Foutenberekeningen. Inhoudsopgave

Transcriptie

1

2 Inhoudsopgave Leerdoelen : Inleiding De absolute fout De KOW-methode Grootheden optellen of aftrekken De relatieve fout grootheden vermenigvuldigen en delen Een uitgewerkt voorbeeld Afronden Machtsverheffen Oefenopdrachten Samenvatting foutenberekening

3 Leerdoelen : Na deze lesbrief kan je - relatieve fouten berekenen - absolute fouten berekenen in samengestelde grootheden -bij optellen en aftrekken -bij vermenigvuldigen en delen - bij machtsverheffen -waarde en absolute fout afronden 3

4 1. Inleiding. Bij het doen van een meting zal je uitkomst een bepaalde onnauwkeurigheid hebben. Deze onnauwkeurigheid wordt ook wel de absolute fout genoemd. Voorbeeld 1 De lengte van een voorwerp kan je met een liniaal meten. De absolute fout is in dat geval 1 mm. Als grootheden uit andere grootheden worden berekend moet je ook de absolute fout in het eindresultaat kunnen bepalen. Voorbeeld 2 Oppervlakte bereken je met Oppervlakte = lengte * breedte Hoe je de absolute fout in de oppervlakte berekent leer je in onderdeel 5 4

5 2. De absolute fout De onnauwkeurigheid van een meting, ook wel genoemd de absolute fout, geeft aan hoeveel de gemeten waarde kan afwijken. De absolute fout heeft dezelfde eenheid als de bijbehorende grootheid. Opdracht 1. Voorbeeld 3 Stel : je meet een lengte met een liniaal en de waarde is 21 mm, de absolute fout is 1 mm. Je schrijft dan Lengte = 21 ±1 mm. De gemeten uitkomst ligt tussen de 20 en 22mm. Meet van de onderstaande vierhoek de zijden en de diagonalen met een liniaal. Geef bij iedere uitkomst ook de absolute fout. AB = ± mm BC = CD = DA = AC = BD = A D C B 5

6 Opdracht 2 Iemand meet de lichaamstemperatuur met een koortsthermometer. Uitkomst 37,8ºC en de absolute fout is 0,2ºC. Tussen welke twee waarden ligt de lichaamstemperatuur? Antwoord: Opdracht 3 Iemand bepaald de massa van een blokje op een bovenweger : m = 210,45 ± 0,02 g Hoeveel bedraagt de absolute fout van deze meting? Antwoord: 6

7 3. De KOW-methode De KOW-methode is een manier om fouten samen te stellen. Het is een afkorting van Kwadrateren, optellen en worteltrekken. Voorbeeld 4 We gaan uit van twee getallen: 4,0 en 7,0. Opgeteld via de KOW methode krijg je: 4,0 2 7, ,1 7

8 4. Grootheden optellen of aftrekken. Grootheden kunnen berekend worden uit andere grootheden door middel van optellen of aftrekken. Voorbeeld 5. De omtrek van een vierkant = AB+BC+CD+DA Een temperatuurverschil = t eind - t begin massa vloeistof = massa glas vol - massa glas leeg De absolute fout in het resultaat van de optelling (of van het aftrekken) bepaal je dan met : Regel 1 Bij optellen en aftrekken van grootheden moet je de absolute fouten volgens de KOWmethode samenstellen om de absolute fout in het resultaat te krijgen. Voorbeeld 6. Iemand wil de massa van een hoeveelheid vloeistof bepalen. Hij bepaalt de massa van een leeg bekerglas: 151,04±0,02g. Hij doet de vloeistof in het bekerglas 283,81 ± 0,02g. Fouten samenstellen: 2 2 0,02 0,02 De massa van de vloeistof is dan 132,77 ± 0,028 g 8

9 Opdracht 4. a. Bereken de omtrek van de vierhoek op de vorige pagina, bereken ook de absolute fout in de omtrek. Omtrek = ± cm b. Tussen welke twee waarden ligt de omtrek? Tussen cm en cm. 9

10 5. De relatieve fout Het woord relatief betekent in verhouding tot. Bij de relatieve fout gaat het erom hoe groot de absolute fout is in verhouding tot de waarde. Formule : absolute fout relatieve fout waarde De relatieve fout kan eventueel in procenten opgegeven worden. Voorbeeld 7 De massa van een vloeistof is 132,77 ± 0,04 g De relatieve fout in de massa is dan 0,04 4 relatieve fout 3, ,77 10

