Opfriscursus Wiskunde

Transcriptie

1 FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN FEB Campus Brussel Opfriscursus Wiskunde voor het Schakelprogramma Handelswetenschappen in avondonderwijs Chris BIRONT Johan DEPREZ Theo MOONS september 016

2 CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Schakelprogramma Handelswetenschappen in avondonderwijs CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Inleiding Inleiding 1

3 Opfriscursus Wiskunde docent : Theo Moons bureel : T Serclaes gebouw, lokaal A Skype : [email protected] theomoonshub Opfriscursus Wiskunde doel: de nodige voorkennis van wiskunde opfrissen om het Schakelprogramma Handelswetenschappen succesvol te kunnen aanvatten praktisch: 5 lessen telkens van 17u30 tot 1u30 ( met pauze ) gevolgd door een zelftest per les ongeveer 3 uur om extra oefeningen te maken en, een ruime herhaling als voorbereiding op de zelftest voorkennis: elementair algebraïsch rekenen [ indien nodig, zelf op te frissen! ] Inleiding

4 Didactisch materiaal map met handouts van de presentaties en oefeningen website met daarop tekst Elementair algebraïsch rekenen ( voor zelfstudie ) de verwachte voorkennis voor het Schakelprogramma per lesdag een printout van de volledige powerpoint herhalingsoefeningen ter voorbereiding van de zelftest software: VisuMath 3.0 ( download van ) voor Apple & Mac : Grapher eventueel een rekenmachine ( als je er één hebt ) Voor bijkomende informatie en oefeningen J. van de Craats en R. Bosch, Basisboek wiskunde, de editie, Pearson Education Benelux, Amsterdam, 009, ISBN gedeeltelijk beschikbaar via [ zie website opfriscursus voor wat je hiervan moet kennen ] websites met instructiefilmpjes en/of interactieve oefeningen: Inleiding 3

5 Voorkennis wiskunde In de cursussen Wiskunde voor Bedrijfseconomen wordt er verondersteld dat u een aantal elementaire begrippen en rekentechnieken uit de wiskunde kent en kunt gebruiken. Een goed boek waarin de basiskennis van wiskunde overzichtelijk weergegeven wordt en dat eveneens voldoende oefenmateriaal bevat om die kennis opnieuw in de vingers te krijgen is: J. van de Craats & R. Bosch, Basisboek Wiskunde (de editie), Pearson Education Benelux, Amsterdam, 009, ISBN Grote delen van dit boek kan u ook online raadplegen via de link craats/basisboekwiskundehp.pdf De volgende hoofdstukken uit dit boek worden in de cursussen Wiskunde voor Bedrijfseconomen verondersteld gekend te zijn. De onderwerpen aangeduid met een asterix (d.i. ) komen aan bod in de Opfriscursus Wiskunde voor het avondprogramma. Hoofdstuk 1. Getallen Hoofdstuk. Algebra Hoofdstuk 3. Getallenrijen : 8. Rijen en limieten (alleen Rekenkundige rijen en Meetkundige rijen, maar niet Limieten van rijen en en Snelle stijgers.) Hoofdstuk 4. Vergelijkingen Hoofdstuk 5. Meetkunde : 1. Lijnen in het vlak en 14. Cirkels (maar niet Raaklijnen aan een cirkel ) Hoofdstuk 6. Functies : 16. Functies en grafieken Hoofdstuk 6. Functies : 18. Exponentiële functies en logaritmen Verder wordt er ook verondersteld dat je elementaire berekeningen met matrices kan uitvoeren. Een goede referentie hiervoor is Hoofdstuk 5. Matrixrekening uit het boek J. van de Craats, Vervolgboek Wiskunde, Pearson Education Benelux, Amsterdam, 009, ISBN waarvan u eveneens grote delen online kan raadplegen raadplegen via de link craats/vervolgboekwiskundehp.pdf

6 CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Eerste graadsfuncties Eerste-graadsfuncties 1

7 Eerste graadsfuncties: een voorbeeld Een taxibedrijf rekent de volgende kosten aan haar klanten: een vaste vertrekprijs van 5 een kilometerprijs van Dan een rit van 7 km kost een rit van 1 km kost een rit van 3 km Algemeen:. kost een rit van x km kost Eerste graadsfuncties: een voorbeeld Besluit: de kostprijs y (in euro) van een taxirit van x km wordt gegeven door y = 5 + x wiskundige terminologie: x en y zijn de vergelijking y = 5 + x definieert een de veranderlijken x en y Merk op: dit is een bijzondere soort van relatie nl. je kiest x, en dan ligt y vast men spreekt in dat geval van een x is de y is de veranderlijke veranderlijke de vergelijking y = 5 + x geeft het van deze functie tussen Eerste-graadsfuncties

8 Andere voorbeelden van eerste graadsfuncties Andere taxibedrijven hanteren andere vertrek- en km prijzen bv. y = x resp. y = x enzovoort Algemeen: kostprijs y = (vaste startprijs) + (prijs per km) x formeel: met q, m IR constanten terminologie: m en q noemt men Merk op: y is een veelterm van de eerste graad in x y is een eerste graadsfunctie van x Andere voorbeelden van eerste graadsfuncties Voorbeeld Het maandloon van een verkoper bestaat uit een basisbedrag van 1500 aangevuld met 5% van de totale waarde van de omzet die hij vorige maand gerealiseerd heeft. Als de verkoper vorige maand voor een totaal van x = verkocht heeft, dan bedraagt zijn loon deze maand y = Algemeen: als de verkoper s omzet vorige maand x bedroeg, dan krijgt hij deze maand y = loon. Merk op: y = q + mx met q = en m = een eerste graadsfunctie Eerste-graadsfuncties 3

9 Andere voorbeelden van eerste graadsfuncties Voorbeeld 3 Een bedrijfswagen wordt aangekocht voor maar verliest elk jaar 1000 van zijn waarde. De waarde y van de bedrijfswagen 1 jaar na aankoop is y = jaar na aankoop is y = 3 jaar na aankoop is y =. Algemeen: x jaar na aankoop is y = Merk op: y = q + mx met q = en m =. een eerste graadsfunctie Andere voorbeelden van eerste graadsfuncties De vraag v naar een product hangt af van de prijs x van het product: hoe hoger de prijs, hoe minder er van verkocht wordt en hoe lager de prijs, hoe meer er van verkocht wordt bv. v = x een eerste graadsfunctie MAAR de opbrengst die de producent ontvangt bij prijs x is TO = Merk op: dit is y is van de vorm y = q + mx met q, m const. eerste graadsfunctie van x Eerste-graadsfuncties 4

10 Functies en hun voorstellingswijzen Begripsomschrijving: (voorlopige versie ) een functie van één veranderlijke is een regel die moet toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal y Voorstellingswijze 1: met een vergelijking Voorbeelden een taxirit van x km kost y = 5 + x euro een omzet van x euro, geeft y = x euro loon x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 0000 nog y = x euro waard bij een prijs van x is de vraag v = x eenheden bij een prijs van x is de opbrengst TO = 100 x 30 x Voorstellingswijze : met een functievoorschrift Begripsomschrijving: (voorlopige versie ) een functie f van één veranderlijke is een regel die moet toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal f (x) formeel: f : IR IR : x f (x) Voorbeelden een taxirit van x km kost f (x) = 5 + x euro een omzet van x euro geeft f (x) = x euro loon x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 0000 nog f (x) = x euro waard bij een prijs van x is de vraag f (x) = x eenheden bij een prijs van x is de opbrengst f (x) = 100 x 30 x Eerste-graadsfuncties 5

11 Voorstellingswijze 3: met een grafiek Begripsomschrijving : een functie f van één veranderlijke is een regel die moet toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal y = f (x) Voorbeelden een taxirit van x km kost f (x) = 5 + x euro Dan f (0) = f (5) = f (10) = f (15) = f (0) = f (5) = y x x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 0000 nog f (x) = x k EUR waard Dan f (0) = 0 1(0) = f () = 0 1() = f (4) = 0 1(4) = y k f (6) = 0 1(6) = f (8) = 0 1(8) = f (10) = 0 1(10) = x Eerste-graadsfuncties 6

12 Meetkundige interpretatie van de parameters de grafiek van een eerste graadsfunctie f (x) = mx + q is de rechte met vergelijking y = mx + q q = is de en geeft de plaats waar de grafiek de vertikale as snijdt m is de [ of kortweg ] en geeft de van de rechte weer [ Engels : slope ] Meer nog, m > 0 een rechte m = 0 een rechte m < 0 een rechte en, de grootte van m bepaalt hoe de rechte is Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt Voorbeeld Taxibedrijf : vertrekprijs 5 prijs per km Bijgevolg, als er x km gereden worden, dan kost de rit y = x + 5 Merk op: m = Anders gezegd, als er 1 km méér gereden wordt, dan neemt de prijs toe met of nog: als x toeneemt met 1 eenheid, dan neemt y toe met eenheden Eerste-graadsfuncties 7

13 Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > Y y = 5 + x X > Voorbeeld ( taxibedrijf ) vertrekprijs 5 vaste kost prijs per km marginale kost = m richtingscoëfficiënt van de grafiek d.w.z. als x toeneemt met 1 eenheid, dan neemt y toe met m = eenheden Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > Y y = 5 + x X > Voorbeeld ( taxibedrijf ) vertrekprijs 5 vaste kost prijs per km = m marginale kost richtingscoëfficiënt van de grafiek d.w.z. als x toeneemt met 1 eenheid, dan neemt y toe met m = eenheden Merk op: dit hangt niet af van de plaats op de grafiek Eerste-graadsfuncties 8

14 Samengevat : Concreet, prijs per km = marginale kost als er 1 km méér gereden wordt, dan neemt de prijs toe met m = Maar ook, = rico m van de grafiek 3 km meer rijden meer betalen 5 km meer rijden meer betalen. x km meer rijden y =. meer betalen Formeel: y = of nog m Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > Y y = 5 + x Voorbeeld ( taxibedrijf ) prijs per km Formeel: = m m marginale kost rico van de grafiek y x Welnu, m y x X > Eerste-graadsfuncties 9

15 Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > Y y = 5 + x Voorbeeld ( taxibedrijf ) prijs per km Formeel: = m m marginale kost rico van de grafiek y x Welnu, alsook m m y x y x 1 X > Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > Y y = 5 + x Voorbeeld ( taxibedrijf ) prijs per km Formeel: = m m marginale kost rico van de grafiek y x X > Welnu, alsook of nog m m m y x y x y x 1 4 Eerste-graadsfuncties 10

16 Oefening Schat de richtingscoëfficiënt van de volgende rechten (a) Y y rico m = x = X Oefening Schat de richtingscoëfficiënt van de volgende rechten (b) Y rico m = = y x X Eerste-graadsfuncties 11

17 Oefening 1 (a) Stel de rechte met vergelijking y = x 1 voor op een figuur. Maak hiervoor gebruik van de meetkundige betekenis van intercept en richtingscoëfficiënt. (b) Welke y - waarde hoort er bij x =? [ Controleer je antwoord op de figuur. ] (c) Welke x - waarde hoort er bij y =? [ Controleer je antwoord op de figuur. ] Oefening Bepaal de vergelijking van de vorm y = m x + q voor elk van de rechten A, B, C, D, E en F uit de onderstaande figuur door gebruik te maken van de meetkundige betekenis van m en q. E D > Y B F (3,9) (6,6) A C X > Eerste-graadsfuncties 1

18 Oefening Een souvenierwinkel in de Stoofstraat verkoopt beeldjes van Manneken Pis. Wanneer men 8 euro voor een beeldje vraagt, dan worden er dagelijks 4 stuks van verkocht. Als men echter 10 euro per beeldje vraagt, dan worden er slechts 16 stuks per dag van verkocht. Wat is het functievoorschrift van de eerste graadsfunctie die de dagelijkse vraag naar dergelijke beeldjes modelleert? Oplossing Stel x = f (x) = Dan f is de gezochte Gegeven : f is een eerste graadsfunctie f (x) = m x + q met m, q IR constanten en de grafiek van f is de vraag y prijs x Verder is er gegeven dat als de prijs 8 euro is, dan is de vraag stuks als de prijs 10 euro is, dan is de vraag stuks Gevraagd: zoek de vergelijking van de die door gaat Eerste-graadsfuncties 13

