Inhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
|
|
- Alfred Baert
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen
2 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt om functiewaarden f x rond punt a te benaderen een goed beeld van functie f rond punt a te geven. De eerste stap is de linerisatie L x = f a + f 1 a x - a. Dit is in het algemeen een eerstegraads polynoom in x. Voor de linearisatie geldt: (1) f x = f a + f 1 a x - a L x =p 1 x voor zekere s tussen a en x. + f 2 s 2 x - a 2, E 1 x
3 4.10 Idee 1 Basiswiskunde_College_5.nb 3 Als x heel dicht bij a ligt, dan lijkt s op a. Op grond van formule (1) ligt het voor de hand dat p 2 x = f a + f a x - a f a x - a 2 beter werkt. Dit illustreren we aan de hand van een voorbeeld. Beschouw f x = 1 + x en a = 0. Dan is p 1 x = x en p 2 x = x x2.
4 4 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Grafieken van p 1 x en p 2 x Y 1.5 p 2 x p 1 x 1.0 f x X -0.5 De grafieken van f, p 1 en p 2 vallen rond a = 0 samen. In totaal lijkt p 2 beter bij f te passen dan p 1.
5 4.10 Grafieken van verschillen Basiswiskunde_College_5.nb 5 Y f x - p 1 x X Y f x - p 2 x X De verschilgrafieken zijn op het interval -0.5, 0.5 getekend. Het is duidelijk dat ook rond x = 0 p 2 een betere benadering is dan p 1. Merk op dat f x - p 1 x rond x = 0 lijkt op x2 en f x - p 2 x rond x = 0 lijkt op een derde macht dx 3 met d een positief getal.
6 6 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Idee 2 Rond het punt a lijken f x en de lineaire benadering p 1 x = f a + f a x - a op elkaar. Y f x f x p 1 x f a a x X Het groeigedrag van f verandert, terwijl dat van p 1 constant blijft. We zoeken een benadering p 2 waarvan het groeigedrag meer op dat van f lijkt. De afgeleiden f en p 1 beschrijven het groeigedrag van f en p 1. Een plaatje van beide afgeleiden brengt ons op het juiste idee.
7 4.10 Uitgangspunt p 2 x Basiswiskunde_College_5.nb 7 Voor p 2 x nemen we de linearisatie van f rond a. Y f x f x f a p 2 x p 1 x a x X Gezocht p 2 x met p 2 a = f a en p 2 x = f a + f a x - a. Dan is p 2 x = f a + f a x - a + 1 f a x - a 2. 2 Controleer maar door differentiëren.
8 8 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Grafiek van p 2 x Y f x f a f x p 1 x p 2 x a x X Inderdaad past het groeigedrag van p 2 beter bij dat van f.
9 4.10 Taylorpolynomen Basiswiskunde_College_5.nb 9 Gegeven getal n met n = 0, 1, 2, en een functie f waarvan f n bestaat in een omgeving van een punt a. Het Taylorpolynoom van orde n van f rond het punt a is het polynoom p n x = f a + f a x - a + f 2 a 2! x - a f n a n! x - a n. é Alle termen in een Taylorpolynoom hebben dezelfde structuur: p n x = f 0 a 0! x - a 0 + f 1 a 1! x - a 1 + f 2 a 2! x - a f n a n! x - a n é Het Taylorpolynoom p n x rond a is een polynoom in x van de graad hoogstens n. Als f n a 0, dan is het van de graad n. é Een Taylorpolynoom bevat de Taylorpolynomen van lagere orde. p n x = p n-1 x + f n a n! x - a n é Het berekenen Taylorpolynomen van hogere orde is veel werk. Als u een Taylorpolynoom nodig heeft, kijk dan van welke orde het moet zijn. In de praktijk worden meestal Taylorpolynomen van de orde 2 en/of 3 gebruikt. é Laat de haakjes van x - a staan!
