Wiskundige vaardigheden

Transcriptie

1

2 Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige vaardigheden, inclusief voorbeelden.

3 Omwerken van formules In de natuurkunde krijg je vaak formules met meerdere variabelen. Uit iedere formule kun je één specifieke variabele eruit halen. Schrijf de formule eerst in variabalen op, pas na het omzetten (eventueel) getallen invullen. Dit voorkomt fouten!

4 Voorbeeld: De lengte van een veer heeft de volgende formule: u = L L 0 Met: - u de uitwijking in m - L de totale lengte van de uitgerekte veer - L 0 de rustlengte van de veer Met behulp van de balansmethode kunnen we L en L 0 uitdrukken in de andere variabelen: L = u + L 0 L 0 = L u

5 Balansmethode: Je mag altijd aan beide kanten van het =-teken hetzelfde doen: - Optellen/aftrekken - Vermenigvuldigen/delen - Kwadrateren/worteltrekken Voorbeeld a 2 = b 2 + c 2 a 2 = b 2 + c 2 b 2 + c 2 a = b 2 + c 2

6 Grootheden Eenheden l = 92 m Grootheid = getal eenheid Het SI-stelsel onderscheid basisgrootheden met daarbij behorende grondeenheden. Basisgrootheden zijn grootheden, die niet in andere grootheden kunnen worden uitgedrukt. Afgeleide grootheden zijn afgeleid van de basisgrootheden en kunnen er altijd in worden uitgedrukt.

7 Voorbeeld: De formule voor de grootheid druk luidt: p = F A De eenheid van druk is Pascal (Pa) Druk de eenheid van druk uit in grondeenheden. p = [F] A [p] = N m 2 Bij een eenheden beschouwing bedoelen we met [p] de eenheid van p. [p] = kgms 2 m 2 = kgm 1 s 2 De eenheid Pascal komt dus overeen met de SI-eenheden: kgm 1 s 2

8 Voorbeeld: De formule voor de grootheid snelheid luidt: v = x t Druk de snelheid uit in grondeenheden. v = [x] t [v] = m s

9 Omrekenen van getallen mm² cm² dm² km² hm² =hectare dam² =are m² =centiare

10 Omrekenen van getallen km³ hm³ dam³ m³ dm³ =L cm³ =cc=ml mm³

11 Nauwkeurigheid Het aantal cijfers, dat in de natuurkunde voor een meetwaarde wordt opgegeven, is daarmee een maat voor de nauwkeurigheid van de meting. Zo ligt 5,54m tussen 5,535m en 5,545m. De onnauwkeurigheid is dan 0,005m (een halve centimeter).

12 Wetenschappelijke notatie De wetenschappelijke notatie van een waarde is de notatie, waarbij precies één cijfer (ongelijk aan 0) voor de komma staat. Voor de wetenschappelijke notatie van getallen worden daarom machten van 10 gebruikt. Deze doen niet mee met de nauwkeurigheid. Voorbeeld: 32000m = 3, m De nauwkeurigheid is hierbij 5 cijfers, dat moet terugkomen in de wetenschappelijke notatie.

13 Significantie Het aantal significante cijfers van een aarde s het aantakl cuhfers van het getal, te beginnen bij het eerste cijfers dat niet gelijk is aan 0. Zo is de nauwkeurigheid van 0,000012m niet gelijk aan 7 cijfers, maar aan 2 cijfers! Bij vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken is het aantal significante cijfers van de uitkomst gelijk aan HET KLEINSTE aantal significante cijfers van de beginwaarden. Zo is = 1, en 0, = 5

14 Significantie Bij optellen en aftrekken is het aantal decimalen van het eindantwoord gelijk aan HET KLEINSTE aantal decimalen van de beginwaarden. Zo is ,2 = 102

15 Variabelen - Onafhankelijke: de grootheid, die je zelf steeds verandert, waarmee je onderzoekt hoe een andere grootheid daarvan afhangt. - Afhankelijke: de grootheid die verandert, doordat je de onafhankelijke variabele steeds verandert. - Controle variabelen: dit zijn alle grootheden die je constant moet houden om het experiment eerlijk te laten verlopen.

