Antwoorden Verbanden hfd 1 t/m 7 vwo4a

Transcriptie

1 Antwoorden Verbanden hfd t/m 7 vwoa Hoofdstuk : Vouwen en rekenen met machten van Opgave a) Verdubbel telkens de vorige waarde. Bijv. na keer vouwen is het aantal lagen papier een verdubbeling van de lagen die je na keer vouwen had: = 8 lagen dus. 8, 6,, 6, 8, 6,, b) In a) heb je berekend hoeveel lagen papier je hebt na 7 keer vouwen (8 lagen). Dit boekje Verbanden bestaat (als het goed is) uit 7 velletjes. Meet de dikte van je boekje (ongeveer mm) en deel dit door 7: je hebt nu als heel ruwe schatting dat een velletje papier 0,8 mm dik is. (Beter is het om een veel dikker pak papier te meten!) Na 7 keer dubbelvouwen is je velletje volgens deze schatting 8 0,8 mm dik. Opgave a) Manier : tik in ^ (dus: ) Manier : tik in, druk op <EXE> en tik in * ; druk dan keer op <EXE> x Je kunt ook in het TABLE-menu of het GRAPH-menu met de functie y = aan de slag... b) Er staat,9787e+ op je scherm. Dit betekent dat je,9787 met moet vermenigvuldigen of anders gezegd: verschuif de komma keer naar rechts (en voeg extra nullen toe indien nodig). heeft dus het getal als uitkomst. c) 8.0 km is maar liefst mm ofwel 8, x mm ofwel 8, biljard mm. In de schatting van opdracht is een velletje papier 0,8 mm dik. Je hebt nu een vergelijking om op te lossen: 0,8 x = 8, met x het aantal keren dat je dubbelvouwt. Je GR kan dat voor je uitrekenen, maar dan wel met jouw hulp. Ga eerst eens gokken in het RUN-menu. Door vraag b) weet je dat x groter moet zijn dan. Probeer bijv. eens 0. Dat blijkt te weinig te zijn. Misschien 60? Het blijkt dat x = 60 nog te klein is, en x = 6 te groot. Het antwoord is dus: 6 keer. Dus: na slechts 6 keer dubbelvouwen ben je al voorbij de maan!!! Opgave a) n is voor elke n even en moet dus eindigen met 0,,, 6 of 8. Maar 0 kan niet als laatste cijfer optreden, want dan is het getal ook deelbaar door, maar n heeft alleen factoren. b) Na keer vouwen heb je velletjes, daarna, daarna 8 en daarna 6. De keer daarna heb je en dat getal eindigt opnieuw met een (net als het getal zelf). Om het laatste cijfer te weten van de volgende macht van hoef je alleen het

2 laatste cijfer te verdubbelen. Als je eenmaal in herhaling bent gevallen, wordt de reeks cijfers steeds herhaald. 6 c is volgens de tabel, 68 is. Vouwcontext: na 6 keer vouwen ontvouw je het papier keer en netto is je papier dan 0 keer dubbelgevouwen. Het bestaat dan uit 0 lagen en dat is volgens de tabel gelijk aan lagen. Opgave a) is, volgens de tabel, en 6 is 8. Vouwcontext: na keer vouwen ga je nog eens 8 keer vouwen en in totaal vouw je dan keer. Na keer vouwen is je papier lagen dik en volgens de tabel is dat gelijk aan lagen. b) Vouwcontext: je vouwt het papier keer en daarna nog eens keer dus in totaal is je papier 8 keer dubbelgevouwen. Het bestaat dan uit 8 lagen en volgens de tabel is dat gelijk aan lagen. Vouwcontext: je vouwt het papier 6 keer en daarna ontvouw je het keer. Dus netto is je papier 0 keer dubbelgevouwen. Het bestaat dan uit 0 lagen en volgens de tabel is dat gelijk aan lagen. Opgave a) ( ) = 8 6 : = 0 b) 8 = = = = = = 7 78 = 0 k m k + m c) = k m Opgave 6 = k m Opgave 7 a) Boven deze opgave is net uitgelegd dat: 8 = Dat betekent dat = = 7 Op dezelfde manier geldt ook: 9 = 7. Dus = 7 + = + = + + = + + = = = b) 6 = (zoals telkens in de vorige vraag). En dus geldt dat 6 60 = 60 = 0 (zoals uit de vorige vraag volgt). En dus geldt dat 0 = 0 Nu zelf verder redeneren.

