Kansrekening en Statistiek

Transcriptie

1 Kansrekening en Statistiek College 3 Dinsdag 21 September 1 / 21

2 1 Kansrekening Indeling: Uniforme verdelingen Cumulatieve distributiefuncties 2 / 21

3 Vragen: lengte Een lineaal wordt op een willekeurig punt in tweeën gebroken. Wat is de kans dat een van de delen kleiner is dan 1 4? Metk op: de uitkomstenruimte is het interval (0, l), waarbij l de lengte van de lineaal is. 3 / 21

4 Vragen: cirkels Een computer genereert willekeurige punten in de grote cirkel. Wat is de kans dat het punt in de kleine cirkel valt? Merk op: de uitkomstenruimte is continu. 4 / 21

5 Uniforme verdelingen 5 / 21

6 Uniforme verdelingen Def. Een discrete stochast heeft een uniforme verdeling als alle uitkomsten gelijke kans hebben, d.w.z. als de verdeling constant is: x S y S : f (x) = f (y). Def. Een continue stochast heeft een uniforme verdeling als de kansdichtheid een constante functie is: x S y S : f (x) = f (y). 6 / 21

7 Uniforme verdelingen: discrete stochasten Vb. De stochast waarvan de waardes de uitkomsten bij het werpen van een dobbelsteen zijn, heeft een uniforme verdeling: f (i) = 1 6. De stochast die de som van de getallen is bij het werpen van twee dobbelstenen heeft geen uniforme verdeling, omdat bijv. P(X = 2) = 1 36 P(X = 4) = 3 36 = / 21

8 Uniforme verdelingen: continue stochasten Vb. De volgende continue stochasten zijn uniform verdeeld: De continue stochast bij het willekeurig kiezen van een punt in [0,1] heeft kansdichtheid: f (x) : [0, 1] R 0 f (x) = 1. De continue stochast bij het willekeurig kiezen van een punt in een reëel interval [r, s] heeft kansdichtheid: f (x) : [r, s] R 0 f (x) = 1 s r. De continue stochast bij het willekeurig kiezen van een punt in een rechthoek [r, s] [u, v] heeft kansdichtheid: f (x) : [r, s] [u, v] R 0 f (x, y) = 1 (s r) (v u). 8 / 21

9 Uniforme verdelingen: willekeur Als een experiment bestaat uit het willekeurig kiezen van een punt in een oppervlak (lijnstuk), dan is de bijbehorende stochast uniform verdeeld. Omdat moet gelden R S f (x, y)dxdy = 1 ` R S f (x)dx = 1 en f constant is, geldt f (x, y) = 1 grootte oppervlak `f (x) = 1. lengte lijnstuk 9 / 21

10 Antwoord op een vraag: cirkels Vb. Zij X de continue stochast bij het willekeurig kiezen van een punt in een cirkel O met straal r: O C r Dan is X uniform verdeeld, met de volgende kansdichtheid: f (x, y) : {(x, y) R 2 x 2 + y 2 r 2 } R 0 f (x, y) = 1 πr 2. Voor elke cirkel C met straal s r geldt dat P(X C) = oppervlakc oppervlako = πs2 πr 2 = s2 r / 21

11 Niet-uniform verdeelde continue stochasten Vb. Een stochast die als waardes de tijdsduur (in dagen) tussen twee opeenvolgende emissies van een isotoop heeft: is niet uniform verdeeld, omdat 1 5 e x 5 f (t) : R 0 R 0 f (t) = 7e 7t, geen constante functie is. De kans dat de tijsduur tussen twee opeenvolgende emissies tussen de 2 en 3 dagen ligt is Z 3 P(2 X 3) = 7e 7t dt = 1 2 e 7t 3 2 = 1 e 14 1 e / 21

12 Niet-uniform verdeelde continue stochasten Vb. Een stochast die als waardes de tijdsduur (in minuten) tussen twee opeenvolgende telefoontjes in een alarmcentrale heeft, met kansdichtheid f (x) : R 0 R 0 f (x) = 1 5 e x 5, is niet uniform verdeeld, omdat 1 5 e x 5 geen constante functie is. De kans dat de tijsduur tussen twee opeenvolgende telefoontjes tussen de 8 en 11 minuten ligt is Z 11 1 P(8 X 11) = 8 5 e x 5 dx = e x 5 dx 11 8 = e 8 5 e / 21

