K.1 De substitutiemethode [1]

Transcriptie

1 K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met u = + Stap : Bereken de afgeleide van u 5 en + : y = 5u 4 en u = + Stap : Vermenigvuldig de beide afgeleiden met elkaar: f () = y u = 5u 4 ( + ) = 5( + ) 4 ( + )

2 K. De substitutiemethode [] In Hoofdstuk 0 hebben we gezien dat integreren het omgekeerde van differentiëren is. Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 5( + ) 4 ( + ) 5( + ) 4 ( + ) d = [Let op: d =!!!] 4 5( ) d( ) [Let op: d( + ) = ( + ) Daarom deel je de functie door +] 5( + ) 4 d( + ) = 5u 4 du = [Vervang + door u] du 5 = [Let op: du 5 = 5u 4 du] d( + ) 5 Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = ( + ) 5 + C Let op: Bij het differentiëren in voorbeeld werd vermenigvuldigd met +; Bij het integreren in voorbeeld wordt gedeeld door +!!!.

3 K. De substitutiemethode [-Alternatief] Substitutiemethode integreren: (f g)d = f dg Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 5( + ) 4 ( + ) 5( + ) 4 ( + ) d = 5( + ) 4 d( + ) [Neem + = u] 5u 4 du = u 5 = ( + ) 5 Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = ( + ) 5 + C Let op: Door het handig toepassen van de substitutiemethode krijgt je een functie, die je kunt primitiveren met de regels uit Hoofdstuk 0.

4 K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 0 d d 4 ( 7) d 4 ( 7) [Let op: d =!!!] [Let op: d( 4 + 7) = 4 Daarom deel je de functie door 4 ] 0 du u du 4 u [Vervang door u] d5u ½ = d5( 4 + 7) ½ Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = C 4

5 K. De substitutiemethode [-Alternatief] Substitutiemethode integreren: (f g)d = f dg Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = d d(,5 ) ,5, d( ) d( 7) 4 4 [De,5 mag je voor de d zetten.] [ 4 mag je in veranderen. De afgeleiden hiervan zijn aan elkaar gelijk.],5 du u du u [Schrijf als u] 5u ½ = 5( 4 + 7) ½ Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = C 5

6 K. De substitutiemethode [] Opgave 4D: sin( ) d sin( ) d( ) sin( ) d( ) sinudu d u d ( cos ) ( cos( )) sin( ) d sin( ) d( ) sin( ) d( ) sinudu cosu cos( ) 6

7 K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = tan() = sin( ) d cos( ) sin( ) d( cos( )) cos( ) sin( ) ( cos( )) cos( ) d sin( ) cos( ) [Let op: d =!!!] [Let op: d(-cos()) = sin() Daarom deel je de functie door sin()] (cos( )) cos( ) d u du [Vervang cos() door u] - dln u = d(-ln u ) = d(-ln cos() ) Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = -ln cos() + C 7

8 K. De substitutiemethode [-Alternatief] Substitutiemethode integreren: Voorbeeld (Alternatief): Primitiveer de functie f() = tan() = (f g)d = f dg sin( ) cos( ) sin( ) d cos( ) ( cos( )) cos( ) d d(cos( )) cos( ) du u -ln u = -ln cos() [Het minteken mag je voor de d zetten] [Schrijf cos() als u] Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = -ln cos() + C 8

9 K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = cos () = cos ()d = cos () cos()d = [Let op: d =!!!] ( sin ()) cos()d = cos( ) ( sin ( )) d(sin( )) cos( ) [Let op: d(sin()) = cos() Daarom deel je de functie door cos()] ( u )du = [Vervang cos() door u] d u u d ( ) (sin( ) sin ( )) Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = sin( ) sin ( ) C 9

10 K. De substitutiemethode [-Alternatief] Substitutiemethode integreren: (f g)d = f dg Voorbeeld (Alternatief): Primitiveer de functie f() = cos () = cos ()d = cos () cos()d = ( sin ()) cos()d = ( sin ( )) d(sin( )) ( u )du = [Schrijf cos() als u] sin( ) sin ( ) u u Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = C sin( ) sin ( ) 0