3 6 60 = = 0 is (veel) kleiner dan = = is kleiner dan 60 en dat is kleiner dan 6 = 6 6 Opgave 8 a) Je vouwt het papier maal keer dubbel. b) Zie a). In totaal heb je dan 0 keer het papier dubbelgevouwen. c) Je vouwt het papier maal 7 keer dubbel: in totaal dus keer. ( 7 ) = d) Je vouwt het papier maal keer dubbel: in totaal dus 60 keer. ( ) = 60 Opgave 9 a) In de eerste kolom staan, ( ), ( ) en ( ). In de vierde kolom staan, ( ), ( ) en ( ). b) kilobyte 8 megabyte gigabyte 8 gigabyte

4 Hoofdstuk : Lineaire verbanden Opgave Zie schema na deze opgave. Opgave a) x 0 y 0 9,90 9,80 9,70 9,60 9,0 y = 0 0,x b) Als, zoals in de tabel, x met steeds hetzelfde getal oploopt, loopt y ook steeds met hetzelfde getal op, namelijk met -0,. De grafiek is een rechte lijn. De formule heeft de gedaante y = x +, met op de stippels vaste getallen. Opgave a) x 0 6 y Als x met toeneemt, wordt y kleiner. Formule: y = 8 x b) x 0 6 y 70 8, 9 7, 0, c) Als x met toeneemt, wordt y groter. Dus: als x met toeneemt, wordt y, groter. Formule: y = 70 +,x. x 0 6 y Als x met toeneemt, wordt y 0 groter. Dus: als x met toeneemt, wordt y groter. Formule: y = - + x. d) Bijvoorbeeld x 0, y 7, Als x met toeneemt, wordt y kleiner. Dus: als x met toeneemt, wordt y kleiner. Formule: y = x.

5 e) Bijvoorbeeld x -6,, 6 6, 7 y Als x met toeneemt, wordt y 78 groter. Dus: als x met toeneemt, wordt y 78 groter. Formule: y =? + x. Het getal? vind je door bijvoorbeeld x = te nemen en y = Je krijgt: y = + 7 x. Opgave De lijn gaat door punt (0, 9). Het startgetal is daarom 9. Als x met toeneemt, daalt y met ; het hellinggetal is daarom. De formule van deze rechte lijn is daarom: y = 9 x. Opgave a) Tussen 987 en 0 zit jaar. In 0 is de hoeveelheid daarom gegroeid tot + 7 = 9. b) Om dit te berekenen, kun je handig de formule gebruiken. Startgetal is en hellinggetal is 7; dus de bijbehorende formule luidt: y = + 7x. Laat nu je GR de volgende vergelijking uitrekenen (b.v. met het EQUA-menu) of bereken het zelf met bijv. de balansmethode: 600 = + 7x 69 = 7x 7 8 = x Dit betekent dat ruim 8 jaar na 987, dus in het jaar 068, de hoeveelheid de grens 600 passeert. Opgave 6 Op dit moment (op de CASIO grafische rekenmachine): in het TABLE-menu kun je o van een formule een tabel laten maken o van een tabel een grafiek laten maken (met G-CON / SHIFT F) in het GRAPH-menu kun je van een formule een grafiek laten maken Later, als je wat meer met statistiek hebt gedaan, leer je dat je GR ook van tabel naar formule kan gaan wanneer je de coördinaten van een aantal punten in het LIST-menu invoert, deze als lineaire grafiek laat tekenen en vervolgens start- en hellinggetal laat bepalen.

