Opfriscursus Wiskunde

Transcriptie

1 FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN FEB Campus Brussel Opfriscursus Wiskunde voor het Schakelprogramma Handelswetenschappen in avondonderwijs Chris BIRONT Johan DEPREZ Theo MOONS september 016

2 CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Schakelprogramma Handelswetenschappen in avondonderwijs CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Inleiding Inleiding 1

3 Opfriscursus Wiskunde docent : Theo Moons bureel : T Serclaes gebouw, lokaal A Skype : Theo.Moons@kuleuven.be theomoonshub Opfriscursus Wiskunde doel: de nodige voorkennis van wiskunde opfrissen om het Schakelprogramma Handelswetenschappen succesvol te kunnen aanvatten praktisch: 5 lessen telkens van 17u30 tot 1u30 ( met pauze ) gevolgd door een zelftest per les ongeveer 3 uur om extra oefeningen te maken en, een ruime herhaling als voorbereiding op de zelftest voorkennis: elementair algebraïsch rekenen [ indien nodig, zelf op te frissen! ] Inleiding

4 Didactisch materiaal map met handouts van de presentaties en oefeningen website met daarop tekst Elementair algebraïsch rekenen ( voor zelfstudie ) de verwachte voorkennis voor het Schakelprogramma per lesdag een printout van de volledige powerpoint herhalingsoefeningen ter voorbereiding van de zelftest software: VisuMath 3.0 ( download van ) voor Apple & Mac : Grapher eventueel een rekenmachine ( als je er één hebt ) Voor bijkomende informatie en oefeningen J. van de Craats en R. Bosch, Basisboek wiskunde, de editie, Pearson Education Benelux, Amsterdam, 009, ISBN gedeeltelijk beschikbaar via [ zie website opfriscursus voor wat je hiervan moet kennen ] websites met instructiefilmpjes en/of interactieve oefeningen: Inleiding 3

5 Voorkennis wiskunde In de cursussen Wiskunde voor Bedrijfseconomen wordt er verondersteld dat u een aantal elementaire begrippen en rekentechnieken uit de wiskunde kent en kunt gebruiken. Een goed boek waarin de basiskennis van wiskunde overzichtelijk weergegeven wordt en dat eveneens voldoende oefenmateriaal bevat om die kennis opnieuw in de vingers te krijgen is: J. van de Craats & R. Bosch, Basisboek Wiskunde (de editie), Pearson Education Benelux, Amsterdam, 009, ISBN Grote delen van dit boek kan u ook online raadplegen via de link craats/basisboekwiskundehp.pdf De volgende hoofdstukken uit dit boek worden in de cursussen Wiskunde voor Bedrijfseconomen verondersteld gekend te zijn. De onderwerpen aangeduid met een asterix (d.i. ) komen aan bod in de Opfriscursus Wiskunde voor het avondprogramma. Hoofdstuk 1. Getallen Hoofdstuk. Algebra Hoofdstuk 3. Getallenrijen : 8. Rijen en limieten (alleen Rekenkundige rijen en Meetkundige rijen, maar niet Limieten van rijen en en Snelle stijgers.) Hoofdstuk 4. Vergelijkingen Hoofdstuk 5. Meetkunde : 1. Lijnen in het vlak en 14. Cirkels (maar niet Raaklijnen aan een cirkel ) Hoofdstuk 6. Functies : 16. Functies en grafieken Hoofdstuk 6. Functies : 18. Exponentiële functies en logaritmen Verder wordt er ook verondersteld dat je elementaire berekeningen met matrices kan uitvoeren. Een goede referentie hiervoor is Hoofdstuk 5. Matrixrekening uit het boek J. van de Craats, Vervolgboek Wiskunde, Pearson Education Benelux, Amsterdam, 009, ISBN waarvan u eveneens grote delen online kan raadplegen raadplegen via de link craats/vervolgboekwiskundehp.pdf

6 CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Eerste graadsfuncties Eerste-graadsfuncties 1

7 Eerste graadsfuncties: een voorbeeld Een taxibedrijf rekent de volgende kosten aan haar klanten: een vaste vertrekprijs van 5 een kilometerprijs van Dan een rit van 7 km kost een rit van 1 km kost een rit van 3 km Algemeen:. kost een rit van x km kost Eerste graadsfuncties: een voorbeeld Besluit: de kostprijs y (in euro) van een taxirit van x km wordt gegeven door y = 5 + x wiskundige terminologie: x en y zijn de vergelijking y = 5 + x definieert een de veranderlijken x en y Merk op: dit is een bijzondere soort van relatie nl. je kiest x, en dan ligt y vast men spreekt in dat geval van een x is de y is de veranderlijke veranderlijke de vergelijking y = 5 + x geeft het van deze functie tussen Eerste-graadsfuncties

8 Andere voorbeelden van eerste graadsfuncties Andere taxibedrijven hanteren andere vertrek- en km prijzen bv. y = x resp. y = x enzovoort Algemeen: kostprijs y = (vaste startprijs) + (prijs per km) x formeel: met q, m IR constanten terminologie: m en q noemt men Merk op: y is een veelterm van de eerste graad in x y is een eerste graadsfunctie van x Andere voorbeelden van eerste graadsfuncties Voorbeeld Het maandloon van een verkoper bestaat uit een basisbedrag van 1500 aangevuld met 5% van de totale waarde van de omzet die hij vorige maand gerealiseerd heeft. Als de verkoper vorige maand voor een totaal van x = verkocht heeft, dan bedraagt zijn loon deze maand y = Algemeen: als de verkoper s omzet vorige maand x bedroeg, dan krijgt hij deze maand y = loon. Merk op: y = q + mx met q = en m = een eerste graadsfunctie Eerste-graadsfuncties 3

9 Andere voorbeelden van eerste graadsfuncties Voorbeeld 3 Een bedrijfswagen wordt aangekocht voor maar verliest elk jaar 1000 van zijn waarde. De waarde y van de bedrijfswagen 1 jaar na aankoop is y = jaar na aankoop is y = 3 jaar na aankoop is y =. Algemeen: x jaar na aankoop is y = Merk op: y = q + mx met q = en m =. een eerste graadsfunctie Andere voorbeelden van eerste graadsfuncties De vraag v naar een product hangt af van de prijs x van het product: hoe hoger de prijs, hoe minder er van verkocht wordt en hoe lager de prijs, hoe meer er van verkocht wordt bv. v = x een eerste graadsfunctie MAAR de opbrengst die de producent ontvangt bij prijs x is TO = Merk op: dit is y is van de vorm y = q + mx met q, m const. eerste graadsfunctie van x Eerste-graadsfuncties 4

