Samenvatting Wiskunde A Rijen, sommen en kansberekeningen boek 2 a10 en boek 3

Transcriptie

1 Samenvatting Wiskunde A Rijen, sommen en kansberekeningen boek 2 a10 en boek 3 Samenvatting door een scholier 2946 woorden 10 januari ,3 13 keer beoordeeld Vak Wiskunde A Wiskunde Boek I A10 Rijen Recursie Un uitrekenen heb je Un-1 nodig (vorige term)=recursie. Je hebt voorgaande term Un-1 nodig om Un uit te rekenen. Recursievergelijking geeft aan hoe je Un met Un-1 kunt uitrekenen. Meetkundig: Un=un-1*r (reden) Rekenkundig: Un=un-1+r(reden) Rangnummer Als je met het rangnummer n in een keer de term Un kunt uitrekenen, heb je te maken met een rangnummerformule. Meetkundig: Un=B*R^n-1 Rekenkundig: Un=u1+R(n-1) of Un=u0+r*n Meetkundige rij Een term vind je door de voorgaande term te vermenigvuldigen met een vast getal Rekenkundige rij Er steeds een vast getal bij op tellen: etc R=5 Verschilrij U1=1 +3 U2=4 +5 U3=9 +7 U4=16 Tweede rij is deltau Bv. Delta u4=u4-u3=7 Pagina 1 van 12

2 Rijen uitrekenen op RM Mode Func (4de regel) Seq Enter (springen) Y= De rij invullen Nmin= rangnummer n waarmee je begint U(n)= formule voor de rij U(nmin)= startgetal van de rij (u1) Dan 2nd, winsow, tblstart=1 2nd+graph tabel Somrij Sn= de eerste n termen van de rij optellen Rekenkundige rij: bv. De rij S1=1 S4=10( ) S2=3(2+1) S10=55( ) S4=10 gemiddeld 2,5 Gemiddelde xn=10 Gemiddelde=u1+un:2 Formule: Sn=1/2*n*(u1+un) Meetkundig Sn= un+1-u1/r-1 Sn=R^n-1/r-1 Wiskunde Boek II S1 Toeval en S2 Telproblemen Kansen Theoretische kansen : berekenen door te redeneren Bv. Kans op munt is 0.5, Kans op even ogen is 0.5 Emperische kansen: berekenen door experimenten uit te voeren en/of gegevens te verzamelen. Bv. Kans op punaise met punt omhoog(exp) Kans op een meisje bij geboorte (geg) Kansen berekenen Nodig: overzicht van aantal gunstige uitkomsten en aantal mogelijke uitkomsten. Methoden: Simuleren Pagina 2 van 12

3 Steekproef Vaasmodel (met/zonder teruglegging) Rooster (bij 2 experimenten) Boomdiagrammen (bij 2 of meer experimenten) Machtsboom (evenveel takken steeds) Faculiteitsboom (steeds een tak minder) Kansdefinitie van Laplace P(gebeurtenis)= aantal gunstige uitkomsten/totaal aantal uitkomsten Voorwaarde: alle uitkomsten van het experiment zijn even waarschijnlijk. Bv. Bij een verkeerslicht zijn de uitkomsten rood/oranje/groen niet even waarschijnlijk. Bv. Gooien met een dobbelsteen is elke uitkomst even waarschijnlijk. S3 Rekenen met kansen Tot nu toe gebruik je boomdiagrammen om een overzicht van alle mogelijkheden te krijgen. Vaas A: 4 witte en 6 rode Vaas B: 7 witte en 3 rode Vaas A Vaas B 100 takken, want steeds 10 aan elke tak Kan ook: Vaas A Vaas B P(A)= Gunstig/totaal P(rr)= 18/100=0.18 P(rw)= 42/100=0.42 P(wr)= 12/100=0.12 P(ww)= 28/100=0.28 Kansen zijn altijd getallen tussen 0 en 1 Conclusie: Kansdiagram is een vereenvoudigd boomdiagram met langs de takken de kansen. In een kansdiagram kan je de kans op een route uitrekenen door de kansen langs die takken van die route te vermenigvuldigen. Somregel In een kansdiagram kan een bepaalde gebeurtenis vaak langs verschillende routes ontstaan. Hoe bereken je de kans op die gebeurtenis? Welke routes horen bij die gebeurtenis? Bereken de kans op elke route door de kansen langs de takken van die route met elkaar te vermenigvuldigen. Bereken de kans op die gebeurtenis door de kansen van elke route bij elkaar op te tellen. Bv. Pagina 3 van 12