10 10 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Voorbeelden van Taylorpolynomen Voorbeeld 1: Beschouw f x = x 1+x en a = 1. Dan p 2 x = x Controleer dit. Voorbeeld 2: Beschouw f x = e x en a = 0. Dan p 3 x = 1 + x + x2 2 Voorbeeld 3: Beschouw f x = tan x en a = p 4. Bereken p 2 x. + x3 6. Controleer dit. Voorbeeld 1: Dan f x = 1 2 x x -1 - x x -2 en f 2 x =- 1 4 x x -1 - x x x x -3. Dus f 1 = 1, f 1 = 0 en f ^ 2 1 =- 1. Gevolg p 2 x = 1-1 x Voorbeeld 2: Nu is f k x = e x en f k 0 = 1 voor k = 0, 1, 2, 3. Gevolg p 3 x = 1 + x + x2 + x Voorbeeld 3: Merk op dat f x = sin x cos -1 x. Dus f x = cos -2 x en f 2 x = 2 sin x cos -3 x. Er geldt f p = 1, f p = 2 en f 2 p = Gevolg p 2 x = x - p + 2 x - p
11 4.10 Voorbeeld bij cosinus Basiswiskunde_College_5.nb 11 Beschouw f x = cos x en a = 0. Dan p 4 x = x x4. Y p 4 x cos x X -1.0 Rond x = 0 is p 4 x een goede benadering van cos x.
12 12 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Stelling van Taylor Stelling 12 Gegeven getal n in N, functie f, interval I in domein D f met getallen a en x in I, x a, en f n+1 bestaat op het interval I. Dan geldt dat f x = f a + f a x - a n! f n a x - a n p n x voor een zekere s tussen a en x. Opmerkingen + 1 n+1! f n+1 s x - a n+1 é Als n = 0, dan f x = f a + f c x - a, de middelwaardestelling, zie sectie 2.8 Als n = 1, dan f x = f a + f a x - a + 1 f 2 c x - a n+1, zie sectie E n x é Als x Ø a, dan is x - a n+1 klein t.o.v. x - a n. é Rond het punt a is het Taylorpolynoom p n x een goede benadering van f x. Het Taylorpolynoom van orde n wordt ook de benadering van orde n genoemd. Als f x benaderd wordt door p n x, dan heet E n x de fout van de benadering p n x.
13 4.10 Benadering met Taylorpolynoom Basiswiskunde_College_5.nb 13 Als u een voorbeeld door heeft, dan kunt u alle voorbeelden van dit type aan. Geef een benadering voor -0.2 met een Taylorpolynoom van orde 2. Geef een geschikt interval waarbinnen -0.2 ligt. Laat f x = -x en a = 0; We benaderen -0.2 = f 0.2 met p Nu is p 2 x = f 0 + f 1 0 x + f 2 0 x 2 ofwel p 2 x = 1 - x x2. Dus -0.2 º p = ÿ = Een geschikt interval waarbinnen -0.2 ligt: Er geldt dat f x = p 2 x + E 2 x met x = 0.2. Nu is E 2 x =- -s ÿ 6 x3 ; Omdat <- -s < 0, geldt dat < E < 0. Dus < E < 0 Het erbij tellen van p = 0.82 levert < -0.2 < 0.82 Dus -0.2 ligt in interval , 0.82.
14 14 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Taylorpolynomen bij e-macht Beschouw f x = x. Geef Taylorpolynomen p n x van f rond a = 0. Dan f k 0 = 1 voor alle k = 0, 1, 2, Dus geldt dat p n x = 1 + x x n! xn
15 4.10 Taylorpolynomen bij (co)sinus Basiswiskunde_College_5.nb 15 Beschouw f x = sin x. Beschrijf de Taylorpolynomen p n x van f rond a = 0. k f k p 2 n+1 x = x x x n 2 n+1! x2 n+1 Merk op p 2 n+1 x = p 2 n+2 x voor n = 0, 1, 2, Beschouw f x = cos x. Beschrijf de Taylorpolynomen p n x van f rond a = 0. k f k p 2 n x = x x n 2 n! x2 n Merk op p 2 n+1 x = p 2 n x voor n = 0, 1, 2,
16 16 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Taylorpolynomen bij f x = 1 1-x Laat f x = 1 1-x = 1 - x -1. Beschrijf de Taylorpolynomen p n x van f rond a = 0. Nu is f k x = k! 1 - x -k-1. Dus f k 0 k! Gevolg p n x = 1 + x + x x n = 1.
