Machten, exponenten en logaritmen

Transcriptie

1 Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde vermenigvuldiging. In de macht 4 is 4 de eponent van deze macht bij het grondtal. In deze paragraaf herhalen we de definities voor het geval de eponent van een macht niet een positief natuurlijk getal is. Vervolgens kunnen we dan op twee manieren functies definiëren: is de eponent vast, dan krijgen we de zogeheten machtsfuncties: a ; is het grondtal vast, dan krijgen we de zogeheten eponentiële functies: a. Door van deze laatste functies de inverse te nemen, krijgen we de logaritmische functies: a log. Machten en machtsfuncties Machtsverheffen We beginnen onze beschouwingen met te herhalen wat we bedoelen met machtsverheffen als herhaald vermenigvuldigen. Voor elke R en elk positief natuurlijk getal n geldt: n =... (n factoren) Stap : eponent 0 Vervolgens leggen we vast wat we onder een macht met eponent 0 verstaan. Voor R geldt: 0 =. Merk op dat door deze definitie 0 0 gelijk is aan. U moet daar niet teveel achter zoeken. Stap : negatieve gehele eponenten Hierna volgt de definitie van een macht met een negatieve gehele eponent. Voor R, 0 en k is een negatief geheel getal geldt: k = / k. De reden voor de beperking 0 is dat er niet door 0 gedeeld mag worden. Stap : rationale eponenten Nu herhalen we de definitie van een macht met een gebroken eponent. Eerst nemen we eponenten van de vorm /n, n =,,... Voor > 0 en n is een positief natuurlijk getal geldt: / n =. Wellicht ten overvloede roepen we in herinnering dat de n-de wortel uit ( > 0) gedefinieerd is als de inverse bewerking van verheffen tot de n- 5 de macht. Zo geldt =, want 5 =. En de definitie van een macht met een willekeurige gebroken eponent is als volgt. n

2 Machten, eponenten en logaritmen m / n n. Voor > 0 en m/n Q met n > 0 geldt: m n m = =( ) Merk op dat in deze definitie het geval m < 0 is meegenomen. Zo geldt bijvoorbeeld: / 5 5 / 5= 5 = / = / 5 = / Beperken tot positieve grondtallen De reden dat we ons bij machten waarvan de eponent geen geheel getal is, tot positieve grondtallen beperken, is de volgende. Stel, we zouden op de volgende wijze ( ) / berekenen: ( ) / = ( ) /6 = (( ) ) /6 = 4 /6 = ( ) /6 = /6 = / Nu geldt echter ook dat ( ) / = /, want =. Om dit soort ongerijmdheden te vermijden, sluiten we negatieve grondtallen bij nietgehele eponenten uit. Het grondtal 0 sluiten we uit om te voorkomen dat er bij een negatieve eponent door 0 gedeeld wordt. Stap 4: reële eponenten Rekenregels voor machten Regel Regel Regel Regel 4 Op machten met irrationale (dus reële, maar niet-rationale) eponenten gaan we op deze plaats niet al te diep in. We volstaan met op te merken dat elk irrationaal getal p willekeurig dicht door rationale getallen q te benaderen is. De macht p benaderen we nu met de macht q, en de definitie hiervan is in stap gegeven. De volgende vier regels gelden voor > 0, > 0 en a, b R. () a = a a a b = a+b ( a ) b = ab a / b = a b De vierde regel volgt overigens uit de tweede regel via de eigenschap dat delen door een getal 0 hetzelfde is als vermenigvuldigen met /. OPGAVE Schrijf als wortel en vereenvoudig zo mogelijk: 4 / ; /7 ; 6 /4. OPGAVE Schrijf als macht van. a 4 b ( ) 4 ( 4 4 ) De nu volgende regels voor het rekenen met wortels zijn een speciaal geval van de regels voor machten: ( a ) = a voor alle a 0 a = a voor alle a 0 a = a voor alle a 0