4 Gebeurtenis rrrw= 4 keer Kans rrrw= 0.7*0.7*0.7*0.3= = kans Met en zonder teruglegging Veel kansexperimenten kun je vertalen naar het model van een vaas met knikker. Deze knikkers kun je op 2 manier aselect uit de vaas halen: Trekken met teruglegging: bij elke trekking is de kans hetzelfde. Trekken zonder teruglegging: na elke trekking veranderen de kansen voor de daarop volgende trekking. Bv. 20 rode en 8 witte knikker, je trekt 2 knikker. Met: P(rw)= 20/28*8/28=0.204 Zonder: P(rw)= 20/28*8/27=0.212 Uit een groep van 9 mensen 4 mensen kiezen. 1 jongen, wat is de kans op mjmm? Met: P(mjmm)= 8/9*1/9*8/9*8/9= Zonder: P(mjmm)= 8/9*1/8/7/7*6/6=0.111 Voorwaardelijke kans Voldoende Onvoldoende Totaal Meisjes Jongens Totaal Verschillende gebeurtenissen: A: voldoende B: een meisje C: een jongen P(A)= 10/18 P(B)= 11/18 P(C)= 7/18 P(A/B)=6/11 Voorwaardelijke kans op gebeurtenis A onder voorwaarde dat gebeurtenis B plaatsvindt. P(B/A)= 6/10 P(A/C)= 4/7 P(C/A)=4/10 Tweede letter moet onder Met voorwaardelijk kansen kun je nagaan of 2 gebeurtenissen onafhankelijk zijn. Regel: Als voor 2 gebeurtenissen A en B geldt P(A)=P(A/B) en P(B)=P(B/A) dan heten A en B onafhankelijk. Betekenis: optreden van A heeft geen invloed op de kans van B en andersom. 10/18 is niet 6/11 11/18 is niet 6/10 zijn afhankelijk! S4 Kansproblemen Combinaties en permutaties Situatie: woorden van 4 letters maken uit 26 alfabetletters, waarbij je elke letter 1 keer mag gebruiken en onzinwoorden zijn toegestaan volgorde belangrijk Permutatie. Situatie: commissie van 4 llg maken uit een klas met 26 llg, waarbij je elke llg max 1 keer gekozen mag worden volgorde niet van belang (lena=aeln) Combinaties! Pagina 4 van 12

5 Berekening: 26*25*24*23= mbv. GR: aantal permutaties van R uit N. n npr r 26 math+prb+2 4 = Berekening: 26*25*24*23/4*3*2*1 =14950 mbv. GR: aantal combinaties van R uit N N ncr r 26 math+prb+3 4 = Combinatie schrijf je als (26 boven 4) Faculteit 10!= 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 Kansen in een rooster Tot nu toe: rooster gebruiken bij telproblemen dwz. Het bepalen van het aantal routes. Nu: Rooster gebruiken bij kansproblemen dwz. Het bepalen van een kans op een bep. Gebeurtenis. Teken een rooster en daarin het punt P dat bij de gevraagde gebeurtenis past. Teken 1 route die naar P en bereken de kans op die route. Bereken aantal korste routes naar P. P(gebeurtenis)= aantal routes stap 3 en P(route) dat je bij stap 2 hebt uitgerekend. Bv. 1) 2) In een rooster getekend P(AAABB)= 0.7^3*0.3^2= ) (5 boven 3)= aant. Routes = 10 4) P(3-2)= 10*0.031=0.31 kans Complement regel Gebruiken bij: minstens/ hoogstens/minder dan/meer dan P(G)=1-P(nietG) Bv. Je hebt 10 vragen die je gokt, je hebt 4 keuzes. P(minstens 2 goed)= P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)+P(7)+P(8)+P(9)+P(10) = 1? = P(0)-P(1)?= P(3/4)^10-(3/4)^9*(1/4)*(10 boven 1) = Kansen zijn altijd 3 decimalen na de komma S5 Kansverdelingen Frequentieverdeling: tabel met waarnemingen en bijbehorende frequentie. Absolute frequentie: aantal keren dat waarneming voorkomt. Relatieve frequentie: waargenomen aantal in verhouding tot het totale aantal. Breuk: waargenomen aantal/totale aantal, Percentage: waargenomen aant./totale aant. * 100% Gemiddelde kun je uitrekenen door gegevens te vermenigvuldigen met rel. frequentie en op te tellen. Bv. Lengte Frequentie Relatieve frequentie Pagina 5 van 12