19 De vergelijking van een rechte y y = m x + q y 0 x 0 x alle punten op de rechte voldoen aan y = m x + q (x 0, y 0 ) ligt op de rechte maar dan of equivalent, punt rico formule Oefening Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt (1, ) en met rico 3. Wat is de intercept van deze functie? Oplossing een rechte door het punt (1, ) heeft vergelijking gegeven: rico m = 3 vergelijking Eerste-graadsfuncties 14

20 De vergelijking van een rechte y y 1 y = m x + q y 0 x 0 x 1 x alle punten op de rechte voldoen aan y y 0 = m ( x x 0 ) (x 1, y 1 ) ligt op de rechte punt punt als x 1 x 0 dan formule = m Eigenschap Zij (x 0, y 0 ) een en punt ( x in IR 1, y 1 ) punten in IR met x 0 = x 1 (1) Elke niet verticale rechte door het punt (x 0, y 0 ) heeft vergelijking met m IR de rico / () De rechte door de punten (x 0, y 0 ) en ( x 1, y 1 ) heeft vergelijking met rico m = (3) De verticale rechte door het punt (x 0, y 0 ) heeft vergelijking Eerste-graadsfuncties 15

21 Oplossing souvenirwinkel ( vervolg ) Stel x = de prijs (in euro) voor een Manneken Pis beeldje f (x) = de dagelijkse vraag naar beeldjes Gegeven : f is een eerste graadsfunctie zodat vraag y 4 16 y = m x + q 8 10 prijs x Gevraagd: zoek het functievoorschrift y = f (x) van de functie waarvan de grafiek de rechte is die door de punten (8, 4) en (10,16) gaat Welnu, een rechte door het punt ( 8, 4) heeft vergelijking de rechte gaat ook door het punt (10,16) rico m = de vergelijking van de rechte is deze rechte met vergelijking y = is de grafiek van de functie f die de dagelijkse vraag y = f (x) naar beeldjes van Mannenken Pis beschrijft in functie van de prijs x het functievoorschrift van f is f (x) = Eerste-graadsfuncties 16

22 Oefening 3 Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (, 3) gaat en evenwijdig loopt met de rechte door de punten (4,1) en (, ). Oefening 4 Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (,3) en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x 3y + 6 = 0. Eerste-graadsfuncties 17

23 Oefening 14 Lovania heeft een heel eenvoudig belastingsstelsel: op het gedeelte van het inkomen tot EUR betaalt men 0 % belastingen en op het gedeelte boven EUR betaalt men 60 % belastingen. Het inkomen, uitgedrukt in eenheden van EUR, stellen we voor door x. De belasting die betaald moet worden, eveneens in eenheden van EUR, stellen we voor door b. (a) Geef het voorschrift van een functie die het verband geeft tussen de belasting en het inkomen in Lovania en maak een grafiek van deze functie. [ Aanwijzing : maak een onderscheid naargelang het inkomen onder of boven EUR ligt. ] (b) Men overweegt een hervorming van dit belastingstelsel. Het voorstel bepaalt dat men 10 % belastingen zou moeten betalen op het gedeelte van het inkomen tot EUR en 40 % op het gedeelte boven EUR. Geef het voorschrift van de functie die in het voorstel het verband geeft tussen de belasting en het inkomen. Maak een grafiek van deze nieuwe functie op de figuur uit opgave (a). (c) Bepaal, door gebruik te maken van de grafieken en door berekeningen te maken, voor welke inkomens het voorstel minder voordelig zou zijn. Eerste-graadsfuncties 18

24 Impliciet gedefinieerde functies Voorbeeld Iemand wil euro beleggen in aandelen en obligaties. Een aandeel kost 100 euro per stuk en een obligatie kost 50 euro per stuk. Hoeveel aandelen en obligaties kan die persoon kopen? Antwoord Stel zij koopt q A aandelen en q O obligaties Dan 100 q A + 50 q O = Er zijn dus oneindig veel combinaties mogelijk... bv. q A = en q O = of q A = en q O = of q A = en q O = of maar niet alle combinaties zijn mogelijk!!!!! want er moet altijd voldaan zijn aan de vergelijking Deze vergelijking definieert een tussen de veranderlijken q A en q O Eerste-graadsfuncties 19

25 mogelijke scenario s ofwel kiest zij het aantal aandelen q A dan 100 q A + 50 q O = q O 0 q A Terminologie de vergelijking 100 q A + 50 q O = definieert q O impliciet als functie van q A, namelijk q O : IR IR : q A q A q A is de veranderlijke q O is de veranderlijke Eerste-graadsfuncties 0

26 ofwel kiest zij het aantal obligaties q O dan 100 q A + 50 q O = q O 0 q A Terminologie de vergelijking 100 q A + 50 q O = definieert q A impliciet als functie van q O, namelijk q A : IR IR : q O q O q O is de veranderlijke q A is de veranderlijke Eerste-graadsfuncties 1

27 Wiskunde leren = heel veel oefeningen maken; en soms ook fouten maken, begrijpen waarom het verkeerd is en de oefeningen correct opnieuw maken! Eerste-graadsfuncties

28 Opfriscursus wiskunde dag 1 1. a. Stel de rechte met vergelijking y = x 1 voor op een figuur. Maak hiervoor gebruik van de betekenis van y-intercept en richtingscoëfficiënt. b. Welke y-waarde hoort er bij x =? (Controleer je resultaat op de figuur.) c. Welke x-waarde hoort er bij y =? (Controleer je resultaat op de figuur.). Bepaal de vergelijking van de vorm y = mx + q voor elk van de rechten A, B, C, D, E en F uit de onderstaande figuur door gebruik te maken van de betekenis van m en q. y B F (3,9) (0,7) (6,6) A (0,3) C (,0) x D E 3. Bereken de vergelijking van de rechte die door het punt (, 3) gaat en die evenwijdig loopt met de rechte door de punten (4,1) en (,). 4. Bereken de vergelijking van de rechte die door het punt (,3) gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x 3y + 6 = Welke figuur wordt voorgesteld door de vergelijking a. x + 3y + 1 = 0? b. (0 x) + 3y + 1 = 0? c. x ( + 0 y) + 1 = 0? d. (0x + 0 y + ) 1 = 0? 1

29 6. De hoeveelheid q die van een zeker product verkocht kan worden, hangt af van de prijs p die ervoor gevraagd wordt. Veronderstel dat het verband tussen beide grootheden gegeven wordt door q = 4 0.8p. Deze functie wordt de vraagfunctie genoemd. a. Maak een grafiek van deze vraagfunctie en lees de richtingscoëfficiënt van de grafiek af. Deze vraagfunctie is in eerste instantie bruikbaar om de waarde van q te bepalen als er een waarde voor p gegeven is. We kunnen deze formule echter ook gebruiken 'in de omgekeerde zin'. b. Veronderstel dat we willen dat er 16 eenheden van het product verkocht kunnen worden. Hoeveel moet de prijs dan bedragen? c. Veronderstel dat we willen dat er 0 eenheden van het product verkocht kunnen worden. Hoeveel moet de prijs dan bedragen? d. Als we de waarde van p moeten bepalen voor heel veel verschillende waarden van q, dan kunnen we de bovenstaande vergelijking beter in een andere vorm schrijven, namelijk de vorm waarbij p uigedrukt wordt in functie van q. Doe dit. e. Controleer het antwoord op de vragen b. en c. met behulp van deze formule. De formule uit oefening d. kunnen we opvatten als de vergelijking van een functie die p uitdrukt in functie van q. Deze nieuwe functie wordt de inverse vraagfunctie genoemd. f. Maak een grafiek van deze inverse vraagfunctie en lees de richtingscoëfficiënt van de grafiek af. g. Welk verband bestaat er tussen de richtingscoëfficiënt van de grafieken van de vraagfunctie en de inverse vraagfunctie? 7. Ga door berekening na of de grafieken van de functies f : y = x 3, g : y = x en h : y = 3x + 1 door één punt gaan. 8. a. Bepaal x en y zó dat 8 x + y = 5 11x = 9 + 4y b. Bepaal p en q zó dat 5 p + 9 q = 8 3q + 1 = 13p 4a = 5b c. Bepaal a en b zó dat 3a 8b = 9. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op: 3x + x + 9 a. = ; 5 b. 3x + 7 = ( x + 9) ( x 30) ; x = x 4 ; c. ( ) d. e. f. g. h. ( x ) + ( x + ) x + + ; 1x 1 13x 4 4x + 7 < ; 6 5 3x 7 x 1 x 1 > ; ( x 1)( x + 1) ( x ) + ; x x x 3 + x 6 5 ; i. x + 3 3x + 6.

30 10. Hoeveel kg koffie van 4.1 EUR per kg moet men mengen met 45 kg koffie van 3.0 EUR per kg om een mengsel te verkrijgen van 3.79 EUR per kg? 11. Een eerste autocaruitbater rekent voor een halve-dag-reis 00 EUR vast recht aan en daarbij 1.15 EUR per km. Een tweede autocaruitbater rekent 300 EUR vast recht aan en daarbij 0.95 EUR per km. Hoeveel km moet een halve-dag-reis bedragen opdat de tweede autocaruitbater goedkoper zou zijn dan de eerste? 1. De opbrengst TO in EUR bij de verkoop van q exemplaren van een tijdschrift wordt gegeven door TO =.5q. De vaste productiekosten bedragen 1485 EUR. De variabele productiekosten (in EUR) zijn evenredig met q met evenredigheidsfactor 0.5. Zoek het break-even-point (d.w.z. de waarde van q waarbij er noch winst noch verlies gemaakt wordt). 13. Bij een electriciteitsmaatschappij hebben de klanten de keuze tussen twee mogelijkheden: het normaal en het tweevoudig tarief. Bij het normaal tarief betaalt men een vaste jaarlijkse vergoeding van EUR en bovendien 0.13 EUR per verbruikte kwh. Het tweevoudig tarief biedt een voordeligere prijs voor het gebruik tijdens de 9 'nachturen'. Bij dit tarief wordt een vaste jaarlijkse vergoeding van EUR aangerekend en betaalt men 0.13 EUR per verbruikte kwh overdag en 0.06 EUR per verbruikte kwh 's nachts. Bepaal vanaf hoeveel nachtverbruik het tweevoudig tarief goedkoper wordt. 14. Aloyslavië heeft een heel eenvoudig belastingsstelsel: op het gedeelte van het inkomen tot ALF (ALF = Aloysische frank) betaalt men 0 % belastingen en op het gedeelte boven ALF betaalt men 60% belastingen. Het inkomen, uitgedrukt in eenheden van ALF, stellen we voor door x. De belasting die betaald moet worden, eveneens in ALF, stellen we voor door b. a. Geef een vergelijking voor de functie die het verband geeft tussen de belasting en het inkomen en maak een grafiek van deze functie. (Aanwijzing: maak een onderscheid naargelang het inkomen onder of boven ALF ligt). b. Men overweegt een hervorming. Het voorstel bepaalt dat men 10% belastingen zou moeten betalen op het gedeelte van het inkomen tot ALF en 40% op het gedeelte boven ALF. c. Geef weer een vergelijking voor de functie die (in dit geval) het verband geeft tussen de belasting en het inkomen. Maak een grafiek van deze functie op de figuur uit vraag a. d. Bepaal, door gebruik te maken van de grafieken en door berekeningen te maken, voor welke inkomens het voorstel minder voordelig zou zijn. 3