10 Functies en hun voorstellingswijzen Begripsomschrijving: (voorlopige versie ) een functie van één veranderlijke is een regel die moet toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal y Voorstellingswijze 1: met een vergelijking Voorbeelden een taxirit van x km kost y = 5 + x euro een omzet van x euro, geeft y = x euro loon x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 0000 nog y = x euro waard bij een prijs van x is de vraag v = x eenheden bij een prijs van x is de opbrengst TO = 100 x 30 x Voorstellingswijze : met een functievoorschrift Begripsomschrijving: (voorlopige versie ) een functie f van één veranderlijke is een regel die moet toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal f (x) formeel: f : IR IR : x f (x) Voorbeelden een taxirit van x km kost f (x) = 5 + x euro een omzet van x euro geeft f (x) = x euro loon x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 0000 nog f (x) = x euro waard bij een prijs van x is de vraag f (x) = x eenheden bij een prijs van x is de opbrengst f (x) = 100 x 30 x Eerste-graadsfuncties 5

11 Voorstellingswijze 3: met een grafiek Begripsomschrijving : een functie f van één veranderlijke is een regel die moet toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal y = f (x) Voorbeelden een taxirit van x km kost f (x) = 5 + x euro Dan f (0) = f (5) = f (10) = f (15) = f (0) = f (5) = y x x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 0000 nog f (x) = x k EUR waard Dan f (0) = 0 1(0) = f () = 0 1() = f (4) = 0 1(4) = y k f (6) = 0 1(6) = f (8) = 0 1(8) = f (10) = 0 1(10) = x Eerste-graadsfuncties 6

12 Meetkundige interpretatie van de parameters de grafiek van een eerste graadsfunctie f (x) = mx + q is de rechte met vergelijking y = mx + q q = is de en geeft de plaats waar de grafiek de vertikale as snijdt m is de [ of kortweg ] en geeft de van de rechte weer [ Engels : slope ] Meer nog, m > 0 een rechte m = 0 een rechte m < 0 een rechte en, de grootte van m bepaalt hoe de rechte is Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt Voorbeeld Taxibedrijf : vertrekprijs 5 prijs per km Bijgevolg, als er x km gereden worden, dan kost de rit y = x + 5 Merk op: m = Anders gezegd, als er 1 km méér gereden wordt, dan neemt de prijs toe met of nog: als x toeneemt met 1 eenheid, dan neemt y toe met eenheden Eerste-graadsfuncties 7

13 Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > Y y = 5 + x X > Voorbeeld ( taxibedrijf ) vertrekprijs 5 vaste kost prijs per km marginale kost = m richtingscoëfficiënt van de grafiek d.w.z. als x toeneemt met 1 eenheid, dan neemt y toe met m = eenheden Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > Y y = 5 + x X > Voorbeeld ( taxibedrijf ) vertrekprijs 5 vaste kost prijs per km = m marginale kost richtingscoëfficiënt van de grafiek d.w.z. als x toeneemt met 1 eenheid, dan neemt y toe met m = eenheden Merk op: dit hangt niet af van de plaats op de grafiek Eerste-graadsfuncties 8

14 Samengevat : Concreet, prijs per km = marginale kost als er 1 km méér gereden wordt, dan neemt de prijs toe met m = Maar ook, = rico m van de grafiek 3 km meer rijden meer betalen 5 km meer rijden meer betalen. x km meer rijden y =. meer betalen Formeel: y = of nog m Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > Y y = 5 + x Voorbeeld ( taxibedrijf ) prijs per km Formeel: = m m marginale kost rico van de grafiek y x Welnu, m y x X > Eerste-graadsfuncties 9

15 Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > Y y = 5 + x Voorbeeld ( taxibedrijf ) prijs per km Formeel: = m m marginale kost rico van de grafiek y x Welnu, alsook m m y x y x 1 X > Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > Y y = 5 + x Voorbeeld ( taxibedrijf ) prijs per km Formeel: = m m marginale kost rico van de grafiek y x X > Welnu, alsook of nog m m m y x y x y x 1 4 Eerste-graadsfuncties 10

16 Oefening Schat de richtingscoëfficiënt van de volgende rechten (a) Y y rico m = x = X Oefening Schat de richtingscoëfficiënt van de volgende rechten (b) Y rico m = = y x X Eerste-graadsfuncties 11

17 Oefening 1 (a) Stel de rechte met vergelijking y = x 1 voor op een figuur. Maak hiervoor gebruik van de meetkundige betekenis van intercept en richtingscoëfficiënt. (b) Welke y - waarde hoort er bij x =? [ Controleer je antwoord op de figuur. ] (c) Welke x - waarde hoort er bij y =? [ Controleer je antwoord op de figuur. ] Oefening Bepaal de vergelijking van de vorm y = m x + q voor elk van de rechten A, B, C, D, E en F uit de onderstaande figuur door gebruik te maken van de meetkundige betekenis van m en q. E D > Y B F (3,9) (6,6) A C X > Eerste-graadsfuncties 1

18 Oefening Een souvenierwinkel in de Stoofstraat verkoopt beeldjes van Manneken Pis. Wanneer men 8 euro voor een beeldje vraagt, dan worden er dagelijks 4 stuks van verkocht. Als men echter 10 euro per beeldje vraagt, dan worden er slechts 16 stuks per dag van verkocht. Wat is het functievoorschrift van de eerste graadsfunctie die de dagelijkse vraag naar dergelijke beeldjes modelleert? Oplossing Stel x = f (x) = Dan f is de gezochte Gegeven : f is een eerste graadsfunctie f (x) = m x + q met m, q IR constanten en de grafiek van f is de vraag y prijs x Verder is er gegeven dat als de prijs 8 euro is, dan is de vraag stuks als de prijs 10 euro is, dan is de vraag stuks Gevraagd: zoek de vergelijking van de die door gaat Eerste-graadsfuncties 13

19 De vergelijking van een rechte y y = m x + q y 0 x 0 x alle punten op de rechte voldoen aan y = m x + q (x 0, y 0 ) ligt op de rechte maar dan of equivalent, punt rico formule Oefening Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt (1, ) en met rico 3. Wat is de intercept van deze functie? Oplossing een rechte door het punt (1, ) heeft vergelijking gegeven: rico m = 3 vergelijking Eerste-graadsfuncties 14

20 De vergelijking van een rechte y y 1 y = m x + q y 0 x 0 x 1 x alle punten op de rechte voldoen aan y y 0 = m ( x x 0 ) (x 1, y 1 ) ligt op de rechte punt punt als x 1 x 0 dan formule = m Eigenschap Zij (x 0, y 0 ) een en punt ( x in IR 1, y 1 ) punten in IR met x 0 = x 1 (1) Elke niet verticale rechte door het punt (x 0, y 0 ) heeft vergelijking met m IR de rico / () De rechte door de punten (x 0, y 0 ) en ( x 1, y 1 ) heeft vergelijking met rico m = (3) De verticale rechte door het punt (x 0, y 0 ) heeft vergelijking Eerste-graadsfuncties 15

