exponentiële en logaritmische functies

Transcriptie

1 CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde exponentiële en logaritmische functies Exponentiële en logaritmische functies

2 Machten van getallen 000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van % per jaar over jaar zal men beschikken over ( % van 000 ) = (0.0) 000 = 000 () (0.0) = 000 ( ) = 000 (.0 ) = 00 euro Merk op: + % wordt wiskundig maal.0 Machten van getallen 000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van % per jaar over jaar zal men beschikken over 000 (.0 ) = 00 euro over jaar zal men beschikken over 00 + ( % van 00 ) = 00 (.0 ) = 000 (.0 ) (.0 ) = 000 (.0 ) = euro Merk op: + % wordt wiskundig maal.0 Exponentiële en logaritmische functies

3 Machten van getallen 000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van % per jaar over jaar zal men beschikken over 000 (.0 ) = 00 euro over jaar zal men beschikken over 000 (.0 ) = over jaar zal men beschikken over ( % van ) = (.0) = 000 (.0) (.0 ) = 000 (.0) = 09.7 euro Merk op: + % wordt wiskundig maal.0 Machten van getallen 000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van % per jaar over jaar zal men beschikken over 000 (.0 ) over jaar zal men beschikken over 000 (.0 ) over jaar zal men beschikken over 000 (.0 ) euro euro euro over 0 jaar zal men beschikken over 000 (.0 ) (.0 ) (.0 )... (.0 ) 0 keer = 000 (.0 ) 0 = 4.9 euro Merk op: + % wordt wiskundig maal.0 Exponentiële en logaritmische functies

4 Machten van getallen Definitie Als a een positief reëel getal en n en m natuurlijke getallen zijn, dan a n = a a a... a en a 0 = n keer a n = a n a n n = a en m n n m a n = a m = a Terminologie a r leest men als de r-de macht van a a heet het grondtal r heet de exponent Exponentiële en logaritmische functies 4

5 Oefening Schrijf zonder exponenten Exponentiële en logaritmische functies 5

6 Rekenregels voor machten Voor alle grondtallen a > 0 en b > 0 en voor alle exponenten r en s geldt: a r a s = a r + s a r a s = a r s a r s = a r s r a b = a r b r en a b r = a r b r MAAR... (a + b ) r a r + b r!!!!! en (a b ) r a r b r!!!!! Oefening 5 Schrijf de volgende uitdrukkingen als één enkele macht van x x 0.5 x x x x x 4 x Oefening 6 Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen x y 4 x y 4 x y x y z y x z z x y x y Exponentiële en logaritmische functies 6

7 Logaritmen Een persoon zet bij de roulette euro in op zijn geluksnummer. Zolang dit nummer niet uitkomt verdubbelt hij de inzet. Op een bepaald ogenblik zien wij hem 04 euro inzetten. Hoeveel keer is zijn geluksnummer dan reeds niet uitgekomen? Antwoord de eerste inzet is euro keer niet uitgekomen de inzet wordt () = euro keer niet uitgekomen de inzet wordt () = euro keer niet uitgekomen de inzet wordt ( ) = euro. m keer niet uitgekomen de inzet wordt m euro Logaritmen Een persoon zet bij de roulette euro in op zijn geluksnummer. Zolang dit nummer niet uitkomt verdubbelt hij de inzet. Op een bepaald ogenblik zien wij hem 04 euro inzetten. Hoeveel keer is zijn geluksnummer dan reeds niet uitgekomen? Antwoord er wordt dus gevraagd: bepaal m zodat m = 04 welnu, 04 = 0 m = 0 Besluit : nummer is reeds 0 keer niet uitgekomen! nieuwe bewerking: de exponent plukken bij grondtal Exponentiële en logaritmische functies 7

8 Definitie Logaritmen Als g en x positieve getallen zijn en g, dan de logaritme van het getal x bij grondtal g = de macht waartoe men g moet verheffen om x te vinden Formeel : g log x = m g m = x lees : de logaritme van x bij grondtal g is m of kortweg : de g logaritme van x is m : log 04 = 0 want 0 = 04 Definitie Logaritmen Als g en x positieve getallen zijn en g, dan de logaritme van het getal x bij grondtal g = de macht waartoe men g moet verheffen om x te vinden Formeel : g log x = m g m = x gevraagd: g log x =?? praktisch : schrijf x = g?? zeg x = g m dan g log x = m Te onthouden!!!!! Exponentiële en logaritmische functies 8