6 Hoofdstuk : Exponentiële functies Opgave 7 a x = het aantal keer dubbelvouwen, y = het aantal lagen groeifactor, beginwaarde b x = het aantal uren na tijdstip 0, y = het aantal bacteriën groeifactor, beginwaarde 0 c x = het aantal jaren na de storting van het bedrag, y = het bedrag (in euro s) groeifactor,0, beginwaarde 000 d x = het nummer van het A-formaat, y = de oppervlakte van het A-formaat (in m ) groeifactor /, beginwaarde e x = het aantal periodes van 8 jaar sinds 80, y = de hoeveelheid gedrukt materiaal groeifactor, beginwaarde de hoeveelheid gedrukt materiaal in het jaar 80 f x = het aantal meter onder het wateroppervlak, y = de hoeveelheid licht (in %) groeifactor /, beginwaarde 0 Opgave 9 a) y = x b) Als x met toeneemt, wordt y twee keer zo groot. Als je naar rechts gaat, komt de stip keer zo hoog boven de x-as. De variabele x staat in de exponent. Opgave x y ,8 6, 9, 9,, 0,,9 y = 0 0,8 x Opgave a) x y 7, 6 7, , 0 6 y =,8 x 6

7 b) c) d) x 0 6 y 7,0,9 8, 6 6, 9, 76 y = 7,0,8 x x 0 6 y ,6 7,0 y = 0 (/) x x y y = 00 0,99 x Opgave groeifactor groeipercentage,0 %,0 0% 0,8 -% 0,0-80%,0 0%,00 00%,76 76% 0,0-99% De groeifactor MIN, MAAL 0 geeft het groeipercentage. In formule: 0(g ) = p, waarbij g de groeifactor is en p het groeipercentage. Opgave ( ) 0% Opgave a) 6 uur b) 7 uur c) uur Opgave 6 a) uur b) uur c) uur d) Op moment x+ is de hoeveelheid 0 x+. Op moment x is de hoeveelheid 0 x 0 x+ is inderdaad het dubbele van 0 x. Immers, x+ = x. Opgave 7 a) 0,07 00 b) Dat komt omdat,07 c) Je kunt elk tijdstip als tijdstip 0 kiezen. Dan wordt de bijbehorende hoeveelheid de beginhoeveelheid (en die doet er niet toe). 7

8 Opgave 8 a) Op tijdstip 0 is de hoeveelheid, op tijdstip, of, is de hoeveelheid. De verdubbelingstijd is dus, à,. b) De vraag is wat de exponent is in:,0? =. Proberen geeft:,0 70 =,0067 en,0 69 =,9868 De verdubbelingstijd is dus ongeveer 70 jaar. Opgave 9 a) De vraag is:? 8 =. Proberen geeft,0 8 =,08 en,09 8 =,99 Het jaarlijkse groeipercentage ligt dus tussen,9% en %. b) De vraag is:? 0 = 0,. Proberen geeft 0,966 0 = 0,006 en 0,96 0 = 0,909 De hoeveelheid neemt dus jaarlijks af met, a,%. Opgave 0 a) y = 60, x b), = 6,97, dus is het groeipercentage per tien jaar,9%. c), / =,00, dus is het groeipercentage per maand is,%. Opgave Zoek twee mooie punten op de grafiek; bijvoorbeeld: (,) en (,7). De groeifactor is 7 / =,. Dus de formule is y = a, x. Door bijvoorbeeld x= en y= in te vullen, vind je dat a=, De formule is dus y =,., x. Zoek twee mooie punten op de grafiek; bijvoorbeeld: (,7) en (,). De groeifactor is / 8 = 0,. Dus de formule is y = a 0, x. Door bijvoorbeeld x= en y=7 in te vullen, vind je dat a= De formule is dus y = 0, x. Opgave a) 70 jaar is 7,0 eeuwen. 0,988 7,0 = 0,0069 0, b) jaar is 600 eeuwen. 0, = 0,0007 0,00. Na 600 eeuwen is er dus minder dan 0,% van de C- over; ruim 99,9% is verdwenen. Opgave Noem de onbekende leeftijd in eeuwen x. Dan 0,988 x = 0,6. Probeer waarden voor x. 0,988 = 0,60 en 0,988 = 0,9 Het beeldje is dus ongeveer 00 jaar oud. Je kunt x ook vinden met Solver of via Graph op de GR. Opgave a) groeipercentage verdubbelingstijd groeipercentage verdubbelingstijd , 0 70,8 70,

