Delta Nova. Delta Nova Analyse deel 1 3 lesuren. Delta Nova bestaat voor de eerste en tweede graad uit:

Transcriptie

1 Delta Nova bestaat voor de eerste en tweede graad uit: Delta Nova Eerste graad Delta Nova a leerboek en werkboek Delta Nova b leerboek en werkboek Delta Nova a leerboek en werkboek Delta Nova b leerboek en werkboek Analse deel oe f Delta Nova Analse deel 3 lesuren ISBN Pr /6 Tweede graad Delta Nova 3a leerweg 4 leerboek en werkboek Delta Nova 3b leerweg 4 leerboek en werkboek Delta Nova 3a leerweg leerboek en werkboek Delta Nova 3b leerweg leerboek en werkboek Delta Nova 4a leerweg 4 leerboek Delta Nova 4b leerweg 4 leerboek Delta Nova 4a leerweg leerboek Delta Nova 4b leerweg leerboek Delta Nova Statistiek 3/4 (4u-u) leerboek en werkboek /6 3 lesuren N. Deloddere N. De Wilde R. Op de Beeck Y. Paduwat P. Ttgat

2

3 Goniometrische functies. Periodieke functies. Goniometrische getallen van willekeurige hoeken.3 Pr oe f.. Positieve en negatieve hoeken.. Goniometrische getallen van willekeurige hoeken Verwante hoeken Supplementaire hoeken Tegengestelde hoeken Antisupplementaire hoeken Complementaire hoeken.4 Radialen.4. Een nieuwe hoekmaat.4. Goniometrische getallen van hoeken in radialen. Goniometrische basisfuncties.. De sinusfunctie.. De cosinusfunctie..3 De tangensfunctie.6 Algemene sinusfuncties Grafiek van Grafiek van Grafiek van Grafiek van Grafiek van.7 Goniometrische vergelijkingen = a sin = sin(b) = sin( - c) = sin + d = a sin(b( - c)) + d.7. Goniometrische basisvergelijkingen.7. Vergelijkingen van de vorm a sin(b( - c)) + d = U.8 Som- en verschilformules.8. Som- en verschilformules.8. Formules voor de dubbele hoek.8.3 Formules van Simpson

4 . Periodieke functies. Periodieke functies Instap Een verschijnsel dat zich met vaste regelmaat herhaalt, noemen we een periodiek verschijnsel. Gekende voorbeelden zijn: eb en vloed, terugkeer van de seizoenen... Geef zelf enkele andere voorbeelden van periodieke verschijnselen Het vierkant ABCD heeft zijde m. Een punt P beweegt langs de omtrek van dit vierkant met een constante snelheid van m/s. P start in het punt S (met hoogte gelijk aan ) en draait in tegenwijzerzin. We onderzoeken de hoogte h van het punt P in functie van de tijd t. Vul de tabel aan. t (in s) h (in m) Maak een grafiek van deze functie. h B C t h A D P S 3 De grafiek herhaalt zich met een vaste regelmaat. Om de hoeveel seconden gebeurt dit? Verklaar dit vanuit de opgave. 94

5 Goniometrische functies 3 We laten een veerkrachtige bal vallen vanaf een hoogte van, m. Bij elk contact met de grond veert de bal terug tot op zijn oorspronkelijke hoogte (we verwaarlozen het energieverlies). De tijd is gegeven in seconden. h 3 4 t Ook deze grafiek herhaalt zich met vaste regelmaat. Om de hoeveel seconden gebeurt dit? Geef meerdere antwoorden De diepte van de vaargeul is voor de scheepvaart van groot belang. Door de werking van eb en vloed varieert deze diepte met de tijd. Stel dat de diepte d (in meter) van een vaargeul benaderend kan worden voorgesteld door de onderstaande grafiek, waarbij t de tijd voorstelt uitgedrukt in uren. De gemiddelde diepte is 8 m, bij vloed is de diepte, m en bij eb, m. d, d = f(t) 3 4 Eb en vloed komen meermaals per dag voor. De tijdsspanne tussen twee opeenvolgende tijdstippen van eb (of vloed) is, u. Op tijdstip t = is het eb. Kijk naar de grafiek en geef vier andere tijdstippen waarop het eb is. t Als het op tijdstip t = eb is, dan geldt er: f() =,. Vervolledig: f() =, = f(...) = f(...) = f(...) = f(...) 3 Kies een willekeurig tijdstip t op de horizontale as en duid het bijbehorende punt op de grafiek aan. Controleer op de grafiek dat het volgende geldt:... = f(t -,) = f(t) = f(t +,) = f(t + ) =... 9

6 . Periodieke functies Periodieke functies Een periodiek verschijnsel herhaalt zich met een vaste regelmaat. De slingerbeweging van een uurwerk, onze hartslag, de waterhoogte bij eb en vloed... zijn voorbeelden van periodieke verschijnselen. We beschrijven periodieke verschijnselen met periodieke functies. Definitie Een functie f is periodiek als er een strikt positief getal p bestaat zodat f( + p) = f() voor alle -waarden uit het domein. Het kleinste strikt positieve getal waarvoor dit geldt, noemen we de periode p van de functie. = f() Verwerking Bepaal de periode van de volgende periodieke functies. 4 3 p + p + p 4 6 p p p

7 Goniometrische functies 6 Een elektrocardiogram (ECG) geeft de elektrische activiteit van de hartspier weer. Op de horizontale as staat de tijd t in seconden, op de verticale as de elektrische spanning U in millivolt. 4, U (mv) 3, 3,,,,,, t (s),,,,,, 3, 3, 4, 4,,, Geef de periode van deze periodieke functie bij benadering Tik op je grafisch rekentoestel de onderstaande voorschriften in, waarbij in zestigdelige graden wordt uitgedrukt. Gebruik de gegeven vensterinstellingen. Bepaal dan de periode van f. f() = cos van tot en van - tot f() = sin(3,6) + sin(7,) van tot en van - tot Studiewijzer: periodieke functies We kunnen instap e reeks e reeks 3 e reeks periodieke functies herkennen en de periode bepalen *

8 . Goniometrische getallen van willekeurige hoeken. Goniometrische getallen van willekeurige hoeken.. Positieve en negatieve hoeken Instap 8 B ontstaat door A te draaien (roteren) om O over 4 in tegenwijzerzin. Dit noteren we als B = r (O, 4 ) (A). B Vul aan: A = r (O,...) (B). Geef minstens één andere hoek waardoor A op B afgebeeld wordt door een rotatie met middelpunt O. O 4 A Positieve en negatieve hoeken We stellen hoeken voor op de goniometrische cirkel, dit is de cirkel met de oorsprong als middelpunt en als straal. We laten hiertoe het beginbeen van de hoek samenvallen met de positieve -as. Het snijpunt van het eindbeen met de goniometrische cirkel noemen we het beeldpunt van die hoek. In de figuur is P het beeldpunt van een hoek van 6. Aan hoeken op de goniometrische cirkel kan een oriëntatie of draaizin toegekend worden, die we met een pijl aanduiden. Tegenwijzerzin komt overeen met de positieve oriëntatie, wijzerzin met de negatieve. In de figuur is Q het beeldpunt van een hoek van -. Een punt op de goniometrische cirkel kan nu het beeldpunt zijn van verschillende hoeken. Zo is P het beeldpunt van 6 en van = = = Samengevat is P het beeldpunt van een hoek van 6 + k 36 Hierbij is k een geheel getal, d.w.z. k =, ±, ±... We noteren: k Œ Z. P P 6 6 Q Q Verwerking 9 Geef drie hoeken die hetzelfde beeldpunt hebben als dat van

