Binomiale verdelingen

Transcriptie

1 Binomiale verdelingen Les 1: Kans en combinatoriek (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Hoofdstuk 2 Binomiale en normale verdelingen van de Wageningse Methode,

2 Kans (herhaling) U is de verzameling van uitkomsten. # U is het aantal elementen van U. Een gebeurtenis V is een deelverzameling van U. P V = #V #U is de kans op gebeurtenis V. Gevolg: 0 P(V) 1

3 Kans Voorbeeld 1 Werpen met twee zuivere munten. U = {(K,K), (K,M), (M,K), (M,M)} V is de gebeurtenis: dubbel K of dubbel M V = {(K,K), (M,M)}

4 Voorbeeld 1 Werpen met twee zuivere munten. U = {(K,K), (K,M), (M,K), (M,M)} Kans V is de gebeurtenis: dubbel K of dubbel M V = {(K,K), (M,M)} P V = #V #U = 2 4 = 1 2

5 Kans Voorbeeld 2 Voor een loket staan 8 mensen waaronder Anneke en Egon. Wat is de kans dat Egon vóór Anneke staat.

6 Kans Voorbeeld 2 Voor een loket staan 8 mensen waaronder Anneke en Egon. Wat is de kans dat Egon vóór Anneke staat. U is de verzameling van alle mogelijke volgordes in de rij. V is de verzameling van volgordes waarbij E vóór A staat. W is de verzameling van volgordes waarbij A vóór E staat.

7 Kans Voorbeeld 2 Voor een loket staan 8 mensen waaronder Anneke en Egon. Wat is de kans dat Egon vóór Anneke staat. U is de verzameling van alle mogelijke volgordes in de rij. V is de verzameling van volgordes waarbij E vóór A staat. W is de verzameling van volgordes waarbij A vóór E staat. #V = #W dus P V = P W. V W = U en V W = dus P V + P W = 1. Dan is P V = P W = 1 2.

8 Kans Voorbeeld 2 Voor een loket staan 8 mensen waaronder Anneke en Egon. Wat is de kans dat Egon vóór Anneke staat. In gewone taal: De kans dat Egon vóór Anneke staat is even groot als de kans dat Anneke vóór Egon staat. Eén van beide situaties treedt op. Dus de kans voor elke situatie is 1. 2

9 Kans Maak nu opgave 4 van bladzijde 2.

10 Combinatoriek en kans (herhaling) De uitkomsten van geordende grepen van k uit n met herhaling (permutaties) hebben gelijke kans 1 n k. De uitkomsten van geordende grepen van k uit n zonder herhaling (permutaties) hebben gelijke kans 1 npk. De uitkomsten van ongeordende grepen van k uit n zonder herhaling (combinaties) hebben gelijke kans 1 nck. De uitkomsten van ongeordende grepen van k uit n met herhaling (combinaties) hebben ongelijke kans.

11 Combinatoriek en kans Voorbeeld: Vaas met 10 nummers 1 tot en met 10. Je pakt 4 nummers met terugleggen en let op de volgorde. De kans op uitkomst 3437 is Je pakt 4 nummers zonder terugleggen en let op de volgorde. 1 De kans op uitkomst 3475 is = npr Je pakt 4 nummers zonder terugleggen en let niet op de volgorde. 1 De kans op uitkomst 3,4,7,5 is = ncr Je pakt 4 nummers met terugleggen en let niet op de volgorde. De kans op uitkomst 3,4,3,7 is ongelijk aan de kans op 3,4,7,5.

12 Combinatoriek en kans Voorbeeld 1 7 wielrenners in de kopgroep, 3 daarvan zullen het podium bestijgen. Hoeveel mogelijke opstellingen zijn er?

13 Combinatoriek en kans Voorbeeld 1 7 wielrenners in de kopgroep, 3 daarvan zullen het podium bestijgen. Hoeveel mogelijke opstellingen zijn er? Oplossing Een greep van 3 uit 7 zonder herhaling. Volgorde is van belang. Aantal mogelijkheden: 7 npr 3 = 210.

