1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 1

Transcriptie

1 Juno KOEKELKOREN D.1.3. OEFENINGENREEKS 3 OEFENING 1 In onderstaande tabel vind je zes waarnemingen van twee variabelen (ratio meetniveau). Eén van de waarden van y is onbekend. Waarde x y Door welke waarde moet je het vraagteken vervangen om een coëfficiënt τ van Kendall gelijk aan nul uit te komen? Paar waarden x y Product (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6) BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 1

2 Juno KOEKELKOREN OEFENING 2 In een onderzoek bij eerstejaarsstudenten gaat men na hoe goed ze waren op de middelbare school. Hieronder volgen de kansen, gebaseerd op de relatieve frequenties uit een groot steekproefonderzoek. Rangschikking Eerste 20% Tweede 20% Derde 20% Vierde 20% Laagste 20% Kans 0,41 0,23 0,29 0,06 0,01 Stel dat 𝐴 de gebeurtenis is dat een student tot de eerste 40% van de middelbare school behoort, en 𝐵 de gebeurtenis dat een student bij de laagste 40% zit. 1. Bepaal 𝑃(𝐴) en 𝑃(𝐵). 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐸𝑒𝑟𝑠𝑡𝑒 20% 𝑇𝑤𝑒𝑒𝑑𝑒 20% = 0,41 + 0,23 = 𝟎, 𝟔𝟒 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝑉𝑖𝑒𝑟𝑑𝑒 20% 𝐿𝑎𝑎𝑡𝑠𝑡𝑒 20% = 0,06 + 0,01 = 𝟎, 𝟎𝟕 2. Beschrijf in woorden de gebeurtenis 𝑃(𝐴 ). Bepaal 𝑃(𝐴 ) op twee manieren: eerst door optellen van de kansen van de uitkomsten, daarna via de complementregel. 𝑃 𝐴 is de complementaire gebeurtenis van 𝐴: het is de gebeurtenis die zich voordoet als en slechts als 𝐴 zich niet voordoet. M.a.w. 𝑃 𝐴 is de kans dat een student niet tot de eerste 40% behoort, dus de kans dat een student bij de laagste 60% zit. 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐷𝑒𝑟𝑑𝑒 20% 𝑉𝑖𝑒𝑟𝑑𝑒 20% 𝐿𝑎𝑎𝑡𝑠𝑡𝑒 20% = 0,29 + 0,06 + 0,01 = 0,36 𝑃 𝐴 = 1 𝑃 𝐴 = 1 0,64 = 𝟎, 𝟑𝟔 3. Bepaal de kans dat je een student kiest die tot de eerste 40% of tot de laatste 40% behoort (𝑃 𝐶 ). 𝑃 𝐶 = 𝑃 𝐴 𝐵 = 0,64 + 0,07 = 𝟎, 𝟕𝟏 1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 2

3 Juno KOEKELKOREN OEFENING 3 Hieronder staat een kruistabel van de samenstelling van het 101ste Amerikaanse Congres (verkiezingen 1988), volgens partij en anciënniteit. De elementen in de tabel moeten zijn: voor elke combinatie van partijlidmaatschap en anciënniteit de kans dat een aselect gekozen lid van het congres aan die combinatie voldoet. Indien partijlidmaatschap en anciënniteit onafhankelijk zijn, wat zijn dan de kansen in het centrale gedeelte van de tabel met de waarden 𝑎 t.e.m. 𝑓? Geef aan hoe je aan de oplossing komt en rond af tot drie cijfers na de komma. Partij Democraat Republikein Totaal 𝑃(𝐴) < 2 jaar a d 0,09 𝑃(𝐵) Anciënniteit 2-9 jaar b e 0,478 𝑃(𝐶) 9 jaar c f 0,432 0,614 0,386 Totaal 1 𝑃(𝐷) 𝑃(𝐸) Formule: De kans van de doorsnede van 2 onafhankelijke gebeurtenissen (cursus p.117) 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴. 𝑃(𝐵) a. 𝑃 𝐴 𝐷 = 𝑃 𝐴. 𝑃 𝐷 = 0,09. 0,614 = 0,055 b. 𝑃 𝐵 𝐷 = 𝑃 𝐵. 𝑃 𝐷 = 0,478. 0,614 = 0,293 c. 𝑃 𝐶 𝐷 = 𝑃 𝐶. 𝑃 𝐷 = 0,432. 0,614 = 0,265 d. 𝑃 𝐴 𝐸 = 𝑃 𝐴. 𝑃 𝐸 = 0,09. 0,386 = 0,035 e. 𝑃 𝐵 𝐸 = 𝑃 𝐵. 𝑃 𝐸 = 0,478. 0,386 = 0,185 f. 𝑃 𝐶 𝐸 = 𝑃 𝐶. 𝑃 𝐸 = 0,432. 0,386 = 0,167 1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 3