9 Goniometrische functies Teken het beeldpunt van de volgende hoeken op de goniometrische cirkel. a = 6 met beeldpunt A 4 d = -9 met beeldpunt D b = -6 met beeldpunt B e = 4 met beeldpunt E 3 g = met beeldpunt C 6 j = 73 met beeldpunt F.. Goniometrische getallen van willekeurige hoeken Goniometrische getallen van willekeurige hoeken Definities In het vierde jaar definieerden we de goniometrische getallen van hoeken tussen en 36. We gebruiken deze definities vanaf nu ook voor hoeken groter dan 36 en voor negatieve hoeken. Is P het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel, dan geldt: cos a = -coördinaat van P sin a = -coördinaat van P tan a = sin a a cos a (met cos a π ) cos a cot a = cos a sin a (met sin a π ) sin a 99

10 . Goniometrische getallen van willekeurige hoeken E igenschappen De goniometrische cirkel heeft als vergelijking + =. Omdat P(cos a, sin a) op deze cirkel ligt, volgt hieruit dat cos a + sin a = Deze formule noemen we de hoofdformule van de goniometrie. De - en -coördinaat van elk punt op de goniometrische cirkel ligt tussen - en. Bijgevolg: - cos a en - sin a In het vierde jaar toonden we aan dat je tan a grafisch kunt interpreteren als de -coördinaat van het snijpunt van OP met de raaklijn in (,) aan de goniometrische cirkel: co(t) = (, tan a). Bijgevolg: - < tan a < + a Omdat de beeldpunten van de hoeken a en a + k 36 (met k Œ Z) samenvallen, zullen hun goniometrische getallen ook gelijk zijn. sin(a + k 36 ) = sin a cos(a + k 36 ) = cos a tan(a + k 36 ) = tan a Voorbeelden sin 9 = sin(-7 ), want -7 = 9-36 cos(-6 ) = cos, want = tan = tan 74, want 74 = + 36 Het assenstelsel verdeelt het vlak in vier delen, die we kwadranten noemen (I, II, III, IV). Het teken van de goniometrische getallen hangt af van het kwadrant waarin het beeldpunt zich bevindt. II I I II III IV III IV P T tan a a sin a cos a tan a

11 Goniometrische functies Verwerking Op de goniometrische cirkel zijn de beeldpunten getekend van de gegeven hoeken. a Zet bij de getekende beeldpunten de overeenkomstige letters. b Lees op de goniometrische cirkel het gevraagde goniometrische getal van deze hoek bij benadering af. Controleer met je rekentoestel. a = heeft beeldpunt A cos =... b = 3 heeft beeldpunt B sin 3 =... 3 g = 39 heeft beeldpunt C tan 39 =... 4 d = - heeft beeldpunt D cos(- ) =...

12 . Goniometrische getallen van willekeurige hoeken Bepaal, indien mogelijk, met behulp van de goniometrische cirkel: sin(-9 ) =... sin 7 =... 3 cos(-36 ) =... 4 cos 4 =... tan(-9 ) =... 6 tan 4 =... 3 Voorspel het teken van de goniometrische getallen en controleer nadien met je rekentoestel. sin 4... cos(- )... 3 tan... Studiewijzer: goniometrische getallen van willekeurige hoeken We kennen de definitie van de sinus, de cosinus, de tangens en de cotangens van een hoek de hoofdformule van de goniometrie We kunnen instap e reeks e reeks 3 e reeks het beeldpunt van een hoek tekenen en meerdere hoeken geven die eenzelfde beeldpunt hebben 74 de sinus, de cosinus en de tangens van een hoek aflezen op de goniometrische cirkel en berekenen 3 7 de hoofdformule van de goniometrie gebruiken en omvormen 76 77

13 Goniometrische functies.3 Verwante hoeken.3. Supplementaire hoeken Instap 4 Teken op de goniometrische cirkel de beeldpunten van de hoeken a waarvoor geldt sin a =,7 sin a = -, Gebruik je rekentoestel en de vorige opdracht om minstens drie hoeken a te vinden waarvoor geldt sin a =,7 sin a = -, Supplementaire hoeken Definitie Supplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 8 is. Bijgevolg zijn a en 8 - a supplementaire hoeken Voorbeelden en 6 zijn supplementaire hoeken, net zoals en - 4. Eigenschappen P en Q zijn de respectievelijke beeldpunten van de supplementaire hoeken a en 8 - a. Q is het spiegelbeeld van P om de -as. Hieruit volgt: sin(8 - a) = sin a sin(8 a) sin a Q 8 a cos(8 a) a P cos a tan a cos(8 - a) = -cos a tan(8 - a) = -tan a tan(8 a) 3

14 .3 Verwante hoeken Toepassing Bepaal alle hoeken a waarvoor sin a = -,3. Met het rekentoestel vinden we een hoek a waarvoor sin a = -,3: a = Op de goniometrische cirkel zien we dat ook sin(8 - a ) = -,3. Een tweede hoek is dus 8 - ( ) = Omdat hoeken met eenzelfde beeldpunt dezelfde goniometrische getallen hebben, kunnen we bij alle gevonden oplossingen nog k 36 optellen (met k ΠZ). Besluit: Verwerking 6 Teken de beeldpunten van de hoeken a en los de vergelijking op. sin a =, 8 a,3 sin a = -,3 a = k 36 of a = k 36 (k ΠZ) Algemeen Om de goniometrische vergelijking sin a = a op te lossen, bepalen we eerst een oplossing a. Er geldt dan sin a = a a = a + k 36 of a = 8 - a + k 36 (k ΠZ) a sin a = -,8 4

15 Goniometrische functies.3. Tegengestelde hoeken Instap 7 Teken op de goniometrische cirkel de beeldpunten van de hoeken a waarvoor geldt cos a =,6 cos a = -, 8 Gebruik je rekentoestel en de vorige opdracht om minstens drie hoeken a te vinden waarvoor geldt cos a =,6 cos a = -, Tegengestelde hoeken Definitie Tegengestelde hoeken zijn twee hoeken waarvan de som is. Bijgevolg zijn a en - a tegengestelde hoeken Voorbeeld 8 en - 8 zijn tegengestelde hoeken. E igenschappen P en Q zijn de respectievelijke beeldpunten van de tegengestelde hoeken a en - a. Q is het spiegelbeeld van P om de -as. Hieruit volgt: sin(- a) = -sin a P cos a cos( a) sin a a a tan ( a) cos(- a) = cos a tan(- a) = -tan a Q sin( a) tan a

16 .3 Verwante hoeken Toepassing Bepaal alle hoeken a waarvoor cos a = -,6. Met het rekentoestel vinden we een hoek a waarvoor cos a = -,6: a = 6. Op de goniometrische cirkel zien we dat ook cos(- a ) = -,6. Een tweede hoek is dus - 6. Omdat hoeken met eenzelfde beeldpunt dezelfde goniometrische getallen hebben, kunnen we bij alle gevonden oplossingen nog k 36 optellen (met k ΠZ). Besluit: Verwerking 9 Teken de beeldpunten van de hoeken a en los de vergelijking op. cos a =, cos a = -,6,6 a = 6 + k 36 of a = k 36 (k ΠZ) Algemeen Om de goniometrische vergelijking cos a = a op te lossen, bepalen we eerst een oplossing a. Er geldt dan cos a = a a = a + k 36 of a = - a + k 36 (k ΠZ) a a cos a = - 6