9 b) 70 Opgave a) Stel ik breng 00 naar de concurrent. Na jaar is dat aangegroeid tot 7,0. Als ik het opneem moet ik,7 boete betalen. Dus krijg ik dan maar 7,. Netto heb ik dan 7, rente ontvangen, dat is maar,7% van 00. b) Stel ik breng 00 naar de concurrent. Na jaar is dat aangegroeid tot 76,. Als ik het opneem moet ik,76 boete betalen. Dus krijg ik dan maar 6,6. Netto heb ik dan 6, rente ontvangen. Bij,7% rente per jaar zou ik na jaar,07 00 =,76 euro hebben en dat is inderdaad minder. c) 00 is na jaar geworden:,07 00 = 8,6. Min % boete is dat 7,06. In jaar tijd dus 7,06 rente. g = 0,7 geeft g =,09, dus is het effectieve rentepercentage per jaar,9%. d) Na jaar is het spaarbedrag bij de concurrent groter dan bij mijn huidige bank. Na jaar is dat nog niet het geval. Opgave 6 % groei per jaar betekent in jaar het verkeersaanbod,0 =,9 keer zo groot zal zijn. Dat betekent dus een groei van slechts,9%, veel minder dan de genoemde 0%. Opgave 7 a) Noem de groeifactor per uur: g. Dan is g = /. Dus g = / 0,8. De afname per uur is dus 0% 8% = 6%. b) Nodig is mg = 00 mg. a g = 00 geeft a = 00 / 0,9 0,9. Er moet dus minstens 06 mg ingespoten worden. Opgave 8 a) groeifactor per jaar groeipercentage per jaar groeifactor per maand groeipercentage per maand verdubbelingstijd halveringstijd groeifactor per tien jaar groeipercentage per tien jaar b) Noem de groeifactor per maand, per jaar en per tien jaar achtereenvolgens g m, g j en g t. Noem een groeipercentage p en de verdubbelingstijd en halveringstijd d en h. Pijl : g m = g j en g m = Pijl : g j = g t en g j = g j g t 9

10 Pijl : g m 0 = g t en g m = 0 Pijlen : p = (g ) 0 en g = 0,0p + Pijlen : g d = en g h = ½ g t

11 Hoofdstuk : Herhaling en oefening met exponentiële functies Opgave 9 Formule y = 0 0,8 x, met x in weken x 6 y 7, 67,8 De hoeveelheid neemt per week af met 9%. De halveringstijd is, weken Formule y = 00 0,9 x, met x in weken Bij x = hoort y = 90 Bij x = hoort y = 80, De halveringstijd is, weken Afnamepercentage per weken is 9% Groeifactor per weken is, Groeifactor per week is,8 Groeipercentage per week is 8% Groeipercentage per weken is 9,% Groeipercentage per week is % Groeipercentage per jaar is 6% Formule y = 0,0 x, met x in weken Groeipercentage per maand is % Bij x = 6 hoort y = 77, Groeipercentage per week is % Bij x = 9 hoort y =,8 Bij x = hoort y = 9, Formule y = 80,0 x, met x in weken Bij x = hoort y = 90 De verdubbelingstijd is 7,7 weken Groeipercentage per maand is 7% Groeipercentage per week is 6% Groeipercentage per maand is 6% Verachtvoudiging in,7 weken De verdubbelingstijd is,9 weken Opgave 0 Deel alle twee opeenvolgende y-waarden op elkaar en dan zie je dat er telkens precies uitkomt: dit is meteen ook de groeifactor (bedenk zelf waarom). Vb: = en = etc. Opgave Algemeen recept:. laat x lopen van 0 t/m 7 of van - t/m of kies stappen van voor x (kies b.v. het rijtje -, 0,,,, 0,, 0) of. kies een groeifactor: dat is een getal dat groter is dan 0, maar niet gelijk aan.. kies een beginwaarde: dat kan een willekeurig positief getal zijn.. bereken met de beginwaarde en de groeifactor de y-waarden voor de door jou gekozen x-waarden Opgave a) x is de beginwaarde (bij x=0) en g is de groeifactor. Elke keer als x met toeneemt, wordt y met g vermenigvuldigd. Als x bijvoorbeeld is, dat is meer dan 0, is de bijbehorende y-waarde: a g g g g g (de beginwaarde is vijf keer met g vermenigvuldigd). En a g g g g g kun je afkorten tot a g.

