Inhoud college 6 Basiswiskunde

Transcriptie

1 Inhoud college 6 Basiswiskunde 4.0 Taylorpolynomen (slot) Zie college 5: Vanaf 4.0 Voorbeeld 4 3. Inverse functies 3.2 Exponentiële en logaritmische functies 3.3 De natuurlijke logaritme en de exponentiële functie 3.5 De cyclometrische functies

2 2 Basiswiskunde_College_6.nb 3. Inleiding inverse functies Los op 2 x 8 x. Dan 2 x 2 3 x ofwel 2 x 2 3 x ; Dus x 3 x ofwel x 2. Als twee machten van 2 aan elkaar gelijk zijn, dan zijn hun exponenten gelijk. Zie de grafiek. 4 3 y 2 x Opmerking Als 2 x 2 x 2 dan x x 2 en omgekeerd als x x 2, dan 2 x 2 x 2

3 Basiswiskunde_College_6.nb 3 3. Eenduidige functies Een functie f is eenduidig (one-to-one) als voor alle x en x 2 in Df met f x f x 2 geldt dat x x 2. Voor eenduidige functie f geldt dat voor iedere y Rf de vgl y f x met x als onbekende précies één oplossing x Df heeft. Als voor een functie f geldt dat voor iedere y Rf de vgl y f x met x als onbekende précies één oplossing x Df heeft, dan is f eenduidig. Zijn onderstaande functies f eenduidig? (a) f x x 3 ; (b) f x x ; (c) f x x ; (d) f x x ; (e) f x x2 x3 x; De functies f zijn eenduidig op de functie uit onderdeel (e) na.

4 4 Basiswiskunde_College_6.nb 3. Inverse functie Laat de functie f eenduidig zijn. Iedere y Rf levert één x Df op met y f x. Bij de functie f hoort een inverse functie f zodanig dat als y f x, dan x f y en als x f y, dat dan y f x. Overtuig u ervan dat Df Rf en Rf Df. f x a b b a f x Vraag: Is f een eenduidige functie? Ja, veronderstel dat x f y f y 2. Dan f x y en f x y 2, dus y y 2.

5 Basiswiskunde_College_6.nb 5 3. Functiesamenstelling Beschouw een eenduidige functie f. Toepassen van f aan beide kanten van y f x geeft f y f f x ofwel x f f x. Toepassen van f aan beide kanten van x f y geeft uiteindelijk y f f y. Dit leidt tot de volgende twee identiteiten: x f f x voor alle x Df, x f f x voor alle x Df Rf. De functies f en f heffen elkaar op. De inverse van f is f, in formule f f.

6 6 Basiswiskunde_College_6.nb 3. Grafiek van inverse De grafiek van f is de gespiegelde aan de lijn x y van de grafiek van f. De lijn is de raaklijn aan de grafiek van f in a, b met b f a. De lijn 2 is de raaklijn aan de grafiek van f in b, a met a f b. y f x a 2 b b a y f x

7 Basiswiskunde_College_6.nb 7 3. Verband tussen afgeleiden Via plaatje Rc van raaklijn is f a en rc van raaklijn 2 is f b. De raaklijn 2 is de gespiegelde van de lijn aan de lijn y x. Dus f b f. a Gevolg f f a f ofwel f b a f. a Via kettingregel Er geldt f f x x. Differentiëren aan beide kanten geeft f f x f x. Dus f f x f. In het bijzonder geldt f b x f. a

8 8 Basiswiskunde_College_6.nb 3. Voorbeeld Beschouw de functie f met Df 0, en f x (a) Laat zien dat f eenduidig is. (b) Bepaal f x. x2 x 2 voor x Df. (a) Methode f x 2 x x voor 0 x. Dus f is strikt stijgend. Methode 2 Verwissel de rol van x en y. Los op x f y met y als onbekende. Merk op dat geldt dat 0 x want Rf 0,. Dus x y2 y 2 ofwel x xy2 y 2. Gevolg y 2 x x. Nu geldt dat y x x want y Df. Er is maar een oplossing van x f y, dus f is eenduidig. Dus f x (b) Als u methode 2 heeft gebruikt, dan bent u klaar. x x.

9 Basiswiskunde_College_6.nb 9 3. Voorbeeld 2 Gegeven f x x 3 x. De functie f is eenduidig want f x 3 x 2 0. Bepaal f 2. Er geldt algemeen f f x f. x Gezocht x met f x x 3 x 2. Er is geen hanteerbare formule voor de oplossingen. Uitproberen levert f 2, ofwel x. Dus f 2 f. 4

10 0 Basiswiskunde_College_6.nb 3.2 Exponentiële functies Een macht a b bestaat uit en grondtal (base) a en een exponent b. Een exponentiële functie is van de vorm f x a x. Voor alle a, a 0 en a 0 is functie f met f x a x eenduidig en Df R en Rf 0,. a x a 0 a Laat a 0. Voor m Z en n N is a m n n a m de enige positieve oplossing van x n a m

11 Basiswiskunde_College_6.nb 3.2 Eigenschappen van exponentiële functies Laat a 0 en b 0. Dan geldt voor alle x en y a x a x a x y a x y a xy a x a y ab x a x b x