17 Goniometrische functies.3.3 Antisupplementaire hoeken Instap Teken op de goniometrische cirkel de beeldpunten van de hoeken a waarvoor geldt tan a = -, tan a =, Gebruik je rekentoestel en de vorige opdracht om minstens drie hoeken a te vinden waarvoor geldt tan a = -, tan a =, Antisupplementaire hoeken Definitie Antisupplementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan het verschil 8 is. Bijgevolg zijn a en 8 + a antisupplementaire hoeken. Voorbeelden en zijn antisupplementaire hoeken, net zoals - 4 en 4. E igenschappen P en Q zijn de respectievelijke beeldpunten van de antisupplementaire hoeken a en 8 + a. Q is het spiegelbeeld van P om de oorsprong. Hieruit volgt: sin(8 + a) = -sin a sin a 8 + a cos(8 + a) a tan a P cos a tan(8 + a) cos(8 + a) = -cos a tan(8 + a) = tan a Q sin(8 + a) 7

18 .3 Verwante hoeken Toepassing Bepaal alle hoeken a waarvoor tan a = -,7. Met het rekentoestel vinden we een hoek a waarvoor tan a = -,7: a = Op de goniometrische cirkel zien we dat ook tan(8 + a ) = -,7. Een tweede hoek is dus 8 + (- 36 ) = Omdat hoeken met eenzelfde beeldpunt dezelfde goniometrische getallen hebben, kunnen we bij alle gevonden oplossingen nog k 36 optellen (met k ΠZ). Verwerking Teken de beeldpunten van de hoeken a en los de vergelijking op. tan a = -, 8 + a,7 Besluit: tan a = -,7 a = k 36 of a = k 36 (k ΠZ) We kunnen de oplossingen ook als volgt noteren: a = k 8 Algemeen Om de goniometrische vergelijking tan a = a op te lossen, bepalen we eerst een oplossing a. Er geldt dan tan a = a a = a + k 8 (k ΠZ) a 8

19 Goniometrische functies tan a =.3.4 Complementaire hoeken Instap 3 P en Q zijn de beeldpunten van - 3 en. Gebruik de goniometrische cirkel om verbanden te vinden tussen cos(- 3 ), sin(- 3 ), cos en sin Maak gebruik van je rekentoestel om deze verbanden te controleren. Q 3 P 9

20 .3 Verwante hoeken Complementaire hoeken Definitie Complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 9 is. Bijgevolg zijn a en 9 - a complementaire hoeken. Voorbeelden en 7 zijn complementaire hoeken, net zoals 4 en -. E igenschappen P en Q zijn de respectievelijke beeldpunten van de complementaire hoeken a en 9 - a. Uit de congruentie van de gekleurde driehoeken volgt: sin(9 - a) = cos a cos(9 - a) = sin a Bijgevolg: sin(9 a) tan(9 - a) = = cos a cos(9 a) sin a = cot a Verwerking 4 Schrijf de onderstaande getallen naast een van de gegeven goniometrische getallen. sin(-a), cos(-a), tan(-a), sin(9 - a), cos(9 - a), sin(8 - a), cos(8 - a), tan(8 - a), sin(8 + a), cos(8 + a), tan(8 + a) sin a =... cos a =... tan a =... -sin a =... -cos a =... Q cos(9 - a) sin a sin(9 - a) 9 - a cos a a P -tan a =... Vereenvoudig. cos a + cos(- a) + cos(8 - a) + cos(8 + a) = sin a + sin(- a) + sin(8 + a) =

21 Goniometrische functies 3 sin(8 a) sin(9 a ) = 4 cos(9 - a) sin(8 - a) - cos(8 + a) cos(- a) = 6 Bepaal alle hoeken a waarvoor geldt: sin a = 3 tan a = -3 3

22 .3 Verwante hoeken 3 cos a = - 4 cos a =,3 sin a = -, 6 tan a =,8

23 Goniometrische functies Studiewijzer: verwante hoeken We kennen de formules voor de goniometrische getallen van supplementaire hoeken, tegengestelde hoeken, antisupplementaire hoeken en complementaire hoeken We kunnen instap e reeks e reeks 3 e reeks supplementaire, tegengestelde, antisupplementaire en complementaire hoeken herkennen 78 de formules voor verwante hoeken toepassen de hoeken bepalen waarvan de sinus, de cosinus of de tangens gegeven is

24 .4 Radialen.4 Radialen.4. E en nieuwe hoekmaat Instap 7 Een hoek a wordt voorgesteld door zijn beeldpunt P. Met dit beeldpunt correspondeert een cirkelboog. Cirkelbogen hebben een lengte. We gaan nu hoeken berekenen op basis van de lengte van de corresponderende cirkelboog. a P Radiaal Definitie Vul de tabel aan. cirkelboog grootte middelpuntshoek volledige cirkel AE 36 halve cirkel AD kwartcirkel AC lengte cirkelboog AB radiaal is de grootte van een middelpuntshoek die staat op een cirkelboog waarvan de lengte gelijk is aan de straal van de cirkel. Radiaal wordt afgekort als rad. Het Latijnse radius betekent straal. Voorbeelden Een hoek van rad snijdt op de goniometrische cirkel een cirkelboog af met lengte. D C r rad r rad r B A E 4

25 Goniometrische functies Een hoek van - 3 rad snijdt op de goniometrische cirkel een cirkelboog af met lengte 3. 3 rad Algemeen Een hoek van a radialen staat op een cirkelboog waarvan de lengte gelijk is aan a keer de straal van de cirkel. Verband tussen zestigdelige graden en radialen Als P het beeldpunt is van een hoek van 8, dan heeft de corresponderende cirkelboog als lengte een halve cirkelomtrek, dit is een boog met lengte p. Vandaar zodat Gevolg Verwerking 8 Vul aan. hoek in 8 = p rad 36 = p rad, 9 = p rad, -6 = - p rad rad = = 7,9779 = p hoek in rad P 3 p p rad

26 .4 Radialen 9 Bekijk eerst het schema. hoek in hoek in rad : 8 8 p rad Vul dan de tabel aan. hoek in p 8 rad p 8 rad : 8 hoek in rad Met een grafisch rekentoestel kun je graden, minuten en seconden rechtstreeks omzetten in radialen. Bekijk het voorbeeld hiernaast, waarbij het rekentoestel in de mode radialen staat. Zet de hoeken om in radialen. Rond af op drie cijfers na de komma = = =... 3 Zet bij elk beeldpunt een corresponderende hoek in radialen. 6

27 Goniometrische functies 3 Vervolledig eerst het schema. hoek in rad hoek in... p rad rad rad Vul dan de tabel aan. hoek in rad hoek in rad 3 rad 3 6, rad 4 - rad 33 Met een grafisch rekentoestel kun je radialen rechtstreeks omzetten in graden, minuten en seconden. Bekijk het voorbeeld hiernaast, waarbij het rekentoestel in de mode graden staat. Zet de hoeken om in zestigdelige graden. - rad =... 9,4 rad = ,46 rad = Vul de tabel aan. Gebruik je rekentoestel. graden radialen,77 rad 9,346 rad.4. Goniometrische getallen van hoeken in radialen Goniometrische getallen van hoeken in radialen De goniometrische getallen kunnen ook met de radiaal als eenheid berekend worden. Hierbij geldt de afspraak dat de hoekeenheid rad niet vermeld wordt. We schrijven dus sin p p i.p.v. sin rad. 7

