Goniometrische functies

Transcriptie

1 Goniometrische functies gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het oorspronkelijk om het meten van hoeken (in het platte vlak) ging. Tegenwoordig gaat het bij goniometrie om functies van R naar R. aar bij het werken met die functies moet regelmatig worden teruggegrepen op hun meetkundige afkomst. In dit document behandelen we het onderwerp goniometrie. Het betreft hier de begrippen sinus, cosinus en tangens, meestal afgekort tot sin, cos en tan. De volgorde van bespreken is als volgt. Eerst behandelen we de basisbegrippen hoek (in het platte vlak) en hoekgrootte in graden en radialen. Daarna komt de sinus, cosinus en tangens van een hoek tussen 0 en π radialen aan de orde. We beschikken dan over voldoende gereedschap om ons doel te kunnen bereiken: de functies sin, cos en tan van R naar R. Hoek en hoekgrootte Gestrekte hoek Rechte hoek De basis van de goniometrie is de hoek in het platte vlak. Om het begrip hoekgrootte in graden te definiëren, bekijken we eerst een bijzondere hoek: de gestrekte hoek, waarbij de twee halve rechte lijnen in elkaars verlengde liggen. De grootte hiervan is per definitie vastgesteld op 80 graden. Door deze hoek in even grote delen op te delen, ontstaan andere hoeken. Zo geeft opdelen in twee even grote delen twee rechte hoeken, elk van 90 graden. Het opdelen kan bijvoorbeeld gedaan worden met behulp van een gradenboog. Zie figuur FIGUUR De gestrekte hoek met een grootte van 80 graden, twee rechte hoeken elk met een grootte van 90 graden en de gradenboog Hoekgrootte in graden Op de gradenboog kan de gestrekte hoek opgedeeld worden in 80 hoekjes van graad. De grootte van een hoek in graden wordt nu bepaald door het aantal malen dat er een hoek van graad inpast. In het vervolg zullen we niet de graad, maar de radiaal als eenheid voor de hoekgrootte gebruiken. We gebruiken die in de definities van sin, cos en tan als functies van R naar R.

2 Eenheidscirkel Radiaal Omtrek van een cirkel Om tot de radiaal als maat voor de hoekgrootte te komen, gaan we als volgt te werk. Er wordt een cirkel met straal getekend, de eenheidscirkel, waarbij het middelpunt met het hoekpunt samenvalt. De lengte van de door de hoek uitgesneden cirkelboog is een maat voor de grootte van de hoek. Preciezer gezegd: het reële getal dat de lengte van die eenheidscirkelboog tussen de benen van de hoek aangeeft, is de grootte van de hoek. De eenheid is de radiaal, afgekort tot rad, maar wordt vaak weggelaten. Om de grootte van een hoek in radialen te vinden, gebruiken we dat de omtrek van een cirkel met straal r gelijk is aan πr en van de eenheidscirkel dus π 6,8 (het symbool staat voor ongeveer gelijk aan ). Zo heeft een gestrekte hoek een grootte van π 3,4 rad en een rechte hoek een grootte van π,57 rad. Om een indruk te krijgen van een hoek met een grootte van rad, kunnen we het volgende doen. We nemen een cirkel en een touwtje met een lengte gelijk aan de straal van die cirkel. We krijgen dan een hoek van rad als we dit touwtje langs de cirkelomtrek tussen de benen van de hoek leggen. Trekken we vervolgens het touwtje strak, terwijl we de uiteinden ervan op de cirkelomtrek houden, dan ontstaat een gelijkzijdige driehoek (zie figuur ). We zien dus dat een hoek van rad net iets kleiner dan een hoek van 60 graden is. In feite is een hoek van rad ongeveer 57,958 graden. FIGUUR Een hoek van rad en een gelijkzijdige driehoek We kunnen dus, naar analogie met de gradenboog, een radialenboog maken: een halve cirkel met straal en langs de cirkelboog een verdeling van 0 t/m π 3,4. Zie figuur 3. π/,57 π 0,5 3 3,4 0 FIGUUR 3 Een hoek van π rad, π rad en een radialenboog Omrekenen van graden en radialen Om een hoekgrootte van graden naar radialen om te rekenen, kan gebruikt worden dat een hoek van graad even groot is als een hoek van π/80 radialen 0,0745 radialen. Om een hoekgrootte van radialen naar graden om te rekenen, kan gebruikt worden dat een hoek van radiaal even groot is als een hoek van 80/π graden 57,958 graden.

