Zestigdelige graden radialen honderddelige graden

Transcriptie

1 Rekenen met hoeken Zestigdelige graden radialen honderddelige graden Hoeken kunnen uitgedrukt worden in verschillende hoekeenheden. De meest bekende hoekeenheid is de zestigdelige graad. Deze hoekeenheid werd reeds in de oudheid door de Babyloniërs (4000 vc) gebruikt. Op je rekentoestel kan je drie verschillende hoekeenheden instellen: de zestigdelige graad, de honderddelige graad en de radiaal. Zestigdelige graad Deze eenheid steunt op de verdeling van een cirkel in 360 gelijke bogen. Wanneer een grotere nauwkeurigheid vereist is, wordt de graad verdeeld in 60 minuten. Een minuut kan op zijn beurt onderverdeeld worden in 60 seconden. Voorbeeld: 54 19' 27 Honderddelige graad Daarnaast is er ook nog de honderddelige graad, die vooral gebruikt wordt in de landmeetkunde. Als afkorting voor de honderddelige graad wordt gra of soms ook gon gebruikt. In hetgeen volgt wordt als afkorting gra gebruikt. Radiaal De radiaal is een hoekeenheid die afgeleid is van de formule voor het berekenen van de cirkelomtrek. De omtrek van de cirkel met straal 1 is gelijk aan 2π waarbij π het reëel getal voorstelt. Dit betekent dat de cirkel of 2π bogen bevat. Rekenen met hoeken - 1 -

2 Onderstaande tabel geeft een overzicht van het verband tussen de verschillende hoekeenheden: Zestigdelige graden Radialen Honderddelige graden Afkorting rad gra Eén cirkel wordt verdeeld in 360 gelijke bogen 2π gelijke bogen 400 gelijke bogen Formule 360 = 2π rad = 400 gra Een hoek die uitgedrukt is in zestigdelige graden kan verder onderverdeeld worden in minuten en seconden. Dit gebeurt als volgt: graden minuten seconden Afkorting: 1 = 60 1 = = 60 1 = 1 60 ' 1 = 60 = = 1 ' = Rekenen met hoeken - 2 -

3 We behandelen achtereenvolgens 1. INSTELLEN VAN DE HOEKEENHEID IN ZESTIGDELIGE GRADEN, RADIALEN OF HONDERDDELINGE GRADEN 2. OMZETTEN VAN HOEKEN IN GRADEN 2.1. Omzetten van hoeken uitgedrukt in graden, minuten en seconden naar de decimale vorm 2.2. Omzetten van hoeken uitgedrukt in de decimale vorm 3. REKENEN MET HOEKEN IN GRADEN 3.1. Optellen 3.2. Aftrekken 3.3. Vermenigvuldigen met een getal 4. OMZETTEN VAN HOEKEN IN GRADEN, RADIALEN EN HONDERDDELIGE GRADEN 4.1. Omzetten van graden ( ) naar radialen (rad) 4.2. Omzetten van radialen (rad) naar graden ( ) 4.3. Omzetten van graden ( ) naar honderdelige graden (gra) 4.4. Omzetten van honderdelige graden (gra) naar graden ( ) 4.5. Omzetten van radialen (rad) naar honderddelige graden (gra) 4.6. Omzetten van honderddelige graden (gra) naar radialen (rad) 4.7. Opdracht 5. REKENEN MET HOEKEN UITGEDRUKT IN VERSCHILLENDE HOEKEENHEDEN 6. OPMERKINGEN Rekenen met hoeken - 3 -

4 1. Instellen van de hoekeenheid in zestigdelige graden, radialen of honderddelige graden Stel de modus in op COMP: w1 (COMP) Met q w (SETUP) kan de gewenste hoekeenheid ingesteld worden. Je kan een instelling in - zestigdelige graden (keuze3 Deg) - radialen (keuze 2 Rad) - honderddelige graden (keuze 5 Gra) kiezen. Drukken op 3 (Deg) stelt de hoekeenheid in op zestigdelige graden voor de waardeninvoer en de weergave van de rekenresultaten. Drukken op 4 (Rad) stelt de hoekeenheid in op radialen voor de waardeninvoer en de weergave van de rekenresultaten. Drukken op 5 (Gra) stelt de hoekeenheid in op honderddelige graden voor de waardeninvoer en de weergave van de rekenresultaten. Opmerking In hetgeen volgt wordt graden gebruikt om zestigdelige graden aan te duiden. Rekenen met hoeken - 4 -