4 Juno KOEKELKOREN OEFENING 4 Volgens de Amerikaanse overheid bestaat een huishouden uit alle personen die samen in een wooneenheid leven, of ze nu verwant zijn of niet. De verdeling van de grootte van een Amerikaans huishouden is aldus: Grootte (𝑥 ): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Proporties (𝐹): 0,240; 0,322; 0,177; 0,155; 0,067; 0,024; 0, Zet de gegevens in een kansverdelingstabel en geef ook de cumulatieve verdelingsfunctie 𝐹 (𝑥) aan. 𝑥 𝐹 𝐹 (𝑥) 1,2 1 0,240 0, ,322 0,562 0,8 3 0,177 0,739 0,6 4 0,155 0,894 0,4 5 0,067 0,961 0,2 6 0,024 0, ,015 1, Bepaal het verwachte aantal personen per huishouden. Bereken ook de variantie en de standaardfout (werk tot op 3 cijfers na de komma). 𝐸 𝑋 = 𝑃(𝑋 = 𝑥 )𝑥 = 1.0, , , , , , ,015 = 𝟐, 𝟔𝟏𝟗 𝑉 𝑋 = 𝑃(𝑋 = 𝑥 )(𝑥 𝐸 𝑋 ) = 0,240. ( 1,619) + 0,332. ( 0,619) + 0,177. (0,381) + 0,155. 1, ,067. 2, ,024. 3,381 +(0,015. (4,381) ) = 𝟐, 𝟎𝟏𝟗𝟔𝟕𝟎𝟔𝟏 𝟐, 𝟎𝟐𝟎 𝑉 𝑋 = 2, = 𝟏, 𝟒𝟐𝟏𝟏𝟓𝟏𝟏𝟓𝟕 𝟏, 𝟒𝟐𝟏 1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 4

5 Juno KOEKELKOREN OEFENING 5 Bepaal of onderstaande variabelen afhankelijk of onafhankelijk zijn. 1. Onderstaande tabel bevat de kansen voor een groep mensen dat met een bepaald aantal uur per week aan lezen besteedt (uren per week, Y) in verhouding tot de gemeten intelligentie (IQ, X) van de steekproef. 0 1,5 u/week > 1,5 u/week IQ 120 0,38 0,40 IQ 120 0,07 0,15 𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦 = 𝑃 𝑋 = 𝑥. 𝑃(𝑌 = 𝑦 ) 𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦 𝑃 𝑋 = 𝑥. 𝑃(𝑌 = 𝑦 ) 0,38 0,78. 0,45 0,38 0,351 𝑋 (IQ) en 𝑌 (u/week) zijn twee afhankelijke variabelen. 2. Hier wordt de voorkeur nagegaan voor samenwonen of huwen met betrekking tot het geslacht van de persoon. Samenwonen Huwen Man 0,30 0,10 Vrouw 0,45 0,15 𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦 = 𝑃 𝑋 = 𝑥. 𝑃(𝑌 = 𝑦 ) 𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦 = 𝑃 𝑋 = 𝑥. 𝑃(𝑌 = 𝑦 ) 0,30 = 0,40. 0,75 0,30 = 0,30 𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦 = 𝑃 𝑋 = 𝑥. 𝑃(𝑌 = 𝑦 ) 𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦 = 𝑃 𝑋 = 𝑥. 𝑃(𝑌 = 𝑦 ) 0,10 = 0,40. 0,25 0,10 = 0,10 𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦 = 𝑃 𝑋 = 𝑥. 𝑃(𝑌 = 𝑦 ) 𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦 = 𝑃 𝑋 = 𝑥. 𝑃(𝑌 = 𝑦 ) 0,45 = 0,60. 0,75 0,45 = 0,45 𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦 = 𝑃 𝑋 = 𝑥. 𝑃(𝑌 = 𝑦 ) 𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦 = 𝑃 𝑋 = 𝑥. 𝑃(𝑌 = 𝑦 ) 0,15 = 0,60. 0,25 0,15 = 0,15 𝑋 (burgerlijke status) en 𝑌 (geslacht) zijn twee onafhankelijke variabelen. Vergelijking (𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦 = 𝑃 𝑋 = 𝑥. 𝑃(𝑌 = 𝑦 )) geldig voor alle variabelen onafhankelijk Vergelijking (𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦 𝑃 𝑋 = 𝑥. 𝑃(𝑌 = 𝑦 )) niet geldig voor één van de variabelen afhankelijk 1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 5