31 Oplossingen 1. a. Omdat het y-intercept 1 is, weten we dat de rechte door het punt ( 0, 1) gaat. Omdat de richtingscoëfficiënt bedraagt, weten we dat met een toename van één eenheid in de x-richting een toename van eenheden in de y-richting 0, 1 tot de rechte behoort, ligt dus ook het punt correspondeert. Omdat het punt ( ) ( 1, 3) erop. De gevraagde rechte is dus de rechte door de punten ( 0, 1) ( 1, 3). b. 5 c. 1.5 en. 1 A : y = x + 3, B : y = x + 3, C : y = 3, F : y = x D : y = x + 3, 3 E : y = x + 7, 3. y 1 8 = x y 3 = x 5. a. (schuine) rechte door de punten b. horizontale rechte door het punt c. verticale rechte door het punt d. lege verzameling. 1 0, 3 en 1,0 ; 1 0, 3 ; 1,0 ; 6. a. rechte door de punten ( 0,4) en (,0) b. 10 c. 5 d. p = 1.5q + 30 e. OK f. rechte door de punten ( 0,30) en (,0) 30 ; richtingscoëfficiënt is ; richtingscoëfficiënt is 1.5. g. de richtingscoëfficiënten zijn elkaars omgekeerde (d.w.z. of nog: richtingscoëfficiënt van de grafiek van de vraagfunctie = 1 richtingscoëfficiënt van de grafiek van de inverse vraagfunctie richtingscoëfficiënt van de grafiek van de inverse vraagfunctie = 1 richtingscoëfficiënt van de grafiek van de vraagfunctie.) 4

32 7. Neen. De grafieken van de functies f en g snijden elkaar in het punt met coördinaten 1, 4. De grafiek van de functie h gaat niet door dit punt. ( ) 8. a. x = 3 en y = 1 b. 1 3 p = en q = 4 4 c a = en b = a. b. 8 x = 13 x = c. x = 3 3 d. x is een willekeurig reëel getal e. f. g. h. 47 x < x > 10 5 x 4 6 x 13 i. x kg 11. meer dan 500 km Om het resultaat grafisch te controleren tekenen we in dezelfde figuur de grafiek van de kostprijs K 1 in EUR voor een halve-dag-reis van x km bij de eerste uitbater en de grafiek van de kostprijs K in EUR voor een halve-dag-reis van x km bij de tweede uitbater. De vergelijkingen van deze functies zijn K1 = x respectievelijk K = x K uitbater uitbater x exemplaren 5

33 13. Noem x het verbruik in kwh overdag en y het verbruik in kwh 's nachts. De kostprijs in EUR volgens het normale tarief is dan K = ( x + y). De kostprijs in EUR n volgens het tweevoudig tarief is dan K = x y. We zoeken de waarden t van y waarvoor Kn > K. We vinden dat aan deze ongelijkheid voldaan is als en slechts t als y > We besluiten dat het tweevoudig tarief voordeliger is vanaf kwh nachtverbruik. 14. a. 0. x als 0 x 0.75 b = 0.6x 0.3 als 0.75 < x 0,6 b 0,4 0, 0 0 0,5 1 1,5 x b. 0.1 x als 0 x 0.3 b = 0.4x 0.09 als 0.3 < x 0,6 b 0,4 0, 0 0 0,5 1 1,5 x c. De grafieken snijden elkaar in twee punten. Het inkomen dat overeenkomt met het meest linkse snijpunt noemen we a en het inkomen dat overeenkomt met het meest rechtse snijpunt noemen we c. Voor de inkomens die gelegen zijn tussen a en c is de huidige berekening van de belasting voordeliger dan het voorstel. Het meest linkse snijpunt onstaat door het linkse deel van de eerste grafiek te snijden met het rechtse deel van de tweede grafiek. Om a te vinden moeten we dus de vergelijking 0.x = 0.4x 0.09 oplossen. Zo vinden we dat a = Het meest rechtse snijpunt onstaat door het rechtse deel van de eerste grafiek te snijden met het rechtse deel van de tweede grafiek. Om c te vinden moeten we dus de vergelijking 0.6x 0.3 = 0.4x 0.09 oplossen. Zo vinden we dat c = We bsluiten dat het voorstel minder voordelig is dan het huidige systeem voor de inkomens gelegen (strikt) tussen ALF en ALF. 6

34 CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel 1: kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden Tweede-graadsfuncties 1

35 Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 0 deelnemers zijn? Oplossing Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 0 deelnemers kosten voor de gids: 1 euro prijs bij 0 deelnemers: 80 euro per persoon bij méér dan 0 deelnemers: voor iedereen euro korting per persoon voor elke extra deelnemer 0 deelnemers prijs per persoon is euro kosten voor de gids: euro samen = totaal te betalen is Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 0 deelnemers kosten voor de gids: 1 euro prijs bij 0 deelnemers: 80 euro per persoon bij méér dan 0 deelnemers: voor iedereen euro korting per persoon voor elke extra deelnemer Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 6 deelnemers zijn? Oplossing 6 deelnemers Tweede-graadsfuncties

36 Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 0 deelnemers kosten voor de gids: 1 euro prijs bij 0 deelnemers: 80 euro per persoon bij méér dan 0 deelnemers: voor iedereen euro korting per persoon voor elke extra deelnemer Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 3 deelnemers zijn? Oplossing 3 deelnemers Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 0 deelnemers kosten voor de gids: 1 euro prijs bij 0 deelnemers: 80 euro per persoon bij méér dan 0 deelnemers: voor iedereen euro korting per persoon voor elke extra deelnemer Algemeen: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er x deelnemers zijn? Oplossing x deelnemers méér dan het minimaal aantal 0 prijs per persoon is euro vermindering per persoon totaal te betalen is Tweede-graadsfuncties 3

37 Besluit : als er x mensen aan de uitstap deelnemen, dan moet je aan het reisagentschap x(10 x) + 1 = x + 10 x + 1 euro betalen. Anders gezegd, als er x deelnemers zijn, dan moet je f (x) = x + 10 x + 1 euro betalen. Dit definieert een functie, namelijk input x output f (x) = x + 10 x + 1 Formeel, f : IR IR : x f (x) = x + 10 x + 1 een tweedegraadsfunctie Drie manieren om de functie voor te stellen (1) functievoorschrift: f (x) = x + 10 x + 1 () vergelijking: y = x + 10 x + 1 (3) grafiek totaal bedrag 000 Y > y = x + 10x X > aantal deelnemers Tweede-graadsfuncties 4

38 Vragen (1) Ik moet het reisagentschap 187 euro betalen. Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel? () Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschap het hoogste bedrag? (3) Het reisagentschap wil minstens 1850 euro ontvangen. Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen? Oplossing Methode 1: aflezen van de grafiek Methode : berekenen Vragen (1) Ik moet het reisagentschap 187 euro betalen. Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel? Oplossing Methode 1: aflezen van de grafiek totaal bedrag Y > 000 y = x + 10x X > aantal deelnemers Tweede-graadsfuncties 5

39 Vragen (1) Ik moet het reisagentschap 187 euro betalen. Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel? Oplossing Methode : berekenen gevraagd: zoek x waarvoor f (x) = 187 Welnu, f (x) = 187 Te onthouden De oplossingen van een tweede graadsvergelijking a x + b x + c = 0 met a, b, c IR en a 0 worden gevonden door eerst de discriminant discr = b 4 a c te bereken en vervolgens (1) als discr > 0 dan heeft f twee verschillende oplossingen, namelijk b + discr a en b discr a () als discr = 0 dan heeft f slechts één oplossing, namelijk b a (3) als discr < 0 dan heeft f geen oplossingen Tweede-graadsfuncties 6

40 Vragen (1) Ik moet het reisagentschap 187 euro betalen. Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel? Oplossing Methode 3: berekenen gevraagd: zoek x waarvoor f (x) = 187 Welnu, f (x) = 187 x + 10 x + 1 = 187 x + 10 x 1750 = 0 Besluit: er zijn namelijk mogelijkheden voor het aantal deelnemers, Tweede-graadsfuncties 7

41 Oefening Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op: (a) 11x + (19x 1) = 0 (b) x x = (c) (d) (e) (f) Tweede-graadsfuncties 8

42 Vragen () Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschap het hoogste bedrag? Oplossing Methode 3: berekenen totaal bedrag Y > 000 y = x + 10x X > aantal deelnemers De grafiek van een tweede graadsfunctie f : IR IR : x a x + b x + c met a,b,c IR en a 0 IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR Tweede-graadsfuncties 9

43 De grafiek van een tweede graadsfunctie f : IR IR : x a x + b x + c met a,b,c IR en a 0 IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR De grafiek van een tweede graadsfunctie f : IR IR : x a x + b x + c met a,b,c IR en a 0 IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR Tweede-graadsfuncties 10

44 Te onthouden de grafiek van een tweede graadsfunctie f (x) = a x + b x + c is een als a > 0, dan is het een als a < 0, dan is het een parabool parabool de parabool heeft haar top in x top = de oplossingen van de vergelijking a x + b x + c = 0 geven de snijpunten van de parabool met de as Tweede-graadsfuncties 11

45 Vragen () Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschap het hoogste bedrag? Oplossing Methode : berekenen Besluit: bij deelnemers zullen wij aan het reisagentschap het hoogste bedrag moeten betalen, namelijk Oefening 1 Hieronder vind je zes tweedegraadsfuncties van één veranderlijke. Schets de grafiek van elk van deze functies. f 1 : y = x 5x + 6 f : y = x 4x + 4 f 3 : y = x 4x + 6 f 4 : y = x + 5x 6 f 5 : y = x + 4x 4 f 6 : y = x + 4x 6 Tweede-graadsfuncties 1

46 Oefening 3 Gegeven zijn de functies f : y = x + 4 en g : y = x + 4x + 5. (a) Bereken de snijpunten van de grafieken van deze twee functies. (b) Teken de grafieken van beide functies in één figuur en controleer hiermee het resultaat van je berekeningen. Oefening 4 Bepaal de getallen b en c in de vergelijking y = x + bx + c van de functie f zo dat f haar minimale waarde 3 bereikt in 4. Oefening 5 De functie f(x) = x + x + p 1 heeft 0 als uiterste waarde. Bereken p. Tweede-graadsfuncties 13

47 Vragen (3) Het reisagentschap wil minstens 1850 euro ontvangen. Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen? Oplossing Methode : aflezen van de grafiek totaal bedrag Y > y = x + 10x X > aantal deelnemers Vragen (3) Het reisagentschap wil minstens 1850 euro ontvangen. Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen? Oplossing Methode 3: berekenen gevraagd: zoek x waarvoor f (x) 187 Welnu, f (x) 187 x + 10 x x + 10 x Tweede-graadsfuncties 14

48 Besluit: het aantal deelnemers moet minstens en mag niet hoger zijn dan bedragen Tweede-graadsfuncties 15

49 Oefening Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op: (a) 11x + (19x 1) = (b) x x = (c) 4x + 3x + 1 > 7x + x + 3 (d) (6 3x)( + 9x) 0 (e) 100 x (f) 3x(x 3) < 5(x 3) Tweede-graadsfuncties 16

50 Oefening 6 Een handelaar verkoopt wijn aan 7.5 euro per liter. Om grote bestellingen aan te moedigen, beslist de handelaar om een reductie toe te kennen voor bestellingen van méér dan 100 liter. Voor iedere liter boven de honderd wordt de prijs per liter voor de hele bestelling met 0.01 euro verlaagd. (a) Geef een functievoorschrift voor de totale ontvangsten TO van de handelaar bij een bestelling van x liter wijn. (b) Maak een grafiek van de functie TO(x). (c) Bij welke bestelde hoeveelheid x zijn de totale ontvangsten TO(x) van de wijnhandelaar maximaal? (d) Welke bovengrens moet de handelaar opleggen aan de toegelaten grootte van de bestelling opdat de totale ontvangsten positief zouden blijven? Oefening 7 Een reisbureau organiseert een reis voor 40 personen tegen een prijs van 300 euro per persoon. Om meer mensen aan te trekken, besluit men een reductie toe te staan: de prijs wordt voor elke deelnemer verlaagd met 5 euro telkens er zich een persoon extra (bovenop de 40 die reeds ingeschreven zijn ) aanmeldt. (a) Bij welk aantal deelnemers zijn de totale ontvangsten van het reisbureau maximaal? (b) Welke bovengrens moet het reisbureau opleggen aan het toegelaten aantal deelnemers opdat de totale ontvangsten positief zouden blijven? Tweede-graadsfuncties 17