11 Opgave 9C: 0 e d( ) 6 u e du 6 u e e 6 6 e d( ) 0 e e e d d d K. De substitutiemethode [] 0 d e e e e e

12 K. Partieel integreren [] p() = f() g() heeft als afgeleide: p () = f () g() + f() g () Dit is de productregel voor het differentiëren. Anders genoteerd wordt dit: d(p()) = d(f()) g() + f() d(g()) d(f() g()) = g() d(f()) + f() d(g()) Omschrijven geeft: -g() d(f()) = -d(f() g()) + f() d(g()) g() d(f()) = d(f() g()) - f() d(g()) Voorbeeld : Primitiveer de functie h() = ln() ln()d = ln() d(½ ) d(½ ) = ln()d kun je niet primitiveren met de regels die je tot nu toe gehad hebt.

13 K. Partieel integreren [] Voorbeeld : Primitiveer de functie h() = ln() ln() d(½ ) is van de vorm: g() d(f()) = d(f() g()) - f() d(g()) met f() = ½ en g() = ln() Er geldt nu: ln() d(½ ) = d(½ ln()) ½ d(ln()) = d(½ ln()) ½ d = d(½ ln()) ½ d = d(½ ln()) - d(¼ ) = d(½ ln() - (¼ )) H() = ½ ln() - ¼ + C is de primitieve van de functie h() = ln()

14 K. Partieel integreren [-Alternatief] Voor partieel integreren geldt de volgende regel: (f g)d = f dg Voorbeeld (Alternatief): Primitiveer de functie h() = ln() ln()d = ln() d(½ ) [f = ½ en g = ln()] = ½ ln() ½ d(ln()) = ½ ln() ½ d = ½ ln() ½ d = ½ ln() - ¼ H() = ½ ln() - ¼ + C is de primitieve van de functie h() = ln() 4

15 K. Partieel integreren [] Algemeen: f () g() d = g() df() = d(f() g()) f() d(g()) Bij het primitiveren van een functie, die het product van twee functies is, noem je het ene deel f () en het andere deel g(). Met behulp van de bovenstaande formule bereken je dan de primitieve. Dit heet partieel primitiveren. Als je vastloopt, moet je de f () en g() andersom kiezen. Voorbeeld : h() = sin() f () = en g() = sin() sin() d = sin() d(½ ) f() = ½ = d(½ sin()) - ½ d sin() = d(½ sin()) - ½ cos()d Dit geeft geen oplossing. De functie -½ cos()d is niet te primitiveren. Let op dat er nu nog steeds een product is. De -term is nu niet meer e graads maar e graads. 5

16 K. Partieel integreren [] Voorbeeld : h() = sin() We kiezen nu f () en g() andersom f () = sin() en g() = sin() d = d(-cos()) f() = - cos() = d(- cos()) - -cos() d = d(- cos()) + d sin() sin() is primitieve van cos() = d(- cos() + sin()) H() = - cos() + sin() + C Voorbeeld (Alternatief): h() = sin() sin() d = d(-cos()) [ gdf = f g - f dg] = - cos()) - -cos() d [f = -cos() en g = ] = - cos() + sin() H() = - cos() + sin() + C 6

17 Opgave 6C: ln ( ) d K. Partieel integreren [] ln ( ) d ln ( ) (ln ( )) d ln ( ) ln ( ) d ln ( ) ln ( ) d ln ( ) ln ( ) d 4 ln ( ) ln ( ) d(ln ( )) 4 4 ln ( ) ln ( ) 4 ln( ) d 4 ln ( ) ln ( ) ln( ) d 4 Nog een keer partieel integreren geeft de oplossing. 7

18 K. Partieel integreren [] Voorbeeld : h() = sin() d [f () = sin() en g() = ] = d(-cos()) [g() f () = g() d(f())] = d(-cos() ) + cos() d partieel integreren = d(- cos()) + cos() d De functie sin() kon niet op de normale manier geprimitiveerd worden. Na toepassen van partiële integratie kan de functie cos() niet op de normale manier geprimitiveerd worden. In plaats van een staat er nu wel een. Wanneer we de functie cos() nu nogmaals partieel integreren, zal deze dus een los getal worden. Een functie van de vorm a sin() kan op de normale manier geprimitiveerd worden. = d(- cos()) + d sin() = d(- cos()) + d(sin() ) sin() d = d(- cos()) + d( sin()) - sin() d = d(- cos()) + d( sin()) + d cos() = d(- cos() + sin() + cos()) H() = - cos() + sin() + cos() + C 8

