplossing voor cos( + ) > 0, 5 is:,< <, 9 + k π Voorbeeld : tan( ) < tan( ) arctan( α) α 0,785 0,785+ k π π 0,89+ k 0,89+ k π 0,89; 4,0 mod( π) π + 0,785+ k π 4,9+ k π,46; 5,6 mod( π),785+ k π,46+ k π Je kunt de juistheid ook controleren door in te vullen. tan( 0,89 ) tan(0,78) Opgave 6.9 Enkele goniometrische vergelijkingen. Voor welke is het volgende waar? a sin(4) b 4cos(-) < c sin( π ) 0, 75 4 d 0,5 tan(0,5 π ) > 69 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

162 6.4 R Bij de vergelijking 0,4 +,5+ k π moet je hoek uitrekenen. 0,4+,5+ k π 0,4 0,5+ k π 0,5 + k π,5+ k π 0,4 Dit blijkt niet te kloppen! Wat is er fout gegaan? R4 sin( + ) > A Wat is de maimale waarde van A? tan( ) < B Wat is de maimale waarde van B? 6. WIMS-site : kies Goniometrische vergelijkingen. 70 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

163 S6 Samenvatting goniometrische functies. Op de site is een mindmap beschikbaar met het complete overzicht van alle functies. 6. verschillende hoekmaten 6. goniometrische verhoudingsgetallen 6.. sinus 7 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

164 6.. cosinus 6.. tangens 7 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

165 6. Welke hoek hoort bij een bepaalde waarde van sinus, cosinus of tangens? 6.. sinus 6.. cosinus 6.. tangens 7 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

166 6.4 functievoorschrift sinus 6.4. algemeen 6.4. als functie van de tijd 74 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

167 7 Differentiëren 7. Wat is de betekenis van differentiëren? Bij het differentiëren van een functie of grafiek wordt een functie of grafiek afgeleid waarmee je kunt bepalen hoe sterk f() verandert bij een bepaalde waarde van. Met de afgeleide functie kun je de helling of r.c. bepalen bij een bepaalde waarde van. Voorbeeld uit bewegingsleer: Een kogel wordt weggeschoten en volgt de rode kogelbaan. Hiervoor geldt y + of f( ) + f() is de afstand in verticale richting en is de afstand in horizontale richting. Door te differentiëren krijg je de afgeleide functie f ( ) + Hiermee kun je voor iedere afstand de helling van de kogelbaan uitrekenen. De blauwe grafiek hoort bij de afgeleide functie ofwel de hellingsfunctie. Bij het wegschieten ( 0) is de r.c. volgens de blauwe grafiek. De raaklijn aan de rode grafiek in 0 (groene lijn) heeft een r.c. van. Dit klopt dus met de blauwe grafiek! Bij de top van de kogelbaan (,5) is de r.c. volgens de blauwe grafiek 0. De raaklijn aan de rode grafiek in,5 (paarse lijn) heeft een r.c. 0. Dit klopt dus met de blauwe grafiek! Bij het neerkomen ( ) is de r.c. volgens de blauwe grafiek -. De raaklijn aan de rode grafiek in (bruine lijn) heeft een r.c. van -. Ook dit klopt met de blauwe grafiek! Als de -as en de y-as een verschillende schaalverdeling hebben kun je beter spreken van de helling (slope)! Het verloop van de kogelbaan is als volgt te beschrijven: Van 0 tot,5 is sprake van afnemende stijging. Van,5 tot is sprake van toenemende daling. 75 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

168 Voorbeeld uit warmteleer: In de bovenstaande grafiek is de temperatuut T van een afkoelend voorwerp uitgezet tegen de afkoeltijd t.de grafiek is afnemend dalend. De blauwe curve is de afgeleide. De afname is vanaf 0 min bijna genaderd tot 0 0 C/min. Voorbeeld uit chemie: 76 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