51 Oefening 8 Een firma van elektronische onderdelen verkoop maandelijks 5000 stuks van een bepaalde component tegen 15 euro per stuk. Een marktonderzoek wijst uit dat de verkoop telkens met 500 stuks zal stijgen als de eenheidsprijs met 1 euro verlaagd wordt. Welke eenheidsprijs moet de firma nemen om een zo hoog mogelijke omzet te realiseren? Tweede-graadsfuncties 18

52 CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel : de cirkel De stelling van Pythagoras In een rechthoekige driehoek geldt: a = b + c a b Voorbeeld 1 l =? Pythagoras: l = c 5 l = Tweede-graadsfuncties 19

53 Y de afstand tussen twee punten de afstand d tussen de punten (,1) en (5,5) voldoet aan de stelling van Pythagoras d d = X en dus d = of kortweg, d = de afstand tussen twee punten Y te onthouden : de afstand d tussen punten (x 1,y 1 ) en (x,y ) wordt d y gegeven door x X d = x + y = ( x x 1 ) + ( y y 1 ) Tweede-graadsfuncties 0

54 de vergelijking van een cirkel Definitie een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal r is de verzameling van alle punten die op afstand r van het middelpunt verwijderd liggen cirkel mpt r de vergelijking van een cirkel Voorbeeld de cirkel met middelpunt ( 3, ) en straal 5 heeft vergelijking Y X of equivalent (3, ) 5 (x, y ) of nog Tweede-graadsfuncties 1

55 de vergelijking van een cirkel Algemeen : een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal r heeft als vergelijking : [ x x 0 ] + [ y y 0 ] = r (0,0) Y r X In het bijzonder, een cirkel met middelpunt (0,0) en straal r heeft als vergelijking ( x, y ) de vergelijking van een cirkel een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal r heeft als vergelijking : [ x x 0 ] + [ y y 0 ] = r Besluit De algemene vergelijking van een cirkel in IR is dus van de vorm x + y + a x + b y + c = 0 Tweede-graadsfuncties

56 de vergelijking van een cirkel Vraag : stelt de vergelijking 4 x + 4 y 16 x 4 y 1 = 0 een cirkel voor? Zo ja, wat zijn dan het middelpunt en de straal van die cirkel? de vergelijking van een cirkel een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal r heeft als vergelijking : [ x x 0 ] + [ y y 0 ] = r standaardvorm van de vergelijking [ x x 0 x + x 0 ] + [ y y 0 y + y 0 ] = r x + y x 0 x y 0 y + x 0 + y 0 r = 0 een vergelijking van de de graad in x en y Tweede-graadsfuncties 3

57 Te onthouden : een vergelijking in veranderlijken stelt een cirkel voor als en slechts als een vergelijking van de de graad in x en y geen term in x y de coëfficiënt van x = de coëfficiënt van y na herwerking tot de vorm moet c 0 [ x x 0 ] + [ y y 0 ] = c In dat geval, een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal c Oefening 9 Bepaal de vergelijking van de rechte die door het middelpunt van de cirkel met vergelijking x + y x y = 0 gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x + y = 0. Tweede-graadsfuncties 4

58 Opfriscursus wiskunde dag. 1. Hieronder vind je zes tweedegraadsfuncties van één veranderlijke. Schets de grafiek van elk van deze functies f : y = x 5x 6 ; f : y = x 4x 4 f : y = x 4x f : y = x + 5x 6 ; f : y = x + 4x 4 ; f : y = x + 4x 6.. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op: a. 11x + (19x 1) = 0 ; b x x = ; 6 c. 4x + 3x + 1 > 7x + x + 3; d. ( 6 3x )( + 9x) 0 ; e. 100 x ; f. 3x ( x 3) < 5( x 3). 3. Gegeven zijn de functies f : y = x + 4 en g : y = x + 4x + 5. a. Bereken de snijpunten van de grafieken van deze twee functies. b. Teken de grafiek van beide functies in één figuur en controleer hiermee het resultaat van je berekeningen. 4. Bepaal de getallen b en c in de vergelijking van de functie f : y = x + bx + c zo dat f haar minimale waarde 3 bereikt in De functie f : y = x + x + p 1 heeft 0 als uiterste waarde. Bereken p. 6. Een handelaar verkoopt wijn aan 7.5 EUR per liter. Om grote bestellingen aan te moedigen, beslist de handelaar om een reductie toe te kennen voor bestellingen van meer dan 100 liter. Voor iedere liter boven de honderd wordt de prijs per liter voor de hele bestelling (dus niet alleen voor de extra liters) met 0.01 EUR verlaagd. a. Geef een functievoorschrift voor de totale ontvangsten TO (in EUR) van de handelaar bij een bestelling van x liter wijn. b. Maak een grafiek van de functie TO(x). c. Bij welke bestelde hoeveelheid x zijn de totale inkomsten TO van de wijnhandelaar maximaal? d. Welke bovengrens moet de handelaar opleggen aan de toegelaten grootte van een bestelling opdat zijn totale ontvangsten positief zouden blijven? 1

59 7. Een reisbureau organiseert een reis voor 40 personen tegen een prijs van 300 EUR per persoon. Om meer mensen te trekken, besluit men een reductie toe te staan: de prijs wordt voor elke deelnemer (dus niet alleen voor de nieuwe deelnemers) verlaagd met 5 EUR telkens als zich één persoon extra aanmeldt (bovenop de 40 die reeds ingeschreven zijn). a. Bij welk aantal deelnemers zijn de totale onvangsten van het reisbureau maximaal? b. Welke bovengrens moet het reisbureau opleggen aan het toegelaten aantal deelnemers opdat de totale ontvangsten positief zouden blijven? 8. Een firma van elektronische onderdelen verkoopt maandelijks 5000 stuks van een bepaald onderdeel tegen 15 EUR per stuk. Een marktonderzoek wijst uit dat de verkoop telkens met 500 stuks zal stijgen als de eenheidsprijs met 1 EUR verlaagd wordt. Welke eenheidsprijs moet de firma nemen om een maximale omzet te realiseren? 9. Bepaal de vergelijking van de rechte die door het middelpunt van de cirkel met vergelijking x + y x y = 0 gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x + y = 0.

60 Oplossingen 1. 3 y f1 y f4 1 x x y f 1 y f5 x 1 x y f3 f6 y x x a. x 1 = 4, x = ; 11 1 b. x 1 =, x = 3; 6 c. geen oplossingen; d. x, ; 9 3

61 e. [ 10, 10] x ; 5 f. x, a. ( 1, ) b. y 8 g x f b = 8, c = p = 7.5x als 0 x a. TO = 0.01x + 8.5x als x > 100 b. 000 TO x c. x = 45, de totale ontvangsten van de handelaar zijn maximaal bij een bestelling van 45 liter. d. x < 850, bestellingen van 850 liter of meer zijn dus niet toegelaten. 4

62 7. a. De totale ontvangsten van het reisbureau zijn maximaal bij 50 deelnemers. b. Het aantal deelnemers moet kleiner zijn dan EUR 9. y = x 1 5

63 CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Exponentiële en logaritmische functies CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde breng een rekenmachine mee naar de les ( om logaritmen te berekenen ) Exponentiële en logaritmische functies 1

64 Machten van getallen Voorbeeld 1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van 3% per jaar over 1 jaar zal men beschikken over ( 3 % van 1000 ) = Merk op: + 3% wordt wiskundig Machten van getallen Voorbeeld 1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van 3% per jaar over 1 jaar zal men beschikken over euro over jaar zal men beschikken over ( 3 % van 1030 ) = Merk op: + 3% wordt wiskundig Exponentiële en logaritmische functies

65 Machten van getallen Voorbeeld 1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van 3% per jaar over 1 jaar zal men beschikken over euro over jaar zal men beschikken over over 3 jaar zal men beschikken over ( 3 % van ) = Merk op: + 3% wordt wiskundig Machten van getallen Voorbeeld 1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van 3% per jaar over 1 jaar zal men beschikken over 1000 ( 1.03 ) 1 over jaar zal men beschikken over 1000 ( 1.03 ) over 3 jaar zal men beschikken over 1000 ( 1.03 ) 3 euro euro euro over 10 jaar zal men beschikken over 1000 ( 1.03 ) ( 1.03 ) ( 1.03 )... ( 1.03 ) Merk op: + 3% wordt wiskundig maal 1.03 Exponentiële en logaritmische functies 3

66 Definitie Als a een positief reëel getal en n en m natuurlijke getallen zijn, dan a n = a a a... a en a 0 = Terminologie a r leest men als de r-de macht van a a r a n = n keer 1 m a n = en a n = heet het grondtal heet de exponent Machten van getallen Oefening 1 Schrijf zonder exponenten Exponentiële en logaritmische functies 4

67 Rekenregels voor machten Voor alle grondtallen a > 0 en b > 0 en voor alle exponenten r en s geldt: a r a s = a r a s = a r s = r a b = en a b r = MAAR... (a + b ) r a r + b r!!!!! en (a b ) r a r b r!!!!! Oefening 5 Schrijf de volgende uitdrukkingen als één enkele macht van x x x 3 1 x x x 3 x 4 x 3 Oefening 6 Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen x y 3 4 x 3 y 4 x y x y z y x z z x y 1 1 x y Exponentiële en logaritmische functies 5

68 Voorbeeld Een persoon zet bij de roulette 1 euro in op zijn geluksnummer 13. Zolang dit nummer niet uitkomt verdubbelt hij de inzet. Op een bepaald ogenblik zien wij hem 104 euro inzetten. Hoeveel keer is zijn geluksnummer dan reeds niet uitgekomen? Antwoord de eerste inzet bedraagt 1 euro 1 keer niet uitgekomen de inzet wordt euro keer niet uitgekomen de inzet wordt euro 3 keer niet uitgekomen de inzet wordt euro. Logaritmen m keer niet uitgekomen de inzet wordt euro Logaritmen Voorbeeld Een persoon zet bij de roulette 1 euro in op zijn geluksnummer 13. Zolang dit nummer niet uitkomt verdubbelt hij de inzet. Op een bepaald ogenblik zien wij hem 104 euro inzetten. Hoeveel keer is zijn geluksnummer dan reeds niet uitgekomen? Antwoord er wordt dus gevraagd: bepaal m zodat m = 104 welnu, 104 = m = Besluit : nummer 13 is reeds keer niet uitgekomen! nieuwe bewerking: de exponent plukken bij grondtal Exponentiële en logaritmische functies 6

69 Definitie Logaritmen Als g en x positieve getallen zijn en g 1, dan de logaritme van het getal x bij grondtal g = de macht waartoe men g moet verheffen om x te vinden Formeel : g log x = m g m = x lees : de logaritme van x bij grondtal g is m of kortweg : de g logaritme van x is m Voorbeeld : log 104 = want Definitie Als g en x positieve getallen zijn en g 1, dan Logaritmen de logaritme van het getal x bij grondtal g = de macht waartoe men g moet verheffen om x te vinden Formeel : g log x = m g m = x gevraagd: g log x =?? praktisch : schrijf x = g?? zeg x = g m dan g log x = m Te onthouden!!!!! Exponentiële en logaritmische functies 7

70 Oefening Bereken ( indien mogelijk ) uit het hoofd log 8 log 3 log log 1 log ( ) log 0 log log 9 3 log 1 4 log 5 3 log 10 Exponentiële en logaritmische functies 8

71 Bijzondere grondtallen grondtal g = 10 dan spreekt men van de decimale of de Briggse logaritme Notatie : 10 log = log Voorbeeld: log = 10 log = grondtal g = e = het getal van Euler dan spreekt men van de natuurlijke of de Neperiaanse log. Notatie : e log = ln Voorbeeld: ln 1 e 3 e 1 = log = e 3 Oefening 3 Bereken met behulp van een rekenmachine log 1000 ln 3 ln e log ln 0.5 log e Oefening 4 Bereken uit het hoofd log log 10 1 ln e log ln 1 ln 1 e Exponentiële en logaritmische functies 9