6 Totaal Gemiddelde: 120* * * *0.05= = Kan ook met de GR: stat edit L1 klasse invullen, L2 frequentie stat calc 1-varstats 2nd 1 komma 2nd 2 enter X- = gemiddelde Gx = standaardafwijking N = Aantal waarnemingen Min x = kleinste waarneming Med = Mediaan Max x = Grootste waarneming Q1 = 1ste kwartiel Q3 = 3de kwartiel En dan bij X- kijken. Stochast: een variable waarvan de getalswaarde afhangt van het toeval ook wel kansvariable genoemd, wordt aangegeven met een hoofdletter X of S. bv. X= aantal ogen van een dobbelsteen. Variable: is iets dat verschillende getalswaarden kan aannemen dat iets wordt vaak met een letter aangegeven bv. X of y Y=x² Bv. Kansverdeling: 12 wijnen in groepjes van 3, bij elk groepje 3 kaartjes met de 3 wijnen Kansverdeling maken voor aantal goed neergelegde kaartjes voor een groepje van 3 wijnen. Kandidaat kan kaartjes goed leggen 0 kaartjes: 1ste fout, 2de fout, 3de fout, kans: (2/3)*(1/2)*(1/1)*(3 boven 0)= (2/6) 1 kaartje: 1ste fout, 2de fout, 3de goed, fouten kan verschillende volgordes. Kans: (3 boven 1)*(1/3)*(1/2)*(1/1)= (3/6) 2 kaartjes: betekend ook gelijk 3 goed, dus kan = 0 3 kaartjes: 1ste goed, 2de goed, 3de goed, kans(1/3)*(1/2)*(1/1)*(3 boven 0)=(1/6) Kansverdeling: Aantal goede kaartjes Kans P(X=x) 2/6 3/6 0 1/6 Verwachtingswaarde: gemiddelde waarde die je als uitkomst kunt verwachten als je het kansexperiment heel vaak zou herhalen. Bv. Gooien met een dobbelsteen E(x)=3,5 Formule: vermenigvuldig elke uitkomst van de stochast X met de bijbehorende kans en tel resultaten op. X `P Som 1 1/6 1/6 2 1/6 2/6 3 1/6 3/6 4 1/6 4/6 5 1/6 5/6 6 1/6 6/ =21/6=3,5 Pagina 6 van 12

7 Somregel voor stochasten X en Y geldt dat de verwachting van de som gelijk is aan de som van de verwachting. S6 Binomiale verdeling Bernoulli-experiment: kansexperiment met maar 2 mogelijke uitkomsten. Bv. Kop-munt Goed-Fout Je hebt een succes en een mislukking. X=aantal successen Kansverdeling hier heet binomiale verdeling. Je hebt stochast X: bv aantal keer kop n= aantal herhalingen bv. 6 keer. P=kans op succes bv N en P zijn parameters Binomiale verdeling IP(X=k) betekend kans op k keer succes. In een rooster punt A: k successen. Er zijn (n boven k) routes naar A. Kans op route is: p^k*(1-p)^n-k Geldt hier: P(X=k)=(n boven k)*p^k*(1-p)^n-k Bv 30 vragen, 4 keuzes op de gok Stochast X= aantal goed n=30 p=0.25 Kans op 10 goed: P(X=10)=(30 boven 10)*0.25^10*0.75^20=0.09 Cumulatieve kans Kansen in een zone stellen bv. P(X=<4) kan op 0 t/m 4 successen. GR: 2nd vars optie B binomcdf(n,p,k) Bv. N=4 P= P(X 0)= P(X 1)= P(X 2)= : binomcdf(4,0.25,0)=0,316 P(X<=0) RM altijd P(X k) P(X>4)=1-(X 4) P(X<7)=P(X 6) P(X>6)=1-P(X 6) P(X 6)=1-P(X 5) Verwachtingswaarde Bernoulli: E(x)=n*p, 20 vragen, aantal goed verwacht: 20*0.25=5 Wiskunde Boek III S1 Statistische verwerking Een representatieve waarneming Representatieve steekproef is als de resultaten overeenkomen met de samenstelling van de hele populatie. Pagina 7 van 12