28 .4 Radialen De eigenschappen uit de vorige paragrafen worden dan als volgt uitgedrukt: hoeken met eenzelfde beeldpunt sin(a + k p) = sin a cos(a + k p) = cos a (k ΠZ) tan(a + k p) = tan a supplementaire hoeken sin(p - a) = sin a cos(p - a) = -cos a tan(p - a) = -tan a Q sin(p a) sin a cos(p a) p a a P cos a tan a tegengestelde hoeken sin(- a) = -sin a cos(- a) = cos a tan(- a) = -tan a antisupplementaire hoeken sin(p + a) = -sin a cos(p + a) = -cos a tan(p + a) = tan a P cos a cos( a) Q cos(p + a) tan(p a) sin a a a sin( a) tan( a) tan a tan a tan(p + a) P sin a p + a a cos a Q sin(p + a) complementaire hoeken p sin a = cos a p cos a = sin a p tan a = cot a Q p cos a sin a p sin a p - a cos a a P 8

29 Goniometrische functies Verwerking 3 Duid het juiste antwoord aan (er is slechts één juist antwoord per vraag). p 3 rad en 4 p rad zijn 3 A tegengestelde hoeken C supplementaire hoeken B complementaire hoeken D antisupplementaire hoeken De sinus van p rad is dezelfde als de sinus van 4 A 3 p rad C - p 4 4 rad B p 3p rad D - rad sin(p - a) is gelijk aan A sin(p + a) C p sin a B cos(p + a) D p cos a 4 cos(p + a) is gelijk aan A cos a C - cos a B sin a D - sin a 36 Vereenvoudig. sin a cos(p - a) + cos a sin(p - a) = p sin a cos a p + cos a sin a = 9

30 .4 Radialen 3 sin( a + 4p) sin( p + a) = cos( p + a) cos( a) Studiewijzer: radialen We kennen de definitie van radiaal de formules voor verwante hoeken in radialen We kunnen instap e reeks e reeks 3 e reeks zestigdelige graden omzetten in radialen en radialen omzetten in zestigdelige graden de formules voor verwante hoeken in radialen toepassen vraagstukken i.v.m. booglengte en oppervlakte oplossen * 97* 98* 96*

31 Goniometrische functies. Goniometrische basisfuncties.. De sinusfunctie Sinus, cosinus en tangens van een reëel getal Bij de functies = sin, = cos en = tan stellen zowel als reële getallen voor. Volgens onze afspraak geldt immers sin = sin( rad) cos = cos( rad) tan = tan( rad) Verwerking 37 Bereken sin =... cos 3 =... 3 tan 4 =... De sinusfunctie Grafiek Een punt P beweegt op de goniometrische cirkel. Als P een hoek van radialen doorlopen heeft, dan is de -coördinaat van P gelijk aan sin. We tekenen de grafiek van de functie met voorschrift f() = sin aan de hand van de goniometrische cirkel. We noemen f de sinusfunctie. P sin rad sin p p 3p = sin

32 . Goniometrische basisfuncties E igenschappen domein: R voor elk reëel getal kan sin berekend worden bereik: [-, ] - sin periode: p zie grafiek; sin( + p) = sin voor elk reëel getal nulpunten: k p, met k Œ Z sin(-p) = sin = sin p = sin p =... = verloopschema in [, p]: p 3p f() - ma min p 38 Verwerking Teken de sinusfunctie in het interval p p p, 3. p p 3p

33 Goniometrische functies.. De cosinusfunctie De cosinusfunctie Grafiek Een punt P beweegt op de goniometrische cirkel. Als P een hoek van radialen doorlopen heeft, dan is de -coördinaat van P gelijk aan cos. We tekenen de grafiek van de functie met voorschrift f() = cos aan de hand van de goniometrische cirkel. We noemen f de cosinusfunctie. P cos rad E igenschappen p p 3p cos = cos domein: R voor elk reëel getal kan cos berekend worden bereik: [-, ] - cos periode: p zie grafiek; cos( + p) = cos voor elk reëel getal nulpunten: p + k p, met k Œ Z cos verloopschema in [, p]: Opmerking p p f() - ma min ma p = cos p = cos 3 p =... = De grafiek van de cosinusfunctie is een verschuiving van de grafiek van de sinusfunctie. (zie opdracht 3) 3

34 . Goniometrische basisfuncties..3 De tangensfunctie De tangensfunctie Grafiek Een punt P beweegt op de goniometrische cirkel. Als P een hoek van radialen doorlopen heeft, dan is de -coördinaat van Q gelijk aan tan. Hierbij is Q het snijpunt van OP met de raaklijn t aan de goniometrische cirkel in het punt (, ). We tekenen de grafiek van de functie met voorschrift f() = tan aan de hand van de goniometrische cirkel. We noemen f de tangensfunctie. Q P rad tan E igenschappen p p p 3p p p 3p tan = tan p domein: R \ + k p ; kœz tan = sin cos bereik: R - < tan < + en is dus niet gedefinieerd als cos = periode: p zie grafiek; tan( + p) = tan voor elk reëel getal nulpunten: k p, met k Œ Z tan = sin verticale asmptoten: de rechten met vergelijking = p p + k, met k Œ Z verloopschema in [, p]: p en dus zijn de nulpunten dezelfde als die van de cos sinusfunctie p 4

35 Goniometrische functies 39 Verwerking Gegeven de functie met voorschrift f() = cot = cos sin. Plot de grafiek van de functie f. Vul aan: dom f =... ber f =... periode: p =... 3 Wat zijn de nulpunten van f? 4 Heeft deze functie asmptoten? Zo ja, geef de bijbehorende vergelijkingen. Geef het verloopschema in [, p]. Studiewijzer: goniometrische basisfuncties We kennen de eigenschappen van de sinus-, cosinus- en tangensfunctie We kunnen instap e reeks e reeks 3 e reeks de sinus, cosinus en tangens van een reëel 37 getal berekenen de sinusfunctie tekenen met behulp van de goniometrische cirkel 38 de eigenschappen van de cotangensfunctie bepalen m.b.v. de grafiek 39

36 .6 Algemene sinusfuncties.6 Algemene sinusfuncties Instap 4 De daglengte l, dit is het aantal uren tussen zonsopgang en zonsondergang, varieert van dag tot dag. Voor Brussel is de daglengte bij het begin van de lente ( maart) en de herfst ( september) uur. Op deze breedtegraad varieert de daglengte gedurende een jaar tussen 8 uur en 6 uur. In de onderstaande grafiek kun je de daglengte l (in uren) in functie van de tijd t (in dagen) aflezen gedurende één jaar. Het tijdstip t = correspondeert met januari. 6 l (uur) 8 4 Pr oe f t (dagen) De functie l(t) is een periodieke functie. Wat is de periode? De grafiek beweegt zich om een evenwichtslijn, die hier de gemiddelde daglengte voorstelt. Geef een vergelijking van deze rechte. 3 Geef de maimale uitwijking t.o.v. deze evenwichtslijn. Wat is hiervan de concrete betekenis? 6