72 Rekenregels voor logaritmen Voor elk grondtal g > 0 en g 1 en voor alle positieve getallen x en y en voor elke exponent r geldt : g log (x y ) = g x log = y g log (x r ) = MAAR... er is geen formule voor g log ( x + y ) of voor g log ( x y )!!!!! Eigenschap Voor elk grondtal g IR 0 en g 1 + geldt dat g log x = ln x ln g Bewijs noem d.w.z. x = g log x = m en dus ln x = ln( ) of nog ln x = zodat ln x = ln g of m.a.w. g log x = Exponentiële en logaritmische functies 10

73 Exponentiële vergelijkingen Voorbeeld Een kapitaal van euro staat uit aan een samengestelde interest van 10% per jaar. Hoe lang duurt het vooraleer het kapitaal verdubbeld is? Antwoord over 1 jaar zal men beschikken over ( 10 % van ) = (0.10) = (1) (0.10) = ( ) = (1.10 ) = euro Herinner u: + 10% van wordt wiskundig maal 1.10 Voorbeeld Exponentiële vergelijkingen Een kapitaal van euro staat uit aan een samengestelde interest van 10% per jaar. Hoe lang duurt het vooraleer het kapitaal verdubbeld is? Antwoord over 1 jaar zal men beschikken over ( 1.10 ) 1 euro over jaar zal men beschikken over ( 1.10 ) over 3 jaar zal men beschikken over ( 1.10 ) 3 over m jaar zal men beschikken over ( 1.10 ) m euro euro euro gevraagd : bepaal m zodat ( 1.10 ) m = Exponentiële en logaritmische functies 11

74 Oefening 7 Los de volgende vergelijkingen op. Welke vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? 0 (1.03) t = 30 1 (0.97) x 8 (1.01) x = 0 10 g 17 = 50 5 (1.005) 1 t 6 = 3 (1.07) t + 15 e 3 t = 47 Exponentiële en logaritmische functies 1

75 Oefening 8 (a) Hoe lang moet een bedrag van euro belegd worden aan 5 % per jaar opdat het zou aangroeien tot euro? (b) Welk bedrag moet men beleggen aan 5 % per jaar opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot euro? (c) Aan welke rentevoet moet men een bedrag van euro beleggen opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot euro? (d) Welke van de bovenstaande vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? Oefening 9 Radium is een radioactieve stof. Dit betekent dat deze stof spontaan verandert in een andere stof en dat daarbij radioactieve straling vrijkomt. De hoeveelheid radium vermindert dus en deze afname kan goed gemodelleerd worden door de vergelijking waarbij A 0 de hoeveelheid radium voorstelt bij het begin, t de tijd die sindsdien verlopen is en A de hoeveelheid radium op dat tijdstip. (a) Na hoeveel tijd is er nog 10 % over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium? (b) Na hoeveel tijd is er nog de helft over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium? A = A 0 1 t 160 Exponentiële en logaritmische functies 13

76 Opfriscursus wiskunde dag 3 1. Schrijf zonder exponenten (eventueel wel met wortels) en bereken (uit het hoofd of met je rekenmachine) a. b. c d. e. f Bereken (zo mogelijk) uit het hoofd a. log8 d. log1 h. 4 5 log k. 3 log10 b. c. log3 1 log 8 e. f. g. 5 log1 log( ) log 0 i. j. 1 log log9 3. Bereken met behulp van je rekenmachine a. log1000 b. log c. ln3 d. ln 0.5 e. ln e 4. Bereken uit het hoofd: a. log0.001 b. log d. ln1 e. ln e f. 1 ln e c. 1 log10 5. Schrijf de volgende uitdrukkingen als één enkele macht van x. 0.5 a. ( x ) 3 b. c. 3 x x x 6 d. x x x 6. Vereenvoudig: 3 a. ( x y ) 4 b x y x y d. x 1 y 1 c. x y z yz xz xy 1

77 7. Los de volgende vergelijkingen op en controleer de oplossing door ze in de vergelijking in te vullen. Welke van deze vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? t a = 30 x x b = 0 c. d. e g = 50 1t 6 t = t 15e = Als een bedrag B 0 belegd wordt op samengestelde intrest tegen een rente van p% per jaar, dan is dat t p bedrag na t jaar aangegroeid tot B = B a. Hoe lang moet een bedrag van belegd worden aan 5% per jaar opdat het zou aangroeien tot ? b. Welk bedrag moet men beleggen aan 5% per jaar opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot ? c. Aan welke rentevoet moet men een bedrag van beleggen opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot ? d. Welke van de bovenstaande vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? 9. Radium is een radioactieve stof. Dit betekent dat deze stof spontaan verandert in een andere stof en dat daarbij radioactieve straling vrijkomt. De hoeveelheid radium vermindert dus en deze afname kan goed gemodelleerd worden door de vergelijking t = 0 A A waarbij A 0 de hoeveelheid radium voorstelt bij het begin, t de tijd die sindsdien verlopen is en A de hoeveelheid radium op dat tijdstip. a. Na hoeveel tijd is er nog 10% over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium? b. Na hoeveel tijd is er nog de helft over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium?,

78 Oplossingen 1. a. b. c = = = 1 d = e. 1 f = a. 3 b. 5 c. 3 d. 0 e. 0 f. niet bepaald g. niet bepaald h. 5 4 i. 1 3 j. k. kan niet uit het hoofd uitgerekend worden 3. a. 3 b c d e a. 3 b. 6 c. 1 d. 0 e. 1 f. 1 3

79 5. a. b. c. d. 1.5 x 7 3 x x x 6. a. 8 1 x y b. x 17 1 y c. x y z 1 d. x x y + y 1 7. a. t = , exponentiële vergelijking b. x = , exponentiële vergelijking c. g = , geen exponentiële vergelijking d. t = , exponentiële vergelijking e. t = , exponentiële vergelijking 8. a jaar b c. 4.14% d. alleen de eerste 9. a. na jaar b. na 160 (!) jaar 4

80 CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Rekenkundige en meetkundige rijen Rekenkundige en meetkundige rijen 1

81 Kapitaal op samengestelde interest Voorbeeld Een kapitaal van euro staat uit aan een samengestelde interest van % per jaar. bij storting heeft men K 0 = ( 1.0 ) 0 = over 1 jaar geeft dit. K 1 = ( 1.0 ) = 1000 over jaar geeft dit K = ( 1.0 ) = over 3 jaar geeft dit K 3 = ( 1.0 ) 3 = over n jaar geeft dit K n = ( 1.0 ) n Besluit: dit genereert een rij getallen rij 10000, 10 00, , ,..., (1.0) n,... 1 Definitie Een meetkundige rij met reden q is een rij getallen waarbij t 0, t 1, t, t 3,..., t n, t n +1,... t 0 t 1 t Terminologie t n = t 0 q n t 0 = t 0 q = t 1 q t 3 = t q. t n = t n 1 q Meetkundige rij noemt men de algemene term van de rij noemt men de beginterm Rekenkundige en meetkundige rijen

82 Oefening 1 Een wagen kost bij aankoop EUR. Elk jaar verliest de wagen 0 % van zijn waarde. Dit betekent dat de waarde van de wagen elk jaar met een factor 0.80 vermenigvuldigd wordt. De waarde van de wagen na n jaar stellen we voor door W n. (a) Druk W n uit in functie van n. (b) Welk soort rij vormen de getallen W 1, W, W 3,...? Oefening 4 Een blad papier heeft een dikte van 0.1 mm. We vouwen het blad achtereenvolgens verschillende keren dubbel. De dikte van het blad na n keer vouwen stellen we voor door d n. (a) Druk d n uit in functie van n. (b) Welk soort rij vormen de getallen d 1, d, d 3,...? Oefening 5 De rij t 0, t 1, t,... is een meetkundige rij met reden 3. Wat kan je dan zeggen over de rij t 0, t, t 4,...? Rekenkundige en meetkundige rijen 3

83 Oefening 3 Het BBP ( Bruto Binnenland Product ) van een land neemt elk jaar met.5 % toe. Dit wil zeggen dat het BBP elk jaar vermenigvuldigd wordt met een factor In jaar 1 bedraagt het BBP 600 miljard EUR. Het BBP ( in eenheden van 1 miljard EUR ) in jaar n stellen we voor door B n. (a) Druk B n uit in functie van n. (b) Welk soort rij vormen de getallen B 1, B, B 3,...? Rekenkundige en meetkundige rijen 4

84 Kapitaal op enkelvoudige interest Voorbeeld Een lening van euro staat open aan een enkelvoudige interest van % per jaar. bij afsluiting over 1 jaar is men de bank euro verschuldigd is men de bank K 1 = ( % van ) = verschuldigd zolang men niets terugbetaald heeft. Kapitaal op enkelvoudige interest Voorbeeld Een lening van euro staat open aan een enkelvoudige interest van % per jaar. bij afsluiting over 1 jaar over jaar is men de bank euro verschuldigd geeft dit is men de bank K 1 = = 1000 K = ( % van ) enkelvoudige interest verschuldigd zolang men niets terugbetaald heeft. Rekenkundige en meetkundige rijen 5

85 bij afsluiting is men de bank euro verschuldigd over 1 jaar geeft dit K 1 = = 1000 over jaar Kapitaal op enkelvoudige interest Voorbeeld Een lening van euro staat open aan een enkelvoudige interest van % per jaar. over 3 jaar geeft dit K = (00) = is men de bank K 3 = ( % van ) verschuldigd. Kapitaal op enkelvoudige interest Voorbeeld Een lening van euro staat open aan een enkelvoudige interest van % per jaar. bij afsluiting heeft is men men de bank K 0 = euro + 0 (00) verschuldigd = over 1 jaar geeft dit K 1 = (00) = 1000 = 1000 over jaar geeft dit K = (00) = over 3 jaar. geeft dit K 3 = (00) = over n jaar geeft dit K n = n (00) Besluit:. dit genereert een rij getallen 10000, 10 00, , 10600,..., n (00 ),... rij Rekenkundige en meetkundige rijen 6

86 Definitie Een rekenkundige rij met verschil v is een rij getallen waarbij t 0, t 1, t, t 3,..., t n, t n +1,... t 0 t 1 t Terminologie t n = t 0 + nv t 0 = t 0 + v = t 1 + v t 3 = t + v. t n = t n 1 + v Rekenkundige rij noemt men de algemene term van de rij noemt men de beginterm Rekenkundige en meetkundige rijen 7

87 Oefening Een machine in een firma kost bij aankoop 0000 EUR. Ze wordt afgeschreven over een periode van 40 jaar. Elk jaar wordt hetzelfde bedrag afgeschreven. De waarde van de machine na n jaar stellen we voor door W n. (a) Druk W n uit in functie van n. (b) Welk soort rij vormen de getallen W 1, W, W 3,...? Oefening 7 Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke maand eenzelfde bedrag betaald. Soms is het echter interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de maandelijkse betalingen een ( dalende) rekenkundige rij vormen. Veronderstel dat de betalingen voor een zekere lening gespreid worden over 40 maanden. De eerste maand betaalt men 855 EUR. Elke maand daalt het te betalen bedrag met EUR. (a) Bereken hoeveel men in de 61 ste maand moet betalen. (b) Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen. Rekenkundige en meetkundige rijen 8

88 Partieelsom van een rekenkundige rij Voorbeeld Om een lening af te betalen moet iemand aan het eind van elke maand een bedrag aan de bank storten. Deze maand is dit bedrag 1000 en voor elke volgende maand wordt het bedrag verminderd met 0. Wat is het totaal bedrag dat die persoon na jaar zal betaald hebben? Antwoord deze maand is het bedrag t 0 = 1000 volgende maand is het bedrag t 1 = (0 ) = 980 over maanden is het bedrag t = 1000 (0 ) = 960 over 3 maanden is het bedrag t 3 = (0 ) = 940. over 3 maanden is het bedrag t 3 = (0) = Te onthouden de som van n opeenvolgende termen in een rekenkundige rij wordt gegeven door de formule S n = t 1 + t + t t n 1 + t n = ( t 1 + t n ) n d.i. de som van de eerste en de laatste term maal het aantal termen gedeeld door Voorbeeld = Rekenkundige en meetkundige rijen 9