8 In land met 28% linkshandigen, bevat een steekproef ook 28% linkshandigen. Data: verzamelde waarnemingsgetallen Waarneming: Datgene wat gemeten wordt Frequentie: geeft aan hoe vaak een waarneming voorkomt. Relatieve frequentie: in verhouding tot het totale aantal (procent). Absolute frequentie: het werkelijke aantal. Klassebreedte: afstand tussen 2 grenzen van een klassse, genoteerd met intervalnotatie [ > het teken [ ] geeft aan dat grens in de klasse valt, < > geeft aan dat de grens net buiten de klasse valt. Som/cumulatieve frequentie: som van alle frequenties vanaf het kleinste waarnemingsgetal. De grafiek hiervan heet een somfrequentiepolygoon. Grafiek maken: stat edit clear+enter om lijsten leeg te maken lijst overnemen 2nd stat plots (Y=) enter on kies grafiek window goed instellen graph. Bij klassen die je de klassenmiddens in lijst 1 en de frequentie in lijst 2. S2 Centrum- en spreidingsmaten Gemiddelde: som van alle data delen door aant. Waarnemingen. Mediaan: Middelste waarnemingsgetal, als het van klein naar groot is gerangschikt. Modus: waarnemingsgetal dat het meeste voorkomt. Frequentiepolygoon: Punten van de grafiek boven het midden van elke klasse. Klasse freq CF dus boven 22, dus boven 27,5 Cumulatieve freq. Polygoon: de punten van de grafiek zitten boven de rechtergrens van elke klasse: dus bij 25 komt 6. Bij 30 komt 14. Boxplot volgende informatie: 1ste kwartiel, 3de kwartiel, mediaan, kleinste waarneming, grootste waarneming. Q1 25% van de waarnemingen, Van Q1 tot mediaan weer 25%, van mediaan tot Q3 weer 25% en bij Q3 tot grootste waarneming ook weer 25%. Kwartielafstand is Q3-Q1 spreidingsmaat van de mediaan. Standaardafwijking/deviatie: spreidingsmaat: gemiddelde van afstand tot het gemiddelde. Gemiddelde berekenen Deviaties uitrekenen d=x gemiddelde Kwadraten van deviaties gemiddelde =9 x=8 d=-1² x= 11 d= 2² x=12 d= 3² Gemiddelde van de kwadraten: 1+4+9=14 14:3=4.6 Standaard afwijking: van 4.6 = 2.1 S3 Verdelingen Als er met 2 dobbelstenen gegooid wordt en je moet een kansverdeling maken, moet je een schema maken en kijken hoe vaak het getal voorkomt! Verwachtingswaarde: E(S)= som (uitkomst*kans), dus bijvoorbeeld 1*0.45+2*0.34 etc. Pagina 8 van 12

9 Binomiale verdeling: Is er sprake van een succes en een aantal uitvoeringen. RM: uitrekenen P(X=4)=1-P(X=<4) Binomiale verdeling Norm(n,p) E(S)= N*P Var(S)= N*P(1- P) Sigma(S)= var Sigma ook uitrekenen door lijsten invullen! GR: lijsten, 1-var stats (L1,L2) x=gemiddelde δ=standaardafwijking Continue kansverdeling: Klokvormige kromme(vloeiende lijn) Discrete kansverdeling: staafdiagram(stapgewijs) E(x) E(X+C)=E(X)+C Var(x) Var(X+C)=Var(X) blijft hetzelfde δ(x) δ(x)= δ(x) blijft ook hetzelfde E(c X)= c E(X) Var(c X)= c² Var(x) δ(x c)= c δ(x) = min weghalen. Som bv Var(S-1) en δ(1/2s) hoe doe je dat? Lijsten invoeren. Eerst L1 en L2 Dan L3: cursor naar L3 en dan L3=L1-1 enter Dan L4: cursor op L4 dan L4=0.5 L1 1-var-stat: var en δ uitrekenen De eerste (S-1) staat in L3 dus: 1-var-stat(L3, L2) antwoord bij δx De tweede staat in L4 dus: 1-var-stat(L4,L2) antwoord ook bij δx Met terugleggen en zonder terugleggen gebruik je voor var de formule: som((afwijking van gemiddelde)²*kans) maar dan deel voor deel uitrekenen. N-wet Som S van uitkomsten: E(S)=n*E(Xi) en sigma(s)= n*sigma(xi) Xi kan elk getal zijn, n is aantal keer Gemiddelde X van de uitkomsten E(X)=E(Xi) en sigma(x)=sigma(xi)/ n N= aantal keer Als sigma mu en de aantal keren zijn gegeven gebruiken! S4 Normale verdeling Frequentieverdeling: histogram met een klokvormige kromme. Grote populatie+kleine klassebreedte: frequentiepolygoon dat goed lijkt op een vloeiende klokvormige kromme. Pagina 9 van 12

