Kerstvakantiecursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven HAVO kan niet korter

Transcriptie

1 Voorbereidende opgaven HAVO Kerstvakantiecursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan uit tot waar je kunt en ga verder met de volgende opdracht. Je mag een rekenmachine gebruiken voor de opgave 'Epidemie'. Veel succes! Rekenregels voor vereenvoudigen Regel Vermenigvuldigen: tellerteller noemernoemer Breuken Delen: vermenigvuldig met het omgekeerde. Optellen / aftrekken: noemers gelijk maken. Herschrijven: Regel Machten Voorbeelden Voorbeelden Haakjes Rekenvolgorde 1. eerst ( ). daarna ^ en 3. daarna en 4. daarna en Let op het volgende verschil: kan niet korter Wiskunde A havo voorbereidende opgaven 1 SSL 018

2 Regel Wortels Voorbeelden Vereenvoudig Maak bij onderstaande opgaven gebruik van de bovenstaande rekenregels voor vereenvoudigen. 1 Laat zien dat 4 16 te vereenvoudigen is tot 8. 3 Vereenvoudig 4 zo ver mogelijk. 3 Laat zien dat 7 te vereenvoudigen is tot 1. 4 Laat zien dat te vereenvoudigen is tot 1. Wiskunde A havo voorbereidende opgaven SSL 018

3 De grafische rekenmachine De grafische rekenmachine wordt niet centraal behandeld tijdens de cursus, maar behoort wel tot de examenstof. De afgelopen jaren mag je je GR steeds vaker gebruiken op het centraal examen. Om deze redenen volgt hieronder de voor het examen relevante informatie en tips over de GR. Neem deze informatie door en maak de afsluitende opgave. Mocht je hier nog vragen over hebben, dan kun je die uiteraard tijdens de examencursus stellen. Invoeren Op het examen kun je functies krijgen die er behoorlijk lastig uit zien. Zo kunnen er functies met breuken voorkomen of functies met exponenten. Als je deze lastigere functies in je GR wilt invoeren moet je er goed op letten dat je zelf op de juiste plaatsen extra haakjes zet. Zet extra haakjes om: teller noemer grondtal exponent als ze uit meerdere delen bestaan. 3 Bijvoorbeeld: wordt ingevoerd als K = 5*4 (3/(t+)+8). Window kiezen Het is erg belangrijk om ervoor te zorgen dat je op het eindexamen het juiste window kiest. Je kunt zomaar wat kiezen en daarna aanpassen, maar dit kost erg veel tijd en tijd is kostbaar op het examen! Daarom hebben we de volgende tip voor het kiezen van je window (zowel de -as als de -as): Kies de window op basis van logische waarden uit de tekst. Bijvoorbeeld: Een -variabele gaat over het gewicht van een mens. Het is dan niet logisch om 1000 en te kiezen. Een logischer window is 0 en 150. Er zijn gevallen waarbij het erg lastig is om te bepalen wat logische waarden zijn. Denk bijvoorbeeld aan de dichtheid van een bepaalde scheikundige stof. Voor dit soort gevallen is er een paniekoptie die je kunt gebruiken wanneer je echt geen idee hebt. Paniekoptie: -as: kies 0 en 0 -as: gebruik ZoomFit (TI) of Zoom Auto (Casio) Wiskunde A havo voorbereidende opgaven 3 SSL 018

4 GR-opties Op het eindexamen heb je maar opties van je GR nodig. intersect, bij het snijpunt van twee grafieken: maximum/minimum, bij de top van een grafiek (TI: Denk aan Left Bound en Right Bound!): Notatie Op het eindexamen blijken vaak veel punten verloren te gaan doordat leerlingen onvolledig zijn in het opschrijven van de handelingen die ze met de GR hebben uitgevoerd. Schrijf op je eindexamen altijd de volgende onderdelen op als je je GR gebruikt: 1 1 = = GR-optie (Bijvoorbeeld: intersect geeft ) 3 Conclusie Handige tips Uitkomst met E- omzetten naar kommagetal Typ Ans+1 in in het rekenscherm. Let op: noteer je antwoord wel als 0,...! Laatste berekening terughalen TI: [nd] [Enter] Casio: pijltje naar boven van navigatietoets Invoegen in een berekening TI: [nd] [del] Casio: [shift] [del] Wiskunde A havo voorbereidende opgaven 4 SSL 018

5 Van een kommagetal naar een breuk TI: [math] Frac [Enter] Casio: [a b/c] Het opslaan van een antwoord TI: [sto ] Kies via [alpha] een letter. Gebruik letter in plaats van getal. Casio: [ ] Kies via [alpha] een letter. Gebruik letter in plaats van getal. Epidemie Een epidemie onder koeien in Brabant verloopt volgens de formule: Hierbij is het dagelijks aantal gemelde nieuwe ziektegevallen en de tijd in weken sinds het begin van de epidemie. 7 Plot de grafiek van en schets de grafiek op je blaadje. Welk venster heb je gekozen? 8 Voor welke twee waarden van is het aantal nieuwe ziektegevallen gelijk aan honderd? 9 Geef de maximale waarde van. In welke week is dat? 10 Hoe lang duurt het voor er geen nieuwe ziektegevallen bij komen? 11 De volgende formule weergeeft het aantal beschikbare vaccins: Bereken in welke weken er meer nieuwe ziektegevallen zijn dan beschikbare vaccins. Wiskunde A havo voorbereidende opgaven 5 SSL 018

6 Soorten functies Voor het centraal examen zijn er een aantal soorten functies belangrijk. Dit zijn lineaire functies, exponentiële functies en het omgekeerd evenredig verband. Omdat tijdens de cursus het omgekeerd evenredig verband niet behandeld wordt, hebben we hieronder de informatie op een rijtje gezet die voor je examen belangrijk is. Herkennen Signaalwoorden: omgekeerd evenredig Formule: = constant getal Grafiek: y x Tabel: x y Je kunt een omgekeerd evenredig verband in een tabel herkennen door te vermenigvuldigen met. Als het getal dat daaruit komt telkens hetzelfde is, is er een omgekeerd evenredig verband. In bovenstaande tabel: 4 5 0, 10 0, 1 0 0, , Omdat 0 geldt bij deze tabel dat 0. De formule die bij deze tabel hoort, is dan ook 0. Wiskunde A havo voorbereidende opgaven 6 SSL 018

7 Ondersteboven Gegeven is onderstaande tabel Er is sprake van een omgekeerd evenredig verband tussen en. 1 Toon dit aan en geef de bijbehorende formule. Wiskunde A havo voorbereidende opgaven 7 SSL 018

8 Bijlage examenstof statistiek Voor je examen moet je een aantal statistische begrippen en figuren kennen. Je hebt dit allemaal al een keer geleerd, maar misschien is het wat weggezakt. Daarom hebben we hier alle relevante zaken over statistiek op het CE op een rijtje gezet. Op het examen betekent statistiek dat je gemeten gegevens moet verwerken. Dit kan met behulp van begrippen (bijvoorbeeld gemiddelde, mediaan, etc.) of grafische vormen (histogram, boxplot, etc.). De begrippen die je op je eindexamen moet kennen worden hieronder aan de hand van voorbeelden behandeld. Voorbeeld 1 De cijfers voor een wiskundetoets in een klas met 36 leerlingen kun je zien in de volgende frequentietabel. Cijfer Frequentie Centrummaten Gemiddelde: In het voorbeeld: som van de waarnemingsgetallen totale frequentie totale frequentie = = 36 som van de waarnemingsgetallen gemiddelde = totale frequentie Mediaan: controleer of de getallen in volgorde van grootte staan. Bekijk vervolgens of de totale frequentie oneven of even is. totale frequentie 1 Bij een oneven aantal getallen: Rond de uitkomst af naar boven 3 Lees bij dit waarnemingsgetal de mediaan af totale frequentie 1 Bij een even aantal getallen: Neem de uitkomst en het getal erboven 3 Lees deze waarnemingsgetallen af, tel op en deel door In het voorbeeld: Totale frequentie is even getal, dus: e en 19 e getal aflezen 3 6 en 6, dus de mediaan = 6 6 =6 Modus: waarnemingsgetal met de grootste frequentie. De modale klasse is de klasse met de grootste frequentie. In het voorbeeld: hoogste frequentie is 1, dus modus = 6 Let op: Het gemiddelde is gevoelig voor uitschieters, de mediaan niet. Wiskunde A havo voorbereidende opgaven 8 SSL 018

9 Aan de hand van het voorbeeld kun je dat aantonen. Stel dat er een leerling extra de toets maakt en een 1 haalt. Vergeleken de andere scores kunnen we het cijfer 1 een uitschieter noemen. Wat gebeurt er dan met het gemiddelde en de mediaan? gemiddelde = Totale frequentie is nu oneven, dus: , dus 19e getal aflezen, dus mediaan = In dit voorbeeld is te zien dat door de uitschieter wél het gemiddelde verandert, maar de mediaan gelijk blijft. Kortom: het gemiddelde is gevoelig voor uitschieters, de mediaan niet. Boxplot De boxplot is een belangrijke grafische vorm voor je eindexamen. De boxplot bestaat uit 4 delen. Elk deel bevat 5% van de waarnemingsgetallen. In een boxplot kun je de kleinste waarneming, het eerste kwartiel, de mediaan, het derde kwartiel en de grootste waarneming aflezen. Het eerste kwartiel, Q 1, is de mediaan van de eerste helft getallen. In het voorbeeld: eerste helft = eerste 18 getallen. Even aantal, dus: 18 = 9, dus 9e en 10 e getal bekijken, dus 6 en 6, dus Q 1 = 6 6 = 6. Het derde kwartiel, Q 3, is de mediaan van de tweede helft getallen. In het voorbeeld: tweede helft = tweede 18 getallen. Even aantal, dus: 18 = 9, dus 7e en 8 e getal bekijken, dus 7 en 7, dus Q 1 = 7 7 = 7. Let op! Wanneer de Q 1 of Q 3 bij een oneven aantal moet bepalen, neem je het middelpunt (mediaan) niet mee. Spreidingsmaten Spreidingsmaten geven informatie over de spreiding van getallen. Hoe groter de spreidingsmaat, hoe groter de spreiding. Spreidingsbreedte: verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal (= grootste kleinste waarneming) Interkwartielafstand: verschil tussen het derde en het eerste kwartiel (= Q 3 Q 1 ) Standaardafwijking: hiervoor wordt het '' teken gebruikt. In getekende boxplot is aangegeven hoe je spreidingsbreedte en de interkwartielafstand uit een boxplot kunt afleiden. Wiskunde A havo voorbereidende opgaven 9 SSL 018

10 Overige grafische vormen In de statistiek worden grafische vormen gebruikt om overzichtelijk te maken hoe vaak meetbare gegevens, zoals snelheden, lengtes of temperaturen, voorkomen. Deze meetbare gegevens staan in statistische figuren altijd op de horizontale () as. Hoe vaak deze gegevens voorkomen, de frequenties, wordt altijd op de verticale () as uitgezet. Statische figuren worden dan ook wel frequentieverdelingen genoemd. Histogram Een histogram is zo n frequentieverdeling. Kenmerkend voor een histogram is dat de horizontale () as verdeeld is in gelijke stukken. Bij elke stuk kan een waarnemingsgetal of een klasse horen. Voorbeeld : In figuur 1 zie het histogram behorend bij tabel 1, waarin het aantal personen bij iedere leeftijdsgroep is weergegeven. figuur 1 tabel 1 Leeftijd 0- < < < < < < <90 Frequentie <100 Frequentiepolygoon Bij de frequentiepolygoon zijn er geen staven, zoals bij een histogram, maar zijn alle punten verbonden met een lijn. Er zijn verschillende soorten frequentiepolygonen. De verschillen tussen deze soorten zit hem in de verticale () as. Frequentiepolygoon: Op de verticale () as zijn de frequenties als aantallen uitgezet. Relatief cumulatief frequentiepolygoon: Op de verticale () as is de relatief cumulatieve frequentie uitgezet. Relatief betekent dat de aantallen worden uitgedrukt in procenten, cumulatief betekent bij elkaar opgeteld. Stappenplan: tekenen van een relatief cumulatief frequentiepolygoon 1 Bepaal voor elke klasse de cumulatieve frequentie Zie tabel 1: voor de klasse 40-<50 jaar is de cumulatieve frequentie Bepaal voor elke klasse de relatieve cumulatieve frequentie Zie tabel 1: voor de klasse 40-<50 jaar is de relatieve cumulatieve frequentie = cumulatieve frequentie 100% % 50% totale frequentie 0 3 Zet boven de rechtergrens van elke klasse de relatieve cumulatieve frequentie 4 Zet boven de linkergrens van de eerste klasse de relatieve cumulatieve frequentie 0 uit 5 Verbind de punten Let op! Teken nooit de 100% Wiskunde A havo voorbereidende opgaven 10 SSL 018

11 In tabel en figuur zijn de stappen van dit stappenplan voor tabel 1 uitgewerkt. tabel Leeftijd 0- < < < < < < < <100 Frequentie Cumulatieve frequentie Relatieve cumulatieve frequentie 10% 30% 50% 75% 90% 95% 95% 100% figuur Hagelslag Bij twee merken hagelslag wordt door middel van een steekproef een onderzoek gedaan naar het gewicht per pak. Voor merk A en B staan deze genoteerd in tabel 3. tabel 3 Gewicht in gram Frequentie merk A Frequentie merk B Wat is het modale gewicht bij merk A en merk B? 14 Bereken Q 1, de mediaan en Q 3 voor merk B. Ter afsluiting Je hebt de voorbereidende opgaven af, dat is een goed begin van je cursus. Om straks gericht de uitdagingen van wiskunde A aan te pakken kan je vast opschrijven welk(e) onderwerp(en) jij lastig vindt en waarom. Dit zorgt ervoor dat onze docenten jou nog gerichter kunnen helpen! Wiskunde A havo voorbereidende opgaven 11 SSL 018