13 Antwoord op een vraag: lengte Vb. Een lineaal wordt op een willekeurig punt in tweeën gebroken. Wat is de kans dat tenminste één van de delen kleiner is dan 1 4? Zij X de continue stochast die de lengte van het linker deel is. X heeft een uniforme verdeling. De uitkomstenruimte is het interval (0, l), waarbij l de lengte van de lineaal is. De kansdichtheid is De gevraagde kans is P(X < 1 4 of X > l 1 4 ) = Z 1 4 f (x) : (0, l) R 0 f (x) = 1 l. 0 Z 1 l Z 1 l dx + 1 l 1 l dx = l dx = 2 1 = 1 4l 2l / 21

14 De Monte Carlo methode voor het schatten van oppervlakken Met behulp van continue stochasten kunnen grootheden geschat worden. Vb. Een computer produceert willekeurige getallen in [0,1]. Een paar (x, y) van twee dergelijke getallen kan opgevat worden als een punt in een rechthoek met zijdes van lengte 1: De straal van de cirkel is 1. Dus de kans dat een punt in de cirkel valt is 2 oppervlakte cirkel oppervlakte rechthoek = π 4. Als de computer veel willekeurige paren (x, y) genereert, dan is het percentage dat in de cirkel valt een benadering van π. Zo kan via de kansrekening π benaderd worden / 21

15 Cumulatieve distributiefuncties 15 / 21

16 Cumulatieve distributiefuncties Def. De cumulatieve distributiefunctie (verdelingsfunctie) van een stochast X met waardes in R en kansdichtheid f, is de functie F : R [0, 1] zodat Z r F (r) = P(X r) = f (x)dx. Daaruit volgt: F (x) = f (x) (f is de afgeleide van F ). Merk op: f (r) is geen kans, maar F (r) is dat wel. F is een niet-dalende functie: als r s, dan F (r) F (s). 16 / 21

17 Cumulatieve distributiefuncties Vb. Zij X de continue stochast bij het willekeurig kiezen van een punt in [0,1], dus met kansdichtheid: f (x) : [0, 1] R 0 f (x) = 1. De cumulatieve distributiefunctie van X is Z r F (r) = P(X r) = 0 Z r 1dx = 1dx = r. 0 St. De cumulatieve distributiefunctie van een uniform verdeelde stochast is linear. 17 / 21

18 Cumulatieve distributiefuncties Soms is het makkelijker direct met de cumulatieve distributiefunctie te werken dan met de kansdichtheid. Vb. Er wordt een willekeurig getal X in [0,1] gekozen. A betaalt aan B e1 als X 2 0.6, en B aan A e3 als X Is de verwachte winst van beide gelijk? De cumulatieve distributiefunctie van Y = X 2 wordt gegeven door: F (r) = P(Y r) = P(X 2 r) = P(X r) = r. Daaruit volgt: 8 < F (x) = : 0 als x 0 x als 0 x 1 1 als x > 1. De kans dat A moet betalen is P(Y 0.6) = F (0.6) = 0.6 = De verwachte winst van A is = Geen eerlijk spel dus. 18 / 21

19 Cumulatieve distributiefuncties Soms is het makkelijker de kansdichtheid m.b.v. de cumulatieve distributiefunctie te berekenen dan andersom. Vb. Er wordt een willekeurig getal X in [0,1] gekozen. A betaalt aan B e1 als X 2 0.6, en B aan A e3 als X De cumulatieve distributiefunctie van Y = X 2 wordt gegeven door: 8 < 0 als x 0 F (x) = x als 0 x 1 : 1 als x > 1. Uit F (x) = f (x) volgt dat de kansdichtheid van Y de volgende is: f (x) : [0, 1] R 0 f (x) = 1 2 x. 19 / 21

20 Betrands paradox Het begrip willekeurig hangt soms af van de manier waarop we de uitkomstenruimte representeren. Vb. Een cirkel in het zand, waaroverheen een tak willekeurig valt. De tak is zo lang dat die altijd de cirkel raakt of op twee punten snijdt. Wat is de kans dat de lengte l van de koorde (dat deel van de tak dat binnen de cirkel valt) groter dan 3 is? y x Het antwoord hangt af van de manier waarop de koorde gegeven wordt! De volgende twee representaties geven een verschillend antwoord: De coördinaten van het middelpunt van de koorde. Dit geeft P(X > 3) = 1 4. De poolcoördinaten van het middelpunt van de koorde. Dit geeft P(X > 3) = / 21

21 Finis 21 / 21