6 Juno KOEKELKOREN OEFENING 6 Bepaal of onderstaande variabelen afhankelijk of onafhankelijk zijn. 1. De variabelen aantal heren en aantal dames bij trekking, zonder teruglegging, van 6 kaarten uit een standaard kaartspel. Trekking 1: 𝑃 𝐻 = ", Trekking 2: 𝑃 𝐻 = " Afhankelijk 2. De variabelen aantal heren en aantal dames bij trekking, met teruglegging, van 2 kaarten uit een standaard kaartspel. *Om deze oefening op te lossen, bereken je de volledige bivariate kansverdeling 0 Heer Dame " 𝑃(𝐷 = 0 𝐻 = 0) = 𝑃 𝑋𝑋 = ". " = ". " = "# 𝑃(𝐷 = 1 𝐻 = 0) GEGEVEN IN OPGAVE CURSUS 𝑃(𝐷 = 2 𝐻 = 0) = 𝑃 𝐷𝐷 𝐷𝐷 = 𝑃 𝐷𝐷 = ". " = "# 𝑃(𝐷 = 0 𝐻 = 1) = 𝑃(𝐷 = 1 𝐻 = 0) 𝑃(𝐷 = 1 𝐻 = 1) GEGEVEN IN OPGAVE CURSUS 𝑃(𝐷 = 2 𝐻 = 1) = 0 𝑃(𝐷 = 0 𝐻 = 2) = 𝑃(𝐷 = 2 𝐻 = 0) " (2+1=3, slechts 2 trekkingen, onmogelijk) 𝑃(𝐷 = 1 𝐻 = 2) = 𝑃(𝐷 = 2 𝐻 = 2) 𝑃 𝑋 = 𝑥 𝑌 = 𝑦 𝑃 𝑋 = 𝑥. 𝑃(𝑌 = 𝑦 ) = 𝑃(𝐷 = 2 𝐻 = 1) " "# "#. "# "# "# "#$% Afhankelijk 3. De variabelen aantal heren en aantal dames bij trekking, met teruglegging, van 6 kaarten uit een standaard kaartspel. *Om deze oefening op te lossen gebruik je het inzicht van de twee vorige oefeningen, je hoeft niet de volledige bivariate kansverdeling te berekenen. Afhankelijk 1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 6

7 Juno KOEKELKOREN OF UNIE SOM (+) EN DOORSNEDE VERMENIGVULDIGING (.) OEFENING 7 In een groep van 300 kinderen zijn er 90 kinderen met een leerstoornis waarvan 30 een zware leerstoornis hebben (de andere een lichte leerstoornis). Je trekt bij toeval een kind uit de groep. A = geen leerstoornis P A = "# = "" " B = lichte leerstoornis P B = " = "" " C = zware leerstoornis P C = " = "" " D = een leerstoornis P D = " = "" " 1. Bereken de kans dat hij een leerstoornis heeft, als hij een leerstoornis heeft. * Voorwaardelijke kans cursus p. 117 P B D = ( ) () = "/"" "/"" = " " = 2. Bereken de kans dat hij geen zware leerstoornis heeft. P C = 1 " = "# = "" "" " 3. Bereken de kans dat hij een lichte leerstoornis heeft, als hij geen zware leerstoornis heeft. P B C = ( ) = /" = ( ) /" * P B C B C C is overbodig 4. Zijn de gebeurtenissen Het kind heeft een leerstoornis en Het kind heeft een lichte leerstoornis al dan niet afhankelijk? Afhankelijk: het kind moet een leerstoornis hebben voordat er kan gesproken worden van een lichte leerstoornis. 1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 7

8 Juno KOEKELKOREN OEFENING 8 Iemand heeft een zuivere dobbelsteen twee maal geworpen. Je weet dat de uitkomst minstens één maal 6 is geweest. Wat is de kans dat de uitkomst twee maal 6 is geweest? Voorwaardelijke kans ( ) 𝑃 𝐴 𝐵 = () ( "##"$ "#. "#) ( "##") 𝑃 2 𝑧𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑛. 1 𝑧𝑒𝑠 = * 𝑃 2 𝑧𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑛. 1 𝑧𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑛. 1 𝑧𝑒𝑠 2 𝑧𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛 "𝑚𝑖𝑛. 1 𝑧𝑒𝑠" 𝑖𝑠 𝑜𝑣𝑒𝑟𝑏𝑜𝑑𝑖𝑔 ("#. "#) = ("#. "#) 𝑃 2 𝑧𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛 = 𝑃 6,6 =. = " 𝑃 𝑚𝑖𝑛. 1 𝑧𝑒𝑠 = 𝑃 6𝑋 𝑋6 = 𝑃 6𝑋 + 𝑃 𝑋6 𝑃(6𝑋 𝑋6) = 𝑃 6𝑋 + 𝑃 𝑋6 𝑃(6,6) =. +. " = " + " " = " ( "##"$) /" 𝟏 𝑷 𝟐 𝒛𝒆𝒔𝒔𝒆𝒏 𝒎𝒊𝒏. 𝟏 𝒛𝒆𝒔 = ("#. "#) = /" = 𝟏𝟏 1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 8

