8.1 Centrum- en spreidingsmaten [1]

Transcriptie

1 8.1 Centrum- en spreidingsmaten [1] Gegeven zijn de volgende 10 waarnemingsgetallen: 1, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 8, 9 Het gemiddelde is: De mediaan is het middelste waarnemingsgetal als de getallen naar grootte Geordend zijn. Bij een even aantal waarnemingsgetallen is dit het gemiddelde van de middelste twee getallen. 4 5 De mediaan is: De modus is het waarnemingsgetal dat het meeste voorkomt. Komen meerdere waarnemingsgetallen het meeste voor dan is er geen modus. De modus is: ,

2 8.1 Centrum- en spreidingsmaten [1] Branduren 800 -< < < < < Frequentie Voorbeeld: Bereken het gemiddelde aantal branduren en de mediaan. Stap 1: Voer de klassenmiddens in je GR in. STAT EDIT 1:EDIT ENTER 2

3 8.1 Centrum- en spreidingsmaten [1] Controleer of L1 leeg is. L1 niet leeg. Ga op L1 staan CLEAR ENTER Ga onder L1 staan en voer de klassenmiddens {850, 950, 1050, 1150, 1250} in 3

4 8.1 Centrum- en spreidingsmaten [1] Voorbeeld: Bereken het gemiddelde aantal branduren en de mediaan Stap 2: Voer de frequenties in je GR in: Controleer of L2 leeg is. L2 niet leeg. Ga op L2 staan CLEAR ENTER Ga onder L2 staan en voer klassenmiddens {6, 15, 26, 21, 7} Stap 3: Bereken het gemiddelde op je GR: STAT CALC 1:1-Var Stats ENTER Vul bij List, lijst L1 met waarnemingsgetallen in; Vul bij FreqList, Lijst L2 met frequenties in. Stap 4: x = gemiddelde (1061), Med = Mediaan (1050) 4

5 8.1 Centrum- en spreidingsmaten [2] In het plaatje is een relatieve cumulatieve frequentiepolygoon getekend van het aantal uren dat door een groep mensen tv gekeken wordt. De mediaan is het middelste waarnemingsgetal. Dit is te vinden bij 50% van de waarnemingsgetallen. Dit is hier rond de 10,5. 5

6 8.1 Centrum- en spreidingsmaten [2] Het eerste kwartiel (Q 1 ) is het waarnemingsgetal dat op één kwart ligt. Dit is te vinden bij 25% van de waarnemingsgetallen. Dit is hier rond de 6. Het derde kwartiel (Q 3 ) is het waarnemingsgetal dat op drie kwart ligt. Dit is te vinden bij 75% van de waarnemingsgetallen. Dit is hier rond de 16. Mediaan, eerste kwartiel en derde kwartiel kun je schematisch weergeven in een boxplot. 6

7 8.1 Centrum- en spreidingsmaten [2] In het boxplot zie je het eerste kwartiel (Q 1 ), de mediaan (MED), het derde kwartiel (Q 3 ) en het eerste en laatste waarnemingsgetal. 7

8 8.1 Centrum- en spreidingsmaten [2] Voorbeeld: Afstand frequentie Maak een boxplot bij deze verdeling: Stap 1: Voer de lijst L1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} en lijst L2 = {2, 3, 4, 4, 7, 5, 1} in. Stap 2: Gebruik 1-Var Stats L1, L2 Stap 3: Lees nu de benodigde gegevens af: MinX (Minimale waarde) = 0; Q 1 (Eerste kwartiel) = 2 Med (Mediaan) = 3,5; Q 3 (Derde kwartiel) = 4 MaxX (Maximale waarde) = 6 8

9 8.1 Centrum- en spreidingsmaten [2] Voorbeeld: Afstand frequentie MinX (Minimale waarde) = 0; Q 1 (Eerste kwartiel) = 2 Med (Mediaan) = 3,5; Q 3 (Derde kwartiel) = 4 MaxX (Maximale waarde) = 6 9

10 8.1 Centrum- en spreidingsmaten [3] Voorbeeld: Spreidingsbreedte = verschil tussen grootste en kleinste waarnemingsgetal (6 0 = 6) Kwartielafstand = verschil tussen derde en eerste kwartiel (4 2 = 2) De spreidingsbreedte en de kwartielafstand geven informatie over de spreiding van de getallen. Hoe groter deze spreidingsmaten zijn, hoe meer de getallen verspreid zijn. Meestal wordt echter de standaardafwijking als spreidingsmaat gebruikt. 10

11 8.1 Centrum- en spreidingsmaten [3] Voorbeeld: Afstand frequentie Bereken de standaardafwijking: Stap 1: Voer de lijst L1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} en lijst L2 = {2, 3, 4, 4, 7, 5, 1} in. Stap 2: Gebruik 1-Var Stats L1, L2 Stap 3: De standaardafwijking is nu te vinden bij: σ x en is 1,63. 11

12 8.2 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Relatief frequentiepolygoon van de lengte van mannen in