37 Goniometrische functies.6. Grafiek van = a sin Instap 4 Plot de grafiek van de functies met voorschrift f() = sin, g() = 3 sin en h() = sin voor -3p 3p. Vermeld de periode en de maimale uitwijking t.o.v. de -as van de drie functies in de tabel. periode maimale uitwijking t.o.v. de -as f g h Grafiek van = a sin Voorbeeld = sin 3p p p p p 3p = sin De grafieken van = sin en = sin schommelen smmetrisch om de -as (de rechte = ), die we de evenwichtslijn noemen. De grafiek van = sin ontstaat uit de grafiek van = sin door een verticale uitrekking met factor. Hierdoor wordt ook de maimale uitwijking t.o.v. de evenwichtslijn met vermenigvuldigd. Deze maimale uitwijking noemen we de amplitude. De amplitude van = sin is, de amplitude van = sin is. Algemeen De grafiek van = a sin, met a >, ontstaat uit de grafiek van = sin door een verticale uitrekking met factor a. De amplitude wordt daardoor vermenigvuldigd met a en is dus a = a. 7

38 .6 Algemene sinusfuncties Verwerking 4 Het voorschrift van de onderstaande functies is van de vorm = a sin. Bepaal a. 4 p p p p Grafiek van = sin(b) Instap p p 4 p p Plot de grafiek van de functies met voorschrift f() = sin, g() = sin(3) en h() = sin voor -3p 3p. Vergelijk de periode en de amplitude van de drie functies. f g periode amplitude h 8

39 Goniometrische functies Grafiek van = sin(b) Voorbeeld = sin = sin 3 3p p p p p 3p De grafiek van = sin 3 ontstaat uit de grafiek van = sin door een horizontale uitrekking met factor 3. Hierdoor wordt ook de periode met 3 vermenigvuldigd. De periode van = sin is p, de periode van = sin 3 is 6p. Voorbeeld 3p p p p p 3p = sin = sin() De grafiek van = sin() ontstaat uit die van = sin door een horizontale uitrekking met factor. Hierdoor wordt ook de periode met vermenigvuldigd. De periode van = sin is p, de periode van = sin() is p = p. Algemeen De grafiek van = sin(b), met b >, ontstaat uit de grafiek van = sin door een horizontale uitrekking met factor b. De periode p wordt daardoor gedeeld door b, dus p = p b 9

40 .6 Algemene sinusfuncties Verwerking 44 Bepaal de amplitude en de periode van de gegeven functies, zonder je rekentoestel te gebruiken. f() = 3 sin(4) f() = sin 8 4 Het voorschrift van de onderstaande functies is van de vorm = a sin(b). Bepaal a en b. p p

41 Goniometrische functies.6.3 Grafiek van = sin( c) Instap 46 Gegeven de functies met voorschrift f() = sin en g() = sin( + ). Vul de tabel aan f() = sin,84,9,4,76,96,8 g() = sin( + ) Wat merk je op als je de functiewaarden in de tabel vergelijkt? 3 Hoe ontstaat de grafiek van g uit die van f? 47 Gegeven de functies met voorschrift f() = sin en h() = sin( - ). Hoe ontstaat de grafiek van h uit die van f? Controleer met je grafisch rekentoestel

42 .6 Algemene sinusfuncties Grafiek van = sin( - c) Voorbeeld = sin = sin( - ) De grafiek van = sin( - ) ontstaat uit de grafiek van = sin door een horizontale verschuiving over een afstand naar rechts. Vertrekken we van de evenwichtslijn, dan is het punt (,) een startpunt van een periode van = sin. Door de horizontale verschuiving wordt ook dit punt verschoven zodat een startpunt van een periode van = sin( - ) het punt (,) is. Voorbeeld = sin + p 3p p p p p 3p De grafiek van = sin + verschuiving over een afstand p naar links. Een startpunt van een periode van = sin + Algemeen = sin p ontstaat uit die van = sin door een horizontale p is het punt p,. De grafiek van = sin( - c) ontstaat uit de grafiek van = sin door een horizontale verschuiving over een afstand c. Als c >, wordt de grafiek naar rechts verschoven. Als c <, wordt de grafiek naar links verschoven. Een startpunt van een periode van = sin is het punt (, ). Door de horizontale verschuiving zal dit punt verschuiven naar (c, ). Het getal c noemen we de faseverschuiving. 3

43 Goniometrische functies Verwerking 48 Het voorschrift van de onderstaande functies is van de vorm = a sin( - c). Bepaal a en c en geef het voorschrift p p p p p 3p 49 De grafiek van een functie met voorschrift = sin( - c) is gegeven. 3p p p p p 3p Bepaal c en geef het bijbehorende voorschrift. 33

44 .6 Algemene sinusfuncties Welke waarden van c zijn nog mogelijk? Verklaar..6.4 Grafiek van = sin + d Instap Gegeven de functies f() = sin, g() = sin + en h() = sin -. Hoe ontstaan de grafieken van g en h uit die van f? Controleer met je grafisch rekentoestel Grafiek van = sin + d Voorbeeld =, = sin +, = sin 3p p p p p 3p De grafiek van = sin +, ontstaat uit de grafiek van = sin door een verticale verschuiving over een afstand, naar boven. Door de verticale verschuiving wordt ook de evenwichtslijn en het startpunt verschoven. De evenwichtslijn van = sin is de rechte =, de evenwichtslijn van = sin +, is de rechte =,. Een startpunt van een periode van = sin is het punt (,), een startpunt van een periode van = sin +, is het punt (;,). 34

45 Goniometrische functies Voorbeeld = sin 3p p p p p 3p = sin - = - De grafiek van = sin - ontstaat uit die van = sin door een verticale verschuiving over een afstand naar beneden. De evenwichtslijn van = sin - is de rechte = -. Een startpunt van een periode van = sin - is het punt (, -). Algemeen De grafiek van = sin + d ontstaat uit de grafiek van = sin door een verticale verschuiving over een afstand d. Als d >, wordt de grafiek naar boven verschoven. Als d <, wordt de grafiek naar onder verschoven. De evenwichtslijn is de rechte met vergelijking = d. Een startpunt van een periode is het punt (, d). Verwerking Het voorschrift van de onderstaande functies is van de vorm = sin( - c) + d. Bepaal c en d. 4 p p p p

46 .6 Algemene sinusfuncties.6. Grafiek van = a sin(b( - c)) + d Instap We onderzoeken, zonder rekentoestel, welke transformaties de grafiek van = sin omvormen tot die van = sin ( 6) en wat telkens het effect is op de grafiek. Vermeld naast de pijlen in de tabel om welke transformatie het gaat: horizontale/ verticale uitrekking met factor... of horizontale/verticale verschuiving over een afstand... naar... Vermeld naast elk voorschrift wat de bijbehorende amplitude, de periode, een vergelijking van de evenwichtslijn en een mogelijk startpunt is. voorschrift amplitude periode evenwichtslijn startpunt = sin Ø... = sin Ø... = sin Ø... = sin ( 6) Ø... = sin ( 6) Geef in je rekentoestel het voorschrift = sin ( 6) in en controleer de laatste tabel. rij uit de 36

47 Goniometrische functies Grafiek van = a sin(b( - c)) + d De functie met voorschrift = a sin(b( - c)) + d, met a > en b >, noemen we een algemene sinusfunctie. Om de grafiek van de functie = a sin(b( - c)) + d af te leiden uit de grafiek van = sin, voeren we de volgende transformaties uit. = sin = sin verticale uitrekking met factor a = asin horizontale uitrekking met factor b = asin(b) = asin(b) = asin = sin = asin verschuiving over een afstand c naar rechts (c > ) of naar links (c < ) = asin(b) = asin(b( - c)) = asin(b( - c)) verschuiving over een afstand d naar boven (d > ) of naar onder (d < ) = asin(b( - c))+ d = asin(b( - c)) + d = asin(b( - c)) 37