19 K. Partieel integreren [-Alternatief] Voorbeeld (Alternatief) sin() d [ gdf = f g - f dg] = d(-cos()) [f = -cos() en g = ] = -cos() - -cos() d partieel integreren = - cos() + cos() d De functie sin() kon niet op de normale manier geprimitiveerd worden. Na toepassen van partiële integratie kan de functie cos() niet op de normale manier geprimitiveerd worden. In plaats van een staat er nu wel een. Wanneer we de functie cos() nu nogmaals partieel integreren, zal deze dus een los getal worden. Een functie van de vorm a sin() kan op de normale manier geprimitiveerd worden. - cos() + cos() d = - cos() + d sin() = - cos() + sin() sin() d = - cos() + sin() - sin() d = - cos() + sin() + cos() De primitieve van sin() is gelijk aan: - cos() + sin() + cos() + C 9

20 K. Partieel integreren [] Voorbeeld : h() = e sin() d [f () = sin() en g() = e ] = e d(-cos()) [g() f () = g() d(f())] = d(-cos() e ) + cos() de partieel integreren = d(-e cos()) + e cos() d De functie e sin() kon niet op de normale manier geprimitiveerd worden. Na toepassen van partiële integratie kan de functie e cos() ook niet op de normale manier geprimitiveerd worden. We passen nu nogmaals partiële integratie toe. = d(-e cos()) + e d sin() = d(-e cos()) + d(sin() e ) sin() d e = d(-e cos()) + d(e sin()) e sin() d = d(-e cos() + e sin()) e sin() d e sin() d = d(-e cos() + e sin()) e sin() d e sin() d = d(-e cos() + e sin()) e sin() d = d(-½e cos() + ½e sin()) [herschrijven] H() = -½e cos() + ½e sin() + C 0

21 K. Partieel integreren [-Alternatief] Voorbeeld (Alternatief): e sin() d [ gdf = f g - f dg] = e d(-cos()) [f = -cos() en g = e ] = -cos() e + cos() de partieel integreren = -e cos() + e cos() d De functie e sin() kon niet op de normale manier geprimitiveerd worden. Na toepassen van partiële integratie kan de functie e cos() ook niet op de normale manier geprimitiveerd worden. We passen nu nogmaals partiële integratie toe. = -e cos() + e d sin() = -e cos() + sin() e sin() d e = -e cos() + e sin() e sin() d e sin() d = -e cos() + e sin() e sin() d e sin() d = -e cos() + e sin()) e sin() d = -½e cos() + ½e sin()) [herschrijven] De primitieve wordt nu: -½e cos() + ½e sin() + C

22 Opgave 4A: K. Partieel integreren [] ( ) e d ( ) de ( ) e e d( ) ( ) e ( ) e d ( ) e ( ) de ( ) e ( ) e e d( ) ( ) ( ) e e e d ( ) e ( ) e e ( ) e d [( ) e ( ) e e ] e e

23 K. Cyclometrische functies [] Herhaling: In het algemeen geldt: Uit g log() = y volgt = g y Er bestaat dus een verband tussen een machtsfunctie en een logaritmische functie. De grafieken van f() = en g() = log() spiegelen in de lijn y =. We noemen f en g nu inverse functies.

24 K. Cyclometrische functies [] In het plaatje hiernaast is de blauwe functie f() = tan() op het interval < - ½π, ½π> gespiegeld in de lijn y =. Hierdoor ontstaat de rode inverse functie g() = f inv () = arctan() = tan - () met D f = R en B f = < - ½π, ½π> De inverse functie van een goniometrische formule heet een cyclometrische functie. Let op: De inverse functie van tan() is dus niet (tan( )) tan( ) 4

25 K. Cyclometrische functies [] Er geldt: De functie f() = heeft als primitieve: F()= arctan() + C De functie g() = arctan() heeft als afgeleide: g () = Wanneer je een eacte oplossing moet geven bij een goniometrische functie kun je onderstaande tabel gebruiken: hoek sinus ½ ½ ½ cosinus ½ ½ ½ tangens Let op: Op de GR is de arctan te vinden via ND tan 5

26 K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : arctan( ) = (of 0 ) want tan( ) = arctan () = (of 45 ) want tan( ) = arctan( ) = (of 60 ) want tan( ) = Voorbeeld : Los algebraïsch op arctan() =. Rond het antwoord af op drie decimalen. arctan() = = tan(),557 [arctan() is de inverse functie van tan()] 6

27 K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Differentieer f() = arctan( + ) f() = arctan( + ) = arctan(u) met u = + f () = u ( ) 4 [Gebruik de kettingregel] Voorbeeld 4: Bereken eact d 0 d [arctan( )] 0 arctan() arctan(0)

28 K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 9 4 Stap : Schrijf de functie in de vorm f( ) u Stap : Primitiveer nu de functie. F() = arctan(u) = arctan( ) met u = Let op: Vermenigvuldig de primitieve met vanwege u = 8

29 K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = arctan() Gebruik: gdf = f g - fdg arctan()d = arctan() - d arctan() = arctan() - d = arctan() - d(½ ) Gebruik: (f g)d = f dg = arctan() - ½ d( +) Neem + = u = arctan() - ½ du u = arctan() - ½ ln u = arctan() - ½ ln( + ) 9

30 K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Bereken eact d Stap : Schrijf de functie in de vorm f( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) u met u = ½ - 0

31 K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Bereken eact d Stap : Primitiveer nu de functie. f ( ) u F() = arctan( u) arctan( ) / Let op: Vermenigvuldig de primitieve met vanwege u =

32 K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld : Bereken eact d Stap : Bereken nu het gevraagde: 0 6 d [ arctan( )] 0 48 arctan(0) arctan(-) = 0 - ¼π = ¾π

33 K. Cyclometrische functies [] De inverse van f() = sin() met het domein [-½π, ½π] is de functie g() = arcsin() g() = arcsin() heeft domein [-, ] en bereik [-½π, ½π] De functie f() = heeft als primitieve: F()= arcsin() + C De functie g() = arcsin() heeft als afgeleide: g () =

34 K. Cyclometrische functies [] De inverse van f() = cos() met het domein [0, π] is de functie g() = arccos() g() = arcsin() heeft Domein [-, ] en bereik [0, π] De functie f() = heeft als primitieve: F()= arccos() + C De functie g() = arccos() heeft als afgeleide: g () = 4

35 K. Cyclometrische functies [] Voorbeeld: Bereken eact 4 d d d d 4 4( ) 4 4 d arcsin arcsin( ) arcsin( ) 6 6 5

36 K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : De functie f() = + heeft als integraal F() = + ln + + C De functie f() is te schrijven als één breuk: ( ) 5 5 De functie f() = valt niet te integreren. Wanneer deze breuk gesplitst wordt, kan wel een integraal berekend worden. 6

37 K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 5 Stap : Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren: + / + 5 \ maal + = ( + ) = + + Let op: hierdoor valt de weg!!! De functie f() = is nu te schrijven als + Stap : Bereken de primitieven van de functie f(): F() = + ln + + C 7

38 K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Bereken eact 4 5 d Stap : Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren: + / \ maal + = ( + ) = + + Let op: Hierdoor valt de weg / \ + maal + = ( + ) = + + Let op: Hierdoor valt de weg

39 K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Bereken eact Stap : Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren: De functie f() = f() = d 5 kan dus geschreven worden als: Stap : De primitieven van de functie f() = + - F() = + ln + + C zijn: Let op: Staartdelen kan alleen als de graad van de teller groter of gelijk is Dan de graad van de noemer. 9

40 K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Bereken eact 4 5 d Stap : Bereken nu de gevraagde integraal: d d ln 4 (4 4 ln 4 ) ( ln ) 8 ln 5 5 ln ln 5 ln 40