17 4.10 Opzoeken Basiswiskunde_College_5.nb 17 Klik op Tentamentabel van Taylorpolynomen Opzoeken 1 Taylorpolynoom p 4 x van f x = ln 1 + x rond a = 0. Dit is een polynoom van de graad hoogstens 4. Dus p 4 x = x x x3-1 4 x4. Merk op dat n = 3 in de tabel. Opzoeken 2 Taylorpolynoom p 2 x van f x = 1 + x 1 3 rond a = 0; In de tabel staat de functie f x = 1 + x a. Dus a= 1. 3 Dan p 2 x = x x2 ofwel p 2 x = x Dus p 2 x = x x2. Opzoeken 3 Taylorpolynoom p 4 x van f x = sin x rond a = 0; Het gevraagde polynoom is van de graad hoogstens 4. Dus p 4 x = x x3. x 2.
18 18 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Grote O-notatie Omdat E n x = f n+1 s x - a n+1 en s naar a schuift als x Ø a, bestaat er constante K n+1! zodanig dat E n x K x - a n+1 als x Ø a. Om niet iedere keer over s en K te hoeven beginnen is de grote O-notatie ingevoerd E n x = O x - a n+1, x Ø a Hier staat dat E n x kleiner dan een constante keer x - a n+1 is tenminste als x Ø a. De notatie met de grote O gebruikt u als een pleister die u plakt over iets dat kleiner is dan een constante keer de absolute waarde van de uitdrukking tussen haken achter de O als x Ø a.
19 4.10 Voorbeelden met grote O-notatie Basiswiskunde_College_5.nb 19 f x = p n x + O x - a n+1, x Ø a. p 4 x = p 3 x + O x - a 4, x Ø a O x 3 x = O x 2, x Ø 0 sin x = x x3 + O x 4, x Ø 0 x - 1 O x = O x - 1 3, x Ø 1
20 20 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Benadering van orde n. Stelling 13 (Eenduidigheid benadering van orde n) Gegeven een natuurlijk getal n, een functie f, een punt a in domein D f en Taylorpolynoom p n x van orde n rond a dus f x = p n x + O x - a n+1, x Ø a. Gegeven is een polynoom q x = A 0 + A 1 x - a + + A n x - a n zodanig dat f x = q x + O x - a n+1, x Ø a. Dan geldt dat A 0 = f a, A 1 = f 1 a 1!,, A n = f n a. n! Opmerking: laat in een Taylorpolynoom de haakjes staan!
21 4.10 Voorbeeld 1 Extrema Basiswiskunde_College_5.nb 21 Gegeven is een willekeurig vaak differentieerbare functie f, een punt a en f a = 0. Het Taylorpolynoom van f van orde 2 rond a is p 2 x = f a + 1 f 2 a x - a 2. 2 Wat kunt u zeggen van extrema van f in punt a? Er geldt f x = f a f 2 a x - a 2 + O x - a 3, x Ø a. Als f 2 a > 0 dan is 1 2 f 2 a x - a 2 positief en als x dicht bij a ligt, dan is O x - a 3 veel kleiner dan 1 2 f 2 a x - a 2. Dus f heeft een minimum in a. Evenzo heeft f een maximum in a als f 2 a < 0. > 0, dan minimum in a Als f a = 0 en f 2 a = 0, dan verder kijken < 0, dan maximum in a
22 22 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Voorbeeld 2 Grafiek Beschouw een functie f met Taylorpolynoom p 2 x = x x rond het punt 1. Hoe ziet de grafiek van f er rond x = 1 uit? De vergelijking van de raaklijn in het punt 1, 2 aan de grafiek is y = Voor x dicht bij 1 ligt de grafiek van de functie f onder de raaklijn. x f x