21 Oplossing souvenirwinkel ( vervolg ) Stel x = de prijs (in euro) voor een Manneken Pis beeldje f (x) = de dagelijkse vraag naar beeldjes Gegeven : f is een eerste graadsfunctie zodat vraag y 4 16 y = m x + q 8 10 prijs x Gevraagd: zoek het functievoorschrift y = f (x) van de functie waarvan de grafiek de rechte is die door de punten (8, 4) en (10,16) gaat Welnu, een rechte door het punt ( 8, 4) heeft vergelijking de rechte gaat ook door het punt (10,16) rico m = de vergelijking van de rechte is deze rechte met vergelijking y = is de grafiek van de functie f die de dagelijkse vraag y = f (x) naar beeldjes van Mannenken Pis beschrijft in functie van de prijs x het functievoorschrift van f is f (x) = Eerste-graadsfuncties 16

22 Oefening 3 Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (, 3) gaat en evenwijdig loopt met de rechte door de punten (4,1) en (, ). Oefening 4 Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (,3) en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x 3y + 6 = 0. Eerste-graadsfuncties 17

23 Oefening 14 Lovania heeft een heel eenvoudig belastingsstelsel: op het gedeelte van het inkomen tot EUR betaalt men 0 % belastingen en op het gedeelte boven EUR betaalt men 60 % belastingen. Het inkomen, uitgedrukt in eenheden van EUR, stellen we voor door x. De belasting die betaald moet worden, eveneens in eenheden van EUR, stellen we voor door b. (a) Geef het voorschrift van een functie die het verband geeft tussen de belasting en het inkomen in Lovania en maak een grafiek van deze functie. [ Aanwijzing : maak een onderscheid naargelang het inkomen onder of boven EUR ligt. ] (b) Men overweegt een hervorming van dit belastingstelsel. Het voorstel bepaalt dat men 10 % belastingen zou moeten betalen op het gedeelte van het inkomen tot EUR en 40 % op het gedeelte boven EUR. Geef het voorschrift van de functie die in het voorstel het verband geeft tussen de belasting en het inkomen. Maak een grafiek van deze nieuwe functie op de figuur uit opgave (a). (c) Bepaal, door gebruik te maken van de grafieken en door berekeningen te maken, voor welke inkomens het voorstel minder voordelig zou zijn. Eerste-graadsfuncties 18

24 Impliciet gedefinieerde functies Voorbeeld Iemand wil euro beleggen in aandelen en obligaties. Een aandeel kost 100 euro per stuk en een obligatie kost 50 euro per stuk. Hoeveel aandelen en obligaties kan die persoon kopen? Antwoord Stel zij koopt q A aandelen en q O obligaties Dan 100 q A + 50 q O = Er zijn dus oneindig veel combinaties mogelijk... bv. q A = en q O = of q A = en q O = of q A = en q O = of maar niet alle combinaties zijn mogelijk!!!!! want er moet altijd voldaan zijn aan de vergelijking Deze vergelijking definieert een tussen de veranderlijken q A en q O Eerste-graadsfuncties 19

25 mogelijke scenario s ofwel kiest zij het aantal aandelen q A dan 100 q A + 50 q O = q O 0 q A Terminologie de vergelijking 100 q A + 50 q O = definieert q O impliciet als functie van q A, namelijk q O : IR IR : q A q A q A is de veranderlijke q O is de veranderlijke Eerste-graadsfuncties 0

26 ofwel kiest zij het aantal obligaties q O dan 100 q A + 50 q O = q O 0 q A Terminologie de vergelijking 100 q A + 50 q O = definieert q A impliciet als functie van q O, namelijk q A : IR IR : q O q O q O is de veranderlijke q A is de veranderlijke Eerste-graadsfuncties 1

27 Wiskunde leren = heel veel oefeningen maken; en soms ook fouten maken, begrijpen waarom het verkeerd is en de oefeningen correct opnieuw maken! Eerste-graadsfuncties

28 Opfriscursus wiskunde dag 1 1. a. Stel de rechte met vergelijking y = x 1 voor op een figuur. Maak hiervoor gebruik van de betekenis van y-intercept en richtingscoëfficiënt. b. Welke y-waarde hoort er bij x =? (Controleer je resultaat op de figuur.) c. Welke x-waarde hoort er bij y =? (Controleer je resultaat op de figuur.). Bepaal de vergelijking van de vorm y = mx + q voor elk van de rechten A, B, C, D, E en F uit de onderstaande figuur door gebruik te maken van de betekenis van m en q. y B F (3,9) (0,7) (6,6) A (0,3) C (,0) x D E 3. Bereken de vergelijking van de rechte die door het punt (, 3) gaat en die evenwijdig loopt met de rechte door de punten (4,1) en (,). 4. Bereken de vergelijking van de rechte die door het punt (,3) gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x 3y + 6 = Welke figuur wordt voorgesteld door de vergelijking a. x + 3y + 1 = 0? b. (0 x) + 3y + 1 = 0? c. x ( + 0 y) + 1 = 0? d. (0x + 0 y + ) 1 = 0? 1

29 6. De hoeveelheid q die van een zeker product verkocht kan worden, hangt af van de prijs p die ervoor gevraagd wordt. Veronderstel dat het verband tussen beide grootheden gegeven wordt door q = 4 0.8p. Deze functie wordt de vraagfunctie genoemd. a. Maak een grafiek van deze vraagfunctie en lees de richtingscoëfficiënt van de grafiek af. Deze vraagfunctie is in eerste instantie bruikbaar om de waarde van q te bepalen als er een waarde voor p gegeven is. We kunnen deze formule echter ook gebruiken 'in de omgekeerde zin'. b. Veronderstel dat we willen dat er 16 eenheden van het product verkocht kunnen worden. Hoeveel moet de prijs dan bedragen? c. Veronderstel dat we willen dat er 0 eenheden van het product verkocht kunnen worden. Hoeveel moet de prijs dan bedragen? d. Als we de waarde van p moeten bepalen voor heel veel verschillende waarden van q, dan kunnen we de bovenstaande vergelijking beter in een andere vorm schrijven, namelijk de vorm waarbij p uigedrukt wordt in functie van q. Doe dit. e. Controleer het antwoord op de vragen b. en c. met behulp van deze formule. De formule uit oefening d. kunnen we opvatten als de vergelijking van een functie die p uitdrukt in functie van q. Deze nieuwe functie wordt de inverse vraagfunctie genoemd. f. Maak een grafiek van deze inverse vraagfunctie en lees de richtingscoëfficiënt van de grafiek af. g. Welk verband bestaat er tussen de richtingscoëfficiënt van de grafieken van de vraagfunctie en de inverse vraagfunctie? 7. Ga door berekening na of de grafieken van de functies f : y = x 3, g : y = x en h : y = 3x + 1 door één punt gaan. 8. a. Bepaal x en y zó dat 8 x + y = 5 11x = 9 + 4y b. Bepaal p en q zó dat 5 p + 9 q = 8 3q + 1 = 13p 4a = 5b c. Bepaal a en b zó dat 3a 8b = 9. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op: 3x + x + 9 a. = ; 5 b. 3x + 7 = ( x + 9) ( x 30) ; x = x 4 ; c. ( ) d. e. f. g. h. ( x ) + ( x + ) x + + ; 1x 1 13x 4 4x + 7 < ; 6 5 3x 7 x 1 x 1 > ; ( x 1)( x + 1) ( x ) + ; x x x 3 + x 6 5 ; i. x + 3 3x + 6.