13 8.2 Eigenschappen van de normale verdeling [1] In dit plaatje is een frequentiepolygoon getekend. De klassenbreedtes zijn nu kleiner dan in het vorige plaatje. 13

14 8.2 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Wat valt op? De twee figuren lijken symmetrisch; De meeste waarnemingen bevinden zich rond het midden; Hoe verder van het midden, hoe minder waarnemingen er zijn. Als de klassenbreedtes kleiner worden krijgt de frequentieverdeling steeds meer de vorm van een klok Deze frequentieverdeling komt vaak voor: Lengte van mannen/vrouwen; Gewicht van mannen/vrouwen; Branduren van een lamp; IQ van mensen. Zo n verdeling noemen we een normale verdeling. 14

15 8.2 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Als we een heel erg kleine klassenbreedte nemen ontstaat de normaalkromme. 15

16 8.2 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Kenmerken van de normale verdeling: 1. De normale verdeling is symmetrisch; 2. De normale verdeling heeft een gemiddelde μ; 3. De normale verdeling heeft een standaardafwijking σ; 4. De oppervlakte onder de normaalkromme is altijd 100% 16

17 8.2 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Kenmerken van de normale verdeling: 5. 68% van alle waarnemingen ligt minder dan één keer de standaardafwijking van het gemiddelde af. 68% van alle waarnemingen ligt dus tussen μ σ en μ + σ; 6. 95% van alle waarnemingen ligt minder dan twee keer de standaardafwijking van het gemiddelde af. 95% van alle waarnemingen ligt dus tussen μ - 2σ en μ + 2σ. 17

18 8.2 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Voorbeeld 1: Gegeven is een normale verdeling met μ = 300 en σ = 10. Hoeveel procent van de waarnemingen ligt tussen 280 en 320? 280 = keer de standaardafwijking 320 = keer de standaardafwijking Dus 13,5% + 24% + 24% + 13,5% = 95% van alle waarnemingen ligt tussen 280 en

19 8.2 Eigenschappen van de normale verdeling [1] Voorbeeld 2: Gegeven is een normale verdeling met μ = 300 en σ = 10. Hoeveel procent van de waarnemingen ligt links van 310? 310 = keer de standaardafwijking Dus 2,5% + 13,5% + 34% + 34% = 84% van alle waarnemingen ligt links van 280 en

20 8.2 Eigenschappen van de normale verdeling [2] Voorbeeld: In de tabel staat de verdeling van de gewichten in grammen van een hoeveelheid bonen. klasse 0,45 -< 0,65 1 0,65 -< 0,85 6 0,85 -< 1, ,05 -< 1, ,25 -< 1, ,45 -< 1, ,65 -< 1, ,85 -< 2,05 7 2,05 -< 2,25 6 Frequentie Toon aan dat deze verdeling bij benadering normaal is: 20

21 8.2 Eigenschappen van de normale verdeling [2] Stap 1: Bereken de cumulatieve en relatieve cumulatieve frequenties: klasse Frequentie Cum. Freq. Rel. Cum. Freq. 0,45 -< 0, ,6 (1/156) 0,65 -< 0, (1 + 6) 4,5 (7/156) 0,85 -< 1, (7 + 18) 16,0 (25/156) 1,05 -< 1, ,8 1,25 -< 1, ,2 1,45 -< 1, ,0 1,65 -< 1, ,7 1,85 -< 2, ,2 2,05 -< 2, ,0 21

22 8.2 Eigenschappen van de normale verdeling [2] Stap 2: Teken de rel. cum. frequenties op normaal waarschijnlijkheidspapier: 22

23 8.2 Eigenschappen van de normale verdeling [2] Stap 3: Trek een lijn door de punten: 23

24 8.2 Eigenschappen van de normale verdeling [2] Let op: Als de getekende punten op een rechte lijn liggen, is er sprake van een normale verdeling Het gemiddelde (μ) is te vinden door de waarde af te lezen die hoort bij een relatieve cumulatieve frequentie van 50 ( 1,43) De standaardafwijking (σ) is te vinden door: 1. de waarde af te lezen die hoort bij een relatieve cumulatieve frequentie van 84 ( 1,75); 2. het verschil tussen deze waarde en het gemiddelde is de standaardafwijking (1,75 1,43 = 0,32) 24

25 8.3 Oppervlakten onder normaalkrommen [1] Wanneer van een normale verdeling, het gemiddelde (μ), de standaardafwijking (σ) en een interval gegeven is, kun je de oppervlakte onder de normaalkromme voor dat interval berekenen. Voorbeeld 1: Normale verdeling met μ = 20 en σ = 3.2. Bepaal de oppervlakte onder de normaalkromme tussen 15 en