5 2. Omzetten van hoeken in graden Stel de hoekeenheid in graden (Deg) in : q w(setup) 3 (Deg) 2.1 Omzetten van hoeken uitgedrukt in graden, minuten en seconden naar de decimale vorm Opgave: Zet de hoek " om in zijn decimale vorm a) Al cijferend Omdat 1 = 1 60 en 1 = is " = = 32, b) Met de toets x Voer de hoek " in 32x58x27x V Zet deze hoek om naar de decimale vorm x Lees het resultaat af " = 32, Opmerking Wens je opnieuw de schrijfwijze in graden, minuten en seconden, dan druk je opnieuw op x Rekenen met hoeken - 5 -

6 2.2 Omzetten van hoeken uitgedrukt in de decimale vorm naar graden, minuten en seconden Opgave: Zet de hoek 107,45981 om in graden, minuten en seconden a) Al cijferend Zet eerst het rekentoestel in de «Line IO» modus, zodat elk decimaal tussenresultaat op één lijn geschreven wordt. qw (SETUP) 2 (Line IO), Omdat 1 = 60 en 1 = 60 is 107,45981 = ,45981 = ,45981 = ,5886 = ,5886 = ,5886" = ,316" b) Met de toets x Voer de hoek 107,45981 in en zet deze hoek om in graden, minuten en seconden: xV Lees het resultaat af 107,45981 = ,32" Opmerking Bij de omzetting stelt het rekentoestel het resultaat van de seconden decimaal met twee cijfers na de komma voor. Hier worden de wiskundige afrondingsregels gebruikt: 0,316 wordt afgerond tot 0,32. Rekenen met hoeken - 6 -

7 3. Rekenen met hoeken in graden 3.1 Optellen Opgave: Bereken " " a) Al cijferend " " = " + 39" = (32+ 68) ( ) ( )" = " = " b) Met het rekentoestel Zet eerst het rekentoestel terug in de «Math IO» modus qw (SETUP) 1 (Math) Voer de hoek " in 32x58x27x Tel bij deze hoek de hoek " +68x14x39x V Lees het resultaat af " " = " Opmerking Bij het optellen mag je voor je V drukt om de bewerking door te voeren niet vergeten om op x te drukken. Zoniet bekom je een foutmelding ( syntax ERROR). Schrijf het resultaat in zijn decimale vorm x Wens je opnieuw de schrijfwijze in graden, minuten en seconden, dan druk je opnieuw op x Rekenen met hoeken - 7 -

8 3.2 Aftrekken Opgave: Bereken : " " a) Al cijferend " " = " - 23" = " - 23" = " " - 23" = " - 23" = " b) Met het rekentoestel Voer de hoek " in 105x43x12x Trek van deze hoek de hoek " af -29x52x29x V Lees het resultaat af " = " Opmerking Bij het aftrekken mag je voor je V drukt om de bewerking door te voeren niet vergeten om op x te drukken. Doe je dat niet, dan bekom je een foutmelding (syntax ERROR). Schrijf het resultaat in zijn decimale vorm x Opmerking Wens je opnieuw de schrijfwijze in graden, minuten en seconden, dan druk je opnieuw op x Rekenen met hoeken - 8 -

9 3.3 Vermenigvuldigen met een getal Opgave: Bereken " a) Al cijferend " = " = " = " + 50" = " = " b) Met het rekentoestel Voer " in 5O39x17x46x V Lees het resultaat af " = " Opmerking Bij het vermenigvuldigen met een getal mag je voor je V drukt om de bewerking door te voeren niet vergeten om op x te drukken. Doe je dat niet, dan bekom je een foutmelding (syntax ERROR). Schrijf het resultaat in zijn decimale vorm x Opmerking Wens je opnieuw de schrijfwijze in graden, minuten en seconden, dan druk je opnieuw op x Rekenen met hoeken - 9 -