30 10. Hoeveel kg koffie van 4.1 EUR per kg moet men mengen met 45 kg koffie van 3.0 EUR per kg om een mengsel te verkrijgen van 3.79 EUR per kg? 11. Een eerste autocaruitbater rekent voor een halve-dag-reis 00 EUR vast recht aan en daarbij 1.15 EUR per km. Een tweede autocaruitbater rekent 300 EUR vast recht aan en daarbij 0.95 EUR per km. Hoeveel km moet een halve-dag-reis bedragen opdat de tweede autocaruitbater goedkoper zou zijn dan de eerste? 1. De opbrengst TO in EUR bij de verkoop van q exemplaren van een tijdschrift wordt gegeven door TO =.5q. De vaste productiekosten bedragen 1485 EUR. De variabele productiekosten (in EUR) zijn evenredig met q met evenredigheidsfactor 0.5. Zoek het break-even-point (d.w.z. de waarde van q waarbij er noch winst noch verlies gemaakt wordt). 13. Bij een electriciteitsmaatschappij hebben de klanten de keuze tussen twee mogelijkheden: het normaal en het tweevoudig tarief. Bij het normaal tarief betaalt men een vaste jaarlijkse vergoeding van EUR en bovendien 0.13 EUR per verbruikte kwh. Het tweevoudig tarief biedt een voordeligere prijs voor het gebruik tijdens de 9 'nachturen'. Bij dit tarief wordt een vaste jaarlijkse vergoeding van EUR aangerekend en betaalt men 0.13 EUR per verbruikte kwh overdag en 0.06 EUR per verbruikte kwh 's nachts. Bepaal vanaf hoeveel nachtverbruik het tweevoudig tarief goedkoper wordt. 14. Aloyslavië heeft een heel eenvoudig belastingsstelsel: op het gedeelte van het inkomen tot ALF (ALF = Aloysische frank) betaalt men 0 % belastingen en op het gedeelte boven ALF betaalt men 60% belastingen. Het inkomen, uitgedrukt in eenheden van ALF, stellen we voor door x. De belasting die betaald moet worden, eveneens in ALF, stellen we voor door b. a. Geef een vergelijking voor de functie die het verband geeft tussen de belasting en het inkomen en maak een grafiek van deze functie. (Aanwijzing: maak een onderscheid naargelang het inkomen onder of boven ALF ligt). b. Men overweegt een hervorming. Het voorstel bepaalt dat men 10% belastingen zou moeten betalen op het gedeelte van het inkomen tot ALF en 40% op het gedeelte boven ALF. c. Geef weer een vergelijking voor de functie die (in dit geval) het verband geeft tussen de belasting en het inkomen. Maak een grafiek van deze functie op de figuur uit vraag a. d. Bepaal, door gebruik te maken van de grafieken en door berekeningen te maken, voor welke inkomens het voorstel minder voordelig zou zijn. 3

31 Oplossingen 1. a. Omdat het y-intercept 1 is, weten we dat de rechte door het punt ( 0, 1) gaat. Omdat de richtingscoëfficiënt bedraagt, weten we dat met een toename van één eenheid in de x-richting een toename van eenheden in de y-richting 0, 1 tot de rechte behoort, ligt dus ook het punt correspondeert. Omdat het punt ( ) ( 1, 3) erop. De gevraagde rechte is dus de rechte door de punten ( 0, 1) ( 1, 3). b. 5 c. 1.5 en. 1 A : y = x + 3, B : y = x + 3, C : y = 3, F : y = x D : y = x + 3, 3 E : y = x + 7, 3. y 1 8 = x y 3 = x 5. a. (schuine) rechte door de punten b. horizontale rechte door het punt c. verticale rechte door het punt d. lege verzameling. 1 0, 3 en 1,0 ; 1 0, 3 ; 1,0 ; 6. a. rechte door de punten ( 0,4) en (,0) b. 10 c. 5 d. p = 1.5q + 30 e. OK f. rechte door de punten ( 0,30) en (,0) 30 ; richtingscoëfficiënt is ; richtingscoëfficiënt is 1.5. g. de richtingscoëfficiënten zijn elkaars omgekeerde (d.w.z. of nog: richtingscoëfficiënt van de grafiek van de vraagfunctie = 1 richtingscoëfficiënt van de grafiek van de inverse vraagfunctie richtingscoëfficiënt van de grafiek van de inverse vraagfunctie = 1 richtingscoëfficiënt van de grafiek van de vraagfunctie.) 4

32 7. Neen. De grafieken van de functies f en g snijden elkaar in het punt met coördinaten 1, 4. De grafiek van de functie h gaat niet door dit punt. ( ) 8. a. x = 3 en y = 1 b. 1 3 p = en q = 4 4 c a = en b = a. b. 8 x = 13 x = c. x = 3 3 d. x is een willekeurig reëel getal e. f. g. h. 47 x < x > 10 5 x 4 6 x 13 i. x kg 11. meer dan 500 km Om het resultaat grafisch te controleren tekenen we in dezelfde figuur de grafiek van de kostprijs K 1 in EUR voor een halve-dag-reis van x km bij de eerste uitbater en de grafiek van de kostprijs K in EUR voor een halve-dag-reis van x km bij de tweede uitbater. De vergelijkingen van deze functies zijn K1 = x respectievelijk K = x K uitbater uitbater x exemplaren 5

33 13. Noem x het verbruik in kwh overdag en y het verbruik in kwh 's nachts. De kostprijs in EUR volgens het normale tarief is dan K = ( x + y). De kostprijs in EUR n volgens het tweevoudig tarief is dan K = x y. We zoeken de waarden t van y waarvoor Kn > K. We vinden dat aan deze ongelijkheid voldaan is als en slechts t als y > We besluiten dat het tweevoudig tarief voordeliger is vanaf kwh nachtverbruik. 14. a. 0. x als 0 x 0.75 b = 0.6x 0.3 als 0.75 < x 0,6 b 0,4 0, 0 0 0,5 1 1,5 x b. 0.1 x als 0 x 0.3 b = 0.4x 0.09 als 0.3 < x 0,6 b 0,4 0, 0 0 0,5 1 1,5 x c. De grafieken snijden elkaar in twee punten. Het inkomen dat overeenkomt met het meest linkse snijpunt noemen we a en het inkomen dat overeenkomt met het meest rechtse snijpunt noemen we c. Voor de inkomens die gelegen zijn tussen a en c is de huidige berekening van de belasting voordeliger dan het voorstel. Het meest linkse snijpunt onstaat door het linkse deel van de eerste grafiek te snijden met het rechtse deel van de tweede grafiek. Om a te vinden moeten we dus de vergelijking 0.x = 0.4x 0.09 oplossen. Zo vinden we dat a = Het meest rechtse snijpunt onstaat door het rechtse deel van de eerste grafiek te snijden met het rechtse deel van de tweede grafiek. Om c te vinden moeten we dus de vergelijking 0.6x 0.3 = 0.4x 0.09 oplossen. Zo vinden we dat c = We bsluiten dat het voorstel minder voordelig is dan het huidige systeem voor de inkomens gelegen (strikt) tussen ALF en ALF. 6