10 Frequentieverdeling waar zo n klokvormige kromme bij hoort heet een normale verdeling. Eigenschappen normale verdeling: Symmetrisch Gemiddelde noem je mu en de standaardafwijking sigma. Symmetrie-as ligt precies bij gemiddelde. +sigma en sigma= 68% Hoe verder de data van het gemiddelde afliggen, hoe minder vaak ze voorkomen. 68% ligt tussen de mu-sigma en mu+sigma 95% ligt tussen de mu-2sigma en mu+2sigma Normale verdeling: van stochast X, de verdeling van X wordt bepaald door de parameters: mu en sigma. Je noteert het als X is Norm(mu,sigma) Een speciale vorm van een normale verdeling: standaardnormale verdeling mu=0 en sigma=1 stochast die standaardnormaal verdeeld is geef je aan met de letter Z. Bv. Bereken P(Z>-0.37)= normalcdf(-0.37,10^99)=0.644 Kansen berekenen met een normale verdeling: 1 schets maken met mu en sigma noteren 2 kleur het juiste gebied 3 mbv. GR gevraagde kans berekenen normalcfd(linker-grens, rechter-grens, mu, sigma) Van normale verdeling naar standaard normale verdeling: 1 teken een gragiek met daaronder de x-as en z-as 2 kleur het juiste gebied 3 bereken de bijbehorende getallen op de z-as met de formule: z= x-mu/sigma 4 bereken de gevraagde kans normalcdf(l,r) Bv. Mu=830 en sigma 60 Hoe groot is de kans dat het kleiner dan 915 is? /60=1.41 Normalcdf(-10^99, 1.41)=0.92 Kans 92% Bij een normale verdeling: mu sigma, L, R, opp gegeven: 4 waarden, wordt 1 waarde gevraagd. Bv norm(800,30) A welk percentage is minder dam 750? Normalcdf(-10^99,750,800,30)=4,8 % B Hoe groot moet het gewicht zijn bij sigma 30 opdat het percentage van a gelijk is aan 1? Mu? Sigma = 30 Y1=normalcdf(-10^99,750,X,30) Y2= 0.01(opp) Window instellen =819 gram Pagina 10 van 12

11 C Hoe groot moet de standaardafwijking zijn bij mu= 800, opdat het percentage van opdr. A gelijk is aan 1? Mu=800 sigma=? Y1= normalcdf(-10^99, 750, 800,X) Y2=0.01 opp Window instellen =21,5 gram invnorm : kun je een opp uitrekenen als je mu en sigma weet. invnorm(opp links,mu en sigma) relatieve frequentie:de procenten vane en klasse berekenen frequentie/totaal*100 Cumulatieve frequentie: tel je de relatieve frequentie bij elkaar op. S5 Werken met de normale verdeling Stappenplan: onderzoeken of bij een verdeling de normale toenadering is toegestaan. 1: relatieve cumulatieve frequentie berekenen bij elke klasse. (alles bij elkaar optellen en in procenten weergeven) 2: deze relatieve cumulative frequentie uitzetten op normaal waarschijnlijkheidspapier, punten boven de rechtergrens van elke klasse 3: Als de punten bij benadering op een rechte lijn liggen is een normale toenadering toegestaan 4: mu is de waarde op de horizontale as bij rel.cum.freq. bij 50% aflezen Sigma waarde bij 16% aflezen mu-sigma of waarde bij 84% mu+sigma Binomiale verdeling: stochast X geeft aan hoe vaak er succes is geweest. Stochast X kun je dus opvatten als een som van n onafhankelijke stochasten met allemaal dezelfde kansverdeling. CLS van toepassing, dwz. De Binomiale verdeling. Bij de normale verdeling geldt: Mu=n*p en Sigma= n*p*(1-p) Binomiale verdeling: binomcdf(n,p,k), normale verdeling(normalcfd(l,r,m,s) P(X K)=P(X K+1/2) P(X K)=P(X K-1/2) P(X=K)=normalpdf(K,m,s) P(X>K)=P(X K) P(X Steekproef: Veronderstelling, je neemt aan dat die waar is en doet een steekproef om te testen. M.b.v. onderstelling kansen uitrekenen. Grote kans? Aanname waar, kleine kans aanname niet waar. Van normaal naar binomiaal M=9, sigma=2.4 M=n*p=9, sigma= wortel,np(1-p)=? 2.4=wortel,np(1-p) wortel weg 2.4²=np-(1-p) 2.4²=9(1-p) 2,4²/9=1-p 0.64=1-p Pagina 11 van 12

12 1-0.64=0.36 Pagina 12 van 12