169 In de bovenste grafiek is de ph van een vloeistof uitgezet tegen het aantal ml NaOH dat toegevoerd is In de onderste grafiek is de afgeleide uitgezet. Bij 0 ml is er een piek in de verandering van de ph. Omdat de helling zeer sterk veranderd is gekozen voor een logaritmische verticale as. Voorbeeld met snelheid van optrekkende motor: 7. In de onderstaande grafieken is de afgelegde weg s (in m) vertikaal uitgezet tegen de tijd t. De helling van de lijn door twee punten is hier de gemiddelde snelheid tussen twee tijdstippen. De helling van de raaklijn is de snelheid op een bepaald tijdstip. Van links naar rechts wordt de gemiddelde snelheid uitgerekend rondom t,0 s. De helling (;4) 8,8 m/s. (gem. snelheid tussen en 4 seconden). De helling (,5;,5) 8,4 m/s. De helling van de raaklijn in t s is 8 m/s De helling van de raaklijn is eigenlijk de gemiddelde snelheid over een zeer korte, tot 0 s naderende, periode. In de onderstaande grafiek is voor achtereenvolgens t s, t s en t 4 s de helling (de snelheid) bepaald. 77 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

170 s Voor de gemiddelde snelheid geldt: v gem t ds Voor de snelheid op een bepaald tijdstip geldt : v(t) dt s noemt men het differentiequotiënt voor het interval Δt en is de t gemiddelde steilheid. ds noemt men het differentiaalquotiënt voor het tijdstip t en is de dt helling op een bepaald tijdstip. (ds is Δs als deze naar 0 nadert ;dt is Δt als deze naar 0 nadert ) 7. v ds dt lim s ( ) t 0 t Het differentiaalquotiënt heeft een negatieve waarde als de raaklijn schuin naar beneden loopt, dus als de y-waarde afneemt bij toenemende -waarde. De raaklijn heeft in het punt een helling van -. d y d f() Ofwel: ofwel ofwel f '() - d d f '() wordt ook wel de afgeleide of hellingfunctie genoemd. 78 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

171 Opgave 7. Beschrijven van processen aan de hand van een grafiek. In onderstaande grafieken is de snelheid uitgezet tegen de tijd. a Beschrijf voor alle grafieken het verloop van de snelheid. b Geef aan waar de helling groter, kleiner of gelijk is aan 0. Opgave Benoemen van veranderingen. Met behulp van de simulatie moving man (PhET /University Colorado) kun je een persoon laten lopen en vervolgens zien welke plaats- en snelheidsgrafiek daarbij horen. De bovenste grafiek hoort bij de plaats van de persoon. Links van het midden is negatief! De onderste grafiek hoort bij de snelheid ofwel de afgeleide. a Vanaf welk tijdstip gaat de bovenste grafiek over van toenemend stijgend naar afnemend stijgend? b Bij 7.0 s is de afgeleide 0. Wat betekent dit voor de bovenste grafiek? c Na 7.0 s is de afgeleide kleiner dan 0. Klopt dit met de bovenste grafiek? 79 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

172 d Bij,6 s in onderstaande grafiek is de waarde van de afgeleide 5 m/s. Controleer dit met de plaatsgrafiek? e Beschrijf de beweging van de persoon aan de hand van de snelheidsgrafiek. f Als de plaatsgrafiek in onderstaande figuur een maimum of minimum heeft is de afgeleide 0. Waarom is dat? g Bij t,0 s is de afgeleide maimaal. Wat betekent dit voor de plaatsgrafiek? 80 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

173 Opgave Afgeleide verklaren. Met behulp van de applet calculus grapher (PhET/University Colorado) kun je een grafiek f() maken en meteen de afgeleide f '() bekijken. Verklaar de vorm van de afgeleide in onderstaande grafieken. a b c 8 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

174 Opgave Afgeleide bepalen Met behulp van de applet derivate (Shodor) kun je een grafiek f() tekenen en in ieder punt de helling bepalen. In onderstaande figuur is de grafiek getekend van f() 0,5 en de raaklijn in het punt. De helling f ( ) a Bepaal met behulp van applet 7. de helling voor verschillende waardes van voor bovenstaande grafiek van 0,5. Welke functievoorschrift hoort bij f '()? b Voer opgave a ook uit voor f() -. c Voer opgave a ook uit voor f() - + Conclusie? d Voer opgave a ook uit voor f(). Conclusie? e Welk functievoorschrift zal er volgens jou bij de afgeleide van f() 0,5 + + horen? Opgave De afgeleide bij een titratiecurve In applet 7.5 wordt van een titratiecurve de afgeleide functie f '() bepaald. a Bepaal f '(-). b Bepaal de waarde van als f '(). c Bepaal lim f ( ) en de lim f ( ). 0 0 d lim f ( ) 0 Waarom? 8 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