23 4.10 Voorbeeld 3 Grote O Basiswiskunde_College_5.nb 23 Beschouw de functies f en g met f x =a 0 +a 1 x - a +a 2 x - a 2 + O x - a 3, x Ø a g x =b 0 +b 1 x - a +b 2 x - a 2 + O x - a 3, x Ø a. Druk f x g x uit met behulp van O x - a 3, x Ø a Dan geldt f x g x =a 0 b 0 + a 1 b 0 +a 0 b 1 x - a + + a 2 b 0 +a 1 b 1 +a 0 b 2 x - a 2 + O x - a 3, x Ø a
24 24 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Voorbeeld 4 Substitutie In de tabel staat e x = 1 + x x n! xn + O x n+1, x Ø 0. Voorbeeld 1 Geef Taylorpolynoom van orde 2 van f x = e 2 x rond a = 0. Als x Ø 0, dan gaat 2 x Ø 0. Dan e 2 x = x ÿ 2 x 2 + O 2 x 3, x Ø 0. Dus e 2 x = x + 2 x 2 + O x 3, x Ø 0. Het gevraagde Taylorpolynoom is p 2 x = x + 2 x 2. Voorbeeld 2 Geef Taylorpolynoom van orde 4 van f x = e x3 rond a = 0. Als x Ø 0, dan gaat x 3 Ø 0. Dan e x3 = 1 + x x3 2 + O x 3 3, x Ø 0. Dus e x3 = 1 + x x6 + O x 9, x Ø 0. Het Taylorpolynoom van orde 4 van f x = e x3 rond 0 is p 4 x = 1 + x 3.
25 4.10 Voorbeeld 5 Hogere afgeleiden Basiswiskunde_College_5.nb 25 Beschouw de functie f met Taylorpolynoom p 3 x = x x van orde 3 rond a = 5. Bepaal de waarden van f k 5 met k = 0, 1, 2, 3. Vergelijking van het gegeven polynoom en de algemene vorm p 3 x = x x p 3 x = f 5 + f x f x f x laat zien dat f 5 = 2, f 1 5 = 0, f 2 5 = 14 en f 3 5 = 6. Het gegeven polynoom zegt niets over de waarden in een ander punt.
26 26 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Voorbeeld 6 Gedrag rond punt Beschouw de functie f gegeven door f x = Beschrijf het gedrag van f rond x = 0. De functie f is continu in 0, want sin x x, x 0 1, x = 0 sin x x+o x 2 lim xø0 f x = lim xø0 = lim xø0 = lim xø0 1 + O x = 1 = f 0. x x De functie f heeft een maximum in x = 0, want rond x = 0 geldt dat f x = x- 1 6 x3 +O x 4 x = x2 + O x 3, dus f x < 1 = f 0. 0 als xø0 De grafiek van f lijkt rond x = 0 op een parabool. Y sin x X -0.2 x
27 4.10 Voorbeeld 7 Gedrag rond punt Basiswiskunde_College_5.nb 27 e x -1 x, x 0 Laat de functie f gegeven zijn door f x = 1, x = 0 Beschrijf het gedrag van de functie f rond x = 0. Omdat f x = 1+x+ x 2 2 +O x3-1 lim xø0 x = 1 + x 2 + O x2, zien we twee dingen: f x = 1 = f 0 en dus is f continu in het punt 0. De grafiek van f heeft in 0, 1 een raaklijn met vergelijking y = x. Y x - 1 x X
28 28 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Voorbeeld 8 Limiet ln x +1-x Bepaal de limiet lim. xø1 x-1 2 Zowel de teller als de noemer lijken op 0 als x Ø 1. Berekening van het Taylorpolynoom van de teller t x van orde 2 rond 1: Laat t x = ln x x. Dan p 2 x = t 1 + t 1 1 x t 2 1 x Nu is t 1 x = 1 x - 1, t 2 x =- 1 Gevolg: ln x +1-x lim xø1 x = lim x-1 2 +O x-1 3 xø1 x x 2, t 1 = 0, t 1 1 = 0 en t 2 1 =-1. Gevolg p 2 x =- 1 2 x = lim O x - 1 xø1 2 =-1. 2
29 4.10 Voorbeeld 9 Limiet Basiswiskunde_College_5.nb 29 Bepaal de limiet lim x xø0 x 2 x Het uitrekenen van lim x -1 xø0 x lim xø0 x levert niets op. Waarom? x 2 2 +O x3 Dus lim x -1-1 = lim x -1-x 1 = lim = lim + O x = 1. xø0 x 2 x xø0 x 2 xø0 x 2 xø0 2 2 Bij de berekening is gebruik gemaakt van de tabel.
