Samenvatting Wiskunde Samenvatting en stappenplan van hfst. 7 en 8

Transcriptie

1 Samenvatting Wiskunde Samenvatting en stappenplan van hfst. 7 en 8 Samenvatting door N woorden 6 januari ,4 13 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde Getal en Ruimte 7.1 toenamediagrammen Interval Open interval: < > punten doen niet mee <-1,3> -1 en 3 doen niet mee Gesloten interval: [ ] punten doen wel mee [-1,3] -1 en 3 doen wel mee Soorten stijgen en dalen Constant toenemend afnemend Minimum en maximum Top: hoog of laag punt in een grafiek Maximum: hoge top Minimum: lage top Absoluut maximum: hoogste punt Absoluut minimum: laagste punt Toenamediagram 1. Toenamegrafiek maken 2. Zonodig tabel afmaken met GR (GRAPH formule invoeren, TABLE draw) 3. toenamediagram maken (ΔY en X aan bij de assen) 7.2 het differentiequotiënt Differentieqoutiënt=helling=richtingsquotiënt=gemiddelde verandering van y ΔY Yb - Ya ΔX = Xb Xa Pagina 1 van 7

2 Differentiequotiënt bij formules: 1. GRPH-menu formule invoeren 2. RUN-menu (getal)->x, 0, T 3. VARS GRPH kies y 4. y1= (getal) 5. formule ( ) invullen Bij snelheden e.d. altijd eenheden vermelden. 7.3 raaklijnen en snelheden Tijd-afstandformules: 1. GRPH-menu formule invoeren 2. RUN-menu OPTN CALC d/dx 3. VARS GRPF y kiezen 4. d/dx(y1,x) = antwoord 5. noteren als: =richtingscoëfficiënt raaklijn A = snelheid waarmee y veranderd voor x=xa = de helling van de grafiek in A Formule raaklijn opstellen 1. GRPH-menu formule invoeren 2. A uitrekenen via d/dx(y1,x) zie tijdsafstandformules 3. formule opstellen (k: y=ax+b) 4. y1= oproepen met de gegeven X zie differentiequotiënt bij formules 5. X en Y in formule invullen 6. B uitrekenen 7. formule opstellen (y = getal X + getal) Wil je weten of y toe- of afneemt voor x=a, dan reken je d/dx uit met x=a. Blijkt dat: - > 0 dan neemt de y toe voor x=a - < 0 dan neemt de y af voor x=a Verband tussen grafiek en hellingsgrafiek: - grafiek stijgend: hellinggrafiek boven de X-as - grafiek dalend: hellinggrafiek onder de X-as Pagina 2 van 7

3 - grafiek heeft top: hellinggrafiek snijdt de X-as 7.4 de afgeleide functie Differentieregels: - f(x) = ax² f (x) = 2ax¹ - f(x) = ax f (x) = 1 axº=a - f(x) = a f (x) = 0 Eerst haakjes, dan en/, dan +en- Bvb.: f(x) = 6x³ f (x) = 3 6x²=18x² Stel met behulp van de afgeleide de formule van de raaklijn op 1. De afgeleide formule berekenen 2. Formule opstellen (bvb. m: y=ax+b) 3. Vul de XA in in de afgeleide formule en bereken hiermee de a (bvb. Bij de functie f(x)=0,2x³-6x+2 met XA=5 a=f (5)=0,6 5²-6=9) 4. Formule tot zover invullen (bvb. m: y=9x+b) 5. Dan vul je in de functie de XA voor de x in. Hiermee reken je de y uit, nu heb je de x en de y (bvb. YA=f(XA=-3, dus A is (5, -3)) 6. Reken de b uit door de x en de y in te vullen in de formule y=ax+b 7.5 toepassingen van de afgeleide Notities voor de afgeleide De afgeleide is, dus als je de afgeleide op moet schrijven kun je ook met de formule erachter opschrijven, bijvoorbeeld (3x²+8x) de uitkomst hiervan is de afgeleide, dus 6x+8. Dit schrijf je zo op (3x²+8x)= 6x+8. Maar de beste manier om het op te schrijven is: d(8x³+6x²) dx = 24x²+12x. Als er onder de deelstreep bij bijvoorbeeld dt staat i.p.v. dx moet je naar t differentiëren. Als je de formule 24t²+12x hebt en je moet naar x differentiëren, dan krijg je als afgeleide: Stijgen, dalen en toppen Is f (x)>0 op een interval, dan is f stijgend voor dat interval. Is f (x)<0 op een interval, dan is f dalend voor dat interval. Berekenen van maxima en minima(extreme waarden) Pagina 3 van 7