34 CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel 1: kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden Tweede-graadsfuncties 1

35 Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 0 deelnemers zijn? Oplossing Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 0 deelnemers kosten voor de gids: 1 euro prijs bij 0 deelnemers: 80 euro per persoon bij méér dan 0 deelnemers: voor iedereen euro korting per persoon voor elke extra deelnemer 0 deelnemers prijs per persoon is euro kosten voor de gids: euro samen = totaal te betalen is Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 0 deelnemers kosten voor de gids: 1 euro prijs bij 0 deelnemers: 80 euro per persoon bij méér dan 0 deelnemers: voor iedereen euro korting per persoon voor elke extra deelnemer Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 6 deelnemers zijn? Oplossing 6 deelnemers Tweede-graadsfuncties

36 Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 0 deelnemers kosten voor de gids: 1 euro prijs bij 0 deelnemers: 80 euro per persoon bij méér dan 0 deelnemers: voor iedereen euro korting per persoon voor elke extra deelnemer Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 3 deelnemers zijn? Oplossing 3 deelnemers Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 0 deelnemers kosten voor de gids: 1 euro prijs bij 0 deelnemers: 80 euro per persoon bij méér dan 0 deelnemers: voor iedereen euro korting per persoon voor elke extra deelnemer Algemeen: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er x deelnemers zijn? Oplossing x deelnemers méér dan het minimaal aantal 0 prijs per persoon is euro vermindering per persoon totaal te betalen is Tweede-graadsfuncties 3

37 Besluit : als er x mensen aan de uitstap deelnemen, dan moet je aan het reisagentschap x(10 x) + 1 = x + 10 x + 1 euro betalen. Anders gezegd, als er x deelnemers zijn, dan moet je f (x) = x + 10 x + 1 euro betalen. Dit definieert een functie, namelijk input x output f (x) = x + 10 x + 1 Formeel, f : IR IR : x f (x) = x + 10 x + 1 een tweedegraadsfunctie Drie manieren om de functie voor te stellen (1) functievoorschrift: f (x) = x + 10 x + 1 () vergelijking: y = x + 10 x + 1 (3) grafiek totaal bedrag 000 Y > y = x + 10x X > aantal deelnemers Tweede-graadsfuncties 4

38 Vragen (1) Ik moet het reisagentschap 187 euro betalen. Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel? () Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschap het hoogste bedrag? (3) Het reisagentschap wil minstens 1850 euro ontvangen. Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen? Oplossing Methode 1: aflezen van de grafiek Methode : berekenen Vragen (1) Ik moet het reisagentschap 187 euro betalen. Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel? Oplossing Methode 1: aflezen van de grafiek totaal bedrag Y > 000 y = x + 10x X > aantal deelnemers Tweede-graadsfuncties 5

39 Vragen (1) Ik moet het reisagentschap 187 euro betalen. Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel? Oplossing Methode : berekenen gevraagd: zoek x waarvoor f (x) = 187 Welnu, f (x) = 187 Te onthouden De oplossingen van een tweede graadsvergelijking a x + b x + c = 0 met a, b, c IR en a 0 worden gevonden door eerst de discriminant discr = b 4 a c te bereken en vervolgens (1) als discr > 0 dan heeft f twee verschillende oplossingen, namelijk b + discr a en b discr a () als discr = 0 dan heeft f slechts één oplossing, namelijk b a (3) als discr < 0 dan heeft f geen oplossingen Tweede-graadsfuncties 6

40 Vragen (1) Ik moet het reisagentschap 187 euro betalen. Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel? Oplossing Methode 3: berekenen gevraagd: zoek x waarvoor f (x) = 187 Welnu, f (x) = 187 x + 10 x + 1 = 187 x + 10 x 1750 = 0 Besluit: er zijn namelijk mogelijkheden voor het aantal deelnemers, Tweede-graadsfuncties 7

41 Oefening Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op: (a) 11x + (19x 1) = 0 (b) x x = (c) (d) (e) (f) Tweede-graadsfuncties 8

42 Vragen () Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschap het hoogste bedrag? Oplossing Methode 3: berekenen totaal bedrag Y > 000 y = x + 10x X > aantal deelnemers De grafiek van een tweede graadsfunctie f : IR IR : x a x + b x + c met a,b,c IR en a 0 IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR Tweede-graadsfuncties 9

43 De grafiek van een tweede graadsfunctie f : IR IR : x a x + b x + c met a,b,c IR en a 0 IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR De grafiek van een tweede graadsfunctie f : IR IR : x a x + b x + c met a,b,c IR en a 0 IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR Tweede-graadsfuncties 10

44 Te onthouden de grafiek van een tweede graadsfunctie f (x) = a x + b x + c is een als a > 0, dan is het een als a < 0, dan is het een parabool parabool de parabool heeft haar top in x top = de oplossingen van de vergelijking a x + b x + c = 0 geven de snijpunten van de parabool met de as Tweede-graadsfuncties 11

45 Vragen () Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschap het hoogste bedrag? Oplossing Methode : berekenen Besluit: bij deelnemers zullen wij aan het reisagentschap het hoogste bedrag moeten betalen, namelijk Oefening 1 Hieronder vind je zes tweedegraadsfuncties van één veranderlijke. Schets de grafiek van elk van deze functies. f 1 : y = x 5x + 6 f : y = x 4x + 4 f 3 : y = x 4x + 6 f 4 : y = x + 5x 6 f 5 : y = x + 4x 4 f 6 : y = x + 4x 6 Tweede-graadsfuncties 1

46 Oefening 3 Gegeven zijn de functies f : y = x + 4 en g : y = x + 4x + 5. (a) Bereken de snijpunten van de grafieken van deze twee functies. (b) Teken de grafieken van beide functies in één figuur en controleer hiermee het resultaat van je berekeningen. Oefening 4 Bepaal de getallen b en c in de vergelijking y = x + bx + c van de functie f zo dat f haar minimale waarde 3 bereikt in 4. Oefening 5 De functie f(x) = x + x + p 1 heeft 0 als uiterste waarde. Bereken p. Tweede-graadsfuncties 13

47 Vragen (3) Het reisagentschap wil minstens 1850 euro ontvangen. Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen? Oplossing Methode : aflezen van de grafiek totaal bedrag Y > y = x + 10x X > aantal deelnemers Vragen (3) Het reisagentschap wil minstens 1850 euro ontvangen. Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen? Oplossing Methode 3: berekenen gevraagd: zoek x waarvoor f (x) 187 Welnu, f (x) 187 x + 10 x x + 10 x Tweede-graadsfuncties 14