30 30 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Voorbeeld 10 Limiet tan x -x Bepaal de limiet lim. xø0 x 3 Zowel de teller als de noemer lijken op 0 als x Ø 0. Het Taylorpolynoom van de teller van orde 3 rond 0 is p 3 x =+ 1 3 x3. Reken dit na. Dus tan x -x lim xø0 x 3 = lim xø0 1 3 x3 +O x 4 x 3 1 = lim + O x = 1. xø0 3 3
31 4.10 Extra Basiswiskunde_College_5.nb 31 Stelling Laat f een willekeurig vaak differentieerbare functie rond het punt a zijn en laat p x = A 0 + A 1 x - a + + A n x - a n het Taylorpolynoom van f van orde n rond a zijn. Dan is het Taylorpolynoom van f van orde n - 1 rond het punt a: A A 2 x - a + + na n x - a n-1 en het Taylorpolynoom van een primitieve F van f van orde n + 1 rond a: F a + A 0 x - a + A 1 2 x - a A n n+1 x - a n+1.
32 32 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Voorbeeld 1 Extra Het Taylorpolynoom van orde n van f x = 1 1+x rond a = 0 is 1 - x + x n x n. Het Taylorpolynoom van orde n - 1 van f x =- 1 rond a = 0 is 2 1+x x + + n -1 n x n-1 Het Taylorpolynoom van orde n + 1 van F x = log 1 + x rond a = 0 is x - x2 + x n x n n+1
33 4.10 Voorbeeld 2 Extra * Basiswiskunde_College_5.nb 33 Het Taylorpolynoom van orde 2 n van f x = cos x rond a = 0 is x x n 2 n! x2 n. Het Taylorpolynoom van orde 2 n + 1 van F x = sin x rond a = 0 is x x x n 2 n+1! x2 n+1
Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatieBasiswiskunde Week 3_ Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Basiswiskunde Week 3_2 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_Week_3_2.nb 2.8 Middelwaardestelling 1 Stelling 11 De middelwaardestelling (The Mean-Value
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieWeek 2_2. 1.2 Limieten 1.4 Continuïteit 2.2 De afgeleide 2.3 Differentiatieregels
Week 2_2 1.2 Limieten 1.4 Continuïteit 2.2 De afgeleide 2.3 Differentiatieregels 2 Basiswiskunde_Week_2_2.nb 1.2 Voorbeeld Beschouw de uitdrukking x2 +3 x in de buurt van x = 2. x-4 Als x op 2 lijkt, dan
Nadere informatieDefinitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieColleges. Woensdag 5 februari 2014, college 1. ã Stof. Tijdschema colleges Basiswiskunde 2DL00 Cursus , Semester 2 Avondonderwijs
Tijdschema colleges Basiswiskunde 2DL00 Cursus 2013-2014, Semester 2 Avondonderwijs Versie vrijdag 21 februari 2014 Na ieder avondcollege wordt een klein verslag van het college in dit document opgenomen.
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op dinsdag 26 augustus 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (15126) op dinsdag 4 januari 211, 8.45 11.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 3 oktober 2007.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Algemeen deel. Bij het vermenigvuldigen met van de ongelijkheid moet u rekening houden met twee gevallen, te weten > 0 en < 0 en u moet
Nadere informatieInhoud college 6 Basiswiskunde
Inhoud college 6 Basiswiskunde 4.0 Taylorpolynomen (slot) Zie college 5: Vanaf 4.0 Voorbeeld 4 3. Inverse functies 3.2 Exponentiële en logaritmische functies 3.3 De natuurlijke logaritme en de exponentiële
Nadere informatieInfi A oefententamen ψ
Infi A oefententamen ψ Aanwijzingen Motiveer alle antwoorden. Werk rustig, netjes en duidelijk. Zorg dat je uitwerking maar één interpretatie toelaat. Alle informatie op dit opgavenblad mag bij alle (deel)opgaven
Nadere informatieOEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0.
OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE (COLLEGE NAJAAR 6).. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking (z + i) 4 = 6 in het complee vlak. a. Schrijf het getal i in poolcoördinaten. b. Bereken de rechthoekige
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 23 oktober 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieKorte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde
Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde 3 voor B. Functies van twee variabelen.. Een functie fx, y) van twee variabelen kan analoog aan een functie van één variabele in Maple
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, DL3, woensdag oktober 8, 9.. uur. Geef op het eerste vel met uitwerkingen aan welk programma (Schakelprogramma
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op maandag 4 januari 2, 8.45.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieTENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2
.0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)
Nadere informatie== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u
== en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Maxima en minima Gegeven een functie f met domein
Nadere informatie10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:
10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan
Nadere informatie4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 16 13 oktober 2014 1 Programma Vanmorgen Linearisering (4.2) Taylorpolynomen (10.4) Vanmiddag Fout Taylorpolynomen (10.4) 2 Toenamen Δx en Δy f(x + Δx) y = f(x) Δy = f x +
Nadere informatiedx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Nadere informatieWiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen
FACULTEIT TEW Wiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen Oefenexamens 1ste Bachelor TEW Eerste deel (januari) Academiejaar 2013-2014 Het examen vindt voor iedereen plaats in twee delen : het eerste
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieK.1 De substitutiemethode [1]
K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met
Nadere informatie2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een
Nadere informatieTussentoets Analyse 1
Tussentoets Analyse Maandag 0 oktober 008, 0.00 -.00u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent S. Hille, O. van Gaans en je studierichting. Geef niet alleen antwoorden, leg
Nadere informatieAnalyse 1 Handout limieten en continuïteit
Analyse Handout ieten en continuïteit Rogier Bos Inhoudsopgave Limieten 2. Intuïtief ieten bepalen........................ 2.2 Rekenen aan ieten........................... 4.3 Limieten als spel.............................
Nadere informatieWisnet-HBO. update maart. 2010
Wat is Differentiëren? 1 Wat is differentiëren? Wisnet-HBO update maart. 2010 Differentiëren is eigenlijk het differentiaalquotient bepalen. Je begint met het delen van uiterst kleine verschillen op elkaar.
Nadere informatie7.1 De afgeleide van gebroken functies [1]
7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Regels voor het differentiëren: f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = 0 Algemeen geldt: f() = a n geeft f () = na n-1 Voorbeeld 1:
Nadere informatie(2) Bepaal de absolute waarde van (1 + i) 10 + ( x x 1 = 1. (4) Bepaal lim
Tentamen Calculus I, 4 februari 009, 9:00 :00. Schrijf op elk in te leveren blad je naam, en op het eerste blad het aantal ingeleverde bladen. Alle (negen) opgaven tellen even zwaar. Het gebruik van boek(en),
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieSamenvatting Wiskunde B
Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen
Nadere informatieHet uitwendig product van twee vectoren
Het uitwendig product van twee vectoren Als u, v R 3, u = u 1, u 2, u 3 en v = v 1, v 2, v 3 dan is het uitwendig product van u en v gelijk aan een vector in R 3 en wel u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3,
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieGenererende Functies K. P. Hart
genererende_functies.te 27--205 Z Hoe kun je een rij getallen zo efficiënt mogelijk coderen? Met behulp van functies. Genererende Functies K. P. Hart Je kunt rijen getallen op diverse manieren weergeven
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft
Nadere informatie{neem f(x) = 3} {haakjes uitwerken} {vereenvoudig}
Wiskunde voor bachelor en master Deel Basiskennis en basisvaardigheden c 205, Synta Media, Utrecht www.syntamedia.nl Uitwerkingen hoofdstuk 2 2... We bepalen de afgeleide van f() 5 met de definitie van
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatie1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatie6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.