12 b) y = x Opgave a) x 0 7 y ,7 0 7, b) Groeifactor g: Uit de tabel volgt: g = 8,7 / 67 =,. Dus g =, =,. De beginwaarde is 67 / g = 00 De formule wordt dus: y = 00, x. Opgave groeifactor = 7000 / 000,0 beginwaarde = 000 /,0 0 6 y = 6,0 x groeifactor = 6 60 / 0 0,98 beginwaarde = 0 / 0,98 6 y = 6 0,98 x groeifactor = / 00,09 beginwaarde = 00 /,09 0 0,7 y = 0,,09 x Opgave a) Tijd Aantal 0 8 9, 6, 9,9 8,8 b) De groeifactor per jaar is,8 ((percentage + 0) : 0) c) De groeifactor per jaar is, 8,067 d) Met (ongeveer),67% ((groeifactor 0) 0) Opgave 6 Hier heb je de formule voor nodig; dus die bepalen we als eerste. Uit de eerste zin volgt: g =, Hieruit volgt: g =,, 0 Uit de tweede zin volgt: beginwaarde = t De formule: aantal inwoners = 7000,0, met t het aantal jaar vanaf 990 Gevraagd: vanaf welke t is het aantal inwoners 0000 (of groter). t Los daarom in je GR de volgende vergelijking op: 7000,0 = 0000 Antwoord: t 7, 6. Dus in het jaar 07 (= ). Opgave 7 a) 87 : 0,6 Vermenigvuldig je 87 met,6, dan krijg je (ongeveer) 9; vermenigvuldig je 9 met,6, dan krijg je (ongeveer) 6. Dus kan er sprake zijn van exponentiële groei met groeifactor,6.

13 b) De gevonden groeifactor is die per weken: g =, 6. Dus g =, 6,6 en het groeipercentage is dus ongeveer 6%. Opgave 8 a) g 8 = 0, ( halveringstijd ) g = 8 0, 0,97 b) Anders gezegd: wat is het afnamepercentage? Dat is 0 (0,97 0) ofwel,%. Opgave 9 a) Het verschil tussen 8 en, is,6. Zo ook het verschil tussen, en 6,8, en tussen 6,8 en,. Met iedere stappen daalt y met dezelfde hoeveelheid,6. b) hellingsgetal = -,6 / = -, startgetal = 8 (zie tabel) Dus formule: y = 8,t Opgave 0 Eerste situatie: Stijging van 7%, dus groeifactor =,07 Daling van %, dus groeifactor = 0,9 0,07 0,9 8,9 Tweede situatie: Stijging van %, dus groeifactor =,0 0,0 80,7 Antwoord: nee Opgave a) 8 /,, dus groeifactor is, Beginwaarde = t Formule: y =, b) 76 / 800 = 0,9, dus groeifactor is 0, 9 0,98 Beginwaarde: 800 / 0, t Formule: y = 90 0, 98 Opgave Met deze gegevens krijg je de volgende tabel: In weken (van 8 naar ) komt er 0 (van 60 tot 80) bij; dus per week 0 / =. Na weken (dat is weken na de de week) is de hoeveelheid 80 + = 8. NB. de formule is y = - + w, waarbij w het aantal weken is.

14 Hoofdstuk : en,wa t is dat? Opgave = is oplossing van x =. = is oplossing van x =. = is oplossing van x =. Opgave Zie de antwoorden van opgaven Opgave c) = = 6 9 = 6 = 8 = = 7 = 7 = 7 7 = = 9 = = = 9 = (9 ) = ( 9) = = 7 Opgave = = = ( ) = = 6 = ( ) = = = ( ) = () = ( ) = (( ) ) = ( ) = 6 = 6 Opgave 7 is de groeifactor in twee-derde-uur. Drie keer twee-derde-uur achter elkaar maakt volle uren en daarover is de groeifactor. Dus =. is de groeifactor in een-uur-plus-een-derde-uur. Drie keer een-uur-plus-eenderde-uur achter elkaar maakt volle uren en daarover is de groeifactor 6. Dus = 6. is de groeifactor in een-uur-plus-twee-derde-uur. Drie keer een-uur-plus-tweederde-uur achter elkaar maakt volle uren en daarover is de groeifactor. Dus =. is de groeifactor per twee-uur-terug-in-de-tijd. In twee-uur-vooruit-in de tijd is de groeifactor. Dus =. is de groeifactor per een-uur-terug-in-de-tijd. In een-uur-vooruit-in de tijd is de groeifactor. Dus =. Opgave 8