3 Machten, eponenten en logaritmen ab = a b voor alle a 0 en alle b 0 a b a = voor alle a 0 en alle b > 0 b Machtsfunctie Eponentiële functie We gebruiken nu de gegeven definities om twee tpen functies te definiëren: de machtsfuncties en de eponentiële functies. In de macht kan variabel en vast genomen worden, we krijgen dan de zogeheten machtsfuncties, dat zijn dus functies van het tpe a. Nemen we vast (positief) en variabel, dan krijgen we de zogeheten eponentiële functies, dat zijn functies van het tpe a. Op deze eponentiële functies komen we in paragraaf terug. VOORBEELDEN Voorbeelden van machtsfuncties zijn: 0,,,, /, / en 7/5 (want,4). In figuur staat van een aantal van de genoemde functies de grafiek. / / FIGUUR De grafieken van de functies,, /, / «Domein van een machtsfunctie In het algemeen geldt voor het domein van een machtsfunctie het volgende: is de eponent een natuurlijk getal, dan is het domein R is de eponent een negatief geheel getal, dan is het domein R {0} is de eponent een niet-geheel positief reëel getal, dan is het domein { R 0} is de eponent een niet-geheel negatief reëel getal, dan is het domein { R > 0}. OPGAVE Schets de grafieken van 0,, en. Welke van deze functies zijn inverteerbaar? OPGAVE 4 Gegeven voor elke gehele n < 0 de functie n. a Geef het domein en bereik van deze functie. Maak onderscheid tussen even en oneven waarden van n. b Welke asmptoten heeft de grafiek? c Geef aan op welk interval de functie monotoon is.

4 Machten, eponenten en logaritmen Machtsfuncties met een positieve eponent zijn monotoon stijgend op het interval [0, en dus op dit domein inverteerbaar. Is de eponent negatief, dan zijn zij monotoon dalend op het interval 0, en dus op dit domein inverteerbaar. Is de eponent 0, dan is er sprake van de constante functie, en die is niet inverteerbaar. We kunnen van regel gebruikmaken om van een inverteerbare machtsfunctie de inverse te bepalen. Er geldt het volgende. Inverse van een inverteerbare machtsfunctie De functie a met a > 0 is inverteerbaar op [0,. De inverse is /a. De functie a met a < 0 is inverteerbaar op 0,. De inverse is /a. Het bewijs komt neer op het toepassen van regel : ( a ) /a =, voor alle in het domein van /a. Merk op dat voor het geval a een positief natuurlijk getal is, hier niets anders staat dan dat verheffen tot de a-de macht en trekken van de a-de wortel inverse bewerkingen zijn. In figuur staan de grafieken van twee machtsfuncties en hun inversen. f() = g() = / g () = f () = / FIGUUR De grafieken van, / en hun inversen OPGAVE 5 Waarom is niet inverteerbaar op R {0}? Wat is de inverse van op 0,? Teken de grafiek van de functie. OPGAVE 6 Gegeven de functie f : /. a Geef het functievoorschrift van f. b Los op: f() = f (). We bekijken de functie g: /. c Teken de grafiek van g. d Is g inverteerbaar? Zo ja, geef dan het functievoorschrift van g. Eponentiële functies Hiervoor hebben we al de definitie van een eponentiële functie gegeven. Voorbeelden van eponentiële functies zijn:,, (/). 4

5 Machten, eponenten en logaritmen In figuur staan van de laatste twee functies de grafieken. ( ) FIGUUR De grafieken van de functies en (/) «Het algemene voorschrift van een eponentiële functie is van de vorm a met a > 0, a Grondtal De constante a is een parameter en heet het grondtal. Domein van een eponentiële functie Bijzonderheden De drie voorbeeldfuncties hebben als domein R en dat geldt ook in het algemeen: alle eponentiële functies hebben als domein R. Omdat de eponenten de gehele R doorlopen, nemen we als grondtal uitsluitend positieve reële getallen. Voor a > is de eponentiële functie monotoon stijgend op R; voor 0<a < monotoon dalend op R. De grafiek heeft een horizontale asmptoot voor = 0. Het snijpunt met de -as ligt bij. OPGAVE 7 Schets de grafieken van de eponentiële functies,, (/). Welke van deze functies zijn inverteerbaar? OPGAVE 8 De grafieken van de functies f() = en g() = ( ) hebben precies een snijpunt. Bereken de coördinaten van dit snijpunt. OPGAVE 9 De grafiek van de functie f() = is te verkrijgen uit de grafiek van g() = door alle -waarden met te vermenigvuldigen. De grafiek van f kan ook verkregen worden uit die van g door een verschuiving. Welke verschuiving is dit? Logaritmen en logaritmische functies VOORBEELD Voordat we de definitie van de logaritme van een positief getal bij een gegeven grondtal herhalen, beginnen we met een voorbeeld. Voor de functie f: t t geldt dat 4096 een functiewaarde is. De vraag is nu: van welk origineel? Omdat 4096 een macht van is, = 4096, is het gevraagde origineel. 5