11 Opdracht 5. a. Iemand meet Lengte = 21 ±1 mm. Bereken de relatieve fout. Antwoord : b. Bereken de relatieve fout in de omtrek uit opdracht 4 Antwoord: Als je de relatieve fout weet kan je de absolute fout berekenen : absolute fout relatieve fout * waarde Voorbeeld 8 Een oppervlakte is 12,5 cm 2. De relatieve fout in het oppervlak is 3 %. De absolute fout is dan 0,03*12,5=0,4cm 2 De oppervlakte is dan 12,5 ± 0,4 cm 2. Opdracht 6 Iemand heeft de dichtheid van een vloeistof bepaald met een relatieve fout van 0,02. De uitkomst was 1,33 g/cm 3. Bereken de absolute fout. Antwoord : 11

12 6. grootheden vermenigvuldigen en delen. Grootheden kunnen berekend worden uit andere grootheden door middel van vermenigvuldigen en delen. Voorbeeld 9. De oppervlakte van een rechthoek = AB*BC De snelheid van een voorwerp v = s/t De dichtheid van een stof ρ = m/v De relatieve fout in het resultaat van de vermenigvuldiging (of van de deling) bepaal je dan met : Regel 2 Bij vermenigvuldigen en delen van grootheden moet je de relatieve fouten volgens de KOWmethode samenstellen om de relatieve fout in het resultaat te krijgen. Om overzichtelijk te werken maken we een tabel voor de berekening van de fout : Een foutenberekeningstabel. grootheid waarde absolute relatieve fout fout lengte 12,5 0,2 0,016 breedte 8,5 0,2 0,024 oppervlakte 106,25 3,1 0,029 12

13 7. Een uitgewerkt voorbeeld Een rechthoek heeft een lengte van 12,5 cm en een breedte van 8,5 cm. In beide afmetingen zit een absolute fout van 0,2 cm. Gevraagd wordt de oppervlakte en de absolute fout in de oppervlakte. Hieronder zie je de tabel met de gegevens ingevuld Foutenberekeningstabel grootheid waarde absolute relatieve fout fout lengte 12,5 0,2 breedte 8,5 0,2 oppervlakte Nu wordt de relatieve fout berekend volgens par 4. Bovendien berekenen we de oppervlakte (lengte * breedte) grootheid waarde absolute relatieve fout fout lengte 12,5 0,2 0,016 breedte 8,5 0,2 0,024 oppervlakte 106,25 13

14 Nu passen we regel 2 toe grootheid waarde absolute relatieve fout fout lengte 12,5 0,2 0,016 breedte 8,5 0,2 0,024 oppervlakte 106,25 0,029 en tenslotte de formule die onder opdracht 5 staat : absolute fout relatieve fout * waarde grootheid waarde absolute relatieve fout fout lengte 12,5 0,2 0,016 breedte 8,5 0,2 0,024 oppervlakte 106,25 3,1 0,029 Het voorlopige resultaat is: De oppervlakte = 106,25 ± 3,1 cm 2 14

15 8. Afronden. Bij het afronden van de waarden en de fout moet je de volgende regel toepassen. Regel 3. Bij het afronden moet de absolute fout in één cijfer geschreven worden en de waarde moet worden afgerond in overeenstemming met de absolute fout. Toegepast op het voorbeeld (zie onderdeel 6) We hadden als voorlopig resultaat : Het oppervlakte = 106,25 ± 3,1 cm 2 De absolute fout in één cijfer : 3,1 wordt 3 De waarde afronden overeenkomstig de fout betekent: De waarde mag niet meer decimalen hebben dan de fout. Dus hier : de fout heeft nul decimalen, de waarde moet ook zonder decimalen opgegeven worden : 106,25 wordt 106. Eindresultaat : De oppervlakte = 106 ± 3 cm 2 15

16 Opdracht 7 Iemand bepaalt het volume (V) van een blokje. Hij meet de lengte l, de breedte b en de hoogte h. Het volume wordt berekend met V = l. b. h resultaten Gevraagd wordt V en de absolute fout in V. Maak onderstaande tabel compleet en rond het resultaat af. Foutenberekeningstabel grootheid waarde absolute relatieve fout fout l (cm) 12,5 0,1 b (cm) 8,5 0,1 h (cm) 2,4 0,1 V (cm 3 ) V = ± cm 3 16