15 a) Groeifactor per 8 jaar is (verdubbeling). Groeifactor per jaar is dus: 8 ofwel,0. Het groeipercentage per jaar is daarom %. b) t = aantal jaar p = aantal keren 8 jaar q = aantal jaar j = jaartal Opgave 9 a) Bij een volgend blok is de komma één plaats naar rechts verschoven. Bijvoorbeeld bij p=-,, p=-0,, p=0,6 en p=,6. Dan is p steeds groter, dus p is steeds keer zo groot, dus wordt de komma steeds één plaats naar rechts verschoven,. b) Bij p =,7: schuif de komma bij p=,7 één plaats naar rechts: 0, Bij p =,8: schuif de komma bij p=,8 één plaats naar rechts: 6,0 c) Ja, die zijn: 00, 9, 8, 99,, 6, 98, 0, 6, 79. Opgave 60 a) 7,,, 6, b) 7, 79 = 7,78, 00 0,0000 = 6776,6 c) e d),09968e-8 e),6 9,77,6,68 Opgave 6 9, stap 796 Zet in de vorm b a Zet a met de tabel om in... =,, 0,6 796 = 7,96 7,96 0,9 Dus als macht van : 0,6, 6 = 0,9 796 =,9 Vermenigvuldig de machten van met elkaar Splits deze macht van als volgt,6,9 796 = 6, 6 = 0, 6,

16 Zoek in de tabel de waarde =, van 0, Antwoord 6 796,67 (of: 67000) Opgave =,,,6 8,9 (zie tabel) 0,,,9 0,9 =,7, , 0,9 0,7,6 = 8,9 =,66,,9 =,9 0,9 0,66 =,890 0,9 = 6 896,6 = 8,96 = 0,9,9 = 0,9 (zie tabel) 0,66,66,9 0,9 = =,9 (zie tabel) 8 = ( 0, ) 8 (zie tabel) ( 0, ) 8 = 0, 8 =, = 8, 8, = 8 0, 8 0, =, = 6 0, = (,6) 0, = 0,7 (,6) 0, 0,7 (,6) 0, = 0,7 ( 0, ) 0, = 0,7 0, = 0,88 7,67 (het gemiddelde van 0,88 en 0,89 ). Opgave 6 a) in een aftrekking. in een deling door. 6

17 Hoofdstuk 6: Logaritmen Opgave 6 a),,, 7,,0,,0,,0, 7,0,8... b) log neemt de exponent als je het getal als macht van schrijft. Opgave 6 Tussen en Tussen - en - Tussen en Tussen en 0 Tussen en Opgave 66 0,9 = 8,7 en 0,9 = 8,9. Dus ligt log(8,8) tussen 0,9 en 0,9. 0,9 = 8,8, dus log(8,8) 0,9 in twee decimalen nauwkeurig. 88 = 8,8 0,9 =,9 ; dus log(88),9 8,8 7 0,9 7 = 7,9 ; dus log(8,8 7 ) 7,9 0,088 = 8,8 = 0,9 =,06 ; dus log (0,088) -,06 8,8 0,9 =,06 ; dus log(8,8 ),06 Opgave 67 a) 0,7, dus log() 0,7. De andere logaritmen zijn,,, - en - groter dan log() log(0,0) log(0,) log() log(0) log(00) log(000) b) 0 =, 0,, 0,6, 0, , 0, 0, 0, 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 log() log() log() log() Opgave 68 a) Hun logaritmen verschillen. b) Het ene getal is 00 keer zo groot als het andere. Opgave 69 log(a) ligt 0, eenheid rechts van -, dus log(a) -,7, dus a,7 0,00. log(b) ligt 0, eenheid rechts van 0, dus log(b) 0,, dus b 0,. log(c) ligt 0, eenheid rechts van, dus log(c) -,7, dus c,