48 .6 Algemene sinusfuncties De grafiek van = a sin(b( - c)) + d, met a > en b >, heeft als amplitude a, periode p b, evenwichtslijn = d, mogelijk startpunt (c, d). a = asin(b( - c)) + d = d (c, d) Verwerking p = p b 3 Geef het voorschrift van de functie g waarvan de grafiek ontstaat uit die van f() = sin door een verticale uitrekking met factor en een horizontale uitrekking met factor p. Geef het voorschrift van de functie g waarvan de grafiek ontstaat uit die van a f() = sin door een verticale uitrekking met factor, een verticale verschuiving over een afstand 6 naar onder en een horizontale verschuiving over een afstand 7 naar links, in die volgorde. 38

49 Goniometrische functies 3 Geef het voorschrift van de functie g waarvan de grafiek ontstaat uit die van f() = sin door een verticale uitrekking met factor, een horizontale uitrekking met factor p, een verticale verschuiving over een afstand 4 naar boven en een horizontale verschuiving over een afstand 3 naar rechts, in die volgorde. 4 Geef de periode, de amplitude, de faseverschuiving en een vergelijking van de evenwichtslijn. = 4 sin(p ) = 3 sin + p 7 - p 3 = sin ( 9 )

50 .6 Algemene sinusfuncties Tijdens een gehoortest krijgt een proefpersoon een aantal tonen te horen die variëren in frequentie en sterkte. Op een monitor worden de tonen zichtbaar gemaakt. De proefpersoon krijgt vier tonen te horen met vergelijking: = sin (4p t) = sin (8p t) 3 = sin (p t) 4 = sin (p t) Welke toon hoort bij welke grafiek? f f f 3 f 4 t

51 Goniometrische functies 6 De volgende grafieken stellen algemene sinusfuncties voor. Bepaal een mogelijk voorschrift. p p p p p p 4

52 .6 Algemene sinusfuncties (, 6) (, ) 7 Door de werking van eb en vloed varieert de diepte d van een vaargeul met de tijd. De grafiek geeft deze diepte d benaderend weer voor een bepaalde havenstad, waarbij t de tijd voorstelt uitgedrukt in uren. De gemiddelde diepte is 8 m, bij vloed is de diepte, m en bij eb, m. De tijdsspanne tussen twee opeenvolgende tijdstippen van eb is, u. Op tijdstip t = is de diepte 8 m. Bepaal een mogelijk voorschrift voor d(t). 4

53 Goniometrische functies d t , Studiewijzer: algemene sinusfuncties We kennen de betekenis van de parameters a, b, c en d voor de grafiek van = a sin(b( - c)) + d We kunnen instap e reeks e reeks 3 e reeks de amplitude, de periode, de faseverschuiving en een vergelijking van de evenwichtslijn van een algemene sinusfunctie bepalen het voorschrift van een algemene sinusfunctie bepalen vraagstukken over algemene sinusfuncties oplossen * *

54 .7 Goniometrische vergelijkingen.7 Goniometrische vergelijkingen.7. Goniometrische basisvergelijkingen Instap 8 Bekijk de grafiek van = sin in één periode, namelijk in het interval [, p]. Teken in hetzelfde assenstelsel de grafiek van de functie =,. p De oplossingen van de vergelijking sin =, zijn de -coördinaten van de snijpunten van de twee getekende grafieken. Duid deze snijpunten aan en lees de bijbehorende -coördinaten af. 3 De bovenstaande grafieken zijn ook gedefinieerd buiten het interval [, p] en zullen dus nog meer snijpunten hebben. Geef alle oplossingen van de vergelijking sin =,. Goniometrische basisvergelijkingen p 3p p Voorbeeld Los op: sin =,6,498,6,6,644 p -,644,498 p p p - = = = sin 44

55 Goniometrische functies Met het rekentoestel vinden we een getal waarvoor sin =,6: =,644. Op de goniometrische cirkel zien we dat ook p - =,498 voldoet. Omdat hoeken met eenzelfde beeldpunt dezelfde goniometrische getallen hebben, kunnen we bij alle gevonden oplossingen nog k p optellen (met k Œ Z). Redeneren we op een grafiek, dan zoeken we de -coördinaten van de snijpunten van = sin en =,6. Omwille van het periodieke karakter van de sinusfunctie kunnen we bij alle oplossingen in [,p] een veelvoud van de periode, hier p, optellen. Besluit: sin =,6 =,644 + k p of = p -,644 + k p =,644 + k p of =,498 + k p (k Œ Z) Algemeen Vergelijkingen van de vorm sin = a, cos = a en tan = a noemen we goniometrische basisvergelijkingen. Om de vergelijking sin = a op te lossen, bepalen we eerst een oplossing. Er geldt dan p sin = a = + k p of = p - + k p (k Œ Z) a Om de vergelijking cos = a op te lossen, bepalen we eerst een oplossing. Er geldt dan cos = a = + k p of = - + k p (k Œ Z) a Om de vergelijking tan = a op te lossen, bepalen we eerst een oplossing. Er geldt dan tan = a = + k p (k Œ Z) + p a 4

56 .7 Goniometrische vergelijkingen Verwerking 9 Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de grafiek. Rond de resultaten af op drie cijfers na de komma. Vermeld alle oplossingen. sin = - 3 cos = 7 3 tan = - 6 Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de goniometrische cirkel. Rond de resultaten af op drie cijfers na de komma. Vermeld alle oplossingen. sin = 8 46

57 Goniometrische functies cos = tan =

58 .7 Goniometrische vergelijkingen.7. Vergelijkingen van de vorm a sin(b( - c)) + d = Voorbeeld Los op: sin() - 3 = We herschrijven deze vergelijking als volgt: sin() = 3 en lossen dit grafisch op. We bepalen eerst de periode van = sin(): p = p = p en plotten de grafiek van = sin() en = 3 in een interval waarvan de lengte gelijk is = 3 aan de periode, zoals bv. [,p]. De -coördinaten van de snijpunten van de twee grafieken in dit interval zijn,3 en,49.,3,49 = sin() We vinden alle oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking door bij de gevonden oplossingen gehele veelvouden van de periode op te tellen. Er geldt dan 3 = p p,3,49 p p = sin() sin() - 3 = =,3 + k p of =,49 + k p (k Œ Z) Voorbeeld p Los op: sin = 3 4 We herschrijven deze vergelijking eerst als volgt: p sin = 3 4 p sin = p 3p De periode van = sin = sin is p = p = 6p. 3 p We plotten de grafiek van = sin en = in [,6p] p 48

59 Goniometrische functies Voor de snijpunten in dit interval geldt: = 3,4 of =,3. = 4 3,4 p,3 4p 6p p = sin 3 4 Er geldt dan Verwerking p sin = 3 4 = 3,4 + k 6p of =,3 + k 6p (k ΠZ) Algemeen Vergelijkingen van de vorm a sin(b( - c)) + d = lossen we grafisch op nadat we eerst de periode van de bijbehorende algemene sinusfunctie hebben bepaald. 6 Los de volgende goniometrische vergelijkingen op. sin (3) = - 49