14 Combinatoriek en kans Voorbeeld 1 7 wielrenners in de kopgroep, 3 daarvan zullen het podium bestijgen. Hoeveel mogelijke opstellingen zijn er? Met redeneren: Voor plaats 1 zijn er 7 mogelijkheden, voor plaats 2 zijn er 6 mogelijkheden en 5 mogelijkheden voor plaats 3. Totaal: = 7 30 = 210.

15 Combinatoriek en kans Voorbeeld 2 7 hardlopers in de kopgroep, 3 daarvan gaan naar de halve finale. Hoeveel mogelijke combinaties zijn er voor de halve finale?

16 Combinatoriek en kans Voorbeeld 2 7 hardlopers in de kopgroep, 3 daarvan gaan naar de halve finale. Hoeveel mogelijke combinaties zijn er voor de halve finale? Oplossing Een greep van 3 uit 7 zonder herhaling. Volgorde is niet van belang. Aantal mogelijkheden: 7 ncr 3 = 35.

17 Combinatoriek en kans Voorbeeld 2 7 hardlopers in de kopgroep, 3 daarvan gaan naar de halve finale. Hoeveel mogelijke combinaties zijn er voor de halve finale? Met redeneren: Voor plaats 1 zijn er 7 mogelijkheden, voor plaats 2 zijn er 6 mogelijkheden en 5 mogelijkheden voor plaats 3. Totaal: = 7 30 = 210. Maar de volgorde is niet van belang. Er is dubbel geteld. Je kunt de drie plaatsen op 3 2 = 6 manieren verwisselen. Dus totaal aantal mogelijkheden: 210 : 6 = 35.

18 Combinatoriek en kans Permutaties npr = n n 1 n 2 n r 1 = n! n r! Combinaties ncr = n r = n! r! n r! Gevolg ncr = npr r! (je deelt de dubbele tellingen eruit, want de volgorde doet er niet toe.)

19 Combinatoriek en kans Maak opgave 9 van bladzijde 10.

20 De product- en de somregel U is de uitkomstenruimte. V en W zijn onafhankelijke gebeurtenissen in U. Dan geldt: P V W = P(V) P(W). (zie blok 1, les 4)

21 De product- en de somregel U is de uitkomstenruimte. V en W zijn onafhankelijke gebeurtenissen in U. Dan geldt: P V W = P(V) P(W). (zie blok 1, les 4) Sluiten V en W elkaar uit, dus V W = dan geldt: P V W = P V + P(W). Deze eigenschappen kun je gebruiken om rechtstreeks kansen uit te rekenen als je de kansen van V en W kent.

22 De productregel Voorbeeld In een vaas zitten 6 ballen, 2 witte en 4 rode. Je trekt drie keer zonder terugleggen een bal. Wat is de kans op twee witte ballen?

23 De productregel Voorbeeld In een vaas zitten 6 ballen, 2 witte en 4 rode. Je trekt drie keer zonder terugleggen een bal. Wat is de kans op twee witte ballen? Er zijn drie mogelijkheden, je trekt WWR, WRW of RWW. Bij WWR is de kans: = Bij WRW is de kans: = Bij RWW is de kans: = Totaal: 3 15 = 1 5.

24 Kansverdelingen Je werpt met een zuivere dobbelsteen. Het aantal mogelijke ogen is 1, 2, 3, 4, 5 of 6. X = het aantal ogen dat is gegooid. X wordt een toevalsgrootheid of stochast genoemd. De waarden van X zijn elementen van een gebeurtenis.

25 Kansverdelingen Je werpt met een zuivere dobbelsteen. Het aantal mogelijke ogen is 1, 2, 3, 4, 5 of 6. X = het aantal ogen dat is gegooid. X wordt een toevalsgrootheid of stochast genoemd. In de tabel staan de kansen bij de mogelijke waarden van X.