48 Besluit: het aantal deelnemers moet minstens en mag niet hoger zijn dan bedragen Tweede-graadsfuncties 15

49 Oefening Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op: (a) 11x + (19x 1) = (b) x x = (c) 4x + 3x + 1 > 7x + x + 3 (d) (6 3x)( + 9x) 0 (e) 100 x (f) 3x(x 3) < 5(x 3) Tweede-graadsfuncties 16

50 Oefening 6 Een handelaar verkoopt wijn aan 7.5 euro per liter. Om grote bestellingen aan te moedigen, beslist de handelaar om een reductie toe te kennen voor bestellingen van méér dan 100 liter. Voor iedere liter boven de honderd wordt de prijs per liter voor de hele bestelling met 0.01 euro verlaagd. (a) Geef een functievoorschrift voor de totale ontvangsten TO van de handelaar bij een bestelling van x liter wijn. (b) Maak een grafiek van de functie TO(x). (c) Bij welke bestelde hoeveelheid x zijn de totale ontvangsten TO(x) van de wijnhandelaar maximaal? (d) Welke bovengrens moet de handelaar opleggen aan de toegelaten grootte van de bestelling opdat de totale ontvangsten positief zouden blijven? Oefening 7 Een reisbureau organiseert een reis voor 40 personen tegen een prijs van 300 euro per persoon. Om meer mensen aan te trekken, besluit men een reductie toe te staan: de prijs wordt voor elke deelnemer verlaagd met 5 euro telkens er zich een persoon extra (bovenop de 40 die reeds ingeschreven zijn ) aanmeldt. (a) Bij welk aantal deelnemers zijn de totale ontvangsten van het reisbureau maximaal? (b) Welke bovengrens moet het reisbureau opleggen aan het toegelaten aantal deelnemers opdat de totale ontvangsten positief zouden blijven? Tweede-graadsfuncties 17

51 Oefening 8 Een firma van elektronische onderdelen verkoop maandelijks 5000 stuks van een bepaalde component tegen 15 euro per stuk. Een marktonderzoek wijst uit dat de verkoop telkens met 500 stuks zal stijgen als de eenheidsprijs met 1 euro verlaagd wordt. Welke eenheidsprijs moet de firma nemen om een zo hoog mogelijke omzet te realiseren? Tweede-graadsfuncties 18

52 CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel : de cirkel De stelling van Pythagoras In een rechthoekige driehoek geldt: a = b + c a b Voorbeeld 1 l =? Pythagoras: l = c 5 l = Tweede-graadsfuncties 19

53 Y de afstand tussen twee punten de afstand d tussen de punten (,1) en (5,5) voldoet aan de stelling van Pythagoras d d = X en dus d = of kortweg, d = de afstand tussen twee punten Y te onthouden : de afstand d tussen punten (x 1,y 1 ) en (x,y ) wordt d y gegeven door x X d = x + y = ( x x 1 ) + ( y y 1 ) Tweede-graadsfuncties 0

54 de vergelijking van een cirkel Definitie een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal r is de verzameling van alle punten die op afstand r van het middelpunt verwijderd liggen cirkel mpt r de vergelijking van een cirkel Voorbeeld de cirkel met middelpunt ( 3, ) en straal 5 heeft vergelijking Y X of equivalent (3, ) 5 (x, y ) of nog Tweede-graadsfuncties 1

55 de vergelijking van een cirkel Algemeen : een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal r heeft als vergelijking : [ x x 0 ] + [ y y 0 ] = r (0,0) Y r X In het bijzonder, een cirkel met middelpunt (0,0) en straal r heeft als vergelijking ( x, y ) de vergelijking van een cirkel een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal r heeft als vergelijking : [ x x 0 ] + [ y y 0 ] = r Besluit De algemene vergelijking van een cirkel in IR is dus van de vorm x + y + a x + b y + c = 0 Tweede-graadsfuncties

56 de vergelijking van een cirkel Vraag : stelt de vergelijking 4 x + 4 y 16 x 4 y 1 = 0 een cirkel voor? Zo ja, wat zijn dan het middelpunt en de straal van die cirkel? de vergelijking van een cirkel een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal r heeft als vergelijking : [ x x 0 ] + [ y y 0 ] = r standaardvorm van de vergelijking [ x x 0 x + x 0 ] + [ y y 0 y + y 0 ] = r x + y x 0 x y 0 y + x 0 + y 0 r = 0 een vergelijking van de de graad in x en y Tweede-graadsfuncties 3

57 Te onthouden : een vergelijking in veranderlijken stelt een cirkel voor als en slechts als een vergelijking van de de graad in x en y geen term in x y de coëfficiënt van x = de coëfficiënt van y na herwerking tot de vorm moet c 0 [ x x 0 ] + [ y y 0 ] = c In dat geval, een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal c Oefening 9 Bepaal de vergelijking van de rechte die door het middelpunt van de cirkel met vergelijking x + y x y = 0 gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x + y = 0. Tweede-graadsfuncties 4

58 Opfriscursus wiskunde dag. 1. Hieronder vind je zes tweedegraadsfuncties van één veranderlijke. Schets de grafiek van elk van deze functies f : y = x 5x 6 ; f : y = x 4x 4 f : y = x 4x f : y = x + 5x 6 ; f : y = x + 4x 4 ; f : y = x + 4x 6.. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op: a. 11x + (19x 1) = 0 ; b x x = ; 6 c. 4x + 3x + 1 > 7x + x + 3; d. ( 6 3x )( + 9x) 0 ; e. 100 x ; f. 3x ( x 3) < 5( x 3). 3. Gegeven zijn de functies f : y = x + 4 en g : y = x + 4x + 5. a. Bereken de snijpunten van de grafieken van deze twee functies. b. Teken de grafiek van beide functies in één figuur en controleer hiermee het resultaat van je berekeningen. 4. Bepaal de getallen b en c in de vergelijking van de functie f : y = x + bx + c zo dat f haar minimale waarde 3 bereikt in De functie f : y = x + x + p 1 heeft 0 als uiterste waarde. Bereken p. 6. Een handelaar verkoopt wijn aan 7.5 EUR per liter. Om grote bestellingen aan te moedigen, beslist de handelaar om een reductie toe te kennen voor bestellingen van meer dan 100 liter. Voor iedere liter boven de honderd wordt de prijs per liter voor de hele bestelling (dus niet alleen voor de extra liters) met 0.01 EUR verlaagd. a. Geef een functievoorschrift voor de totale ontvangsten TO (in EUR) van de handelaar bij een bestelling van x liter wijn. b. Maak een grafiek van de functie TO(x). c. Bij welke bestelde hoeveelheid x zijn de totale inkomsten TO van de wijnhandelaar maximaal? d. Welke bovengrens moet de handelaar opleggen aan de toegelaten grootte van een bestelling opdat zijn totale ontvangsten positief zouden blijven? 1

59 7. Een reisbureau organiseert een reis voor 40 personen tegen een prijs van 300 EUR per persoon. Om meer mensen te trekken, besluit men een reductie toe te staan: de prijs wordt voor elke deelnemer (dus niet alleen voor de nieuwe deelnemers) verlaagd met 5 EUR telkens als zich één persoon extra aanmeldt (bovenop de 40 die reeds ingeschreven zijn). a. Bij welk aantal deelnemers zijn de totale onvangsten van het reisbureau maximaal? b. Welke bovengrens moet het reisbureau opleggen aan het toegelaten aantal deelnemers opdat de totale ontvangsten positief zouden blijven? 8. Een firma van elektronische onderdelen verkoopt maandelijks 5000 stuks van een bepaald onderdeel tegen 15 EUR per stuk. Een marktonderzoek wijst uit dat de verkoop telkens met 500 stuks zal stijgen als de eenheidsprijs met 1 EUR verlaagd wordt. Welke eenheidsprijs moet de firma nemen om een maximale omzet te realiseren? 9. Bepaal de vergelijking van de rechte die door het middelpunt van de cirkel met vergelijking x + y x y = 0 gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x + y = 0.