60 .7 Goniometrische vergelijkingen sin 4 p 3 + = sin ( ) + = 3

61 Goniometrische functies 6 De gemiddelde dagtemperatuur T (in C) in een bepaalde regio wordt gegeven door de formule p T(t) = sin (t ) + 36 waarbij t de tijd in dagen voorstelt, gemeten vanaf januari. Op welke tijdstippen t is het gemiddeld C? Het groeiseizoen in deze regio bestaat uit dagen waarop de gemiddelde temperatuur minstens C is. Bepaal hoeveel dagen het groeiseizoen gemiddeld duurt. Studiewijzer: goniometrische vergelijkingen We kunnen instap e reeks e reeks 3 e reeks goniometrische vergelijkingen grafisch of m.b.v. de goniometrische cirkel oplossen vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot het oplossen van een goniometrische vergelijking *

62 .8 Som- en verschilformules U.8 Som- en verschilformules.8. Som- en verschilformules Instap 63 Controleer of de uitspraken waar zijn. p p sin + = sin p + sin p cos(6-4) = cos 6 - cos 4 Som- en verschilformules sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b Verwerking Voor een bewijs van deze formules: zie opdrachten 4 en. 64 Aan welke van de rechtse uitdrukkingen zijn de linkse gelijk? sin a cos 3a + cos a sin 3a A cos 8a cos a cos 3a + sin a sin 3a B cos a 3 sin a cos 3a - cos a sin 3a C sin 8a 4 cos a cos 3a - sin a sin 3a D sin a

63 Goniometrische functies 6 Kies telkens het juiste antwoord. sin(a + b) + sin(a - b) = A cos a sin b B sin a cos b C sin a sin b D - sin a sin b cos(a + b) - cos(a - b) = A sin a sin b B C D cos a sin b - cos a sin b - sin a sin b Formules voor de dubbele hoek Instap 66 Vul aan. Gebruik de somformules. sin a = sin (a + a) =... =... cos a = cos (a + a) =... =... 3

64 .8 Som- en verschilformules 67 Toon aan. Gebruik hiervoor de formule uit opdracht 66/ en de hoofdformule. cos a = - sin a cos a = cos a - Formules voor de dubbele hoek sin a = sin a cos a cos a = cos a - sin a = - sin a = cos a - Verwerking 68 Welke van de volgende uitdrukkingen zijn gelijk aan elkaar? Los op zonder rekentoestel. A cos 4 - E sin 4 B sin cos F cos 4 C cos - sin G sin 8 D - sin 4 H cos

65 Goniometrische functies.8.3 Formules van Simpson Formules van Simpson sin + sin = sin + cos sin - sin = cos + sin cos + cos = cos + cos cos - cos = - sin + sin Voor een bewijs van deze formules: zie opdracht 6. Verwerking 69 Gebruik de formules van Simpson om de volgende uitdrukkingen als een product te schrijven. sin 3a + sin a sin a - sin 3a 3 cos a + cos a 4 cos 3a - cos a

66 .8 Som- en verschilformules 7 Vereenvoudig de volgende breuken. cos a cos b sin a sin b cos a + cos a sin a sin a Studiewijzer: som- en verschilformules We kunnen instap e reeks e reeks 3 e reeks de som- en verschilformules, de formules voor de dubbele hoek en de formules van Simpson toepassen gebruik makend van een formularium de som- en verschilformules, de formules voor de dubbele hoek en de formules van Simpson bewijzen

67 Goniometrische functies Samenvatting Periodieke functies Een functie f is periodiek als er een strikt positief getal p bestaat zodat f( + p) = f() voor alle -waarden uit het domein. Het kleinste strikt positieve getal waarvoor dit geldt, noemen we de periode p van de functie. = f() p + p + p Goniometrische getallen van willekeurige hoeken p p p Definities Is P het beeldpunt van de hoek a op de goniometrische cirkel, dan geldt: cos a = -coördinaat van P sin a = -coördinaat van P tan a = sin a (met cos a π ) cos a met co(t) = (,tan a) cot a = cos a (met sin a π ) sin a E igenschappen cos a + sin a = - cos a en - sin a - < tan a < + sin(a + k 36 ) = sin a cos(a + k 36 ) = cos a (k Œ Z) tan(a + k 36 ) = tan a cos a P a sin a T tan a samenvatting 7

68 Samenvatting Radialen Definitie radiaal is de grootte van een middelpuntshoek die staat op een cirkelboog waarvan de lengte gelijk is aan de straal van de cirkel. r rad r r Verband tussen zestigdelige graden en radialen 8 = p rad p samenvatting Afspraak: sin ( rad) = sin cos ( rad) = cos tan ( rad) = tan P p rad 8

69 Goniometrische functies Verwante hoeken in radialen supplementaire hoeken sin(p - a) = sin a cos(p - a) = -cos a tan(p - a) = -tan a Q sin(p a) sin a cos(p a) p a a P cos a tan a tan(p a) tegengestelde hoeken sin(- a) = -sin a cos(- a) = cos a tan(- a) = -tan a antisupplementaire hoeken sin(p + a) = -sin a cos(p + a) = -cos a tan(p + a) = tan a complementaire hoeken p sin a = cos a p cos a = sin a p tan a = cot a P cos a cos( a) Q cos(p + a) Q Q sin a a a sin( a) tan( a) tan a tan a tan(p + a) P sin a p + a p cos a sin a a cos a sin(p + a) p sin a p - a cos a a P samenvatting 9

70 Samenvatting Goniometrische basisfuncties De sinus- en cosinusfunctie = sin p p p = cos samenvatting Eigenschappen sinusfunctie domein: R bereik: [-, ] periode: p nulpunten: k p, met k Œ Z verloopschema in [, p]: p 3p p sin - ma min De tangensfunctie Eigenschappen p p domein: R \ + k p ; kœz bereik: R periode: p Eigenschappen cosinusfunctie domein: R bereik: [-, ] periode: p nulpunten: p + k p, met k Œ Z verloopschema in [, p]: = tan p p cos - ma min ma p p 3p p p 3p nulpunten: k p, met k Œ Z verticale asmptoten: de rechten met vergelijking = p p + k, met k Œ Z verloopschema in [, p]: p tan p 6

71 Goniometrische functies Algemene sinusfuncties De grafiek van = a sin(b( - c)) + d, met a > en b >, heeft als amplitude a, periode p b, evenwichtslijn = d, mogelijk startpunt (c, d). a = asin(b( - c)) + d = d (c, d) p = p b a samenvatting 6

72 Samenvatting Goniometrische vergelijkingen Goniometrische basisvergelijkingen Om de vergelijking sin = a op te lossen, bepalen we eerst een oplossing. Er geldt dan sin = a = + k p of = p - + k p (k ΠZ) p a samenvatting Om de vergelijking cos = a op te lossen, bepalen we eerst een oplossing. Er geldt dan cos = a = + k p of = - + k p (k ΠZ) Om de vergelijking tan = a op te lossen, bepalen we eerst een oplossing. Er geldt dan tan = a = + k p (k ΠZ) Vergelijkingen van de vorm a sin(b( - c)) + d = a Vergelijkingen van de vorm a sin(b( - c)) + d = lossen we grafisch op nadat we eerst de periode van de bijbehorende algemene sinusfunctie hebben bepaald. + p a 6

73 Goniometrische functies Opdrachten. Periodieke functies EERSTE REEKS 7 Bepaal de periode p van de volgende periodieke functies. 6 4 p p p 3p 4p p TWEEDE REEKS 7 De onderstaande grafiek toont de luchtstroomsnelheid l (in liter per seconde) in functie van de tijd t (in seconden) bij de ademhaling van een volwassene in rust. Bij het inademen wordt de luchtstroomsnelheid positief gerekend en bij het uitademen negatief. l (l/s) opdrachten,, t (s) 63