9 Juno KOEKELKOREN OEFENING 9 Onderstaande tabel geeft de bivariate kansverdeling van de variabelen IQ vader (X) en IQ kind (Y) weer. Een getal a ontbreekt in deze tabel. Kind 40, 80 80, , 160 Totaal 40, 80 𝑃(𝐴) 0,13 0,08 0,02 0,23 80, 120 𝑃(𝐵) Vader 0,13 0,19 0,12 0,44 120, 160 𝑃(𝐶) 0,04 0,12 a 0,30 0,39 Totaal 1 𝑃(𝐷) 𝑃(𝐸) 𝑃(𝐹) 1. Wat is de waarde van a? 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐶 = 1 𝑃 𝐶 = 1 (𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 ) 𝑃 𝐶 = 1 0,23 0,44 𝑃 𝐶 = 0,33 𝑃 𝐶 = 0,04 + 0,12 + 𝑎 𝑃 𝐶 0,04 0,12 = 𝑎 0,33 0,04 0,12 = 𝑎 𝟎, 𝟏𝟕 = 𝒂 𝑃 𝐷 + 𝑃 𝐸 + 𝑃 𝐹 = 1 𝑃 𝐹 = 1 (𝑃 𝐷 + 𝑃 𝐸 ) 𝑃 𝐹 = 1 0,30 0,39 𝑃 𝐹 = 0,31 𝑃 𝐹 = 0,02 + 0,12 + 𝑎 𝑃 𝐹 0,02 0,12 = 𝑎 0,31 0,02 0,12 = 𝑎 𝟎, 𝟏𝟕 = 𝒂 2. Wat is de kans 𝑃(𝑋 < 80 𝑒𝑛 𝑌 < 120)? 𝑃 𝑋 < 80 𝑒𝑛 𝑌 < 120 = 𝑃 𝑋 < 80 + 𝑃(𝑌 < 120) 𝑃 𝑋 < 80 𝑒𝑛 𝑌 < 120 = 0,13 + 0,08 = 𝟎, 𝟐𝟏 1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 9

10 Juno KOEKELKOREN OEFENING 10 Onderstaande tabel geeft de bivariate kansverdeling van de onafhankelijke variabelen IQ (X) en gewicht (Y) bij volwassenen weer. Vijf getallen (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) ontbreken in deze tabel wat zijn hun waarden? IQ 40, 80 80, , 160 Totaal 40, 60 𝑃(𝐴) 0,12 0,09 0,03 0,24 60, 80 𝑃(𝐵) Gewicht a b 0,05 80, 120 𝑃(𝐶) c d e Totaal 1 𝑃(𝐷) 𝑃(𝐸) 𝑃(𝐹) Gegeven: 𝑃 𝐴 = 0,12 + 0,09 + 0,03 = 0,24 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵 + 𝑃(𝐶) = 0,76 𝑃 𝐵 = 𝑎 + 𝑏 + 0,05 𝑃 𝐶 = 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 𝑃 𝐷 = 0,12 + 𝑎 + 𝑐 𝑃 𝐸 = 0,09 + 𝑏 + 𝑑 𝑃 𝐹 = 0,03 + 0,05 + 𝑒 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐶 = 1 𝑃 𝐷 + 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) = 1 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵 + 𝑃(𝐶) = 0,76 0,76 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 0,05 0,76 0,05 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 0,71 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 1 = 𝑃 𝐷 + 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) 1 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 0,12 + 0,09 + 0,03 + 0,05 1 (0,12 + 0,09 + 0,03 + 0,05) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 1 (0,12 + 0,09 + 0,03 + 0,05) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 0,71 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 1BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 10

11 Juno KOEKELKOREN OEFENING 11 De dichtheidsfunctie van de toevalsvariabele X wordt gedefinieerd door: f x = 0 als x < 0 x 2 als 0 x 2 0 als 2 < x 1,5 1 P X < 0 = 0 P 2 < X < 5 = 1 P 0 X 1 = 0,5 P 0 < X < 1 = 0,5 0, ,5 1 1,5 2 2,5 OEFENING 12 De functie f wordt gedefinieerd door: f x = 0 als x < 0 x als 0 x 2 4 x als 2 x 4 0 als 4 < x Nee f x is geen dichtheidsfunctie. Een dichtheidsfunctie heeft twee eigenschappen: - steeds positief ( 0). - oppervlakte onder de functie is gelijk aan 1 ". # Oppervlakte driehoek: b. h 2 oppervlakte f x = b. h 2 = = 8 2 = 4 1 2,5 2 1,5 1 0, BA PSYCH Statistiek 1 Oefeningenreeks 3 11