10 4. Omzetten van hoeken in graden, radialen en honderddelige graden 4.1 Omzetten van graden ( ) naar radialen (rad) Omzettingsformule : π 360 = 2π rad 180 = π rad 1 = 180 x. π rad x = 180 rad Opgave: Zet een hoek van 60 om in radialen. a) met de omzettingsformule: 60 π 60 = 180 = 3 1 π rad = 3 π rad Opmerking Wanneer het resultaat een uitdrukking is waarin π voorkomt, dan mag de eenheid «rad» weggelaten worden. b) met het rekentoestel Stel de hoekeenheid in op radialen q w (SETUP) 4 (Rad) voer de hoek van 60 in 60 qmb1 en zet de ingevoerde hoek om in radialen V Lees het resultaat af 60 = π rad 3 Rekenen met hoeken

11 4.2 Omzetten van radialen (rad) naar graden( ) Omzettingsformule : 2π rad = 360 π rad = rad = 180 x. 180 x rad = π π Opgave: Zet een hoek van 4 π rad om in graden. a) met de omzettingsformule π rad = 4 π π = π.180 4π = 180 = 45 4 b) met het rekentoestel Stel de hoekeenheid in op graden q w (SETUP) 3 (Deg) voer de hoek van 4 π rad in a q KLR4$ qm(b 2 en zet de ingevoerde hoek om in graden V Lees het resultaat af π rad = 45 4 Rekenen met hoeken

12 4.3 Omzetten van graden( ) naar honderddelige graden (gra) Omzettingsformule : x 360 = 400 gra 1 = gra x = gra Opgave: Zet een hoek van 270 om in honderddelige graden. a) met de omzettingsformule 270 = gra = 300 gra 9 b) met het rekentoestel Stel de hoekeenheid in op honderddelige graden q w (SETUP) 5 (Gra) voer de hoek van 270 in 270 qmb1 en zet de ingevoerde hoek om in honderddelige graden V Lees het resultaat af 270 = 300 gra Rekenen met hoeken

13 4.4 Omzetten van honderddelige graden (gra) naar graden( ) Omzettingsformule : Opgave: Zet een hoek van 70 gra om in graden gra = gra = x gra = 400 9x 10 a) met de omzettingsformule b) met het rekentoestel 70 gra = 70.9 = Stel de hoekeenheid in op graden q w (SETUP) 3 (Deg) voer de hoek van 70 gra in 70 qmb3 en zet de ingevoerde hoek om in graden V Lees het resultaat af 70 gra = 63 Rekenen met hoeken

14 4.5 Omzetten van radialen (rad) naar honderddelige graden(gra) Omzettingsformule : 2π rad = 400 gra π rad = rad = 200 π gra x rad = x. 200 gra π Opgave: Zet een hoek van 4 π rad om in honderddelige graden. a) met de omzettingsformule π rad = 4 π π gra = π π gra = 200 gra = 50 gra 4 b) met het rekentoestel Stel de hoekeenheid in op honderddelige graden q w (SETUP) 5 (Gra) voer de hoek van 4 π rad in a q KLR4$ qmb 2 en zet de ingevoerde hoek om in honderddelige graden V Lees het resultaat af π rad = 50 gra 4 Rekenen met hoeken

15 4.6 Omzetten van honderddelige graden(gra) naar radialen(rad) Omzettingsformule : π 400 gra = 2π rad 200 gra = π rad 1 gra = rad 200 x gra = x.π 200 rad Opgave: Zet een hoek van 120 gra om in radialen. a) met de omzettingsformule en het rekentoestel 120 gra = 120.π 3 rad = π rad b) met het rekentoestel: Stel de hoekeenheid in op radialen q w (SETUP) 4 (Rad), voer de hoek van 120 gra in 120 qmb2 en zet de ingevoerde hoek om in radialen V Lees het resultaat af 120 gra = 63 Rekenen met hoeken