6 Machten, eponenten en logaritmen We zeggen: is de logaritme van 4096 voor het grondtal en noteren dit als log4096 =. In woorden kunnen we dit ook nog als volgt zeggen: de logaritme van 4096 voor het grondtal is de eponent van de macht van die 4096 is. Stel nu dat we het origineel van 0000 willen bepalen. Noemen we dat origineel t, dan moeten we dus t R zo bepalen dat t = Omdat < 0000, 4 > 0000 en t t een monotoon stijgende functie is, volgt dat t een waarde tussen en 4 heeft. Analoog definiëren we nu de logaritme van 0000 voor het grondtal als het getal t waarvoor geldt dat t = We noteren dit als t = log0000. Het reële getal log0000 ligt dus tussen en 4. We definiëren log0000 dus als de oplossing van de vergelijking t = Dat er precies één oplossing is, volgt uit het feit dat de functie f : t t monotoon stijgend op R is, dus inverteerbaar, en dat 0000 in het bereik [0, van f ligt. In figuur 4 is dit in beeld gebracht. q p p logq FIGUUR 4 De logaritme als oplossing van een eponentiële vergelijking «Definitie van logaritme De definitie van de logaritme van voor het grondtal a luidt nu algemeen: het is de eponent van die macht met grondtal a die precies oplevert. Anders gezegd: als = a t, dan t = a log. Bij deze definitie is de beperking tot positieve grondtallen niet genoeg, we moeten ook het grondtal uitsluiten, immers de functie is niet inverteerbaar. Bovendien bestaan alleen van positieve reële getallen de logaritmen, want machten met een positief grondtal zijn positief. Rekenregels van de logaritme Regel Regel Regel Regel 4 Uit de hier gegeven definitie volgen een aantal rekenregels (de beperking dat de grondtallen groter dan 0 en ongelijk aan zijn, schrijven we er niet steeds bij, evenmin als de voorwaarde dat alleen de logaritmen van positieve getallen bestaan). a log = 0, want a 0 =. a loga =, want a = a. a alog =, want vul in de hiervoor gegeven definitie van een logaritme in = a t voor t de uitdrukking a log in. a logpq = a logp + a logq Het bewijs van deze regel is wat bewerkelijker. We stellen a logp = en a logq =, dus a = p en a = q. Dan volgt: pq = a a = a +. Volgens de definitie van de logaritme volgt uit pq = a + dat + = a logpq, dus a logp + a logq = a logpq. 6

7 Machten, eponenten en logaritmen Regel 5 Regel 6 a log(p/q) = a logp a logq a logp q = q a logp Het bewijs van regels 5 en 6 moet u in opgave zelf leveren. Regel 7 Verandering van grondtal a logp = g g logp loga Voor het bewijs herschrijven we deze regel tot: a logp g loga = g logp Op het linkerlid hiervan passen we nu regel 6 toe: a logp g loga = g log(a alogp ) Volgens regel is de laatste uitdrukking inderdaad gelijk aan g logp. OPGAVE 0 Bereken de volgende logaritmen: log6; 7 log; 4 log(/); / log(/9). OPGAVE Moderne luchtschepen verliezen % van hun gasinhoud per dag via hun wand. Als zo n luchtschip helemaal gevuld is, bevat het 8000 liter gas. We nemen aan dat op t = 0 het luchtschip gevuld is en dat het gasverlies een continu proces is. Met I(t) geven we de hoeveelheid gas op tijdstip t aan, met t in uren. Bij benadering geldt het volgende wiskundige model: I(t) = ,999 t voor t 0. Zo n luchtschip kan niet meer vliegen als er minder dan 80 % is van de hoeveelheid gas op tijdstip t = 0. Bereken het tijdstip waarop dat het geval is. OPGAVE Bewijs de regels 5 en 6. OPGAVE Los op: log( ) = /4. OPGAVE 4 Laat zien dat voor elke p, elke a > 0, a, elke b > 0 geldt: ap logb p = a logb. Voor elk grondtal a > 0, a, is de eponentiële functie a met R inverteerbaar, immers voor 0 < a < is de bijbehorende eponentiële functie monotoon dalend, voor a > is de bijbehorende eponentiële functie monotoon stijgend. Uit regel volgt dat de functie a log ( > 0) de inverse is van de functie a met R, er geldt immers dat a alog =, voor alle > 0. In figuur 5 staan de grafieken van twee eponentiële functies, een met grondtal a > en een met grondtal 0<a <, en de bijbehorende logaritmische functies die hun inverse zijn. Voor a > is de logaritmische functie monotoon stijgend op 0, en voor 0 < a < is de logaritmische functie monotoon dalend op 0,. De grafiek heeft een verticale asmptoot voor = 0. Het snijpunt met de -as ligt bij. 7