60 Oplossingen 1. 3 y f1 y f4 1 x x y f 1 y f5 x 1 x y f3 f6 y x x a. x 1 = 4, x = ; 11 1 b. x 1 =, x = 3; 6 c. geen oplossingen; d. x, ; 9 3

61 e. [ 10, 10] x ; 5 f. x, a. ( 1, ) b. y 8 g x f b = 8, c = p = 7.5x als 0 x a. TO = 0.01x + 8.5x als x > 100 b. 000 TO x c. x = 45, de totale ontvangsten van de handelaar zijn maximaal bij een bestelling van 45 liter. d. x < 850, bestellingen van 850 liter of meer zijn dus niet toegelaten. 4

62 7. a. De totale ontvangsten van het reisbureau zijn maximaal bij 50 deelnemers. b. Het aantal deelnemers moet kleiner zijn dan EUR 9. y = x 1 5

63 CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Exponentiële en logaritmische functies CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde breng een rekenmachine mee naar de les ( om logaritmen te berekenen ) Exponentiële en logaritmische functies 1

64 Machten van getallen Voorbeeld 1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van 3% per jaar over 1 jaar zal men beschikken over ( 3 % van 1000 ) = Merk op: + 3% wordt wiskundig Machten van getallen Voorbeeld 1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van 3% per jaar over 1 jaar zal men beschikken over euro over jaar zal men beschikken over ( 3 % van 1030 ) = Merk op: + 3% wordt wiskundig Exponentiële en logaritmische functies

65 Machten van getallen Voorbeeld 1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van 3% per jaar over 1 jaar zal men beschikken over euro over jaar zal men beschikken over over 3 jaar zal men beschikken over ( 3 % van ) = Merk op: + 3% wordt wiskundig Machten van getallen Voorbeeld 1000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van 3% per jaar over 1 jaar zal men beschikken over 1000 ( 1.03 ) 1 over jaar zal men beschikken over 1000 ( 1.03 ) over 3 jaar zal men beschikken over 1000 ( 1.03 ) 3 euro euro euro over 10 jaar zal men beschikken over 1000 ( 1.03 ) ( 1.03 ) ( 1.03 )... ( 1.03 ) Merk op: + 3% wordt wiskundig maal 1.03 Exponentiële en logaritmische functies 3

66 Definitie Als a een positief reëel getal en n en m natuurlijke getallen zijn, dan a n = a a a... a en a 0 = Terminologie a r leest men als de r-de macht van a a r a n = n keer 1 m a n = en a n = heet het grondtal heet de exponent Machten van getallen Oefening 1 Schrijf zonder exponenten Exponentiële en logaritmische functies 4

67 Rekenregels voor machten Voor alle grondtallen a > 0 en b > 0 en voor alle exponenten r en s geldt: a r a s = a r a s = a r s = r a b = en a b r = MAAR... (a + b ) r a r + b r!!!!! en (a b ) r a r b r!!!!! Oefening 5 Schrijf de volgende uitdrukkingen als één enkele macht van x x x 3 1 x x x 3 x 4 x 3 Oefening 6 Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen x y 3 4 x 3 y 4 x y x y z y x z z x y 1 1 x y Exponentiële en logaritmische functies 5

68 Voorbeeld Een persoon zet bij de roulette 1 euro in op zijn geluksnummer 13. Zolang dit nummer niet uitkomt verdubbelt hij de inzet. Op een bepaald ogenblik zien wij hem 104 euro inzetten. Hoeveel keer is zijn geluksnummer dan reeds niet uitgekomen? Antwoord de eerste inzet bedraagt 1 euro 1 keer niet uitgekomen de inzet wordt euro keer niet uitgekomen de inzet wordt euro 3 keer niet uitgekomen de inzet wordt euro. Logaritmen m keer niet uitgekomen de inzet wordt euro Logaritmen Voorbeeld Een persoon zet bij de roulette 1 euro in op zijn geluksnummer 13. Zolang dit nummer niet uitkomt verdubbelt hij de inzet. Op een bepaald ogenblik zien wij hem 104 euro inzetten. Hoeveel keer is zijn geluksnummer dan reeds niet uitgekomen? Antwoord er wordt dus gevraagd: bepaal m zodat m = 104 welnu, 104 = m = Besluit : nummer 13 is reeds keer niet uitgekomen! nieuwe bewerking: de exponent plukken bij grondtal Exponentiële en logaritmische functies 6

69 Definitie Logaritmen Als g en x positieve getallen zijn en g 1, dan de logaritme van het getal x bij grondtal g = de macht waartoe men g moet verheffen om x te vinden Formeel : g log x = m g m = x lees : de logaritme van x bij grondtal g is m of kortweg : de g logaritme van x is m Voorbeeld : log 104 = want Definitie Als g en x positieve getallen zijn en g 1, dan Logaritmen de logaritme van het getal x bij grondtal g = de macht waartoe men g moet verheffen om x te vinden Formeel : g log x = m g m = x gevraagd: g log x =?? praktisch : schrijf x = g?? zeg x = g m dan g log x = m Te onthouden!!!!! Exponentiële en logaritmische functies 7

70 Oefening Bereken ( indien mogelijk ) uit het hoofd log 8 log 3 log log 1 log ( ) log 0 log log 9 3 log 1 4 log 5 3 log 10 Exponentiële en logaritmische functies 8

71 Bijzondere grondtallen grondtal g = 10 dan spreekt men van de decimale of de Briggse logaritme Notatie : 10 log = log Voorbeeld: log = 10 log = grondtal g = e = het getal van Euler dan spreekt men van de natuurlijke of de Neperiaanse log. Notatie : e log = ln Voorbeeld: ln 1 e 3 e 1 = log = e 3 Oefening 3 Bereken met behulp van een rekenmachine log 1000 ln 3 ln e log ln 0.5 log e Oefening 4 Bereken uit het hoofd log log 10 1 ln e log ln 1 ln 1 e Exponentiële en logaritmische functies 9

