Poolcoördinaten (kort)

Transcriptie

1 Poolcoördinaten (kort) WISNET-HBO update juli 2013 Carthesiaanse coördinaten In het algemeen gebruiken we voor de plaatsbepaling in het platte vlak de gewone (Carthesiaanse) coördinaten voor, in een rechthoekig assenstelsel. We geven het punt dan een x-coördinaat en een y-coördinaat en daarmee is de plaats van het punt bepaald. Het vlak in dit Carthesiaanse coördinatenstelsel is verdeeld in vier kwadranten. Zie ook in bovenstaande figuur. Poolcoördinaten We kunnen ook een punt vastleggen door middel van twee andere coördinaten die we poolcoördinaten noemen.

2 We verdelen dan het platte vlak niet in een raster dat door een rechthoekig (x,y-assen) stelsel wordt gegeven, maar in een polair raster dat er als volgt uitziet. LET OP! De straal r is vanzelfsprekend steeds positief of 0. De hoek is altijd in radialen en wordt gemeten vanaf de pool-as (de positieve horizontale as) linksom. Linksom is + (positief draaien is bij de wiskunde tegen de klok in) en rechtsom is - (negatief draaien is met de klok mee). Bij de poolcoördinaten wordt altijd eerst de straal r en dan de hoek genoemd dus:. Oefeningen Bij deze oefeningen ga je Carthesiaanse coördinaten omzetten in poolcoördinaten en andersom. oefening 1 Zet de volgende punten [x,y] om in poolcoördinaten. (Gebruik eventueel het rekenmachientje.)

3 aanwijzing Het is handig om even op klad een schatting te maken waar het punt ongeveer ligt en hoe groot de bijbehorende straal en hoek (in radialen) dan ongeveer zijn. truc Als je bekend bent met complexe getallen is de omzetting met de computer snel gedaan. Zie daarvoor paragraaf poolcoördinaten en complexe getallen. [3, 4] ==> = [1, 0] ==> = (toevallig) [-1, 0] ==> = (let op! r is altijd positief!) Punten op de negatieve horizontale as hebben altijd positieve straal. maar natuurlijk wel een [1, 1] ==> = = [-2, 6] ==> = = (Let op dat je in het goede kwadrant uitkomt! Je moet hier namelijk een halve slag draaien! Zie ook de opmerkingen bij de arctangens.) [-2,-6] ==> = = (Let op dat je in het goede kwadrant uitkomt! Je moet hier namelijk een halve slag draaien! Zie ook de opmerkingen bij de arctangens.) oefening 2 Zet de volgende punten (in poolcoördinaten) om in gewone Carthesische

4 coördinaten. aanwijzing Het is handig om even op klad te schatten waar het punt ongeveel ligt in het platte vlak. antwoord 1 ==> (Let op dat de hoek in radialen is: 4 radialen is meer dan 180 graden en je zit dan in het vierde kwadrant.) antwoord 2 ==> Punten op de negatieve horizontale as hebben altijd positieve straal. maar natuurlijk wel een antwoord 3 ==> ==> (Let op dat de hoek in radialen is!) > evalf(evalc(polar(pi,2))); anwoord 4 ==> ==> > evalf([6*cos(-2.3), 6*sin(-2.3)]); Samenvatting Voor het werken met poolcoördinaten moet je iets weten over radialen en over de functie arctangens. Als je dat niet meer precies weet, staat onder de knop nog wat uitleg.

5 voor het rechter half-vlak voor het tweede kwadrant voor het derde kwadrant Zie ook bij de opmerking in de paragraaf van de arctangens. Voor kwadranten kijk je in de paragraaf van de Carthesiaanse coördinaten. (gewone x,ycoördinaten). radialen Een radiaal is de hoek die gevormd wordt door een boog van de cirkel waarbij die boog precies evenlang is als de straal van diezelfde cirkel. Ga na dat het natuurlijk niet uitmaakt hoe groot deze cirkel is. script van de figuur De hele cirkel rond is radialen en dat is 360 graden. Dus radialen komt overeen met 180. Je kunt dan narekenen dat 1 radiaal overeen komt met = arctangens De inverse van de tangens is alleen maar een functie als je het goede deel van de tangens gaat spiegelen. De arctangens heeft geen beperkt domein maar wel een beperkt bereik.

6 De arctangens heeft als bereik [ ] Opmerkingen Omdat het bereik van de arctangens-functie [ ] is, heeft dat consequenties voor het gebruik ervan. De arctangens werkt eigenlijk alleen in het rechter halfvlak. Bij de berekening van de hoek bij het omzetten van rechthoekige coördinaten naar poolcoördinaten maak je gebruik van de arctangens-functie. Als je dat met punten uit het eerste en vierde kwadrant doet (rechter half-vlak), dan is er geen probleem. (Kijk voor kwadranten in paragraaf Carthesianse coördinaten. De hoek is daar toch in het interval [ ]. Echter als je in het tweede en derde kwadrant zit (dus het linker half-vlak), dan moet er een halve slag gedraaid worden! Dat is dus in feite het optellen of aftrekken van radialen.

7 Bereken maar eens de hoeken tot en met. Script van de figuur