89 Oefening 7 Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke maand eenzelfde bedrag betaald. Soms is het echter interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de maandelijkse betalingen een ( dalende) rekenkundige rij vormen. Veronderstel dat de betalingen voor een zekere lening gespreid worden over 40 maanden. De eerste maand betaalt men 855 EUR. Elke maand daalt het te betalen bedrag bedrag met EUR. (a) Bereken hoeveel men in de 61 ste maand moet betalen. (b) Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen. Rekenkundige en meetkundige rijen 10

90 Voorbeeld Partieelsom van een meetkundige rij Een persoon beslist op zijn 0 ste verjaardag om aan pensioensparen te doen. Van zijn 0 ste tot en met zijn 65 ste verjaardag zal hij 1000 storten op een rekening die 10 % samengestelde interest opbrengt. Welk bedrag zal er net na zijn 65 ste verjaardag op die rekening staan? Antwoord de storting op 0 ste verjaardag brengt 1000 ( 1.10 ) 45 op de storting op 1 ste verjaardag brengt 1000 ( 1.10 ) 44 op de storting op ste verjaardag brengt 1000 ( 1.10 ) 43 op. de storting op 64 ste verjaardag brengt 1000 ( 1.10 ) 1 op de storting op 65 ste verjaardag brengt 1000 op. Algemeen Als q 1, dan 1 + q + q + q q n 1 + q n = 1 q n q Bewijs 1 + q + q + q q n 1 + q n = 1 + q + q + q q n 1 + q n Rekenkundige en meetkundige rijen 11

91 Te onthouden de som van de n+1 eerste termen van de meetkundige rij 1, q, q, q 3, q 4,..., q n 1, q n wordt gegeven door de formule S n = 1 + q + q + q q n 1 + q n = 1 q n q Voorbeeld 1000 ( ) Oefening 6 Welke van de onderstaande sommen kan je berekenen m.b.v. de formule voor de partieelsommen van een rekenkundige of een meetkundige rij? Bereken deze sommen m.b.v. de gepaste formule. (a) (b) de som van de eerste 0 termen van de rij 3, 9, 15, 1,... (c) de som van de eerste 10 termen van de rij 5,.5, 1.5,... (d) (e) (f) (g) (h) Rekenkundige en meetkundige rijen 1

92 Alle termen in de som Het sommatieteken S = zijn van dezelfde vorm (d.w.z. hebben dezelfde structuur ), namelijk 1.10 k waarbij k = 0, 1,,..., 45 Dit wordt verkort genoteerd als 45 S = 1.10 k k = 0 Terminologie: noemt men het sommatieteken Alle termen in de som Het sommatieteken S = zijn van dezelfde vorm (d.w.z. hebben dezelfde structuur ), namelijk 1.10 k waarbij k = 0, 1,,..., 45 Dit wordt verkort genoteerd als 45 S = 1.10 k k = Terminologie: noemt men het sommatieteken Rekenkundige en meetkundige rijen 13

93 Oefening Schrijf de volgende sommen uit oefening 6 met het sommatieteken. (a) (b) de som van de eerste 0 termen van de rij 3, 9, 15, 1,... (c) de som van de eerste 10 termen van de rij 5,.5, 1.5,... (d) (e) (f) (g) (h) Oefening Bereken ( indien mogelijk ) de volgende sommen: 100 ( i + 1) i = 1 0 k = k 40 j = 0 5 j l = 3 l 1 n ( 1) m m = 1 Rekenkundige en meetkundige rijen 14

94 Opfriscursus wiskunde dag 4 1. Een wagen kost bij aankoop EUR. Elk jaar verliest de wagen 0% van zijn waarde. Dat betekent dat de waarde van de wagen elk jaar met een factor 0.8 vermenigvuldigd wordt. De waarde van de wagen na n jaar stellen we voor door W. a. Druk W n uit in functie van n. b. Welk soort rij vormen de getallen W 0, W 1, W,? n. Een machine in een firma kost bij aankoop EUR. Ze wordt afgeschreven over een periode van 40 jaar. Elk jaar wordt een zelfde bedrag afgeschreven. De waarde van de machine na n jaar stellen we voor door W. n a. Druk W n uit in functie van n. b. Welk soort rij vormen de getallen W 0, W 1, W,? 3. Het BBP van een zeker land neemt elk jaar met.5% toe. Dit wil zeggen dat het BBP elk jaar vermenigvuldigd wordt met een factor In jaar 1 bedraagt het BBP 600 miljard EUR. Het BBP (in eenheden van 1 miljard EUR) in jaar n stellen we voor door B. a. Druk B n uit in functie van n. b. Welk soort rij vormen de getallen B 1, B, B 3,? n 4. Een blad papier heeft een dikte van 0.1 mm. We vouwen het blad achtereenvolgens verschillende keren dubbel. De dikte van het blad na n keer vouwen stellen we voor door d. a. Druk d n uit in functie van n. b. Welk soort rij vormen de getallen d 0, d 1, d,? n 5. De rij t 0, t 1, t, is een meetkundige rij met reden 3. Wat kan je dan zeggen over de rij t 0, t, t 4,? 6. Welke van de onderstaande sommen kan je berekenen m.b.v. de formule voor de partieelsom van een rekenkundige of meetkundige rij? Bereken deze sommen m.b.v. de gepaste formule. a b. de som van de eerste 0 termen van de rij 3, 9, 15, 1, c. de som van de eerste 10 termen van de rij 5,.5, 1.5, d. e f g h

95 7. Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke maand eenzelfde bedrag betaald. Soms is het echter interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de maandelijkse betalingen een (dalende) rekenkundige rij vormen. Veronderstel dat de betalingen voor een zekere lening gespreid worden over 40 maanden. De eerste maand betaalt men 855 EUR. Elke maand daalt het te betalen bedrag met EUR. a. Bereken hoeveel men in de 61 ste maand moet betalen. b. Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen. 8. Bereken 5! en 10!. 9. Bij het invullen van een lottoformulier moeten 6 getallen aangeduid worden in een rooster met daarin de getallen 1,, 3,, 4. In de combinatieleer toont men aan dat het aantal verschillende 4! mogelijkheden om een lottoformulier in te vullen, gegeven wordt door. Dit getal wordt ook 6!36! 4 genoteerd als en wordt het binomiaalgetal 4 over 6 genoemd.) 6 a. Toon aan dat je dit getal kunt vereenvoudigen tot b. Bereken dit getal. 0 c. Bereken op dezelfde manier het binomiaalgetal !.

96 Oplossingen 1. a. W = n b. meetkundige rij n. a. W n = n b. rekenkundige rij 3. a. n 1 B = (let op: 600 is de term met rangnummer 1) n b. meetkundige rij 4. a. d = 0.1 n b. meetkundige rij n 5. Deze rij is ook een meetkundige rij en heeft reden a b. 100 c d e f. geen partieelsom van een rekenkundige of meetkundige rij g h a. 735 EUR b EUR 8. 10, a. PM b c. 4845

97 CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Matrices en hun bewerkingen Matrices en hun bewerkingen 1

98 Tabellen en matrices Voorbeeld 1 Een boekhandel heeft filialen in verschillende steden. De verkoop van vorige maand in de respectievelijke filialen wordt samengevat in de volgende tabel: strips literatuur reisgidsen wetenschap hobby Antwerpen Brussel Gent Hasselt Leuven Tabellen en matrices Voorbeeld Een bank biedt beleggingsproducten aan met verschillende risicoprofielen. Het aantal producten in elke risicocategorie wordt samengevat in de volgende tabel: aandelen obligaties fondsen hoog risico gematigd risico 3 3 laag risico Matrices en hun bewerkingen

99 Tabellen en matrices Voorbeeld 3 Een meubelbedrijf heeft twee distributiecentra van waaruit vijf winkels worden bevoorraad. De volgende tabel geeft de transportkosten (in euro) weer: winkel A winkel B winkel C winkel D winkel E DC DC Tabellen en matrices Voorbeeld 4 De jaarlijkse productie van de respectievelijke continenten vind een afzetmarkt op de volgende manier: naar Europa Amerika Azië van Europa 50 % 30 % 0 % Amerika 0 % 60 % 0 % Azië 10 % 0 % 70 % Matrices en hun bewerkingen 3

100 Het wiskundig concept matrix Terminologie Een m x n matrix A is een ordening van mn getallen a ij in de vorm a 11 a 1... a 1j... a 1n a 1 a... a j... a n A = a i1 a i... a ij... a in a m1 a m... a mj... a mn De getallen a ij noemt men de van de matrix A Voorbeelden Matrices en hun bewerkingen 4

101 Oefening 1 Beschouw de matrix A = Wat zijn de dimensies van deze matrix? Bepaal de componenten a 13, a 1 en a 44 van A. Oefening Construeer de 4 x 3 matrix A met componenten a 1 = 0, a 3 = 1, a 33 = 3, a 41 = 7, en waarbij de overige componenten voldoen aan a ij = i j. Matrices en hun bewerkingen 5

102 Definitie: gelijke matrices Bijvoorbeeld, A = B dezelfde afmetingen en i, j a ij = b ij e log 81 3 Oefening 3 Voor welke waarden van de parameters u, v, w en t is 3 t 1 t v = t u u + 1 t + w Oefening 4 Voor welke waarden van de parameters u, v en w is u 4 u + 6 = log v 9 w u 8(3 w ) + 9 u Matrices en hun bewerkingen 6

103 Oefening De studentenpopulatie in een bacheloropleiding ziet er als volgt uit: in het eerste jaar zijn er 5 studenten ingeschreven, 436 in het tweede jaar studenten, en 385 in het derde jaar. Het aantal generatiestudenten in deze jaren zijn respectievelijk 475, 83 en 194. Stel deze gegevens voor in matrixvom. Definitie: de getransponeerde matrix 3 A = 6 9 A T = B = B T = C = C T = Notatie: A T Matrices en hun bewerkingen 7

104 Bewerkingen met matrices Voorbeeld Een multinational laat de volgende kwartaalcijfers optekenen: kwartaal 1 kwartaal kwartaal 3 kwartaal 4 Amerika Azië Europa Oceanië in keur Voor volgend jaar stelt men een groei van deze cijfers met 15 % voorop. Hoe zullen de kwartaalcijfers er dan moeten uitzien? Bewerkingen met matrices 1. scalair veelvoud A = A = 5 = In het bijzonder, 0A = 1A = ( 1)A = Matrices en hun bewerkingen 8

105 Voorbeeld (vervolg ) Een multinational laat de volgende kwartaalcijfers optekenen : vorig jaar: kwartaal 1 kwartaal kwartaal 3 kwartaal 4 Amerika Azië Europa Oceanië in keur dit jaar: kwartaal 1 kwartaal kwartaal 3 kwartaal 4 Amerika Azië Europa Oceanië in keur (b) Wat zijn de gedetailleerde resultaten van deze multinational over de twee jaren samen? (c) Hoe zijn de kwartaalcijfers geëvolueerd over deze twee jaren? Voorbeeld (vereenvoudigde opgave ) Een multinational laat de volgende resultaten ( in keur) optekenen: semester 1 semester Europa Amerika Azië semester 1 semester Europa Amerika Azië jaar geleden vorig jaar over de vorige jaren samen: evolutie over de vorige jaar: Europa Amerika Azië semester 1 semester Europa Amerika Azië semester 1 semester Matrices en hun bewerkingen 9

106 Bewerkingen met matrices 1. scalair veelvoud. optelling = aftrekking = Oefening 5 Beschouw de matrices A = en B = en C = Bereken 6 A, 9 B, A + B, A 3 B, A + C en B C T. Matrices en hun bewerkingen 10