9 Oefening Bereken ( indien mogelijk ) uit het hoofd log 8 log log 8 5 log log ( ) log 0 log log 9 log 4 log 5 log 0 Exponentiële en logaritmische functies 9

10 Bijzondere grondtallen grondtal g = 0 dan spreekt men van de decimale Notatie : 0 log = log of de Briggse logaritme : log 0000 = 0 log 0000 = 4 want 0000 = 0 4 grondtal g = e = het getal van Euler dan spreekt men van de natuurlijke of de Neperiaanse log. Notatie : e log = ln : ln e e = log = want = e e e Oefening Bereken met behulp van een rekenmachine log 000 ln ln e log ln 0.5 log e Oefening 4 Bereken uit het hoofd log 0.00 log 0 ln e log ln ln e Exponentiële en logaritmische functies 0

11 Rekenregels voor logaritmen Voor elk grondtal g > 0 en g en voor alle positieve getallen x en y en voor elke exponent r geldt : g log (x y ) = g log x + g log y g log x y = g log x g log y g log (x r ) = r ( g log x ) MAAR... er is geen formule voor g log ( x + y ) of voor g log ( x y )!!!!! Exponentiële en logaritmische functies

12 Exponentiële vergelijkingen Een kapitaal van euro staat uit aan een samengestelde interest van 0% per jaar. Hoe lang duurt het vooraleer het kapitaal verdubbeld is? Antwoord over jaar zal men beschikken over ( 0 % van 0000 ) = (0.0) 0000 = 0000 () (0.0) = 0000 ( ) = 0000 (.0 ) = 000 euro Herinner u: + 0% wordt wiskundig maal.0 Een kapitaal van euro staat uit aan een samengestelde interest van 0% per jaar. Hoe lang duurt het vooraleer het kapitaal verdubbeld is? Antwoord. Exponentiële vergelijkingen over jaar zal men beschikken over 0000 (.0 ) euro over jaar zal men beschikken over 0000 (.0 ) over jaar zal men beschikken over 0000 (.0 ) over m jaar zal men beschikken over 0000 (.0 ) m gevraagd : bepaal m zodat 0000 (.0 ) m = 0000 euro euro euro Exponentiële en logaritmische functies

13 Eigenschap Voor elk grondtal g IR 0 en g + geldt dat g log x = ln x ln g Bewijs noem d.w.z. g log x = m x = g m en dus ln x = ln(g m ) of nog ln x = m (ln g) zodat of m.a.w. ln x ln g = m g log x = ln x ln g Exponentiële en logaritmische functies

14 Oefening 7 Los de volgende vergelijkingen op. Welke vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? 0 (.0) t = 0 (0.97) x 8 (.0) x = 0 0 g 7 = 50 5 (.005) t 6 = (.07) t + 5 e t = 47 Exponentiële en logaritmische functies 4

15 Oefening 8 (a) Hoe lang moet een bedrag van euro belegd worden aan 5 % per jaar opdat het zou aangroeien tot euro? (b) Welk bedrag moet men beleggen aan 5 % per jaar opdat het na 0 jaar aangegroeid zou zijn tot euro? (c) Aan welke rentevoet moet men een bedrag van euro beleggen opdat het na 0 jaar aangegroeid zou zijn tot euro? (d) Welke van de bovenstaande vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? Oefening 9 Radium is een radioactieve stof. Dit betekent dat deze stof spontaan verandert in een andere stof en dat daarbij radioactieve straling vrijkomt. De hoeveelheid radium vermindert dus en deze afname kan goed gemodelleerd worden door de vergelijking waarbij A 0 de hoeveelheid radium voorstelt bij het begin, t de tijd die sindsdien verlopen is en A de hoeveelheid radium op dat tijdstip. (a) Na hoeveel tijd is er nog 0 % over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium? (b) Na hoeveel tijd is er nog de helft over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium? A = A 0 t 60 Exponentiële en logaritmische functies 5