Oefeningen statistiek

Transcriptie

1 Oefeningen statistiek Hoofdstuk De wereld van de kansmodellen.. Tabel A en tabel B zijn de kansverdelingen van model X en van model Y. In beide tabellen is een getal verloren gegaan. Kan jij dat verloren getal terugvinden? x? P(X = x) 0,5 0, 0, Tabel A x 6 P (X=x) 0, 0,45? Tabel B. Hieronder zie je de dataset van alle 6 passagiers van de Titanic. Er is aangegeven welk soort ticket zij gekocht hadden en of zij verdronken of gered zijn. De som van de getallen is 6. Eerste klas Tweede klas Derde klas Uitkomst Gered Verdronken Maak een kansmodel X voor het soort ticket dat de passagiers hadden gekocht.. Een eerlijke zwarte dobbelsteen heeft de vorm van een octaëder. Het cijfer komt vier maal voor, het cijfer drie maal en komt één maal voor. a. Maak een vaasmodel, staafdiagram, kansverdeling. Vaasmodel Staafdiagram

2 Kansverdeling b. Voer het experiment 400 maal uit met je ZRM. Maak een frequentietabel. We vullen L 5 met de getallen: Frequentietabel: x Absolute frequentie: f i Relatieve frequentie f i/400 Vergelijk deze resultaten met je kansverdeling. Ben je tevreden? c. Je speelt volgend spel tegen Casino Pasasse : (experiment Y) inzet 5 EUR per spel als je gooit krijg je 0 EUR als je gooit krijg je de inzet terug als je gooit verlies je de inzet. d. Bepaal de verdeling van dit kansmodel Y ( = winst) e. Kan je een vaasmodel maken van Y? f.voer het experiment 400 maal uit en bereken je winst en gemiddelde winst.

3 .4 De winkel Lidaldi doet een onderzoek bij de firma Statipas. X is de wachttijd van een klant aan de kassa.de resultaten van dit onderzoek geven volgende dichtheidsfunctie: f ( x) = (0,0x³ + 0,4x²,6x + 8) 50,65 als 0 x 5 f ( x) = 0 als x < 0 x is de tijd in minuten f ( x) = 0 als x > 0 a.toon aan dat f(x) een dichtheidsfunctie is. b. Hoe groot is de kans dat een willekeurige klant minder dan 6 minuten moet wachten aan de kassa? c. Hoe groot is de kans dat een klant langer dan 0 minuten maar minder dan 5 minuten moet wachten?

4 Hoofdstuk Eigenschappen van kansmodellen.. Gegeven een kansmodel X met volgende kansverdeling x 0 4 P(X=x) Bereken E(X) en sd(x). Een dobbelspel. Om volgend spel één keer te mogen spelen moet je 8 euro betalen. Je gooit twee eerlijke dobbelstenen en je krijgt dubbel zoveel euro als het hoogste getal dat je gegooid hebt. Als je bijvoorbeeld een en een gooit dan is het maximum en dan krijg je 6 euro ( euro verlies). Heb je een 5 en 6 dan krijg je euro (4 euro winst). a. Is dit een eerlijk spel? Wat denk je? Gebruik ook volgende tabel: (,) (,) (,) (,) (,) (,4) Oefeningen statistiek de graad (,5) (,6) 4

5 (,) (4,) (5,) (6,) (6,6) b.maak een kansverdeling van X = het maximum van eerlijke dobbelstenen. x P(X=x) c.maak nu een kansverdeling van een nieuw model Y = winst die ik ;:maak bij het spelen van dit spel. y P(Y=y) d. Bereken E(Y) Is dit een eerlijk spel? (bij een eerlijk spel verwacht je een winst = 0) Als je dit spel 00 keer speelt hoeveel euro verwacht je (ongeveer) gewonnen te hebben? Kun je van Y een vaasmodel maken? Speel dan het spel met je GRM 00 keer. Wat is je winst, verlies?. Een (eerlijk) dobbelspel. Je hebt eerlijke dobbelstenen en ik vraag je of je volgend spel wil spelen. Gooi twee dobbelstenen en maak de som. Als de som even is dan moet je dat bedrag in euro aan mij betalen. Is de som oneven dan betaal ik jou zoveel euro als de som vooorbeeld (, 4) som is 7 winst 7 EUR (5, 5) som is 0 verlies 0 EUR a. Maak eerst een kansverdeling van het experiment X = som van de ogen x P(X=x)

6 b. Maak nu een kansverdeling van W = winst w P(W=w) c. Bereken E(W) 6

7 Hoofdstuk Populatie- Steekproef. Voorbereidende oefening. Een gezin telt kinderen. Bestudeer Y = aantal meisjes in het gezin (veronderstel dat de kans op een jongen = 0,5 kans op een meisje = 0,5. We maken de kansverdeling voor een gezin met kind. X : aantal meisjes in het gezin. x 0 P(X = x) Dit noemen we een POPULATIE. Voor een gezin met twee kinderen tekenen we een boomdiagram. We berekenen nu volgende kansen P(X = m, X = m)=. (dit noemen we de productregel uit kansrekening) P(X = m, X = j )=.. P(X = j, X = m)=. P(X = j, X = j)=. Dit noemen we een STEEKPROEF van grootte uit de gegeven POPULATIE. De kansverdeling van deze steekproef ziet er als volgt uit: (x, x ) (j, j) (j, m ) (m, j) (m, m) P(X = x, X =x ) Bepaal de kansverdeling van het experiment Y = aantal meisjes in een gezin van twee kinderen. Hoe groot is de kans dat het gezin twee meisjes telt? 7