3 OPGAVE Hoe groot is een hoek van 30 graden in radialen? Hoeveel graden komt overeen met 0,π rad? En met rad? In de volgende tabel staat van een aantal veelvoorkomende hoeken de grootte in graden en radialen. TABEL hoekgrootte in graden Een aantal hoeken in graden en radialen hoekgrootte in radialen π / 6 45 π / 4 60 π / 3 90 π / In de praktijk worden de begrippen hoek en hoekgroote niet steeds onderscheiden, maar slordig door elkaar gebruikt. Uit de definitie dat een gestrekte hoek 80 graden of π radialen is, volgt dat de som van de drie hoeken van elke driehoek ook 80 graden of π radialen is, zie figuur 4. C A B FIGUUR 4 De som van de drie hoeken van een driehoek is 80 graden of π radialen: A = C, B = C, A + B + C = C + C + C = π. Sinus In deze paragraaf laten we eerste zien hoe de sinus van een hoek tussen 0en π wordt gedefinieerd. (U hebt misschien geleerd dat de sinus van een hoek gelijk is aan de overstaande zijde gedeeld door de schuine zijde; die definitie is alleen bruikbaar voor hoeken tussen 0 en π/.) De gang van zaken is als volgt. We kiezen een coördinatenstelsel waarvan de oorsprong samenvalt met het hoekpunt en het eerste been van de hoek met de positieve -as. We tekenen een cirkel met straal, waarvan het middelpunt samenvalt met het hoekpunt van de gegeven hoek. De sinus van de hoek is nu de y-coördinaat van het snijpunt van het andere been met de cirkel. Zie figuur 5 (met (A, B) bedoelen we de hoek tussen de lijnstukken A en B). 3

4 y B( B, y B ) A C( C, y C ) FIGUUR 5 De definitie van de sinus van een hoek tussen 0 en π radialen: sin (A, B) = y B, sin (A, C) = y C et behulp van deze definitie en wat eenvoudige meetkunde is nu voor een aantal eenvoudige hoeken de sinus te bepalen: TABEL Enige veelvoorkomende hoeken en hun sinus graden radialen sinuswaarde π / 6 / 45 π / 4 / 60 π / 3 3 / 90 π / Een gevolg van de gegeven definitie is dat de sinus van een hoek tussen 0 en π positief is, en van een hoek tussen π en π negatief. OPGAVE Bepaal met behulp van de definitie en de gegeven sinuswaarden de sinus van π/3, 3π/ en 7π/4. 3 Cosinus en tangens Sinus van een hoek In de vorige paragraaf is de definitie van de sinus gegeven met behulp van een cirkel met straal. Diezelfde methode passen we nu toe om ook de cosinus en tangens te definiëren. We brengen weer een coördinatenstelsel aan waarvan de oorsprong samenvalt met het hoekpunt en de positieve -as met het eerste been. Ook nu tekenen we weer een eenheidscirkel, waarvan het middelpunt met het hoekpunt (en de oorsprong) samenvalt. Het hoekpunt heet weer, het snijpunt van het tweede been met de cirkel heet B. Verder noemen we weer (A, B) = α. Zie figuur 6. 4

5 y B(, y) α A FIGUUR 6 De definities van sin, cos en tan van een hoek met behulp van de eenheidscirkel In de figuur zijn de coördinaten van B gelijk aan (, y). Voor de volledigheid is de definitie van de sinus weer herhaald. Sinus, cosinus en tangens van een hoek tussen 0 en π radialen sinα = y cosα = tanα = y/ = sinα/cosα met de gebruikelijke uitzonderingen als de noemer 0 wordt. De benaderde waarden van sinus, cosinus en tangens kunt u bijvoorbeeld met behulp van een rekenmachine vinden. Uit deze definities volgen een aantal verbanden die voor alle hoeken gelden. sin α + cos α = cosα = sin(π/ α) De tweede verklaart de naam co-sinus: de sinus van het complement. Het complement van een scherpe hoek is de hoek waarvan de grootte gelijk is aan de aanvulling (complement) tot een rechte hoek. Zo is de aanvulling van een hoek met een grootte van α gelijk aan π/ α. OPGAVE 3 Verklaar de genoemde twee verbanden. Denk bij de eerste aan de stelling van Pythagoras. De tweede is rechtstreeks met de definitie te doen. Vergeet daarbij niet, een tekening te maken. OPGAVE 4 Hoe groot zijn de cosinus en tangens van hoeken van 0, π/6, π/4, π/3 en π/? 5

6 sin cos tan Definities 4 De goniometrische functies sin, cos en tan Na deze voorbereidingen kunnen we de definities van sin, cos en tan als functies van R naar R geven. Voor elke toegelaten R definiëren we sin, cos en tan als volgt. Eerst reduceren we tot ' [0, π] door een geheel veelvoud van π bij op te tellen of ervan af te trekken. Vervolgens definiëren we, lettend op het domein: sin = sin' domein R cos = cos' domein R tan = tan' domein R, π + kπ, k Z In deze definitie is ' dus zo gekozen dat het verschil van en ' een geheel veelvoud van π is en ' [0, π]. Van de functies sin, cos, beide met domein [0, π], en tan met domein [0, π], π, π staan in figuur 7 de grafieken. Grafieken van sin, cos, tan sin 0 π π cos 0 π π tan 0 π π FIGUUR 7 De grafieken van sin, cos en tan beperkt tot originelen uit [0, π] In tabel 3 staat een aantal veelvoorkomende functiewaarden. 6