18 Opgave 70 a) Tussen 6 en 7 Tussen - en - Tussen 0 en b) log(a) ligt dan tussen 6 en 7 (behalve als a = 7 ) c) log(a) ligt dan tussen -8 en -7 (behalve als a = 8 ) d) Tussen p en p+ Opgave 7 a) 7 Opgave 7 a) Als het punt (a,b) op de grafiek van y = x ligt, is a = b. Dan is a = log(b), dus dan ligt (b,a) op de grafiek van y = log(x). En omgekeerd. Als je de coördinaten van een punt op de ene grafiek verwisselt, krijgt je een punt van de andere grafiek. Coördinaten verwisselen betekent in het plaatje spiegelen in de lijn x = y. b) (8,6, π) c) x kan elk positief getal zijn, y kan elk getal zijn. Opgave 7 a) Tussen en, want < < Tussen en, want < < Tussen en, want < 9 < Tussen en, want < 0 < Tussen en, want < < 0 Tussen en, want 0 < 700 < 00 b) Exact 7 Exact 88 Exact 7 c) 777 en log(777) Opgave 7 log(0,00) -,98 log(00),699 0 x = ( ) x = x = 6, dus x = log(6), dus x = log(6) 0,60 0, x = ( ) x = x = 6, dus -x = log(6), dus x = log(6) = -,0 Opgave 7 Dat volgt uit de pijlenkettingen van bladzijde 8: a log log(a) a = log(a) a a log a = log( a ) 8

19 Opgave 76 log( ) = (zie e formule van opgave 7) log( ) = log( ) = (zie e formule van opgave 7) x = 00 natuurlijk log(9) (definitie van log) x =, dus x = log() x = = 0 x =, dus x = 0, Opgave 77 a) log(0) is de tijd die nodig is om de hoeveelheid 0 keer zo groot te laten worden. log(70) is de tijd die nodig is om de hoeveelheid 70 keer zo groot te laten worden. b) In log(0) + log(70) dagen wordt de hoeveelheid eerst 0 keer zo groot en daarna 70 keer zo groot; dus in totaal 800 keer zo groot. Kennelijk is log(0) + log(70) = log(800) c) loga + logb = log( a b) d) loga logb = log( a b) n loga = log( a n ) Voorbeeld met n = : loga = loga + loga + loga = log( a a a) = log( a ) 9

20 Hoofdstuk 7: Logaritmische schaal Opgave 78 a) 0,0 0, b),,6, 6, c) log(70) =,8 ; dus 70 ligt 0,8 eenheden rechts van. log(00) =, ; dus 00 ligt, eenheden rechts van. log(0,0) = -0,6989 ; dus 0,0 ligt 0,699 eenheden links van. 0,0 0, muis mens olifant Opgave 79 a) De waarde in 999 ligt, mm boven 00 en, mm onder 000. Dus ligt die waarde, / 7 = 0,79 eenheid boven 00. Die waarde is dus,79 6 gulden. b) Een aandeel is gemiddeld 6 keer zo veel waard geworden in 0 jaar. Per jaar is dat 0 6,09. Jaarlijks steeg de waarde van een aandeel dus gemiddeld met ruim 9%. c) In 99 was de waarde van een aandeel gulden. In de tweede helft van de twintigste eeuw is het dus 6, keer zoveel waard geworden; dat is per jaar ongeveer,7 keer zoveel. Jaarlijks steeg de waarde in de tweede helft van de twintigste eeuw dus met,7%. d) De schaal op de ene as (de horizontale) is normaal (lineair), de schaal op de andere as is logaritmisch. Vandaar de naam "half"logaritmisch papier. Opgave 80 a) log(),09 en ligt dus,09 cm rechts van. log(0,000) -, en ligt, cm links van 0,00 0,00 0,0 0, log(0,000) b), en 6,6 Opgave 8 log() log() log() log() log() log(6) log(7) 0

21 Opgave 8 a),, 7, bel normal gesprek popgroep b) log(00.000) =,77, bel c) De geluidssterkte van een popgroep is 9, / 7 =, = 6 keer zo sterk als het geluid van een naburig onweer. d) Het geluid van de twee klassen samen is dat van = spelden. Dat is log( ) = 7, bel. Opgave uur eerder t=0 na, dag half miljard a) 00, = 6 b) 0 uur is dag. 00 / c) 00 t = 0, 9 als x = log(00.000),699, dus na,7 dag. Opgave 8 a) aantal celtypes: 0,6 volume:, 60 cm aantal cellen:,7 00 miljard b) Trek een horizontale lijn van "" op de linker schaal naar de rechter schaal. Je vindt: 8, 8 miljoen cellen per cm.