8 Antwoord: P(Y = ) = 4 Hoe groot is de kans dat het gezin één meisje telt? Antwoord: P(Y= ) = + = 4 4 Hoe groot is de kans dat het gezin geen meisje telt? Antwoord:.. De kansverdeling van Y = aantal meisjes wordt nu: Y 0 P(Y = y) Bereken E (X) en E (Y ). 8

9 Taak: maak de berekening voor een gezin met kinderen. Populatie X x 0 P(X = x) Steekproef van grootte drie Boomstructuur (verder afwerken) Kansverdeling van de steekproef: (x,x,x ) (j,j,j) P(X =x,x =x,x =x ) 9

10 Bestudeer Y = aantal meisjes in een gezin met drie kinderen y 0 P(Y = y) Bereken: E ( Y) en sd(y). De rode dobbelsteen. We bestuderen nu de rode dobbelsteen als populatie X. X P(X = x) 6 6 We bepalen nu een steekproef van grootte. Maak een kansboom. (opgelet x takken) We maken nu de kansverdeling van de steekproef: (x,x ) (,) (6,6) P(X =x,x =x ). Project (hoofdstuk,, ) 0

11 Een gele dobbelsteen heeft 6 zijkanten met op drie zijvlakken, op twee zijvlakken 4 en op één zijvlak een 6. a. Bepaal de kansverdeling van dit experiment X. ( p) b. Maak een vaasmodel voor dit experiment: (p) c. Bepaal E(X) en sd(x). ( p) d. Voer dit experiment 400 maal uit met je GRM. Geef je frequentietabel. Bepaal je gemiddelde, welk symbool gebruik je hiervoor? (p) e. Bestudeer nu het experiment Y: we gooien tweemaal de gele dobbelsteen. Maak een kansverdeling van dit experiment. Vul in op de boomstructuur. ( p) Dit is dus een steekproef van grootte.

12 Kansverdeling we gooien maal. Vul de tabel in. (x,x) (,) (,4) (,6) (4,) (4,4) (4,6)) (6,) (6,4) (6,6) P(X = x,x = x) f. Bestudeer nu het experiment Z: de som van de ogen van de twee dobbelstenen. ( p) Bepaal de kansverdeling van Z. (gebruik de kansverdeling van e) g. Bereken E(Z) ( p)

13 g. Kan je een vaasmodel maken van Z? Doen. h. Je speelt volgend spel: als de som van de ogen even is dan krijg je de som in EUR, als de som oneven is dan moet je de som in EUR betalen. Bepaal de kansverdeling van dit experiment T ( p) i. Bepaal E(T). Is dit een eerlijk kansspel? ( p) i. Kan je een vaasmodel van dit spel maken? Speel dit spel 400 keer en bereken je winst- verlies.

14 .4 Project (taak) Een blauwe dobbelsteen heeft de vorm van een tetraëder (zoek een afbeelding). Op de vier vlakken komen de cijfers,,, 4 voor. Schets.. Bepaal een vaasmodel van dit kansexperiment X.. Bepaal de kansverdeling van deze populatie. x 4

15 . Bepaal E(X). Welk symbool mag je gebruiken als je weet dat X een populatie is? Berekening: E(X) =. Symbool:.. 4. Bepaal sd(x). Welk symbool mag je gebruiken? Berekening: Symbool: 5. Voer het experiment 00 keer uit (00 maal de blauwe dobbelsteen gooien met met je GRM )en geef je frequentietabel, bereken ook je gemiddelde (welk symbool gebruik je hiervoor?) 6. We gooien nu twee blauwe dobbelstenen. We noemen Y de som van de ogen. Bepaal een kansverdeling van Y. 5

16 7. Speel volgend kansspel. Inzet 5 EURO. Je gooit twee blauwe dobbelstenen en je krijgt dubbel zoveel euro als het hoogste getal dat je gegooid hebt. a. Bepaal de kansverdeling van het experiment U: het maximum van twee dobbelstenen. b. Bepaal de kansverdeling van de winst W. c. Bepaal E(W). Is dit een eerlijk spel? d.kan je een vaasmodel maken van W? e. Voer het experiment met je GRM 400 keer uit en bereken je winst (of verlies) 6

17 .5 Uitbreiding de zwarte dobbelsteen (zie oefening.) We gooien twee zwarte dobbelstenen. a. Bepaal nu een steekproef van grootte n = Maak een boomstructuur en bepaal de kansverdeling van de steekproef. b. Bestudeer het steekproefgemiddelde (n = ). Populatie wordt gegeven door. E( X ) =... =...( nieuw symbool ) sd ( X ) =... =... Bepaal de kansverdeling van dit gemiddelde. Bepaal verwachtingswaarde en standaardfout. Welke eigenschappen vind je terug? E ( X ) =... =... se( X ) =... =... c. Voer het experiment 00 maal uit met n= Schrijf je frequentietabel op + staafdiagram (enkel op GRM). Bereken het gemiddelde van je resultaten; is dit een goede benadering van E (X )? d. Voer het experiment 00 maal uit met n = 0 Schrijf je frequentietabel op + staafdiagram (enkel op GRM). Bereken nu het gemiddelde en van je resultaten. e. Gooi nu twee dobbelstenen en bepaal het maximum van de som van de ogen: M a. Bepaal een kansverdeling van M b.speel nu volgend spel: Inzet 4 EUR. Je gooit met twee zwarte dobbelstenen en je bepaalt het maximum. Je krijgt het dubbele van dit maximum terug. Bepaal een kansverdeling van dit experiment W. Is dit een eerlijk spel? Waarom? 7