4 Bij de opdracht Bereken algebraïsch het maximum van y. Moet je 1. de afgeleide berekenen 2. de vergelijking =0 algebraïsch oplossen 3. de grafiek van y schetsen en aflezen welke oplossing van =0 bij het maximum hoort 4. het maximum berekenen door de gevonden x-waarde in te vullen in de formule van y. Controleren van maxima en minima Bij de opdracht Toon met de afgeleide aan dat y een maximum heeft voor x=a. Moet je 1. de afgeleide berekenen en laten zien dat =0 2. de grafiek van y schetsen en opmerken dat er inderdaad een hoogste punt is. Par. 8.1 centrum- en spreidingsmaten Med: Mediaan: Het middelste waarnemingsgetal als alle getallen naar grootte gerangschikt zijn. Bij een even aantal waarnemingsgetallen is de mediaan het gemiddelde van de twee middelste getallen. Mod: Modus: Het waarnemingsgetal met de grootste frequentie Modale klasse: klasse met de grootste frequentie en μ: Gemiddelde n: Aantal waarnemingsgetallen xσn: σ: Het gemiddelde minx: Kleinste waarnemingsgetal Q1: Het 1e kwartiel Q3: Het 3e kwartiel maxx: Het grootste waarnemingsgetal Voordeel Nadeel Modus *Snel op te schrijven, weinig rekenwerk *De enige centrummaat die bij kwalitatieve gegevens te gebruiken is *geeft weinig informatie *is niet altijd aanwezig *een kleine verandering kan een geheel andere modus opleveren Pagina 4 van 7

5 Mediaan *Niet gevoelig voor uitschieters *Weinig rekenwerk *alleen de volgorde van de waarnemingsgetallen is van belang, niet de grootte van het verschil tussen de waarnemingsgetallen Gemiddelde *Alle gegevens worden gebruikt *gevoelig voor uitschieters De boxplot: De relatieve cumulatieve frequentiepolygoon kun je goed gebruiken om bij een klassenindeling de mediaan te schatten. De relatieve cumulatieve frequentie van de mediaan is namelijk 50%, dus: - Begin op de verticale as bij 50 - Ga horizontaal naar de grafiek - Lees op de horizontale grafiek de mediaan af De mediaan verdeelt een serie waarnemingsgetallen in twee groepen, die elk bestaat uit 50% van de waarnemingsgetallen. Van elk van deze even grote groepen kun je weer de mediaan bepalen. Er ontstaan van een verdeling in vier groepen die elk 25% van de waarnemingsgetallen bevat. De mediaan van de eerste helft heet het eerste kwartiel(q1) links van mediaan(25%) De mediaan van de tweede helft heet het derde kwartiel(q3) rechts van mediaan(75%) Samen met het kleinste en het grootste waarnemingsgetal gebruik je Q1, de mediaan en Q3 bij het tekenen van een boxplot. Spreidingsmaten: Om een goede indruk te krijgen van een serie waarnemingsgetallen moet je behalve het gemiddelde ook nog een getal hebben dat informatie geeft over de spreiding van de getallen. Zo n getal heet een spreidingsmaat. Er zijn verschillende spreidingsmaten in gebruik. - De spreidingsbreedte: het verschil tussen het grootste en kleinste waarnemingsgetal - De kwartielafstand: het verschil tussen het 3e en 1e kwartiel Spreidingsbreedte = 8 1 = 7 Kwartielafstand = Q3 Q1 = 6 3 = 3 De meest gebruikte spreidingsmaat is de standaardafwijking. Om de standaardafwijking te berekenen moet je eerst van elk waarnemingsgetal berekenen hoe ver het van het gemiddelde af ligt. Zo krijg je bij elk waarnemingsgetal x de deviatie d(de afwijking van het gemiddelde). Dus d = x - Par. 8.2 eigenschappen van de normale verdeling Vuistregels bij de normale verdeling: - 68% van alle waarnemingen ligt tussen μ σ en μ + σ Pagina 5 van 7