74 Opdrachten Bepaal de periode van de luchtstroomsnelheid. Hoeveel keer ademt deze volwassene in en uit per minuut? 3 De frequentie is het aantal perioden per tijdseenheid. Als de periode p is, dan is de frequentie gelijk aan p. De frequentie heeft als eenheid Hertz ( Hz = s ). Bepaal de frequentie van de luchtstroomsnelheid. 64opdrachten. Goniometrische getallen van willekeurige hoeken EERSTE REEKS 73 Teken het beeldpunt van de hoek op de goniometrische cirkel en lees het gevraagde goniometrisch getal bij benadering af. sin met beeldpunt A 4 tan 4 met beeldpunt C cos met beeldpunt B sin (-7 ) met beeldpunt D 3 sin met beeldpunt B 6 cos (-7 ) met beeldpunt D

75 Goniometrische functies 74 Verbind de hoeken die hetzelfde beeldpunt hebben In welk kwadrant is cos a > en sin a <? cos a < en sin a <? 3 cos a < en tan a >? 4 sin a > en tan a <? TWEEDE REEKS Bewijs met behulp van de hoofdformule dat + tan 76 a =. cos a Bewijs met behulp van de hoofdformule dat + cot a =. sin a 3 Bepaal cos a en sin a als tan a =,6 en a in het eerste kwadrant ligt. Gebruik de formules uit de vorige deelopdracht. 77 Bewijs de volgende gelijkheden. (sin a + cos a) + (sin a - cos a) = tan a + = tan a a a cos sin opdrachten 6

76 Opdrachten.3 Verwante hoeken EERSTE REEKS 78 Zijn de volgende hoeken supplementair, tegengesteld, antisupplementair of complementair? 3 en 9 en en en - 66opdrachten 79 Vul een minteken in waar nodig. sin(9 - a) =... cos(8 - a) 4 cos(9 - a) =... sin(8 + a) sin(9 - a) =... cos(8 + a) cot(9 - a) =... tan a 3 cos(9 - a) =... sin(8 - a) 6 tan(9 - a) =... cot(8 + a) 8 Vereenvoudig. cos (-a) + sin (-a) 8 sin(-a) + cos(-a) + sin(8 - a) + sin(9 - a) 3 sin( 9 a) sin( 8 + a) cos( 9 a) cos(8 a) Er geldt: sin 3 =. Beantwoord zonder rekentoestel. Geef een andere hoek waarvan de sinus ook is. Geef een hoek waarvan de cosinus is. 3 Geef een hoek waarvan de sinus - is. 4 Geef een hoek waarvan de cosinus - is.

77 Goniometrische functies 8 Teken de beeldpunten van de hoeken a en los de vergelijking op. sin a = -,7 sin a = -,4 83 Teken de beeldpunten van de hoeken a en los de vergelijking op. cos a =,7 cos a = -,3 84 Teken de beeldpunten van de hoeken a en los de vergelijking op. tan a = - tan a =, opdrachten 67

78 Opdrachten TWEEDE REEKS 8 Kies telkens het juiste antwoord. 3 en 4 kunnen allebei oplossingen zijn van een vergelijking van de vorm A cos a = a B sin a = a C tan a = a 3 en 3 kunnen allebei oplossingen zijn van een vergelijking van de vorm A cos a = a B sin a = a C tan a = a 3 3 en - kunnen allebei oplossingen zijn van een vergelijking van de vorm A cos a = a B sin a = a C tan a = a 68opdrachten 4 3 en kunnen allebei oplossingen zijn van een vergelijking van de vorm A cos a = a B sin a = a C tan a = a DERDE REEKS 86 Welke van de volgende uitspraken gelden voor elke a? sin a = sin(7 + a) 6 cos a = cos(36 - a) sin a = sin(4 - a) 7 sin a = cos(-7 - a) 3 cos a = cos(4 - a) 8 sin a = cos(4 - a) 4 tan a = tan(4 - a) 9 tan a = tan(7 - a) tan a = tan(4 + a) cos a = cos(7 - a).4 Radialen EERSTE REEKS 87 Teken op de goniometrische cirkel de beeldpunten van de volgende hoeken (k ΠZ). p 4 + k p 4 - p 6 + k p - p 3 + k p p 3 + k p 3 3 k p 6 k p 3 88 Zet om in radialen met behulp van een rekentoestel. Rond af op 3 cijfers na de komma

79 Goniometrische functies 89 Zet om in zestigdelige graden met behulp van een rekentoestel. 4 rad - rad 3,3 rad 9 Bereken zonder rekentoestel. sin (a - p) + sin (a + p) als sin a =, cos (a + p) - cos (a + 4p) als cos a =, 3 tan (a + p) + tan (a + p) + tan (a + 3p) als tan a =, 9 Vereenvoudig. cos (p - a) + cos (-a) p sin a - cos (-a) + sin (p + a) - sin (p - a) 3 p cos cos( a) sin( a) TWEEDE REEKS a cos( p a) 9 Vul de tabel aan. Gebruik de goniometrische cirkel en de eigenschappen van verwante hoeken. opdrachten a in rad - p 3 sin a - p 6 p 6 p 3 3 p p p 3 6 p 7p 4p 3p 6 3 cos a 3 tan a 69

80 Opdrachten 93 De punten A en B liggen op de cirkel c(m,). als de middelpuntshoek AMB ^ gelijk is aan Bepaal de lengte van de boog AB p rad, rad Als sin a =,4, bepaal dan sin(-a) 3 sin(p - a) sin(a + p) 4 sin(a + 3p) Een vliegtuig vliegt van Berlijn naar Kaapstad in vogelvlucht. Beide steden liggen op dezelfde meridiaan. Berlijn 3 3 Pr oe f De noorderbreedte van Berlijn is 3 3, de zuiderbreedte van Kaapstad is 33. Je mag ervan uitgaan dat de aarde een perfecte bol is met straal 6378 km. 33 Het vliegtuig vliegt op een hoogte van km. Kaapstad Hoeveel kilometer bedraagt de vlucht? opdrachten 7 96 Een spoorweg maakt een bocht. Deze bocht heeft de vorm van een cirkelboog met een middelpuntshoek a = 3'. De straal van die cirkelboog is 7 m voor de binnenste rail. Beide rails liggen op een onderlinge afstand van,43 m. Bereken het verschil in lengte tussen beide rails in de bocht tot op cm nauwkeurig. a 7 m,43 m

81 Goniometrische functies DERDE REEKS 97 Bereken de oppervlakte van de cirkelsector met een middelpuntshoek van a rad en een straal als a = p rad a = rad 3 a =,3 rad 98 Het terrein voor een popconcert heeft de vorm van een cirkelsector met een middelpuntshoek van, rad en een straal van 3 m. a M, rad 3 m podium Bereken de omtrek van het terrein. Hoeveel concertgangers kunnen op het terrein als men voor de veiligheid m per persoon voorziet?. Goniometrische basisfuncties.6 Algemene sinusfuncties EERSTE REEKS 99 Kies telkens het juiste antwoord. De periode van f() = sin 3 + A is twee keer de periode van g() = sin + B is drie keer de periode van g() = sin + C is de helft van de periode van g() = sin + D is een derde van de periode van g() = sin + opdrachten De amplitude van de grafiek van f() = sin 3 + A is twee keer de amplitude van de grafiek van g() = sin + B is drie keer de amplitude van de grafiek van g() = sin + C is de helft van de amplitude van de grafiek van g() = sin + D is een derde van de amplitude van de grafiek van g() = sin + 7