17 9. Machtsverheffen Het komt ook voor dat een grootheid wordt berekend uit een andere grootheid door machtsverheffen. Voorbeelden: volume van een cilinder Vcilinder 2. d. h de warmteontwikkeling in een weerstand Q I 2. R. t 4 Regel 4 Bij machtsverheffen van grootheden moet je de relatieve fouten met de macht vermenigvuldigen om de relatieve fout in het resultaat te krijgen. Voorbeeld : Een vierkant heeft zijde z = 4,2 ± 0,1 cm. Het oppervlak van het vierkant en de absolute fout daarin vind je als volgt. Eerst bereken je de relatieve fout in z grootheid waarde absolute relatieve fout fout z (cm) 4,2 0,1 0,024 A = z 2 (cm) 17,64 Deze relatieve fout moet maal 2 (want de macht is 2 ) grootheid waarde absolute relatieve fout fout z (cm) 4,2 0,1 0,024 A = z 2 (cm) 17,64 0,048 17

18 Vervolgens bereken je de absolute fout met absolute fout relatieve fout * waarde grootheid waarde absolute relatieve fout fout z (cm) 4,2 0,1 0,024 A = z 2 (cm) 17,64 0,84 0,048 afronden A = 17,6 ± 0,8 cm 2 18

19 10. Oefenopdrachten. 1. Iemand meet de temperatuur van warm water. t w = 78 C. En ook van koud water t k = 11 C De absolute fout van de thermometer bedraagt 1 C. Bereken het temperatuurverschil tussen warm en koud water en de absolute fout hierin. 2. Rond de waarden en de absolute fouten op de juiste wijze af. 1,14 ± 0,26 51,67 ± 0, ± Twee weerstandswaarden zijn gegeven. R 1 = 220 ± 5 Ω R 2 = 470 ± 5 Ω Bereken de vervangingsweerstand bij een serieschakeling en de absolute fout in deze waarde. Formule : R R R serie Een student wil de dichtheid van een steen meten. Hij bepaalt de massa, hij vindt massa = 351,09 ± 0,02 g Hij doet water in een maatcilinder en leest het volume af: V water = 156,0 ± 0,5 ml Hij doet de steen in het water en leest opnieuw het volume af: V steen + water = 261,5 ± 0,5 ml Hij berekent het volume van de steen met; V steen = V steen + water - V water De dichtheid van de steen berekent hij met; ρ steen = m steen / V steen 19

20 Bereken de dichtheid van de steen en de absolute fout in de dichtheid van de steen. Vul daartoe de volgende tabel in en rond je resultaat op de juiste wijze af. Grootheid m steen V steen + water V water V steen ρ steen waarde absolute fout relatieve fout resultaat : ρ steen = ± g/ml 5. Een student wil de concentratie van een NaOH-oplossing bepalen. Hij weegt hiervoor 110,0 mg oxaalzuurdihydraat af en titreert dit met 18,50 ml. NaOH-oplossing tot het omslagpunt. De Molmassa van oxaalzuurdihydraat bedraagt 126,07 g.mol -1 De formule voor het uitrekenen van de concentratie van een NaOH-oplossing luidt; m( Oxaalzuurdihydraat ) * 2 c( NaOH) M * V ( NaOH) Oxaalzuurdihydraato Resultaat : c(naoh) = ± mol.l -1 20

21 11. Samenvatting foutenberekening relatieve fout absolute fout waarde absolute fout relatieve fout * waarde De KOW-methode is een manier om fouten samen te stellen. Het is een afkorting van Kwadrateren, optellen en worteltrekken. 2 2 a b Regel 1 Bij optellen en aftrekken van grootheden moet je de absolute fouten volgens de KOWmethode samenstellen om de absolute fout in het resultaat te krijgen. Regel 2 Bij vermenigvuldigen en delen van grootheden moet je de relatieve fouten volgens de KOWmethode samenstellen om de relatieve fout in het resultaat te krijgen. Regel 3. Bij het afronden moet de absolute fout in één cijfer geschreven worden en de waarde moet worden afgerond in overeenstemming met de absolute fout. Regel 4 Bij machtsverheffen van grootheden moet je de relatieve fouten met de macht vermenigvuldigen om de relatieve fout in het resultaat te krijgen. 21

22 Foutenberekningstabel: grootheid waarde absolute fout relatieve fout 22