26 Kansverdelingen Je werpt met een zuivere dobbelsteen. Het aantal mogelijke ogen is 1, 2, 3, 4, 5 of 6. X = het aantal ogen dat is gegooid. X wordt een toevalsgrootheid of stochast genoemd. In de tabel staan de kansen bij de mogelijke waarden van X. Een tabel met de kansen bij een stochast, heet een kansverdeling.

27 Kansverdelingen Voorbeeld Je werpt met twee zuivere dobbelstenen. X = de som van het aantal ogen.

28 Kansverdelingen Voorbeeld Je werpt met twee zuivere dobbelstenen. X = de som van het aantal ogen dat is gegooid. In de tabel staan de mogelijke waarden van X.

29 Kansverdelingen Voorbeeld Je werpt met twee zuivere dobbelstenen. X = de som van het aantal ogen dat is gegooid. In de tabel staan de mogelijke waarden van X. De kansverdeling is:

30 Kansverdelingen Stel dat de geboorte van een meisje even waarschijnlijk is als de geboorte van een jongen. X = het aantal meisjes in dit gezin van drie kinderen. Wat is de kansverdeling van X?

31 Kansverdelingen Stel dat de geboorte van een meisje even waarschijnlijk is als de geboorte van een jongen. X = het aantal meisjes in dit gezin van drie kinderen. Wat is de kansverdeling van X?

32 Kansverdelingen In een doos zitten 10 ballen, vier witte en zes zwarte. Je trekt vijf ballen zonder terugleggen. X is het aantal witte ballen in die greep. Bereken P(X = 2)

33 Kansverdelingen In een doos zitten 10 ballen, vier witte en zes zwarte. Je trekt vijf ballen zonder terugleggen. X = het aantal witte ballen in die greep. Bereken P(X = 2) Een ongeordende greep zonder herhaling. Voor 2 witte ballen heb je 4 2 mogelijkheden. Voor de resterende drie zwarte ballen heb je 6 3 mogelijkheden. Totaal voor deze greep: mogelijkheden.

34 Kansverdelingen In een doos zitten 10 ballen, vier witte en zes zwarte. Je trekt vijf ballen zonder terugleggen. X = het aantal witte ballen in die greep. Bereken P(X = 2). Een ongeordende greep zonder herhaling. Voor 2 witte ballen heb je 4 2 mogelijkheden. Voor de resterende 3 zwarte ballen heb je 6 3 mogelijkheden. Totaal voor deze greep: mogelijkheden. Om 5 ballen uit 10 te kiezen heb je 10 5 mogelijkheden. De kans op deze greep van 2 witte ballen is = 0,47

35 Kansverdelingen In een doos zitten 10 ballen, vier witte en zes zwarte. Je trekt vijf ballen zonder terugleggen. X = het aantal witte ballen in die greep. Bereken de kansverdeling bij X.

36 Kansverdelingen In een doos zitten 10 ballen, vier witte en zes zwarte. Je trekt vijf ballen zonder terugleggen. X = het aantal witte ballen in die greep. Bereken de kansverdeling bij X. P(X=0) = P(X=2) = P(X=4) = = 0,024 P(X=1) = = 0,476 P(X=3) = = 0, = 0,238 = 0,238

37 De hypergeometrische verdeling In een doos zitten n ballen, w witte en z zwarte ballen, w + z = n. Je trekt r ballen zonder terugleggen. X = het aantal witte ballen in die greep. De kansverdeling bij X heet de hypergeometrische verdeling. P(X=k) = w k n r z r k.

38 Oefenen Maak de opgaven van Hoofdstuk 2, paragraaf 1 en 2 en in ieder geval: Van paragraaf 1: Opgave 6, 8, 9, 10 en 11. Van paragraaf 2: Opgave 6, 9, 10, 13, 15.

39 Huiswerk Inleveren: Van paragraaf 1: Overzichtsvraag 3 (blz 6) Van paragraaf 2: Overzichtsvraag 2 (blz 13)