16 Voorbeeld Stel, je wil het verband weten tussen de druk in een afgesloten hoeveelheid gas en het volume van die hoeveelheid gas. Het ligt voor de hand een proef te doen waarbij je het volume aanpast (onafhankelijke variabele), en steeds meet hoe de druk daardoor verandert (afhankelijke variabele). Je moet er dan wel aan denken wat effect kan hebben op de druk. Dit kan de temperatuur zijn, maar ook de buitendruk, en de massa van het gas (daarom moet het een afgesloten volume zijn). Deze waarden moet je bij je experiment dus constant houden, en noemen we daarom de controle variabelen.

17 y Evenredige verbanden Als x groter, dan y ook groter Progressief: y = c x a met a > 1 Recht evenredig: y = c x Degressief: y = c x a met 0 < a < 1 x

18 y Omgekeerd evenredige verbanden Als x groter, dan y kleiner y = c x a met 0 < a < 1 y = c x a met a > 1 x y = c x 1 (omgekeerd rechtevenredig verband)

19 Voorbeeld We onderzoeken het verband tussen de gravitatiekracht F g en de massa m 2. Welke controle variabelen kun je bedenken? - m 1 : de massa van de aarde - r: de straal van de aarde Dit zijn de enige noodzakelijke voor de formule. Mogelijk dacht je ook aan de volgende. Altijd liever een teveel dan te weinig: - T: de absolute temperatuur - ρ: de dichtheid van de massa

20 Voorbeeld Het onderzoek is uitgevoerd met juiste controlevariabelen. De onderstaande tabel kwam eruit. Hoe hangt F g af van m 2? m 2 (kg) F g (N) 1,0 8,2 2,0 16,5 3,0 24,1 4,0 31,6 Onafhankelijke variabele op x-as, afhankelijke altijd op y-as! 32 F g m 2 Recht evenredig: F g = c m 2

21 Voorbeeld We onderzoeken nu het verband tussen de gravitatiekracht F g en de straal r. Wat zijn nu de controle variabelen? - m 1 : de massa van de aarde - m 2 : de massa van het voorwerp

22 Voorbeeld Het onderzoek is uitgevoerd met juiste controlevariabelen. De onderstaande tabel kwam eruit. Hoe hangt F g af van r? r(m) F g (N) 1, ,0 25 3,0 11 4,0 6,3 Onafhankelijke variabele op x-as, afhankelijke altijd op y-as! 100 F g r Omgekeerd evenredig: F g = c r a

23 Voorbeeld Er geldt dus F g = c r a. We gaan nu testen of a gelijk was aan 2. We kwadrateren r en plotten opnieuw. r 2 (m) F g (N) 1, , , ,06 6,3 100 F g Recht evenredig: F g = c r 2 Onafhankelijke variabele op x-as, afhankelijke altijd op y-as! ,2 0,4 0,6 0,8 r

24 Voorbeeld We hebben nu de volgende verbanden aangetoond: F g = c m 2 F g = c r 2 Gegeven is het andere verband: F g = c m 1 Wat is nu de formule voor F g? F g = m 2 m 1 r 2 c De constante c kunnen we nu niet bepalen. In praktijk blijft dit de Gravitatieconstante G te zijn.

25 Voorbeeld Evenredig verband met F g F g = G m 1m 2 r 2 Omgekeerd evenredig verband met F g Evenredig verband: als de onafhankelijke variabele groter wordt, wordt de afhankelijke variabele ook groter. Omgekeerd evenredig verband: als de onafhankelijke variabele groter wordt, wordt de afhankelijke variabele kleiner.

26 Omschrijven van formules In de natuurkunde moet je formules ook omschrijven, zo kan het zijn dat m 1, m 2, F g en G zijn gegeven, en je r wilt weten. In dat geval schrijf je altijd eerst de formule om, waarna je de symbolen pas vervangt door getallen. F g = G m 1m 2 r 2 F g r 2 = Gm 1 m 2 r 2 = Gm 1m 2 F g r = Gm 1m 2 F g m 1 = F gr 2 Gm 2 m 2 = F gr 2 Gm 1 G = F gr 2 m 1 m 2

27 Einde