12 2 Basiswiskunde_College_6.nb 3.2 Logaritmen Laat 0 a of a. De functies f x a x zijn eenduidig. Zij hebben een inverse f x log a x, de logaritme van x bij grondtal a (of x to the base a ) Er geldt Dlog a 0, en Rlog a R Er geldt dat y a x x log a x Gevolg: log a a x x voor alle x R en a log a x x voor alle x 0. Voor de logaritmen zijn drie notaties: a log x log a x a log x. log a x a 0 a

13 Basiswiskunde_College_6.nb Eigenschappen van logaritmen Laat a 0 en a en laat b 0 en b. Voor alle x 0 en y 0 geldt log a 0 log a xy log a x log a y log a x r r log a x log a x log ax log a x log b x log b a

14 4 Basiswiskunde_College_6.nb 3.2 Voorbeelden () Los op 2 2 x 2 x. (2) Los op 2 2 x 2 x. (3) Vereenvoudig log 3 cosx log 3 cosx 2log 3 sinx. (4) Vereenvoudig log 2 5 log 3. 2 (5) Vereenvoudig log a b log b a (6) Los op log 2 x log 2 x 2 log 2 3 () x (2) x (3) 0 (4) log 2 5 (5) (6) x 3

15 Basiswiskunde_College_6.nb De natuurlijke logaritme ln Y x Y 2 y lnx y t X x x T 2 Voor x 0 is A x de oppervlakte onder de grafiek y t Dan A x 0 en A x A x. tussen de lijnen t en t x. Definitie lnx A x, x A x, 0 x Merk op dat ln 0 en ln lnx. x

16 6 Basiswiskunde_College_6.nb 3.3 ln x Stelling: ln x, voor alle x 0. x Grafische toelichting: Y y t x x h T Laat x en h 0. Dan h lnx h lnx h. Dus lnxhlnx xh x xh h Nu is lim h0 xh x lim h0 x. Met insluitstelling geldt lim h0 lnxhlnx h lnxhlnx Als h 0 genomen wordt, dan blijkt dat lim. h0 h x lnxhlnx Gevolg: voor x geldt dat lim, dus h0 h x ln x. x Voor 0 x geldt d d x lnx d d x ln x x x 2 x x. x.

17 Basiswiskunde_College_6.nb Eigenschappen van ln Voor alle x 0 en y 0 en r R geldt ln 0 lnxy lnx lny ln lnx x ln x lnx lny y lnx r r lnx Gevolg lim lnx en lim lnx. Waarom zou dit gelden? x x0

18 8 Basiswiskunde_College_6.nb 3.3 Voorbeelden met ln () Laat zien dat d lnx. d x x (2) Bepaal d lntanx. d x () Geval x 0; Dan d lnx d ln x. d x d x x Geval x 0; Dan d d x lnx d d x lnx x x (2) d d x lntanx ln tanx 2 cos 2 x tanx cos 2 x sinx cosx sin2 x

19 Basiswiskunde_College_6.nb De exponentiële functie exp De natuurlijke logaritme ln is eenduidig en heeft Dln 0, en Rln R. De inverse ln heet de exponentiële functie en wordt met exp aangegeven. x lny y expx ; in het bijzonder 0 ln en exp0 De exponentiële functie exp is eenduidig en heeft Dexp R en Rexp 0,. 5 Y y expx 2 2 X Merk op lnexpx x voor alle x R en explnx x voor alle x 0

20 20 Basiswiskunde_College_6.nb 3.3 exp x Stelling: exp x expx voor alle x R. Bewijs: er geldt dat lnexpx x; differentiëren geeft ln expx exp x. Dus exp x expx ofwel exp x expx.

21 Basiswiskunde_College_6.nb Eigenschappen van exp Voor alle x en y in R geldt exp0 expx y expx expy expx y expx expy expx expx expxy expx y Gevolgen lim expx 0 en lim expx. Waarom zou dit gelden? x x

22 22 Basiswiskunde_College_6.nb 3.3 Constante e en uitbreiding van machten De constante e is gedefinieerd door e exp. Gevolg is dat lne. Laat a 0, m Z en n N. Dan geldt dat a m n exp m lna. n Merk op dat a m n de enige positieve oplossing van de vergelijking x n a m. Toelichting: exp m lna n n expm lna explna m a m en exp m lna 0 n Uitbreiding van machten Laat a 0 en x in R. Dan is a x expx lna. In het bijzonder geldt dat e x expx.