16 4.7 Opdracht Opdracht: In de onderstaande tabel is een aantal hoeken uitgedrukt in graden. Zet die hoeken om in radialen en in honderddelige graden en vul de tabel verder aan. Hoek in graden ( ) Hoek in radialen (Rad) Hoek in honderddelige graden (Gra) Nulhoek Rechte hoek Gestrekte hoek Rekenen met hoeken

17 Hoek in graden ( ) Hoek in radialen (Rad) Hoek in honderddelige graden (Gra) Volle hoek 360 Rekenen met hoeken

18 5. Rekenen met hoeken uitgedrukt in verschillende hoekeenheden Ook wanneer hoeken in verschillende hoekeenheden uitgedrukt zijn, kan je met deze hoeken rekenen. Voorbeeld 1: Bereken de som 60 + π rad en schrijf het resultaat in graden. Stel de hoekeenheid in op graden q w (SETUP) 3 (Deg) Voer de hoek van 60 in en tel daarbij π rad op 60 qm(b1 + q KL qm(b 2 V Lees het resultaat af 60 + π rad = 240 Opmerking Omdat de hoekeenheid in graden ingesteld is voor de invoer en de weergave van de resultaten, is het niet nodig om na de invoer van eerste hoek, daar ook de hoekeenheid graden aan toe te voegen. Dus ook als volgt bekom je het juiste resultaat 60 + q KL qm(b 2 V Rekenen met hoeken

19 Voorbeeld 2: Bereken de som van het resultaat uit voorbeeld 1 en 100 gra en druk het resultaat uit in graden. M+ 100 qm(b3 V Lees het resultaat af 60 + π rad gra = 330 Opmerking Wanneer je toch bij elke hoek de hoekeenheid invoert, dan is het heel gemakkelijk om het bekomen resultaat uit te drukken in graden, radialen of honderddelige graden. Je moet dan alleen maar de set-up veranderen. q w (SETUP) 4 (Rad) V levert: 60 + π rad gra = 11π 6 rad En q w (SETUP) 5 (Gra) V levert: In Math IO: 60 + π rad gra = gra = 366,66 gra Of in Line IO: n levert opnieuw de breukvorm. Rekenen met hoeken

20 6. Opmerkingen Bij het rekenen met hoeken is het van belang dat je steeds goed weet met welke hoekeenheid je werkt. Dit kan je steeds zien bovenaan het scherm. Als er bovenaan op het scherm een witte letter «D» staat, dan is de hoekeenheid ingesteld op graden. Als er bovenaan op het scherm een witte letter «R» staat, dan is de hoekeenheid ingesteld op radialen. Als er bovenaan op het scherm een witte letter «G» staat, dan is de hoekeenheid ingesteld op honderddelige graden. Bij het invoeren van een hoek in zestigdelige graden, moet altijd een waarde voor de graden en de minuten ingevoerd worden, ook al zijn die 0. Indien je toch maar twee keer op x drukt, dan vult rekentoestel de ingevoerde hoek aan met 0". Het rekentoestel geeft geen foutmelding als je een hoek vermenigvuldigt met een getal : zowel bij invoer van " als van ". 5 bekom je hetzelfde resultaat. Rekenen met hoeken

21 Antwoordsleutel opdracht 4.7 Opdracht: In de onderstaande tabel is een aantal hoeken uitgedrukt in graden. Zet die hoeken om in radialen en in honderddelige graden en vul de tabel verder aan. Hoek in graden ( ) Hoek in radialen (Rad) Hoek in honderddelige graden (Gra) Nulhoek 0 Math IO: 30 Line IO: 45 Rekenen met hoeken

22 Math IO: 60 Line IO Rechte hoek 90 Math IO: 120 Line IO : Rekenen met hoeken

23 135 Math IO: 150 Line IO Gestrekte hoek 180 Math IO 210 Line IO: Rekenen met hoeken

24 225 Math IO : 240 Line IO : 270 Math IO: 300 Line IO: Rekenen met hoeken

25 315 Math IO 330 Line IO: Volle hoek 360 Rekenen met hoeken

26 26