107 Oefening 6 De volgende twee tabellen geven de verkoopsscijfers ( in duizendtallen ) weer die ACCO in 010 en in 015 gerealiseerd heeft in haar respectievelijke vestigingen: 010 Leuven Gent Antwerpen cursussen kantoorben Leuven Gent Antwerpen cursussen kantoorben In 011 zag ACCO de verkoopscijfers in al haar vestigingen dalen met 10%, maar door exclusiviteitscontracten af te sluiten met de universiteiten in haar vestigingsplaatsen kan zij in 016 de verkoop met de helft doen toenemen ten opzichte van 015. Beschijf de evolutie van de verkoop tussen 011 en 016. Oefening 7 Een speelgoedfabricant maakt puzzels, bord- en kaartspellen. De winst ( in keur ) die zij op elk van deze spellen maakt wordt weergegeven door de kolommatrix W = ( ) T en de productie kosten ( ook in keur ) door de kolommatrix K = ( ) T. Na een grondig marktonderzoek becijfert zij dat, indien de productiekosten ongewijzigd blijven, zij haar winst kan verdubbelen door via een andere prijsstrategie haar opbrengst op te krikken tot 80 % van de omzet van haar grootste concurrent. Wat is dan de omzet van haar concurrent? Matrices en hun bewerkingen 11

108 Voorbeeld Het wekelijkse boodschappenlijstje van de familie Kiekeboe en dat van de familie Van Der Neffe ziet er als volgt uit : familie Kiekeboe familie Van Der Neffe droge voeding 4 stuks droge voeding 7 stuks vlees & vis 7 stuks vlees & vis 5 stuks groenten & fruit 9 stuks groenten & fruit 6 stuks drank 5 stuks drank 9 stuks was - & poetsproducten 4 stuks was - & poetsproducten 5 stuks huishoudmateriaal 1 stuks huishoudmateriaal stuks (a) Construeer een 6 x matrix die de kwantitatieve informatie in de boodschappenlijstjes van beide families samenvat. De gemiddelde prijzen (in ) van basisproducten bij verschillende supermarketketens wordt samengevat in de volgende tabel: droge voeding vlees & vis groeten & fruit drank was - & poets - producten huishoud - materiaal Aldi Carrefour Delhaize Match (b) De familie Kiekeboe gaat winkelen bij Carrefour. Hoeveel zal hun wekelijkse winkelkar gemiddeld kosten? (c) De familie Van Der Neffe daarentegen gaat winkelen bij Match. Hoeveel zal hun wekelijkse winkelkar gemiddeld kosten? (d) Bij welke winkelketen zou de familie Kiekeboe het goedkoopst gediend zijn? En, de familie Van Der Neffe? Matrices en hun bewerkingen 1

109 Oplossing Kiekeboe V.D. Neffe Aldi Carrefour Delhaize Match (b) De familie Kiekeboe gaat winkelen bij Carrefour. Hoeveel zal hun wekelijkse winkelkar gemiddeld kosten? antwoord: de familie Kiekeboe zal bij Carrefour euro moeten betalen. Oplossing Kiekeboe V.D. Neffe Aldi Carrefour Delhaize Match (c) De familie Van Der Neffe daarentegen gaat winkelen bij Match. Hoeveel zal hun wekelijkse winkelkar gemiddeld kosten? antwoord: de familie Van Der Neffe zal bij Match euro moeten betalen. Matrices en hun bewerkingen 13

110 Bewerkingen met matrices 3. vermenigvuldiging = Algemeen: de (i, j ) de component van A B is (AB ) ij = Merk op: = Te onthouden Als A een m x n matrix is en B is een p x q matrix, dan bestaat A B enkel en alleen indien In dat geval A B is dan een matrix Matrices en hun bewerkingen 14

111 Oefening 8 Bereken alle mogelijke producten van de matrices met de hand A = , B = en 1 0 C = Oefening 9 Bereken, indien mogelijk, de volgende matrixvermenigvuldigingen: x y, , , , Matrices en hun bewerkingen 15

112 Oplossing x y = = = Oplossing ( vervolg ) = = = Matrices en hun bewerkingen 16

113 Bijzondere matrices 0 pxq = een p x q - nulmatrix I n = een n x n - eenheidsmatrix Eigenschap : 0 pxq + A = en A + 0 pxq = 0 pxq A = en A 0 pxq = I n A = en AI n = Rekenregels voor matrices Voor alle getallen r, s IR en alle matrices A, B, C waarvoor de bewerkingen gedefinieerd zijn, gelden de volgende rekenregels: ( r + s ) A = r A + s A r ( A + B ) = r A + r B ( r s ) A = r ( s A ) ( A T ) T = A ( r A ) T = r A T ( A + B ) T = A T + B T A + B = B + A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) ( r A ) B = r ( A B ) = A ( r B ) A ( B + C ) = A B + A C A ( r B + s C ) = r A B + s A C ( B + C ) A = B A + C A ( r B + s C ) A = r B A + s C A Matrices en hun bewerkingen 17

114 Belangrijke opmerkingen (a) A B B A in het algemeen bv. A = en B = (b) AB = 0 pxq A = 0 pxr of B = 0 rxq bv. A = X en B = (c) A = 0 nxn bv. A = X A = 0 nxn X X (d) AB = AC en A 0 pxq B = C BA = CA en A 0 pxq B = C bv. A = 1 4 en B = en C = dan A 0 x en B C maar A B = = en A C = = 4 1 Matrices en hun bewerkingen 18

115 Oefening 10 A, B en C zijn vierkante matrices. Is de volgende uitspraak juist of fout? Corrigeer de foute uitspraken. ( A + B ) = A + A B + B ( A B ) = A A B + B A(B C) = A B A C ( A + B )( A B ) = A B Oefening 11 Werkstudenten hebben de volgende studiegewoonten. Als hij/zij vanavond studeert, dan is er 70% kans dat hij/zij morgenavond ook zal studeren. Maar als hij/zij vanavond niet studeert, dan geraakt hij/zij moeilijk terug in het studeerritme en is er 60% kans dat hij/zij morgenavond ook niet zal studeren. (a) Stel een matrixmodel op dat het studeergedrag van deze studenten modelleert. (b) In een schakeljaar zijn er 100 studenten ingeschreven. Als er vanavond 70 studenten studeren, hoeveel studenten zullen er dan morgenavond studeren? En hoeveel niet? (c) Hoeveel van deze 100 studenten hebben er gisterenavond gestudeerd? Matrices en hun bewerkingen 19

116 Oefening 1 De demografische verdeling van een land is als volgt : 3 miljoen inwoners zijn jonger dan 30 jaar, 5 miljoen hebben er een leeftijd tussen 30 en 60 jaar, en miljoen inwoners zijn ouder dan 60 jaar. Door natuurlijke evolutie zijn deze aantallen continu in beweging. Noteer met L 1 de leeftijdscategorie van inwoners die jonger zijn dan 30 jaar, met L de leeftijdsklasse van mensen tussen 30 en 60 jaar oud, en met L 3 de leeftijdsgroep van burgers ouder dan 60 jaar. Over een periode van 30 jaar verandert de leeftijds - structuur van dat land als volgt : door geboortes groeit de bevolking aan met 0.8 eenheden per persoon uit L 1 en met 0.1 eenheden per persoon uit L, maar er zijn geen geboortes uit L 3. Anderzijds vermindert het bevolkingsaantal over eenzelfde periode van 30 jaar door sterftes en emigratie met 10 % in L 1, met 30 % in L, en met 100 % in L 3. Bovenop deze natuurlijke processen groeit de bevolking van het land ook aan door immigratie. Over dezelfde periode van 30 jaar komen er personen bij in leeftijds - categorie L 1, in leeftijdsklasse L en 000 in L 3. (a) Construeer een matrixmodel dat de evolutie van de bevolkingsaantallen in elke leeftijdscategorie over een periode van 30 jaar beschrijft. (b) Hoe zal de leeftijdsverdeling van de bevolking er over 30 jaar uitzien? En hoe over 60 jaar? Matrices en hun bewerkingen 0

117 CAMPUS BRUSSEL Nog veel moed bij het studeren, succes bij de test, en vooral heel veel succes bij de studies!!!!! Matrices en hun bewerkingen 1

118 KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden Oefeningen met oplossingen September 013 C. Biront met medewerking van D. De Bock, A. Gheysen, A. Laeremans en T. Moons

119 Verantwoording Als je handelswetenschappen studeert, zal je vaak geconfronteerd worden met cijfermateriaal. De geproduceerde hoeveelheid van een goed, de prijs van dat goed, de totale, gemiddelde en marginale kosten, zijn allemaal grootheden die met getallen uitgedrukt worden en waarmee gerekend kan worden, m.a.w. kwantitatieve grootheden. In heel wat situaties zijn de concrete getalwaarden van die grootheden niet gegeven omdat het veranderlijken (variabelen) of parameters zijn. In dat geval worden die grootheden voorgesteld door letters (hoeveelheid: q, prijs: p, ). Om de verbanden tussen die grootheden weer te geven, ontstaan uitdrukkingen met letters (die getallen voorstellen). We spreken van algebraïsche uitdrukkingen. Om die verbanden verder te analyseren moet met die algebraïsche uitdrukkingen gerekend worden. Om dat te kunnen, moet je over algebraïsche vaardigheden beschikken. In deze tekst herhalen we een aantal basisregels van de elementaire algebra 1. Daarna illustreren we het gebruik van die regels met een aantal voorbeelden. Tot slot geven we opgaven (met de eindoplossingen) zodat je zelf kan oefenen. Door die oefeningen te maken leer je de juiste regels van de algebra toepassen en verwerf je de algebraïsche vaardigheden die als voorkennis voor je studie handelswetenschappen vereist zijn. We willen beklemtonen dat de algebraïsche vaardigheden geen doel op zich zijn maar een middel om o.a. (bedrijfs)economische en statistische problemen te analyseren. De cursussen wiskunde in de opleiding handelswetenschappen zijn dan ook helemaal niet te vergelijken met deze tekst. Ze zijn veel meer op toepassingen gericht. Deze tekst bevat (een deel van) de noodzakelijke voorkennis. 1 Het woord Algebra is afgeleid van het Arabisch woord Al-Jabr uit het rond 80 geschreven werk Hisab al-jabr w'al-muqabala van Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al- Khwarizmi. Met elementaire algebra bedoelen we het rekenen met letters en het manipuleren en oplossen van vergelijkingen. In de hedendaagse wiskunde heeft het woord Algebra een ruimere en abstractere betekenis gekregen. 1

120 1. Uitwerken van haakjes en buiten haakjes brengen VOLGORDE OPTELLING, VERMENIGVULDIGING EN HAAKJES Het TEGENGESTELDE van een getal verkrijg je door DAT GETAL TE VERMENIGVULDIGEN MET 1. a 1 a Een AFTREKKING kan je herleiden tot een OPTELLING, een DELING tot een VERMENIGVULDIGING. a 1 a : b a b b 1 a b a b a b VERMENIGVULDIGINGEN moet je VÓÓR OPTELLINGEN uitvoeren. HAAKJES kunnen die volgorde veranderen. Je moet ze EERST uitwerken waarbij je weer VERMENIGVULDIGINGEN VÓÓR OPTELLINGEN moet uitvoeren. Voorbeelden REKENREGELS Als a, b, c en d reële getallen zijn dan geldt: a b c d a b c d a b c d... a b c d... In een som van meerdere termen (gedurige som) mag je om het even waar haakjes invoeren en weglaten. a b c d c a d b... b c d a... In een som van meerdere termen (gedurige som) mag je de volgorde van de termen om het even hoe wijzigen.