23 Basiswiskunde_College_6.nb Eigenschappen van machten en logaritmen Gevolgen bij machten: voor alle a 0 en alle x in R d d x ax a x lna, want d d x ax d d x expx lna expx lna lna ax lna lna x x lna e x expx Moeder van alle machtsformules a b expb lna e b lna Gevolgen bij logaritmen: voor alle a 0, a, en alle x 0 log a x lnx lna log a x x lna lnx log e x

24 24 Basiswiskunde_College_6.nb 3.3 Voorbeelden * () Vereenvoudig d d x xx. (2) Vereenvoudig log 6 4. (3) Vereenvoudig d log d x x2 (4) Druk log b x uit met behulp van ln. log b 2 (5) Geef functie g zodanig dat g x a x. () d d x xx d d x ex lnx e x lnx lnx x x lnx x x (2) log 6 4 ln4 ln6 ln4 2ln4 2 ; alternatief: omdat , geldt dat log (3) d d x log x2 d d x ln2 lnx (4) log b x log b 2 lnx lnb lnb ln2 lnx ln2 ln2 ln 2 x x (5) Bijvoorbeeld gx ax lna voldoet. ln2 x ln 2 x

25 Basiswiskunde_College_6.nb De arctangens De tangens heeft periode en is dus niet een eenduidig. Als de tangens tot het interval, wordt beperkt, dan is de tangens wel eenduidig. 2 2 Voor iedere y in R bestaat er précies een x met y tanx en 2 x 2. Notatie x arctany tan y

26 26 Basiswiskunde_College_6.nb 3.5 De grafiek van de arctangens Spiegelen van het rode gedeelte van de grafiek van de tangens aan de lijn y x geeft de grafiek van de arctangens. Y 2 a b X 2

27 Basiswiskunde_College_6.nb Eigenschappen Arctangens Domein Darctan R, bereik Rarctan, 2 2 arctanx arctanx voor alle x in R tan arctanx x voor alle x in R arctantanx x voor alle x in, 2 2

28 28 Basiswiskunde_College_6.nb 3.5 De afgeleide van de arctangens arctan x voor alle x in R 2 x Toelichting van laatste eigenschap via bovenstaande plaatjes: Rc van raaklijn is tan a cos 2 a tan2 a b 2. Rc van raaklijn is arctan b tan a b 2 Toelichting van laatste eigenschap via kettingregel: Differentiëren van arctantanx x geeft arctan tanx ofwel arctan tanx cos 2 x. Dus arctan tanx cos 2 x cos 2 x cos 2 xsin 2 x tan 2 x. Conclusie: arctan u u 2

29 Basiswiskunde_College_6.nb 29 Tabel van arctangens tan x 3 3 arctan x

30 30 Basiswiskunde_College_6.nb 3.5 Voorbeelden () arctan 3? ; (2) arctan 3? ; (3) Vereenvoudig sinarctan2. () Stel arctan 3 ; dan tan 3 en 2 2. Dus 3 (2) arctan 3 arctan 3 6 (3) Stel arctan2 ; Dan tan 2 en 2 2. Omdat tan 0 geldt dat 0 2. Methode via plaatje: Dus sin Methode 2 via cos 2 sin 2 en sin 2cos. Dan sin en vanwege hoek sin 2 5.

31 Basiswiskunde_College_6.nb Voorbeelden 2 (4) tanarctan0? ; (5) arctantan 7 4? ; (6) De grafiek van arctan tan x? (4) tanarctan0 0 (5) arctantan 7 arctantan (6) Merk op dat arctan tan x periode heeft, want tanx tanx. Verder geldt dat arctantanx x voor x Y 2 2 X 2

32 32 Basiswiskunde_College_6.nb 3.5 De arcsinus Zie het gedeelte over de arcsinus in sectie 3.5. Hier staan alleen enkele plaatjes. De sinus heeft periode 2 en is dus niet een eenduidig. Als de sinus tot het interval, wordt beperkt, dan is de sinus wel eenduidig. 2 2 Voor iedere y in, bestaat er précies een x met y sinx en 2 x 2. Notatie x arcsiny sin y

33 Basiswiskunde_College_6.nb De grafiek van de arcsinus Spiegelen van het rode gedeelte van de grafiek van de sinus aan de lijn y x geeft de grafiek van de arcsinus. 2 Y X 2 Uit de theorie blijkt dat arcsin x x 2.

34 34 Basiswiskunde_College_6.nb 3.5 De arccosinus Zie het gedeelte over de arccosinus in sectie 3.5. De cosinus heeft periode 2 en is dus niet een eenduidig. Als de cosinus tot het interval 0, wordt beperkt, dan is de cosinus wel eenduidig. Voor iedere y in, bestaat er précies een x met y cosx en 0 x. Notatie x arccosy cos y

35 Basiswiskunde_College_6.nb De grafiek van de arccosinus Spiegelen van het rode gedeelte van de grafiek van de sinus aan de lijn y x geeft de grafiek van de arccosinus. Y 2 X Uit de theorie blijkt dat arccos x x 2.

36 36 Basiswiskunde_College_6.nb 3.5 Afsluitende voorbeelden * () Laat zien dat arcsin x x 2 (2) Bepaal arctanx arctan voor x 0. x (3) Bepaal d arctanx arctan. d x x arctanx voor alle x R () Teken rechthoekige driehoek met schuine zijde lengte x 2 en een zijde lengte x. Dan heeft overblijvende zijde lengte. Etc. (2) Kan ook via plaatje. teken rechthoekige driehoek met niet-schuine zijden lengte en x. Het blijkt dat arctanx arctan voor x 0. x 2 (Voor x 0 geldt dat arctanx arctan x ). 2 (3) Dat is 0. x 2 x 2 x 2 x 2 x 2