72 Rekenregels voor logaritmen Voor elk grondtal g > 0 en g 1 en voor alle positieve getallen x en y en voor elke exponent r geldt : g log (x y ) = g x log = y g log (x r ) = MAAR... er is geen formule voor g log ( x + y ) of voor g log ( x y )!!!!! Eigenschap Voor elk grondtal g IR 0 en g 1 + geldt dat g log x = ln x ln g Bewijs noem d.w.z. x = g log x = m en dus ln x = ln( ) of nog ln x = zodat ln x = ln g of m.a.w. g log x = Exponentiële en logaritmische functies 10

73 Exponentiële vergelijkingen Voorbeeld Een kapitaal van euro staat uit aan een samengestelde interest van 10% per jaar. Hoe lang duurt het vooraleer het kapitaal verdubbeld is? Antwoord over 1 jaar zal men beschikken over ( 10 % van ) = (0.10) = (1) (0.10) = ( ) = (1.10 ) = euro Herinner u: + 10% van wordt wiskundig maal 1.10 Voorbeeld Exponentiële vergelijkingen Een kapitaal van euro staat uit aan een samengestelde interest van 10% per jaar. Hoe lang duurt het vooraleer het kapitaal verdubbeld is? Antwoord over 1 jaar zal men beschikken over ( 1.10 ) 1 euro over jaar zal men beschikken over ( 1.10 ) over 3 jaar zal men beschikken over ( 1.10 ) 3 over m jaar zal men beschikken over ( 1.10 ) m euro euro euro gevraagd : bepaal m zodat ( 1.10 ) m = Exponentiële en logaritmische functies 11

74 Oefening 7 Los de volgende vergelijkingen op. Welke vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? 0 (1.03) t = 30 1 (0.97) x 8 (1.01) x = 0 10 g 17 = 50 5 (1.005) 1 t 6 = 3 (1.07) t + 15 e 3 t = 47 Exponentiële en logaritmische functies 1

75 Oefening 8 (a) Hoe lang moet een bedrag van euro belegd worden aan 5 % per jaar opdat het zou aangroeien tot euro? (b) Welk bedrag moet men beleggen aan 5 % per jaar opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot euro? (c) Aan welke rentevoet moet men een bedrag van euro beleggen opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot euro? (d) Welke van de bovenstaande vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? Oefening 9 Radium is een radioactieve stof. Dit betekent dat deze stof spontaan verandert in een andere stof en dat daarbij radioactieve straling vrijkomt. De hoeveelheid radium vermindert dus en deze afname kan goed gemodelleerd worden door de vergelijking waarbij A 0 de hoeveelheid radium voorstelt bij het begin, t de tijd die sindsdien verlopen is en A de hoeveelheid radium op dat tijdstip. (a) Na hoeveel tijd is er nog 10 % over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium? (b) Na hoeveel tijd is er nog de helft over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium? A = A 0 1 t 160 Exponentiële en logaritmische functies 13

76 Opfriscursus wiskunde dag 3 1. Schrijf zonder exponenten (eventueel wel met wortels) en bereken (uit het hoofd of met je rekenmachine) a. b. c d. e. f Bereken (zo mogelijk) uit het hoofd a. log8 d. log1 h. 4 5 log k. 3 log10 b. c. log3 1 log 8 e. f. g. 5 log1 log( ) log 0 i. j. 1 log log9 3. Bereken met behulp van je rekenmachine a. log1000 b. log c. ln3 d. ln 0.5 e. ln e 4. Bereken uit het hoofd: a. log0.001 b. log d. ln1 e. ln e f. 1 ln e c. 1 log10 5. Schrijf de volgende uitdrukkingen als één enkele macht van x. 0.5 a. ( x ) 3 b. c. 3 x x x 6 d. x x x 6. Vereenvoudig: 3 a. ( x y ) 4 b x y x y d. x 1 y 1 c. x y z yz xz xy 1

77 7. Los de volgende vergelijkingen op en controleer de oplossing door ze in de vergelijking in te vullen. Welke van deze vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? t a = 30 x x b = 0 c. d. e g = 50 1t 6 t = t 15e = Als een bedrag B 0 belegd wordt op samengestelde intrest tegen een rente van p% per jaar, dan is dat t p bedrag na t jaar aangegroeid tot B = B a. Hoe lang moet een bedrag van belegd worden aan 5% per jaar opdat het zou aangroeien tot ? b. Welk bedrag moet men beleggen aan 5% per jaar opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot ? c. Aan welke rentevoet moet men een bedrag van beleggen opdat het na 10 jaar aangegroeid zou zijn tot ? d. Welke van de bovenstaande vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? 9. Radium is een radioactieve stof. Dit betekent dat deze stof spontaan verandert in een andere stof en dat daarbij radioactieve straling vrijkomt. De hoeveelheid radium vermindert dus en deze afname kan goed gemodelleerd worden door de vergelijking t = 0 A A waarbij A 0 de hoeveelheid radium voorstelt bij het begin, t de tijd die sindsdien verlopen is en A de hoeveelheid radium op dat tijdstip. a. Na hoeveel tijd is er nog 10% over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium? b. Na hoeveel tijd is er nog de helft over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium?,

78 Oplossingen 1. a. b. c = = = 1 d = e. 1 f = a. 3 b. 5 c. 3 d. 0 e. 0 f. niet bepaald g. niet bepaald h. 5 4 i. 1 3 j. k. kan niet uit het hoofd uitgerekend worden 3. a. 3 b c d e a. 3 b. 6 c. 1 d. 0 e. 1 f. 1 3

79 5. a. b. c. d. 1.5 x 7 3 x x x 6. a. 8 1 x y b. x 17 1 y c. x y z 1 d. x x y + y 1 7. a. t = , exponentiële vergelijking b. x = , exponentiële vergelijking c. g = , geen exponentiële vergelijking d. t = , exponentiële vergelijking e. t = , exponentiële vergelijking 8. a jaar b c. 4.14% d. alleen de eerste 9. a. na jaar b. na 160 (!) jaar 4

80 CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Rekenkundige en meetkundige rijen Rekenkundige en meetkundige rijen 1

81 Kapitaal op samengestelde interest Voorbeeld Een kapitaal van euro staat uit aan een samengestelde interest van % per jaar. bij storting heeft men K 0 = ( 1.0 ) 0 = over 1 jaar geeft dit. K 1 = ( 1.0 ) = 1000 over jaar geeft dit K = ( 1.0 ) = over 3 jaar geeft dit K 3 = ( 1.0 ) 3 = over n jaar geeft dit K n = ( 1.0 ) n Besluit: dit genereert een rij getallen rij 10000, 10 00, , ,..., (1.0) n,... 1 Definitie Een meetkundige rij met reden q is een rij getallen waarbij t 0, t 1, t, t 3,..., t n, t n +1,... t 0 t 1 t Terminologie t n = t 0 q n t 0 = t 0 q = t 1 q t 3 = t q. t n = t n 1 q Meetkundige rij noemt men de algemene term van de rij noemt men de beginterm Rekenkundige en meetkundige rijen