175 Opgave De functie f() en de afgeleide functie f (). Met applet 7.6 wordt van een functie f() de afgeleide functie f '() bepaald en wordt de grafiek van beide functies getekend. In onderstaande figuur is de grafiek van f() aan de linkerkant en de grafiek van f '() aan de rechterkant afgebeeld. a f '(-) 0 en f '() 0 Leg uit waarom dat klopt met de linkergrafiek. b Voor het interval - < < is f '() < 0. Wat betekent dit voor de helling van de grafiek van de functie f()? c Als de afgeleide een minimum of een maimum heeft de grafiek van de originele functie een buigpunt. Leg uit waarom dat zo is. d Onderzoek met applet 7.6 de grafiek van de functie f() en de grafiek van de afgeleide functie f '(). e Waarom bestaat de grafiek van f '() van een lineair verband uit een horizontale rechte lijn? f Wat zal de afgeleide zijn van de functie f() 0,75 +? 7. R Geef in een schets aan wat het verschil is tussen een differentieen een differentiaalquotiënt. R Hoe wordt de richting van een grafiek in een bepaald punt aangegeven. R Bekijk applet 7.7 en leg uit waarom de hoogte van de driehoek tevens de waarde is van de afgeleide. Wat is er aan de hand op de plaatsen waar de afgeleide 0? R4 Welke waarde heeft de afgeleide als de functie een etreme waarde heeft (maimum of minimum)? 8 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

176 7.6 R5 Als de afgeleide functie geen nulpunten heeft is er blijkbaar ook geen etreme waarde van het origineel! Als de afgeleide functie een raakpunt heeft met de -as is er sprake van een buigpunt. Probeer dit eens uit met applet 7.6. R6 Bij welk soort grafiek zal de helling nooit gelijk zijn aan 0? Geef een functievoorschrift van zo n soort grafiek Wat is de theorie van het differentiëren? In een grafiek kun je voor een bepaalde punt de helling bepalen van de raaklijn. Met applet 7. kun je de lengte van het stukje h steeds kleiner maken. f ( + h) f( ) De helling van de snijlijn h Als je h zeer klein maakt (stapjes zijn instelbaar) dan gaat de snijlijn over in de raaklijn in het punt met 0,. A raaklijn We zullen deze wiskundige bewerking uitvoeren met de functie f() f ( + h) f( ) helling lijn A h helling lijn A ( + h) h + h+ h h Als h 0 dan krijg je helling van de raaklijn h+ h h + h 84 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

177 df Wiskundige notatie : f ( ) lim(+ h) d h 0 Dus voor f() geldt dat f '() f '(0,) 0,4 (zie figuur) Zo geldt voor f() n dat f '() n n- Voor iedere soort functie is er een speciale afgeleide functie. Enkele voorbeelden: Voorbeeld f( ) 0,5 f ( ) vergelijking raaklijn: g( ) a+ b g( ) + b 0,5 + b b 0,5 ln(0) f ( ) log( ) f ( ) Voorbeeld Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van 0,5 voor f() 0,5 lijn door (;0,5) f () r. c. lijn vergelijking raaklijn: g( ) 0,5 85 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

178 g ( ) 0,5 is de vergelijking van de raaklijn door ( ; 0,5) Opgave Differentiëren van standaardfuncties Bepaal de afgeleide van de functies en controleer met applet 7.6 a f ( ) b g ( ) log( ) c h ( ) sin( ) 4 d k( ) e Bereken de r.c. van de raaklijn aan f() voor f Bepaal het functievoorschrift van deze raaklijn. 7. Differentiëren van samengestelde functies Een functie is meestal samengesteld uit standaardfuncties. Voorbeelden: f ( ) 6 + is een som van standaardfuncties van type n f ( ) 4sin( ) is een product van 4 en sin() f( ) weer een functie van. Voor het differentiëren van samengestelde functies gelden de volgende regels: 4 e is een product van 4 en e en de eponent is zelf 86 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