6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. f(x) = x x Differentiequotiënt van f(x) op [0, 3] = y f (3) f (0) 60 x 30 30 y x 1 Algemeen: Het differentiequotiënt
Nadere informatieK.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:
K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Nadere informatieSignalen 4CA00 (1) Gedeelte Signalen, docent M.J.G. van de Molengraft. Gedeelte Wiskunde, docent F.J.L. Martens
Signalen 4CA00 (1) Gedeelte Signalen, docent M.J.G. van de Molengraft Gedeelte Wiskunde, docent F.J.L. Martens Inhoud wiskundedeel Functies van meer variabelen Partiële afgeleiden Extrema Eigenwaarden
Nadere informatieComplexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Les Complexe functies Nadat we de complexe getallen hebben leren kennen, is het een voor de hand liggende vraag of hiervoor net als voor de reële getallen ook functies
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni 206 Nummer vragenreeks: IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 29 juni 206 - reeks - p. /0 Oefening Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag
Nadere informatieCijfer = totaal punten/10 met minimum 1
VOORBLAD SCHRIFTELIJKE TOETSEN OPLEIDING TOETSCODE GROEP Me MeWIS1-T1 MeP1 TOETSDATUM 7 november 011 TIJD 13.00 14.30 uur AANTAL PAGINA S (incl. dit voorblad) 6 DEZE TOETS BESTAAT UIT (aantal) GEBRUIK
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieParagraaf 2.1 : Snelheden (en helling)
Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf.1 : Snelheden (en helling) Les 1 Benadering van de helling tussen twee punten Definities Differentiequotiënt = { Gemiddelde helling }
Nadere informatieIn dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.
03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
Nadere informatie== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u
== Hertentamen Analyse == Dinsdag 5 maart 8, 4-7u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille, O van Gaans) en je studierichting Geef niet alleen antwoorden, leg elke
Nadere informatieParagraaf 2.1 : Snelheden (en helling)
Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf.1 : Sneleden (en elling) Les 1 Benadering van de elling tussen twee punten Definities Differentiequotiënt = { Gemiddelde elling } Differentiequotiënt
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieOefenexamen Wiskunde Semester
Oefenexamen Wiskunde Semester 1 2017-2018 De cursusdienst van de faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen aan de Universiteit Antwerpen. Op het Weduc forum vind je een groot aanbod van samenvattingen,
Nadere informatiecollege 6: limieten en l Hôpital
126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In
Nadere informatieStudent number: Zet je naam op alle bladzijdes (liefst nu!) voor het geval ze loslaten.
Naam (voornaam, achternaam): Student number: Zet je naam op alle bladzijdes (liefst nu!) voor het geval ze loslaten. Zet je antwoorden op dit examenpapier, direct na de vraag is ruimte daaarvoor. Gebruik
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-II
Twee machten van maimumscore 5 f' ( ) = ln() + ln() Uit f' ( ) = volgt dat = Dus + = ( = ) Hieruit volgt = a+ a, met a =, moet minimaal zijn De vergelijking a = moet worden opgelost Dit geeft Hieruit volgt
Nadere informatieReeksnr.: Naam: t 2. arcsin x f(t) = 2 dx. 1 x
Calculus, 4//4. Gegeven de reële functie ft) met als voorschrift t arcsin x ft) = dx x a) Geef het domein van de functie ft). Op dit domein, bespreek waar de functie stijgt, daalt en bepaal de lokale extrema.