6 - 95% van alle waarnemingen ligt tussen μ 2σ en μ + 2σ Normaal-waarschijnlijkheidspapier: Bij de normale verdeling hoort: - bij μ de relatieve cumulatieve frequentie 50 - bij μ + σ de relatieve cumulatieve frequentie 84 Op normaal-waarschijnlijkheidpapier lees je op de verticale as de relatieve cumulatieve frequentie af. Op de horizontale as kun je zelf een geschikte lineaire schaalverdeling kiezen om de klassen uit te zetten. Stappenplan: hoe onderzoek je of bij een verdeling een normale benadering is toegestaan en hoe schat je μ en σ? 1. bereken van elke klasse de relatieve cumulatieve frequentie. 2. zet deze relatieve cumulatieve frequenties uit op normaal-waarschijnlijkheidspapier, telkens boven de rechtergrens van de klasse 3. ga na of de punten bij benadering op een rechte lijn liggen 4. lees op de horizontale as μ af bij de relatieve cumulatieve frequentie lees op de horizontale as μ + σ af bij de relatieve cumulatieve frequentie 84. hieruit volgt σ. Frequentie: aantal dingen in de frequentie Cumulatieve frequentie: de frequentie van de voorgaande klassen bij elkaar opgeteld Relatieve cumulatieve frequentie: bij de laatste klassen beginnen met 100% en dan terug tellen. 8.3 oppervlakten onder de normaalkromme De notatie normalcdf (l, r,μ,σ). In deze afbeelding is de notatie (-10^99, 18, 15, 3). Afspraak: rond oppervlakten onder normaalkrommen af op 3 decimalen. Grenzen berekenen met de GR. Als de oppervlakte gegeven is i.p.v. de grenzen, dan kun je met invnorm uitrekenen wat de grenzen zijn. De notatie hierbij is (opp., μ,σ). Is de oppervlakte onder de normaalkromme van links van a gegeven, dan is a=invnorm(opp links, μ,σ) Als je de oppervlakte van rechts van a wilt berekenen, dan moet je de uitkomst van links van a van een aftrekken. Afspraak: bij het uitrekenen van a=invnorm(opp links, μ,σ) moet je op een decimaal meer afronden dan de gegeven σ. Het berekenen van de μ en σ. Pagina 6 van 7

7 Met de formule kun je de μ en σ uitrekenen. 1. GRAPH y1, y2 opp. linkse gebied 2. V-window goed instellen 3. G-solv ISCT 4. de x die je uitkrijgt door ISCT is de gevraagde μ of σ. Dus: Oppervlakte: normncd Grens: inversenorm Standaardafwijking of gemiddelde: 8.4 toepassingen van de normale verdeling Percentages en kansen bij de normale verdeling. Stappenplan voor opgaven over de normale verdeling: 1. Schets de normaalkromme en verwerk hierin l, r,μ,σ en opp.. 2. Kleur het gebied dat bij de vraag hoort. 3. Bereken met de GR het ontbrekende getal. 4. Beantwoord de gestelde vraag. Hoeveel is de oppervlakte van het gebied onder de normaalkromme links van 168?=hoeveel procent van de mannen is kleiner dan 168 cm?=wat is de kans dat een willekeurig gekozen man van deze groep kleiner is dan 168 cm? Pagina 7 van 7