7 TABEL 3 Enige veelvoorkomende sinus-, cosinusen tangenswaarden sin0 = 0 cos0 = tan0 = 0 sin(π/6) = / cos(π/6) = 3/ tan(π/6) = 3/3 sin(π/4) = / cos(π/4) = / tan(π/4) = sin(π/3) = 3/ cos(π/3) = / tan(π/3) = 3 sin(π/) = cos(π/) = 0 tan(π/) = - Eigenschappen van de sinus-, cosinusen tangensfunctie Uit de hier gegeven definities volgt dat de grafieken van de functies sin, cos en tan van R naar R periodieke herhalingen zijn van de in figuur 7 gegeven grafieken. We kunnen dit op de volgende manier wat preciezer formuleren. Voor elke R en elke k Z geldt: sin = sin( + k π) cos = cos( + k π) Sinus en cosinus zijn periodiek met periode π. Tangens is periodiek met periode π. We zeggen wel: de sinus- en cosinusfuncties zijn periodiek met periode π. Voor de tangensfunctie geldt dat ze op het interval [π, π] een herhaling is van het deel op het interval [0, π]. Deze functie is dan ook periodiek met periode π: Voor elke π + n π (n Z) en elke k Z geldt: tan = tan( + kπ) eer eigenschappen et behulp van de gegeven definitie zijn allerlei verbanden tussen sin, cos en tan af te leiden. De belangrijkste zetten we hier onder elkaar. tan = sin/cos sin + cos = (sin staat voor (sin) ) sin( ) = sin sin(π ) = sin cos(π ) = cos cos( ) = cos tan( ) = tan sin = cos(π/ ) cos = sin(π/ ) tan = /tan(π/ ) sin() = sin cos cos() = cos sin = sin = cos sin( + y) = sin cosy + cos siny sin( y) = sin cosy cos siny cos( + y) = cos cosy sin siny cos( y) = cos cosy + sin siny 7

8 OPGAVE 5 Laat zien met behulp van sin + cos = : + tan = /cos. OPGAVE 6 Laat zien, uitgaande van cos = cos sin, met behulp van sin + cos = : cos = cos = sin. Het oplossen van goniometrische vergelijkingen VOORBEELD Tot slot van deze paragraaf gaan we in op het oplossen van goniometrische vergelijkingen. We bespreken eerst een voorbeeld. Los op: sin = 0,5 voor R. Uitwerking In tabel 3 staat dat sin(π/6) =. et behulp van een tekening (figuur 0) vinden we nu twee oplossingen: 7π/6 en π/6. erk op dat dit in overeenstemming is met formules sin = sin(π ) en sin = sin( + k π): π π/6 = 5π/6 en dus sin(7π/6) = sin( 5π/6) = sin( 5π/6 + π) = sin(π/6). Nu gebruiken we de periodiciteit (sin = sin( + k π)) van de sinusfunctie om alle oplossingen op te schrijven: = 7π/6 + k π of = π/6 + k π met k Z π 6 7π 6 π 6 FIGUUR 8 De oplossingen van de vergelijking sin = 0,5 «Oplossen van goniometrische vergelijkingen De in het voorbeeld beschreven procedure is algemeen geldig. Voor vergelijkingen waarin de cosinus of de tangens voorkomt, gelden vergelijkbare formules. We presenteren hier alleen de resultaten, inclusief die voor vergelijkingen met de sinus. sin = sinα De oplossingen van de vergelijking sin = sinα (α gegeven) zijn: = α + k π of = π α + k π met k Z cos = cosα De oplossingen van de vergelijking cos = cosα (α gegeven) zijn: = α + k π of = α + k π met k Z tan = tanα De oplossingen van de vergelijking tan = tanα (α gegeven) zijn: = α + k π met k Z 8

9 OPGAVE 7 Los de volgende vergelijkingen op. a cos = 0,5 b tan = c sin = d cos = 3 OPGAVE 8 Los de volgende vergelijkingen op. a sin + cos = b cos sin = OPGAVE 9 Los de volgende vergelijkingen op. a cos = sin( + 8 π) b sin = cos( 4 π) OPGAVE 0 Toon aan cos = sin cos + voor π + k π met k Z OPGAVE a Bepaal a, b en c zodat cos = a + bcosc. b Bepaal m en n zodat sin cos 3 = cos m cos n. OPGAVE Bepaal alle nulpunten van de functie f() = sin(/). OPGAVE 3 Herschrijf cos( π ) tot een uitdrukking waar alleen de sinus in voorkomt. 9

10 T E R U G K O P P E L I N G Uitwerking van de opgaven Omdat een hoek van π rad overeenkomt met een hoek van 80 graden, komt een hoek van π/6 rad overeen met een hoek van 30 graden. Een hoek van 0,π rad komt dan overeen met 8 graden (namelijk 0, 80) en een hoek van rad met 450/π graden 43,395 graden. sin(π/3) = sin(π/3) = 3 sin(3π/) = sin(π/) = sin(7π/4) = sin(π/4) = 3 In figuur 6 geldt sinα = y en cosα =. Volgens de stelling van Pythagoras geldt in de driehoek met hoekpunten, B en (, 0) dat ( ) + y =, dus + y =, zodat sin α + cos α =. Bij de keuze van een ander kwadrant voor de ligging van komt er bij toepassing van de stelling van Pythagoras op een andere plaats een minteken, maar door het kwadrateren volgt steeds dat + y =, zodat sin α + cos α =. In figuur 33 ziet u dat de hoek π/ α ontstaat uit de hoek α door spiegelen ten opzichte van de lijn y = die een hoek π /4 maakt met de -as. Dus is de -coördinaat van punt B gelijk aan de y-coördinaat van het spiegelpunt B', zodat cosα = sin(π/ α). y y = B α B' π/ α FIGUUR 9 De hoeken α en π/ α 4 Als α = 0, dan is B het punt (, 0), dus cos0 = ; cos(π/6) = sin(π/ π/6) = sin(π/3) = 3 (zie tabel 3); cos(π/4) = sin(π/ π/4) = sin(π/4) = (zie tabel 3); cos(π/3) = sin(π/ π/3) = sin(π/6) = (zie tabel 3); als α = π/, dan is B het punt (0, ), dus cos(π/) = 0. tan0 = sin0/cos0 = 0; tan(π/6) = sin(π/6)/cos(π/6) = / 3 = / 3 = 3; tan(π/4) = sin(π/4)/cos(π/4) = ; tan(π/3) = sin(π/3)/cos(π/3) = 3 3/ = 3; tan(π/) is niet gedefinieerd, want delen door 0 is niet toegestaan. 5 cos sin + cos = cos sin = + = + tan cos 6 Gegeven is dat cos = cos sin. Uit sin + cos = volgt sin = cos. We vullen dit laatste in de gegeven formule in: cos = cos ( cos ) = cos + cos = cos. Op overeenkomstige wijze vinden we, gebruikend dat cos = sin : cos = sin sin = sin. 0

11 7 a Van een hoek π/3 is de cosinus 0,5. Dus = π/3 + k π of = π/3 + k π. b Er geldt: tan(π/4) =, dus tan( π/4) =. De oplossingen zijn dus = π/4 + k π. c sin = = π/4 + kπ of = 5π/4 + kπ, dus = π/8 + kπ of = 5π/8 + kπ (let op dat ook de periode gehalveerd wordt). d cos = 3 cos = 3/ = π/3 + kπ of = π/3 + kπ, dus = π/6 + kπ of = π/6 + kπ. 8 a Omdat sin + cos =, volgt uit sin + cos = dat cos =, dus cos = of cos =, zodat = kπ of = π + kπ, wat we samen kunnen nemen tot = kπ. b Gebruik de formule voor cos: cos sin = cos =. Dus = π/4 + kπ of = π/4 + kπ. Delen door geeft = π/8 + kπ of = π/8 + kπ. 9 a et behulp van de formule cos = sin(π/ ) kunnen we de vergelijking herschrijven tot een waarbij links en rechts alleen sinussen staan: cos = sin( + 8 π) sin(π/ ) = sin( + 8 π) π/ = + 8 π + k π of π/ = π ( + π) + k π 8 = 3 6 π + k π b sin = cos( 4 π) cos(π/ ) = cos( 4 π) π/ = 4 π + k π of π/ = 4 π + k π = 4 π + k 3 π of = 4 π + k π = 4 π + k 3 π 0 Uit sin + cos = volgt cos = sin, dus (ontbindt het linkerdeel) volgt (cos )( cos + ) = sin ; deel tenslotte links en rechts door cos +, wat mag omdat π + k π, waarna de te bewijzen formule volgt: cos = sin cos + a Gebruik cos() = cos, dus cos = + cos(). Dus a =, b = en c =. b Gebruik sin + cos =, dus sin cos 3 = ( cos )cos 3 = cos 3 cos 5. sin(/) = 0 / = kπ = /kπ met k Z met k Z 3 cos( π ) = sin(π/ ( π )) = sin( π + ) = sin