26 8.3 Oppervlakten onder normaalkrommen [1] Voorbeeld 1: Normale verdeling met μ = 20 en σ = 3.2. Bepaal de oppervlakte onder de normaalkromme tussen 15 en 25. Op de GR: 2ND VARS DISTR 2:normalcdf( ENTER Vul bij lower de linkergrens in; Vul bij upper de rechtergrens in; Vul bij μ het gemiddelde in; De uitkomst is 0,882 Vul bij σ de standaardafwijking in. 26

27 8.3 Oppervlakten onder normaalkrommen [1] Voorbeeld 2: Normale verdeling met μ = 20 en σ = 3.2. Bepaal de oppervlakte onder de normaalkromme rechts van 22. Opp = normalcdf(22, 10 99, 20, 3.2)

28 8.3 Oppervlakten onder normaalkrommen [2] Voorbeeld 1: Normale verdeling met μ = 20 en σ = 3.2. De oppervlakte links van de grens a is 0,56. Bereken deze grens. Op de GR: 2ND VARS DISTR 3:invNorm( ENTER Vul bij area de oppervlakte links van de grens in; Vul bij μ het gemiddelde in; Vul bij σ de standaardafwijking in. De uitkomst is 20,48 28

29 8.3 Oppervlakten onder normaalkrommen [2] Voorbeeld 2: Normale verdeling met μ = 1800 en σ = 40. De oppervlakte rechts van de grens a is 0,15. Bereken deze grens. Let op: InvNorm is de oppervlakte links van een bepaalde grens. In dit geval Is de oppervlakte links van grens a = 1 0,15 = 0,85 Grens = invnorm(0.85, 1800, 40)

30 8.3 Oppervlakten onder normaalkrommen [2] Voorbeeld 3: Normale verdeling met μ = 1800 en σ = 40. De oppervlakte van Het symmetrische gele gebied is 0,38. Bereken de rechtergrens van dit gebied. Oppervlakte gele gebied = 0,38 Oppervlakte blauwe gebied = 1 0,38 = 0,62 Oppervlakte blauwe gebied links = 0,62/2 = 0,31 (vanwege symmetrie) Oppervlakte geel + blauw voor rechtergrens = 0,31 + 0,38 = 0,69 30

31 8.3 Oppervlakten onder normaalkrommen [2] Voorbeeld 3: Normale verdeling met μ = 1800 en σ = 40. De oppervlakte van Het symmetrische gele gebied is 0,38. Bereken de rechtergrens van dit gebied. Rechtergrens = InvNorm(0.69, 1800, 40) =

32 8.3 Oppervlakten onder normaalkrommen [3] Voorbeeld: Normale verdeling met μ = 28 en σ = onbekend. De oppervlakte Rechts van 23 is 0,83. Bereken de standaardafwijking. Er moet gelden normalcdf(23, 10 99, 28, σ) = 0,83 Met de GR: Y1 = normalcdf(23, 10 99, 28, σ) Y2 = 0,83 en INTERSECT [Let op grenzen van assen!!!] 32

33 8 Samenvatting De mediaan is het middelste waarnemingsgetal als de getallen naar grootte Geordend zijn. Bij een even aantal waarnemingsgetallen is dit het gemiddelde van de middelste twee getallen. De modus is het waarnemingsgetal dat het meeste voorkomt. Komen meerdere waarnemingsgetallen het meeste voor dan is er geen modus. Het eerste kwartiel (Q 1 ) is het waarnemingsgetal dat op één kwart ligt. Dit is te vinden bij 25% van de waarnemingsgetallen. Dit is hier rond de 6. Het derde kwartiel (Q 3 ) is het waarnemingsgetal dat op drie kwart ligt. Dit is te vinden bij 75% van de waarnemingsgetallen. Dit is hier rond de 16. Mediaan, eerste kwartiel en derde kwartiel kun je schematisch weergeven in een boxplot. Spreidingsbreedte = verschil tussen grootste en kleinste waarnemingsgetal Kwartielafstand = verschil tussen derde en eerste kwartiel 33

34 8 Samenvatting Kenmerken van de normale verdeling: 1. De normale verdeling is symmetrisch; 2. De normale verdeling heeft een gemiddelde μ; 3. De normale verdeling heeft een standaardafwijking σ; 4. De oppervlakte onder de normaalkromme is altijd 100%; 5. 68% van alle waarnemingen ligt minder dan één keer de standaardafwijking van het gemiddelde af. 68% van alle waarnemingen ligt dus tussen μ σ en μ + σ; 6. 95% van alle waarnemingen ligt minder dan twee keer de standaardafwijking van het gemiddelde af. 95% van alle waarnemingen ligt dus tussen μ - 2σ en μ + 2σ. Toon aan dat een verdeling bij benadering normaal is: 1. Bereken de cumulatieve en relatieve cumulatieve frequenties; 2. Teken de rel. cum. frequenties op normaal waarschijnlijkheidspapier; 3. Kijk of je een rechte lijn door deze punten kunt tekenen. Oppervlakte = normalcdf(linkergrens, rechtergrens, gemiddelde, standaardafwijking) Linkergrens = invnorm(opp. links van grens, gemiddelde, standaardafwijking) 34