121 Uiteindelijk betekent dit dus: a b c d a b c d d c a b... c a d b... In een som van meerdere termen (gedurige som) mag je de volgorde van de termen om het even hoe wijzigen en mag je om het even waar haakjes invoeren en weglaten. Als a, b, c en d reële getallen zijn dan geldt: a b c d a b c d a b c d... a b c d... In een product van meerdere factoren (gedurig product) mag je om het even waar haakjes invoeren en weglaten. a b c d c a d b... b c d a... In een product van meerdere factoren (gedurig product) mag je de volgorde van de factoren om het even hoe wijzigen. Uiteindelijk betekent dit dus: a b c d a b c d d c a b... c a d b... In een product van meerdere factoren (gedurig product) mag je de volgorde van de factoren om het even hoe wijzigen en mag je om het even waar haakjes invoeren en weglaten. Als a, b, c en d reële getallen zijn dan geldt ook: Voorbeelden ab c ab ac a b c ac bc a b c d a c d b c d ac ad bc bd a b a b a b a b a b 1. a 7 b 3 c d a 7 b 3 c d a b c d 7 3 a b c d 7 3 a b c d a b 30ab b a b a a b 3

122 3. a b 1 1 a b 1 1 a 1 b a b a b 1 a b 1 a 1 b 1 a 1 1 b a b Praktische regel: als er een minteken voor een haakje staat mag je de haakjes en dat minteken weglaten op voorwaarde dat je alle tekens binnen de haakjes verandert a c b 5 3 d 6 a c b 5 3 d 5. 6 a c 3 b 3 d 6 a c 3 b 3 d a b c d a b x y a b x y a 3b 3x y a 6b 6x 4y a 6b 6x 4y 9 6a 6b 6x 4y Bij meerdere paren haakjes begin je best met het uitwerken van de binnenste haakjes. 3a 5b 4c 5a b 3a 5a 5b b 4c a 5 b 4c 8a 7b 4c 7. 3x 3y 6 58x 5y 7 6x 9y 18 40x 5y 35 6x 40x 9y 5y x 34y p s a b a b ap bp as bs a 6b ap 3bp as 3bs 9. In de vorige voorbeelden hebben we telkens haakjes weggewerkt. In veel toepassingen is het net nuttig om zoveel mogelijk factoren buiten haakjes te plaatsen: 3abc 6ac 30bc 3c ab 3c a 3c 10b 3c ab a 10b 4

123 Oefeningen 1. Werk de haakjes uit en vereenvoudig. (a) x y 3 z (b) r s 3 s r (c) r s r r s b a a a b a (d) (e) a b c 3 a b c 1. Plaats zoveel mogelijk factoren buiten haakjes. (a) 5xyz 5xz 50z (b) 3pr 1prst 4prt 33prs 3. Vul aan door de aangeduide factor buiten haakjes te brengen, vereenvoudig die factor en plaats indien mogelijk nog meer factoren buiten haakjes. (a) a 4 b( x y) 4a 8b x 3y z a b... (b) ay 6z b c y 6z b4y 1z y 3 z (c) Oplossingen 1. (a) x y z 5 p r s t pq r s t r s t r s t (b) 5 (c) 18r 116s 68 (d) 43a 13b 80 (e) 3a 3b 3c ac bc 3. (a) 5z xy 5x 10 (b) 3pr 1 4st 8t 11s 3. (a) a b x 8y z (b) y 3z a b c (c) r s t p pq 1 5

124 . Rekenen met breuken REKENREGELS Als a, b, c en d reële getallen zijn (en de getallen in de noemer verschillend van nul zijn), dan geldt: a a c b b c a 1 a a b 1 b b Teller en noemer mag je met eenzelfde getal vermenigvuldigen of door eenzelfde getal delen. a b a b c c c a c a d c b ad bc b d b d d b bd a b a b a c b ac b c 1 c 1 c c c Breuken optellen: gelijknamig maken (gelijke noemers) en de tellers optellen. a c a c ac b d b d bd a b a b ab c 1 c c b b 1 b b 1 c c 1 c c b b 1 b b 1 c c 1 c c Breuken vermenigvuldigen: tellers vermenigvuldigen met elkaar én noemers vermenigvuldigen met elkaar. 6

125 a b a d ad c b c bc d a a b b a 1 a c c b c bc 1 a a 1 a c ac b b 1 b b c c Delen door een breuk: vermenigvuldig met de omgekeerde breuk Voorbeelden a 3 b a 5 x z 3 y z b x y y 5x 10z y 5 x z 5x y z 10z x y 5axz 6yz bxy 10xyz rs 4ps p s s r p r p r r p 1 rs p s rs p s r r p s s p s s r p s r 1 r 1 r r x x x y x y xy x a y a y a y a 1 y a y a 1 y y y y 5. De breuk uit vorig voorbeeld kan eenvoudiger als volgt berekend worden: x x y xy a a 1 a 1 y y y y y 1 y xy y a 7

126 Oefeningen Herleid tot één breuk (met één enkele breukstreep). Vereenvoudig indien mogelijk. Werk de tellers en de noemers uit x y x y z z x y a b z 3 x y z a b c p 4p x 3y x 3y 5 a b 1 c d a b Oplossingen x x z z ax bx ay by 6z cx cy az bz x 3y x 3y 5a 5b bd ad bc bd 8

127 3. Machten met gehele exponenten DEFINITIES Als a een reëel getal is en n een natuurlijk getal verschillend van 0 en 1 geldt: n a a a a a n factoren a a a n n ( a 0) a a 1 ( a 0) VOLGORDE OPTELLING, VERMENIGVULDIGING, MACHTSVERHEFFING EN HAAKJES MACHTEN hebben VOORRANG op VERMENIGVULDIGINGEN. VERMENIGVULDIGINGEN hebben VOORRANG op OPTELLINGEN. Als er HAAKJES voorkomen, moet je die EERST uitwerken. Voorbeelden a a a is voor a 1 gelijk aan:

128 REKENREGELS Als a en b reële getallen zijn en r en s gehele getallen dan geldt (indien nodig wordt verondersteld dat a en/of b verschillend zijn van 0): Voorbeelden a a a a a r s r s r s a r a s r rs a rs r r r a b a b a b r a r b x y x y y x 3y x x y y x y y 3 x y 6 x y 3 5 6y 6y x y 6xy x y x x y x x y x y x y x 8x 3y 5y x 3y 1 5x 5y x 8x x 3y 5y x 5y 3y x 5y 16 x 6xy 10xy 15y x y x x x y y x y y 1 5x 5y 16 6xy 10xy 15y y 5x 5y 4xy 16 10

129 Oefeningen Vereenvoudig zover mogelijk. Schrijf het resultaat als één breuk en zonder negatieve exponenten xy a 3 xy x a b b 4 1 x x y x x y y y x ( x) 1 1 y 1 y 3x (Bij meerdere paren haakjes gebruiken we soms verschillende soorten haakjes.) Oplossingen xy xy a b 18a b 3 3 9a b 9a b 3 6x 5 xy xy xy 3 y

130 4. Merkwaardige producten en ontbinden in factoren REKENREGELS Als a, b, en c reële getallen zijn dan geldt: a b c ab ac a b c ac bc Als a en b reële getallen zijn, dan gelden de volgende MERKWAARDIGE PRODUCTEN: a b a b a b a b a b a b a ab b a b a b a b a ab b Een uitdrukking UITWERKEN betekent dat je ze als een SOM schrijft. Bovenstaande formules toepassen van links naar rechts is dus uitwerken. Een uitdrukking ONTBINDEN betekent dat je ze als een PRODUCT schrijft. Bovenstaande formules toepassen van rechts naar links is dus ontbinden. Voorbeelden van uitwerken 1. x 3x x 4x 5 x y x y 3 6x 4x 4x 4x 5 5 x y 6x 4x 16x 40x 5 x y 3 3 4x 9x y 40x 5. a b 3 a b 1 a b ( a b) a ab b a a a ab a b b a b ab b b a a b ab a b ab b 3 3 a 3a b 3ab b x y y x y x y x y x 4y x

131 a 1 b b a b a a a a b 1 3 b b a b 3 1 a a b ab b 1 a b a ab b a b a b a ab b a b 4a 4ab b a ab b a b 4a 4ab b a 14ab b a b Voorbeelden van ontbinden 1. x 1x 18 x 6x 9 x x 3 3 x 3. 4 b b b b 4a ab a a a a 4ab 4b a b a 4ab 4b a b a b a b a b a b 1 a b 1 a b x 1 x 1 4. x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 5. y y y y y y 4 x x x x x x x x x x x y y y y y 1 13

132 5. Herhalingsoefeningen Van de oplossingen worden soms twee vormen gegeven die aan elkaar gelijk zijn. Het volstaat in eerste instantie minstens één van die vormen te vinden (of nog een andere die er ook aan gelijk is). Bij het vergelijken van je antwoord met de opgegeven oplossing, moet je dan kunnen verklaren waarom de andere vorm(en) ook correct is (zijn). 1. Elk van de uitdrukkingen in de linkerkolom is gelijk aan precies één uitdrukking in de rechterkolom. Plaats de gelijke uitdrukkingen bij elkaar. a. a a b b A. a b a b b. b a B. b a b a c. d. e. b a a b a b a b C. b a a b D. b a b a E. a b f. a b b F. a b a g. a b b a G. a a b a h. b a H. b a a b i. a b I. a b b a b j. ab b 1 J. a 3 a a b 1 a a 1. Werk uit. Gebruik indien mogelijk merkwaardige producten. (a) x 5y 1 x x y x y (b) a 1 a 3b 8 (c) 3x 3 x x 3x 4 (d) xy 3 (e) p q p q (f) a a 4 a (g) y x y x 14

133 3. Ontbind in factoren. (a) (b) 0xy 30xy z 5xy z a b ab ab 16 4 x y 3 (c) x y (d) x y 3 x y 4x 3 y 3 x y 3 (e) (f) 4r s 16rs 5 5x y z 15x z 40x y z (g) 5a b 0 a b (h) (i) (j) (k) 5x 40x 80x A 5 3 p p p 1 ax ay bx by 4. Vul de juiste factor op de puntjes in. 9a (a) 5a 9a (b) 3 a b 1 a b a b 3 3 4x (c) 3x 4x 1 x x 5. Schrijf als één enkele breuk en ontbind teller en noemer van deze breuk zoveel mogelijk in factoren. (a) (b) 1 a 1 1 a y xy xy y x 15

134 (c) (d) (e) (f) ab c a b b a ab c 3 x 5 y z yz x 5 4x 4 3 xy x 1 3 xy 3 x 5 x 1 (g) 5 5 x 5 (h) a1 a1 a1 a1 5s s 1 1 (i) s 3 s s (j) a b b b a a b 1 1 ab (k) a a b ab a 1 (l) (m) x x 3 5 x x 1 y 1 x y x x y y 16

135 6. De uitdrukking 1 x y is gelijk aan één van de onderstaande uitdrukkingen. Aan welke? Verklaar uw antwoord. (a) (b) (c) (d) (e) 1 x y 1 x 4y 1 x y 1 x 4y x y xy x y Oplossingen 1. a en H; b en E; c en C; d en G; e en B; f en I; g en J; h en A; i en D; j en F. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) x 10xy 4y 4x 1 a 3ab 10a 3b 8 6x 15x 1x 1x x y p xy 9 4 4q a x x y y (a) 5xy 4y 6z 5z 3 ab b 1 (b) ab 1 ab ab 4b x y x y x y 9x 9y (c) (d) x y 3 x y x y x y 3 x y x y 4 (e) 4rs r 4s (f) 5x 3 z 4 5y 1 3x z 4 8xy (g) 5a b 1 4a 4b (h) 5x x 4 (i) 6A5 6A 5 (j) p 1 p 1 (k) x y x y a b 17

136 4. (a) a 5 9a a b a b 4 0 0x x 5 x (b) (c) 5. (a) a (b) 1 x xy (c) (d) c ab ab c x 5 yz 4x (e) y (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) x 5 8x 13 x 5 x 1 5x x 5 4a a1 a1 3 4s s 4s 3 s a b a a b a 3 x 6x 10 1 x s 3 6. De uitdrukking onder (e). Verklaring: 1 x y 1 x y 1 x 1 x y y 18