179 87 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken 0 ) ( ) ( ) ( )) ( (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f f h g h h g f f Enkele voorbeelden: Voorbeeld f f 9 ) ( 6 ) ( + Voorbeeld quotiëntregel Voorbeeld kettingregel ) 6 cos(8 (8) ) cos( ) ( ) ( ) ( ) ( 8 ) ( ) sin( ) ( ) sin(8 ) ( u f u u f f u en u f f Voorbeeld 4 productregel + kettingregel ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 (4 ) ( 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f e f g h h g f e f Voorbeeld 5 type n c 0,5 ) ( 0,5 ) ( ) ( f f f

180 Opgave Differentiëren van samengestelde functies. Bepaal de afgeleide van de een aantal samengestelde functies en controleer de juistheid met behulp van applet 7.6 a f() sin( ) b c + sin( ) + d e sin( ) f () Welke regels gelden er bij optellen, vermenigvuldigen en delen? Opgave Differentiëren van samengestelde functies. Bepaal de afgeleide van de volgende samengestelde functies en controleer de juistheid met applet 7.8. Opgave Differentiëren van samengestelde functies. Meer complee functies laten we uiteraard differentiëren door een computerprogramma. In dit geval applet 7.8. Teken vervolgens f() en f () met applet. om te onderzoeken of de afgeleide 0 is bij een etreme waarde. a f() sin( ) Bepaal f '() b f() (sin()) Bepaal f '() c f() e Bepaal f '() 00 d f ( ) vgl. Michaelis Menten + 0,5 88 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

181 7. WIMS-site : grote verzameling toetsen Opgave 7. De normaalverdeling. De lengte van de populatie van de mannen in Nederland voldoet aan een normaalverdeling. De gemiddelde lengte is 80 cm en de standaarddeviatie is 5 cm. Als je het aantal uitzet tegen de lengte krijg je een histogram met een klokvorm. Voor deze grafiek geldt het functievoorschrift f(z). 80 0,5z f( z) 0,06 e met z 5 De waarde van z geeft het verschil aan met het gemiddelde uitgedrukt in standaarddeviaties. Als z dan 80 cm + of 5 cm. a Bepaal de afgeleide met computeralgebra. b Teken de grafiek van f() en f () met applet. en verklaar het verband tussen beide grafieken Optimaliseren met eerste afgeleide? Als in de grafiek een etreme waarde (maimum of top/ minimum of dal) optreedt heeft de raaklijn op die plaats een horizontale richting. De helling heeft de waarde nul. Als de afgeleide van + naar gaat is er sprake van een (lokaal) maimum en andersom er is sprake van een (lokaal) minimum. De coördinaten van de etreme plaatsen in de grafiek kun je berekenen door de nulpunten te bepalen van de eerste afgeleide f (). In onderstaande figuur zijn de grafieken te zien van f ( ) en f ( ) Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

182 f() is de hoogte van een kogel die vanaf meter hoogte naar boven wordt geschoten met een snelheid van 0 m/s op het tijdstip. f () is de snelheid van de kogel. f ( ) f() Het maimum van f () 7 bij. f () 0 als Natuurkundig: De kogel bereikt een maimale hoogte van 7 m na s. De snelheid is 0 na s, dan is de hoogte maimaal. 7.6 Met applet 7.6 kun je verschillende functies onderzoeken op etreme waardes. Als f () een derde graads functie is zal f () een tweede graads functie zijn en zullen er etreme waardes zijn als de discriminant van f() groter is dan 0. Je kunt dit uitproberen met applet 7.6. Opgave Differentiëren van samengestelde functies. Bepaal de waarde(s) van waarvoor f een lokaal maimum en/of minimum heeft. Probeer zelf de afgeleide te bepalen en gebruik applet 7.6 ter controle. a f ( ) b f ( ) + 4+ c f ( ) sin( + 0.5) d f ( ) + e f( ) + f f( ) (0.5) sin( ) 90 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

183 Opgave 7. Wanneer is het volume maimaal? Van een stuk papier van 0 0 cm wordt een bakje gemaakt. De hoeken worden ingeknipt over een lengte en omgevouwen. De hoogte van het bakje wordt daardoor cm. Bereken de waarde van waarbij het volume van het bakje maimaal is. Opgave 7.4 De wet van Snellius wiskundig bewijzen door optimalisering. Een lichtstraal gaat van A naar B, waarbij de snelheid in het gebied van A groter is dan in het gebied van B. De lichtstraal gaat volgens de weg van de minste weerstand en dus met kortste tijd. In de natuurkunde wordt dit het beginsel van Fermat genoemd. Als de lichtstraal van lucht naar glas gaat deze in lucht een langere afstand afleggen en niet volgens een rechte lijn van A naar B gaan. De afstand heeft een maimum. De lichtstraal heeft een knik. sinθ Bij meting blijkt dat n, (wet van Snellius),waarbij n de sinθ verhouding is tussen de snelheid in medium en medium. v n,. (n noemt men de brekingsinde) v v lucht km/s en v glas km/s,dus n lucht glas, Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

184 7.0 Voor de tijd waarin de lichtstraal van A naar B gaat geldt : AP PB t + v v t( ) h + h + ( d ) v + v Laat zien dat als t ( ) 0 hieruit de wet van Snellius volgt. Opgave 7.5 Wanneer komt massa het verst?. De plek waar een voorwerp op de grond komt hangt natuurlijk af van de hoek waaronder het voorwerp weggeschoten wordt. Bij een bepaalde hoek is het bereik maimaal. Als een kogel wordt weggeschoten onder een hoek α met een snelheid v 0 dan : v horizontaal v 0 cos(α) en v verticaal v 0 sin(α) Voor de hoogte op het tijdstip t geldt : y v sin( α ) 9, 8t Voor de afstand in horizontale richting : t v cos(α) Als voorwerp op grond komt : y 0 en dus t v sin(α) 9,8 v sin( α) v sin( α) cos( α) en ( α) v cos( α) 9,8 9,8 Bepaal door middel van de functie van (α) voor welke waarde van α de waarde van maimaal is. 9 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

185 7.5 Wat is de betekenis van de tweede afgeleide? dy df ( ) De eerste afgeleide f () of of d d geeft de richting aan van 7. de raaklijn aan de grafiek van f () op de plaats. Als f () 0 is er sprake van een etreme waarde. De grafiek heeft dan een minimum of een maimum. Als je f () nogmaals differentieert krijg je de een functie die informatie geeft over de verandering van de helling van de originele grafiek. d y d f( ) De tweede afgeleide f () of of geeft de richting aan d d van de raaklijn aan de grafiek van f () op de plaats. Als f () 0 is er geen verandering van de helling van de raaklijn. De hellingsverandering gaat van meer negatief naar meer positief. Er is sprake van een buigpunt. f( ) f ( ) f ( ) 6 f ( ) f () 0 levert twee snijpunten op met de -as en dus twee etreme waardes: voor en voor afgerond:,86 en 0, 86 0 f ( ) 6 f ( ) 0 levert één snijpunt op met de -as en dus een buigpunt voor 0. 9 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

186 Opgave Bepaal eerste en tweede afgeleide. Bepaal de eerste en tweede afgeleide en controleer op etreme waardes en buigpunten. Gebruik applet 7. ter controle. a f ( ) 4 b f ( ) + 4+ c f ( ) sin( ) d f ( ) e f ( ) e 94 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

187 S7 Samenvatting differentiëren. Op de site is een mindmap beschikbaar met het complete overzicht van alle functies. 7. Wat is differentiëren? 7. De afgeleide is de helling van de grafiek. 95 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken

188 7. Standaardfuncties met afgeleiden. 7.4 Rekenregels voor differentiëren. 96 Wiskunde HBO 0 Vervoort Boeken