8 Machten, eponenten en logaritmen a > 0 < a < a a a log a log FIGUUR 5 De grafieken van twee eponentiële functies en hun inversen OPGAVE 5 a Geef de inverse van de functie ( ) met R. b Geef ook het domein van de inverse. c De gegeven functie is te herschrijven tot p. Bepaal p. d Elke eponentiële functie a is te herschrijven tot p. Druk p in a uit. 8

9 Machten, eponenten en logaritmen T E R U G K O P P E L I N G Uitwerking van de opgaven 4 / = 4 = 6 = 7 /7 = = 7 = 7 6 /4 = (6 /4 ) = = 8 4 = = = 6 ( ) 4 4 = = = = ( / 44) ( / 8) ( 6) Zie figuur 6. Alleen de functie is niet inverteerbaar. FIGUUR 6 Functies 0,, en 4 a D = R {0}, B(n is even) = 0,, B(n is oneven) = R {0}. b Asmptoten = 0, = 0. c Voor n is even: op, 0 stijgend, op 0, dalend. Voor n is oneven: op, 0 dalend, op 0, dalend. 5 Er geldt = / = /9 en ( ) = /( ) = /9, dus twee verschillende originelen met hetzelfde beeld. De inverse functie op 0, is /. FIGUUR 7 De functie 9

10 Machten, eponenten en logaritmen 6 a f : / b De volgende vergelijking moet opgelost worden: / = /. We verheffen links en rechts tot de zesde macht: ( / ) 6 = ( / ) 6. Dus 9 = 4. Op 0 herleiden: 9 4 = 0. We brengen 4 buiten haakjes: 4 ( 5 ) = 0. Dus = 0 of =. c Zie figuur 8. FIGUUR 8 De functie g: / d Op 0, is g inverteerbaar, met inverse. 7 Alleen de eerste functie is niet inverteerbaar. (/) FIGUUR 9 Functies, en (/) 8 = ( ) + = / + = / = Het snijpunt heeft dus coördinaten (, f( )) (of als tweede g( (, / ) = (, / ). )), dus 9 f() = +, dus f() = g( + ). De grafiek van f is dus te verkrijgen uit die van g door deze over een afstand naar links te verschuiven. 0 log6 = 4 want 4 = 6 7 log = / want 7 / = 4 log(/) = / want 4 / = / / log(/9) = want (/) = / ,999 t = 0, geeft 0,999 t = 0,8. Omdat de factor 8000 uitdeelt, hangt t niet af van de hoeveelheid gas op t = 0. Uitrekenen geeft t = 0,999 log0,8 = log0,8/log0,999 78,8 uur. 0

11 Machten, eponenten en logaritmen Uit p = p q q volgt met regel 4: p logp = log + logq q a a a En hieruit volgt regel 5. Voor regel 6 gaan we uit van de definitie. We beginnen met het rechterdeel van regel 6. We kunnen deze logaritme alleen uitrekenen als we weten hoe we p als macht van a moeten schrijven. Stel p = a, dus a logp =. Nu kunnen we ook het linkerlid uitrekenen. Er geldt p q = (a ) q = a q, dus a logp q = a loga q = q ofwel a logp q = q a logp. log( ) = /4, dus = /4 4 = 4 = ± + ±,48 ofwel 4 = +, dus 4 a logb = b = a b p = (a ) p = (a p ) = ap logb p 5 a log b 0, c Er geldt: = /, dus ( ) = ( / ) = /. Dus p = /. d Als voor alle R moet gelden a = p, dan moet gelden a = p, dus p = loga.