41 Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = K.4 Breuksplitsen [] 45 Let op: ) De discriminant van de noemer ( ) is kleiner dan 0 (4 4 5 = -4). Je kunt de noemer niet ontbinden in factoren; ) De afgeleide van is + 4; ) Staartdelen is niet mogelijk d d d d 45 d( 4 5) 45 du ln u u ln 45 Door het herschrijven van de functie ontstaan twee breuken die je kunt primitiveren: ) Gebruik de substitutiemethode (breuk ); ) Primitieve is de natuurlijke log. (breuk ). 4

42 K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 5 d 45 5 d ( ) 5arctan( ) 45 Herleiden van de breuk zorgt dat je de tweede breuk kunt primitiveren. De primitieve van de functie f() = 45 wordt nu: F() = ln arctan( + ) + C 4

43 K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld : Primitiveer de functie f() = 44 Let op: ) De discriminant van de noemer ( ) is gelijk aan 0 (4 4 4 = 0); ) De noemer is te schrijven als = ( + ) ; ) De teller is te schrijven als - = = ( + ) 5; 4) Staartdelen is niet mogelijk. ( ) 5 d d 4 4 ( ) 5 d 5( ) d ( ) ln 5( ) Door het herschrijven van de functie ontstaan twee breuken die je kunt primitiveren. 4

44 K.4 Breuksplitsen [] Voorbeeld: Bereken de primitieven van f( ) 8 8 ( )( ) Let op: ) De discriminant van de noemer ( + -) is groter dan 0 ( 4 - = 9). De noemer kan in factoren ontbonden worden; ) De noemer geschreven worden als + - = ( )( + ); ) Staartdelen is niet mogelijk. Stap : Merk op dat je deze functie niet kunt primitiveren op de manieren zoals geleerd. Dit is op te lossen door de functie f als volgt te schrijven: f( ) a b 44

45 K.4 Breuksplitsen [] Stap : a b a( ) b( ) ( )( ) ( )( ) a( ) b( ) ( )( ) a a b b ( )( ) ( a b) a b ( )( ) We kiezen a en b nu zodanig dat (a + b) + a b gelijk is aan + 8 Er geldt nu: a + b = en a b = 8 45

46 K.4 Breuksplitsen [] Stap : Los het nu ontstane stelsel van vergelijkingen op: ab ab8 a 9 a Invullen van a = in a + b = geeft b = -. De vergelijking f( ) 8 8 ( )( ) kan dus geschreven worden als: f( ) a b met a = en b = -. Dit geeft: f( ) 46

47 K.4 Breuksplitsen [] Stap : Primitiveer de functie f( ) F() = ln - - ln + + C 47

48 Substitutiemethode integreren: Partieel integreren: K Samenvatting (f g)d = f dg gdf = f g - fdg De inverse functie van f() = tan() is g() = f inv () = arctan() = tan - () met D f = R en B f = < - ½π, ½π>; De inverse functie van een goniometrische formule heet een cyclometrische functie; De functie f() = heeft als primitieve: F()= arctan() + C; De functie g() = arctan() heeft als afgeleide: g () = ; De inverse van f() = sin() met het domein [-½π, ½π] is de functie g() = arcsin(); g() = arcsin() heeft domein [-, ] en bereik [-½π, ½π]; De functie f() = heeft als primitieve: F()= arcsin() + C De functie g() = arcsin() heeft als afgeleide: g () = 48

49 K Samenvatting De inverse van f() = cos() met het domein [0, π] is de functie g() = arccos(); g() = arccos() heeft domein [-, ] en bereik [0, π]; De functie f() = heeft als primitieve: F()= arccos() + C; De functie g() = arccos() heeft als afgeleide: g () = Als in een gebroken functie de teller een gelijke of hogere graad heeft dan de noemer kun je door een staartdeling deze functie herschrijven; Als in een gebroken functie de discriminant van de noemer kleiner is dan 0 kun je de noemer niet in factoren ontbinden. Probeer de teller te herschrijven zodat je bij integratie de substitutiemethode kunt gebruiken; Als in een gebroken functie de discrimimant van de noemer gelijk is aan 0 heb je een oplossing van de vorm ( + p). Zorg dat ook in de teller ( + p) komt te staan; Als in een gebroken functie de discriminant van de noemer groter is dan 0 kun je deze schrijven in de vorm ( + p)( + p). Herschrijf de breuk nu naar de vorm: a b f( ) p q 49