Nadere informatie1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 24 oktober 22, 3.45 6.45 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
week 4.8, maandag Faculteit EWI TU Delft Delft, 6 juni, 2016 1 / 33 Outline 1 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz 2 2 / 33 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz Maximum-modulusprincipe Stelling
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatieTraining integreren WISNET-HBO. update aug 2013
Training integreren WISNET-HBO update aug 2013 Primitiveren De primitieve bepalen betekent in feite de functie bepalen waarvoor geldt dat Anders geschreven: Links en rechts maal dx: df = f dx De betekenis
Nadere informatiemaplev 2010/7/12 14:02 page 157 #159 Taylor-ontwikkelingen
maplev 200/7/2 4:02 page 57 #59 Module 2 Taylor-ontwikkelingen Onderwerp Voorkennis Expressies Zie ook Taylor-ontwikkelingen van functies van éń of meer variabelen. Taylor-ontwikkelingen. taylor, convert(expressie,polynom),
Nadere informatie== Tentamen Analyse 1 == Maandag 12 januari 2009, u
== Tentamen Analyse == Maandag januari 009, 400-700u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille of O van Gaans) en je studierichting Elk antwoord dient gemotiveerd te
Nadere informatie1.1 Differentiëren, geknipt voor jou
1.1 Differentiëren, geknipt voor jou Je hebt leren omgaan met hellings of, wat hetzelfde is: s. We frissen de begrippen en rekenmethoden die hierbij horen nu wat op. Stel dat je met een (gewone) schaar
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2016-II
wiskunde B pilot vwo 06-II De derde macht maximumscore Er moet dan gelden f( gx ( )) x( g( f( x)) f gx ( x ) ( x ) x) ( ( )) + + + f( gx ( )) x+ x(dus g is de inverse functie van f ) Spiegeling van het
Nadere informatieStudiehandleiding Basiswiskunde cursus
Studiehandleiding Basiswiskunde cursus 2008 2009 Materiaal Bij dit college heb je nodig: Het boek Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch Isbn: 90 430 1156 8 De syllabus Aanvulling basiscursus
Nadere informatie16.1 De Afgeleide Functie [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.
16.1 De Afgeleide Functie [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. Voorbeeld: f() = Differentiequotiënt van f() op [0, 3] = y f (3) f (0) 6 0 30 30 y 1 16.1
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatieVak Basiswiskunde 2DL00
Basiswiskunde_College_1.nb 1 Vak Basiswiskunde 2DL00 Cursus 2013-2014 Basis van wiskundige kennis en vaardigheden Kennismaking vooraf met wiskunde op TU/e Ook vak in allerlei schakelprogramma s Zie ook
Nadere informatieUtrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.
Utrecht, 25 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ [a, b] R, : [a, b] R Benader f door eenvoudige functies Voorbeelden eenvoudige
Nadere informatieTWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00
TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE donderdag 1 december 007, 14.00-16.00 Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een
Nadere informatie) translatie over naar rechts
Hoofdstuk opmerkingen/adviezen Leer deze grafieken precies! Zorg dat je de volgende formules ziet in de grafieken: Periode sinus, cosinus en tangens: resp,, sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) c a k a k
Nadere informatie8. Differentiaal- en integraalrekening
Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,
Nadere informatieTentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur
Tentamen Calculus 5 januari 00, 9:00 -:00 uur Je mag geen rekenapparaat gebruiken. De opgaven t.e.m. 6 tellen allemaal even zwaar. Vermeld op elk papier dat je inlevert je naam en je studentnummer. Geef
Nadere informatie11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20
.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:
Nadere informatie6. Toon aan dat voor alle 2]0; ß [ geldt dat sin <<tan Onderstel dat de functie f afleidbaar in ]a; +1[ is en dat Toon aan dat!+1 f ) = A.!+1 f
Afleiden en primitiveren Oefeningen Wiskundige Analyse I 1. Toon aan dat de functie f gedefinieerd op [ß; 3ß 2 ] door 1 p 1 + sin2 ) een inverse ffi bezit. Wat kan men besluiten omtrent de monotoniteit,
Nadere informatie2.1 Lineaire functies [1]
2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Nadere informatieChecklist Wiskunde B HAVO HML
Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-I
wiskunde B pilot vwo 07-I Rakende grafieken? maimumscore Er moet gelden f( ) g ( ) en f' ( ) g' ( ) f' ( ) en g' ( ) e Uit f' ( ) g' ( ) volgt e ( e voldoet niet) f ( e ) en ( e ) ( f ( e) g( e) en f '
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatie