Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Transcriptie

1 Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Goniometrie 1.1 Sinus tot de derde Standaard driehoeken Vectoren en matrixes 4.1 Matrix vermenigvuldiging Rotaties Inverse matrix Praktijk geval Uitproduct twee vectoren vorm: beeld van 0 is Bilineaire vormen Inproduct formule met niet orthognale coördinaten Analyse Afgeleide van x n voor n Afgeleide van tangens Afgeleide van arctangens Afgeleide van ln x Leibnitz regel Kettingregel met partiële afgeleiden

2 1 Goniometrie 1.1 Sinus tot de derde Bekijk de functie f(x) sin 3 x. Deze is duidelijk periodiek. a. Laat zien dat je deze functie kunt schrijven als een som van sinusachtige functies. Sinusachtige functies zijn functies van het type A sin(nx) of A cos(nx), met n een natuurlijk getal (n 1,, 3,... ). Hint: Bekijk de formules: cos(α + β) cos α cos β sin α sin β (1) cos(α β) cos α cos β + sin α sin β () Optellen van deze twee vergelijkingen geeft een vergelijking voor cos α cos β. Aftrekken geeft een vergelijking voor sin α sin β. Op een dergelijke manier kunnen we ook een formule voor cos α sin β vinden en met dit soort formules moet het te doen zijn. We zoeken eerst een uitdrukking voor sin x. Dat kan net zo als in het voorbeeld in de cursus voor cos x hebben gedaan, maar we doen het hier als volgt. Als we (1) van () aftrekken krijgen we: cos(α β) cos(α + β) sin α sin β en dus sin α sin β 1 [cos(α β) cos(α + β)] Vullen we hier α β x in dan krijgen we sin x 1 [1 cos(x)] 1 1 cos(x) Check dit met een schetsje! We kunnen nu dus voor de gevraagde functie f(x) sin 3 x schrijven: sin 3 x sin x sin x sin x[ 1 1 cos(x)] 1 sin x 1 sin x cos(x) (3)

3 We zijn dus klaar als we sin x cos(x) kunnen schrijven als de som van sinusachtige functies. Daartoe bekijken we de somformules van de sinus: sin(α + β) sin α cos β + cos α sin β (4) sin(α β) sin α cos β cos α sin β (5) Om een formule voor sin α cos β te verkrijgen tellen we (4) en (5) bij elkaar op: sin(α + β) + sin(α β) sin α cos β en dus sin α cos β 1 [sin(α + β) + sin(α β)] (6) We wilden een uitdrukking voor sin x cos(x) dus we vullen in (6) in α x en β x: sin x cos x 1 [sin 3x + sin( x)] 1 sin 3x 1 sin x (7) Nu kunnen we (7) dus invullen in het rechterlid van (3): f(x) sin 3 1 sin x 1 [1 sin 3x 1 sin x] 1 sin x 1 4 sin 3x sin x 3 4 sin x 1 sin 3x 4 En dit is dus het gewenste resultaat. 3

4 1. Standaard driehoeken Verifieer de juistheid van de Cosinusregel in de volgende driehoeken: Linkerdriehoek: Rechterdriehoek: Figuur 1: Standaard driehoeken c a + b ab cos ϕ ( ).1. cos(45 0 ) (immers cos(45 0 ) 1 ) Klopt! c a + b ab cos ϕ cos(60 0 ) (immers cos(60 0 ) 1 ) Klopt! Vectoren en matrixes.1 Matrix vermenigvuldiging Bereken het product: 1 a a 4

5 1 a a a.a a.0 3.a ( a ) 1 + a 6a 4 NB. De punt in de middelste matrix is vermenigvuldiging. Dus 1.1 is 1 maal 1 e.d.. Rotaties Voor een hoek α definiëren we de volgende matrix: cos α sin α M α sin α cos α a. Bereken het matrixproduct M α M β Herkent u de elementen van deze productmatrix? (Hint: denk aan de somformules voor de sinus en de cosinus). Zo ja, dan: cos α sin α cos β sin β M α M β sin α cos α sin β cos β cos α cos β sin α sin β cos α sin β sin α cos β (8) sin α cos β + cos α sin β sin α sin β + cos α cos β b. Laat zien dat het matrixpoduct M α M β geschreven kan worden als M γ. Wat is γ in termen van α en β? Als we goed kijken naar de elementen van matrix (8) dan herkennen we daarin de somformules voor de sinus en de cosinus. We kunnen (8) dus schrijven als: cos(α + β) sin(α + β) M α M β M sin(α + β) cos(α + β) α+β (9) Met andere woorden: γ α + β. Het resultaat van deze opgave is goed te interpreteren als men bedenkt dat M α een rotatie over een hoek α in het platte vlak representeert. Immers een rotatie over β gevolgd door een rotatie over α zal een rotatie over α + β zijn. 5

6 .3 Inverse matrix Gegeven is de matrix 1 1 A 1 a. Bepaal de inverse A 1 van de matrix A door middel van de veegmethode. We zetten de matrix naast de eenheidsmatrix en voeren dan op beide steeds dezelfde rij operaties uit, net zo lang tot de oorspronkelijke matrix in de eenheidsmatrix is veranderd. De eenheidsmatrix rechts is dan in de inverse veranderd. Dus we beginnen met en 0 1 We tellen bij beide tweemaal de eerste rij bij de tweede op: en 0 1 Nu vermenigvuldigen we de tweede rij met : en Tenslotte tellen we de tweede rij bij de eerste op: en De eerste matrix is nu dus de eenheidsmatrix geworden en dus is de tweede nu de gezochte inverse matrix: 5 4 b. Controleer het antwoord door matrix vermenigvuldiging. 6

7 Het klopt dus. De gevonden matrix is inderdaad de inverse. c. Bepaal in het algemeen de inverse van de matrix: a b A c d We passen dezelfde procedure toe: a b en c d We trekken c maal de eerste rij van de tweede af (dit kan alleen als a 0, a we moeten straks nog even checken wat we anders moeten): a b d bc en c 1 a a Nu delen we de tweede rij door d bc ad bc teneinde daar een 1 te krijgen a a (we nemen weer even aan dat ad bc 0): a b 1 0 en 0 1 c ad bc a ad bc We trekken b maal de tweede rij van de eerste af: a bc ab en ad bc ad bc 0 1 c ad bc a ad bc 1 ad bc Tenslotte delen we de eerste rij door a: d b en 0 1 ad bc c a ( ad ) ab c a 7

8 We hebben steeds door allerlei zaken gedeeld (o.a. door a), maar nu we eenmaal dit resultaat hebben kunnen we zien dat er eigenlijk maar één conditie is: D : ad bc 0 We noemen D de discriminant van de matrix A en we hebben dus: 1 a b 1 d b c d D c a We zien dus wat het recept is om de inverse van een bij matrix te nemen: Verwissel de diagonaal elementen en draai van de andere elementen het teken om. Deel dit geheel door de discriminant..4 Praktijk geval Gegeven zijn de volgende matrices: γ γ v E c x E y E z M γv γ en F E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 Voor deze opgave is het niet van belang, maar de achtergrond van deze matrixen is als volgt: M is de zogenaamde Lorentz transformatie. In de matrix F staan de getallen E x, E y en E z (de componenten van het elektrische veld) en de getallen B x, B y en B z (de componenten van het magnetische veld). Verder is v een snelheid en c de lichtsnelheid. De letter γ is een afkorting voor een uitdrukking die in de speciale relativiteitstheorie heel veel voorkomt namelijk: 1 γ 1 v /c en dus γ (1 v c ) 1 De laatste uitdrukking zult u nodig hebben. We hebben ook nog de gespiegelde matrix van M: γ γv 0 0 M γ v γ 0 0 c Nogmaals het gaat er nu niet om wat het allemaal betekent, de oefening gaat puur om het vermenigvuldigen van matrixes. 8

9 a. bereken de 4 bij 4 matrix M F M. 0 E x E y E z γ γ v 0 0 c M F M M E x 0 B z B y γv γ 0 0 E y B z 0 B x E z B y B x γ γv 0 0 γve x γe x E y E z γ v γ 0 0 c γe x γ v E c x B z B y γe y + γvb z γ v E c y + γb z 0 B x γe z γvb y γ v E c z γb y B x 0 0 γ (1 v )E c x γ(e y vb z ) γ(e z + vb y ) γ ( v 1)E c x 0 γ(b z v E c y ) γ(b y + v E c z ) γ(e y vb z ) γ(b z v E c y ) 0 B x γ(e z + vb y ) γ(b y + v E c z ) B x 0 0 E x γ(e y vb z ) γ(e z + vb y ) E x 0 γ(b z v E c y ) γ(b y + v E c z ) γ(e y vb z ) γ(b z v E c y ) 0 B x γ(e z + vb y ) γ(b y + v E c z ) B x 0 (10) Dit is erg veel schrijfwerk. U kunt ook proberen of het op de volgende manier lukt, namelijk met bij matrixen. We kunnen de betrokken 4 bij vier matrixen namelijk zijn als bij matrixen van bij twee matrixen. Voor M gaat dit als volgt: 1 v γ c 0 0 M ( v ) M I We hebben dan ook: Hierbij is dus: M γ M 1 v c v 1 M 0 0 I en I

10 Ook voor F kunnen we dit doen: 0 Ex Ey E z ( F ( E x 0 B z B y ) Ey B z 0 Bx Ex J H E z B y B x 0 waarbij dus: Ey E H z en J B z B y ( 0 ) ) H B x J b. bereken de bij matrix M F M. Waarbij de elementen dus zelf bij matrixen zijn. In (b.) gebruikt u dus de volgende matrixen: Ex J H F H en M B x J M 0 0 I M F M M Ex J H M 0 H B x J 0 I M 0 Ex J M H Ex M 0 I H J M M H M B x J H M B x J De elementen van dit resultaat zijn dus zelf bij matrixen. c. Bereken deze 4 matrixen ook expliciet en check het resultaat aan de hand van onderdeel a. De vier te berekenen matrixen zijn: M 11 E x M J M en M 1 M H en M 1 H M en M B x J Daar gaan we: M 11 E x M J M E x M v γ c 1 0 v 1 1 v v E x γ v 1 1 v E x γ v c v c c E x ( ) ( 0 Ex E x c ) 10

11 Kortom: M 11 ( 0 ) Ex E x 0 Nu M 1 : 1 v M 1 M Ey E H γ z Ey vb v γ z E z + vb y 1 B c z B y B z + v E c y B y + v E c z γ(ey vb z ) γ(e z + vb y ) γ(b z v E c y ) γ(b y + v E c z ) Voor M 1 geldt dat het de gespiegelde van M 1 met een minteken erbij, immers: M 1 H M (M H) M 1 ) ( γ(ey vb z ) γ(b z v E c y ) γ(e z + vb y ) γ(b y + v E c z ) ( γ(ey vb z ) γ(b z v E c y ) γ(e z + vb y ) γ(b y + v E c z ) ) Tenslotte: 0 1 M B x J B x 1 0 ( 0 ) Bx B x 0 We hebben nu dus de vier bij matrixen M 11, M 1, M 1 en M expliciet bepaald en kunnen die invullen en zo M F M in volle glorie (nogmaals) verkrijgen: M M11 M F M 1 M 1 M ) ( 0 Ex γ(ey vb z ) γ(e z + vb y ) E x 0 ) γ(b z ( v E c y ) γ(b ) y + v E c z ) 0 Bx B x 0 ( γ(ey vb z ) γ(b z v E c y ) γ(e z + vb y ) γ(b y + v E c z ) Als we dit vergelijken met de uitkomst van onderdeel a (zie (10) op pagina 9), dan zien we dat het klopt. Welke van deze twee manieren nu het minst omslachtig is, is natuurlijk een beetje de vraag. We zullen op het college zien dat bovenstaande aantoond dat het elektrische en magnetische veld één object is, namelijk een (scheefsymmetrische) tensor van rang. 11

12 .5 Uitproduct twee vectoren We bekijken de 3-dimensionale vectorruimte. Stel we hebben hierin twee vectoren a OA en b OB. Stel deze zijn onafhankelijk. Met andere woorden: het gemeenschappelijke voetpunt O en twee eindpunten A en B liggen niet op één lijn. Dan is er dus een vlak (twee dimensionele deelruimte) waarin deze drie punten O, A en B (en dus de twee vectoren) liggen. Intuitief is duidelijk dat er één lijn door O gaat die loodrecht staat op dit vlak (en dus op a en b). Stel we hebben een orthonormale basis. Dan hebben we dus coördinaten voor a en b, namelijk (a 1, a, a 3 ) respectivelijk (b 1, b, b 3 ). We nemen eerst eens een concreet voorbeeld: 1 a 1 en 5 b 3 (11) 0 7 a. Bepaal de coördinaten (x 1, x, x 3 ) van een vector x, zodanig dat x a en x b en wel voor het concrete voorbeeld (11). a x a x 0 1.x x 0 x 1 + x 0 Evenzo: b x b x 0 5x1 + 3x + 7x 3 0 Dus we hebben twee vergelijkingen met 3 onbekenden: x 1 + x 0 (1) 5x 1 + 3x + 7x 3 0 (13) Vergelijk (15) en (16) in de algemene oplossing (onderdeel b). Nu kunnen we bijvoorbeeld x elimeneren, immers uit (1) volgt meteen dat Vullen we (14) in in vergelijking (13), dan krijgen we: x x 1 (14) 5x 1 + 3( x 1 ) + 7x 3 0 8x 1 + 7x 3 0 1

13 Één (van de vele) oplossingen is dan x 1 7 en x 3 8, maar bijvoorbeeld ook x 1 14 en x In het algemeen: x 1 7λ en x 3 8λ met λ een willekeurig getal. Gezien (14) hebben we dan ook x 7λ, dus x 1 7 x λ 7 x 3 8 representeert alle oplossingen. Uw eigen oplossing moet hiermee dus kloppen voor een of andere λ. b. Bepaal de coördinaten (x 1, x, x 3 ) van een vector x, zodanig dat x a en x b en maar nu het het algemeen (dus in termen van a i en b i ). Stel x a en x b (men kan ook zeggen: a x en b x). a x a x 0 a 1 x 1 + a x + a 3 x 3 0 Hetzelfde voor b, dus we hebben twee vergelijkingen met 3 onbekenden: a 1 x 1 + a x + a 3 x 3 0 (15) b 1 x 1 + b x + b 3 x 3 0 (16) Niet relevant voor de oplossing, maar merk op dat je dit als een matrix a1 a vergelijking kan schrijven: a 1 3 x x b 1 b b Te berekenen de coordinaten (x 1, x, x 3 ) van x (kan slechts op een factor na). We gaan bijvoorbeeld eerst eens proberen x 1 te elimineren. Vermenigvuldig daartoe (15) met b 1 en (16) met a 1 : x 3 b 1 a 1 x 1 + b 1 a x + b 1 a 3 x 3 0 (17) a 1 b 1 x 1 + a 1 b x + a 1 b 3 x 3 0 (18) Nu (18) van (17) aftrekken (de a-tjes consequent vooraan schrijven), dan is x 1 geëlimineerd: (a b 1 a 1 b )x + (a 3 b 1 a 1 b 3 )x 3 0 (19) 13

14 Een (1 van de vele) oplossing is: x a 3 b 1 a 1 b 3 (0) x 3 a 1 b a b 1 (1) Merk op de cyclische verwisseling 1, en 3, zet er dus kunnen we ook gokken: Dus: x 1 a b 3 a 3 b x 1 a b 3 a 3 b x a 3 b 1 a 1 b 3 () x 3 a 1 b a b 1 Het rechterlid van () noemen we het uitproduct van a en b. Dat noteren we met een -symbool dus we hebben: a 1 b 1 a b 3 a 3 b a b : a 3 b 1 a 1 b 3 a 3 b 3 a 1 b a b vorm: beeld van 0 is 0 Stel α : V R is een 1-vorm op de een vectorruimte V. Dat wil zeggen dat α voldoet aan: a. Bewijs hiermee dat α( 0) 0. α( x + y) α( x) + α( y) (3) α(λ x) λα( x) (4) We blijken eigenlijk alleen maar (3) nodig te hebben. Vul daar namelijk x 0 in: α( 0 + 0) α( 0) + α( 0) (5) Aangezien de nul vector 0 de eigenschap heeft dat x + 0 x voor alle x, hebben we dus ook dat en dus wordt (5): α( 0) α( 0) + α( 0) Het enige getal dat bij zichzelf opgeteld weer zichzelf geeft is 0, dus α( 0) 0. QED. 14

15 .7 Bilineaire vormen Een bilineaire vorm kan (na keuze van een basis) worden gerepresenteerd door een n n -matrix. Dat betekent dat n getallen nodig zijn om hem te specificeren. In een vierdimensionale ruimte zij dat er dus 16. a. Hoeveel getallen zijn nodig om in een vierdimensionale ruimte een symmetrische bilineaire vorm te specificeren? De matrix van zo n bilineaire vorm ziet er zo uit: b 11 b 1 b 13 b 14 b 1 b b 3 b 4 b 31 b 3 b 33 b 34 b 41 b 4 b 43 b 44 Symmetrisch betekent nu dat b ij b ji. Dit betekent dat als alle b ij met i j bekend zijn, dan is de hele matrix bekend. Met andere woorden: alleen de elementen op of boven de digonaal heoven bekend te zijn (en dat is ook nodig). Dat ziet er dus zo uit: Hier staan puntjes. Het antwoord is dus: Er zijn 10 getallen nodig om in een vierdimensionale ruimte een symmetrische bilineaire vorm te specificeren. b. Zelfde vraag voor een scheef symmetrische bilineaire vorm. De redenering is vrijwel gelijk aan hierboven. Alleen hebben we nu de conditie b ij b ji. Dat betekent dat b ii b ii b ii 0. De diagonaal elementen zijn dus 0. We hebben dus alleen de elementen boven de diagonaal nodig om de hele vorm te kennen. Het patroon is dus: 15

16 Hier staan puntjes. Het antwoord is dus: Er zijn 6 getallen nodig om in een vierdimensionale ruimte een asymmetrische bilineaire vorm te specificeren. c. Kunt u de antwoorden op a en b ook geven voor en n-dimensionale ruimte? (formules met n erin). Bij onderdeel a wordt dan het patroon dat er n elementen bekend moet zijn. De vraag is even hoe we de som van deze reeks in een formule kunnen vangen. Hier is het de bekende anecdote over Gauss (als kind) van toepassing. Hoe bereken je snel ? Welnu dat is gelijk aan (1+100)+(+99)+(3+98)+ +(50+51) (50 keer), dus 50keer Op dezelfde manier: n (n + 1) + (n + 1) +... ( 1 n keer) 1 n(n + 1) Check voor n 4: dan wordt dit , klopt dus. Bij onderdeel b wordt het antwoord dan n 1 1 n(n 1) Check voor n 4: dan wordt dit , klopt dus ook. Opmerking: als we twee vectoren in de driedimensionale ruimte hebben, bijvoorbeeld E en B (elektrische- en magnetische veld!), dan is er dus sprake van 6 getallen om deze te karakeriseren. Vergelijk dit met de uitkomst van onderdeel b. Geheimpje: dit is geen toeval! Dit is geen toeval omdat we zullen zien dat het elektromagnetische veld beschreven kan worden met één object: een asymmetrische tensor van rang 4. Dat wil zeggen op elk punt in de ruimte hebben we een asymmetrische bilineaire vorm met matrix: 0 E x E y E z F E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 16

17 .8 Inproduct formule met niet orthognale coördinaten Zoals in het college is uitgelegd (slide 33 eerste college 1..4) kan het inproduct van twee vectoren x en y eenvoudig kan worden uitgerekend als we de coördinaten van deze vectoren hebben in een orthonormaal stelsel: (x 1, x ) voor x en (y 1, y ) voor y dan: x y x 1 y 1 + x y (6) Stel dat we nu de volgende nieuwe coördinaten hebben: x 1 x 1 + x (7) x x (8) NB. Deze nieuwe coördinaten zijn nu niet orthogonaal. a. Geef een uitdrukking voor het inproduct van x en y en termen van deze nieuwe coördinaten (x 1, x ) en (y 1, y ). Hint: Druk eerst mbv (7) en (8) x 1 en x uit in x 1 en x en vul dat in in (6). Uit (7) en (8) volgt dat: x 1 x 1 x x x Als we dit invullen in (6) dan krijgen we: x y (x 1 x )(y 1 y ) + x y x 1y 1 x y 1 x 1y + x y + x y x 1y 1 x y 1 x 1y + x y (9) Als het goed is zult u gemerkt hebben dat uw antwoord van de volgende vorm is (of kan worden geschreven): g 11 x 1y 1 + g 1 x 1y + g 1 x y 1 + g x y g11 g b. Geef de matrix 1 g 1 g 17 g ij x iy j (30) i,j1

18 We zien inderdaad dat (9) van de vorm (30) is en lezen dus af dat g11 g g 1 g 1 3 Analyse 3.1 Afgeleide van x n voor n 1 Bepaal de afgeleide functie van 1 x x 1 rechtstreeks met de definitie van afgeleide. We hebben dus de functie f(x) 1. We gaan de f berekenen: x f f(x + h) f(x) 1 x + h 1 x (31) De laatste uitdrukking van (31) is het verschil van twee breuken en we hebben altijd geleerd dat we die dan gelijknamig kunnen maken om wellicht verder te komen. Daartoe vermenigvuldigen we bij de eerste term boven en onder met x en bij de tweede term boven en onder met x + h: f x x(x + h) x + h x(x + h) x (x + h) x(x + h) h x(x + h) (3) De uitdrukking in (3) moeten we delen door h (dat lijkt makkelijk) en dan de limiet nemen als h 0. Daar gaat ie: f f (x) lim h 0 h lim 1 h 0 x(x + h) 1 x x Dit klopt met wat we in het college via de productregel hadden afgeleid. En verder klopt het met de regel dat d dx (xn ) nx n 1, nu dan voor n Afgeleide van tangens Bepaal d dx tan(x). 18

19 We passen de quotientregel ( f g ) gf g f g d dx tan(x) d dx sin(x) cos(x) toe: cos(x) cos(x) ( sin(x)) sin(x) cos (x) cos (x) + sin (x) cos (x) 3.3 Afgeleide van arctangens 1 cos (x) d Bepaal arctan(x). dx We passen de regel voor een inverse functie toe: (f 1 ) 1 (x). f (f 1 (x)) Hier is f(x) tan(x) en f 1 (x) arctan(x). Verder is volgens opgave 3. f (x) 1. cos (x) d dx arctan(x) (f 1 ) 1 (x) f (f 1 (x)) 1/ 1 cos (f 1 (x)) cos (f 1 (x)) cos (arctan(x)) (33) Dit is nu een beetje vervelend. Met iets als cos(arccos(x)) of tan(arctan(x)) kunnen we wel wat (is namelijk x). Nu hebben we cos (y) + sin (y) sin (y) cos (y) tan (y) 1 cos (y) cos (y) cos (y) tan (y) Vullen we hier yarctan(x) in dan krijgen we verdergaand bij (33): cos (arctan(x)) En dit is dus de gevraagde afgeleide. 3.4 Afgeleide van ln x tan (arctan(x)) x Bepaal d dx ln(x) waarbij ln(x) de inverse is van ex. Ook hier passen we de regel voor de inverse toe: (f 1 ) (x) 1 f (f 1 (x)). 19

20 Hier is f(x) e x en f 1 (x) ln(x). Verder is dan f (x) f(x) e x. Dus: 3.5 Leibnitz regel d dx ln(x) 1 f (f 1 (x)) 1 f(f 1 (x)) 1 x Opgave: Check de regel van Leibnitz voor x y. Voor we aan deze uitwerking beginnen even iets over de afgeleide van een functie als f(x) g x. Op het college hadden we al gezien voor zo n exponentiele functie geldt dat de afgeleide gelijk is aan een constante C maal die functie zelf en dat die constante gelijk is aan de afgeleide in 0: f (x) Cf(x) met C f (0) We kunnen nog wel iets meer zeggen over de waarde van C f (0). Ten eerste weten we dat als g e, waar bij e het grondtal van de natuurlijke logaritmes is, dan is (per definitie) f (0) 1. Nu kunnen we g schrijven als een macht van e: g e a en dan dus a ln(g) dan f(x) g x (e a ) x e ax dus f (x) ae ax ln(g)g x We zien dus inderdaad dat de gezocht constante C f (0) gelijk is aan ln(g). Dus we hebben: d dx gx ln(g)g x en dit gebruiken we in de volgende uitwerking. Om Leibnitz te checken berekenen we beide kanten van de vergelijking gewoon: x y (xy ) x (ln(x)xy ) ( x ln(x))xy + ln(x) x (xy ) 1 x xy + ln(x)(yx y 1 ) x y 1 + ln(x)(yx y 1 ) (1 + y ln(x))x y 1 0

21 en y x (xy ) y (yxy 1 ) x y 1 + y y (xy 1 ) x y 1 + y ln(x)(x y 1 ) (1 + y ln(x))x y 1 En het klopt dus inderdaad. 3.6 Kettingregel met partiële afgeleiden We maken een concreet voorbeeld voor de kettingregel van slide 1. We nemen: f(x, y) : xy (34) Verder definieren we en u(t) : t 5 (35) v(t) : t (36) h(t) : f(u(t), v(t)) (37) a. Geef een explicite uitdrukking voor h(t) door (34), (35) en (36) in te vullen in (37). Bepaal dan h (t) d dt h. b. Bepaal f x h(t) : f(u(t), v(t)) f(t 5, t ) t 5.(t ) t 5 t 4 t 9 en f y meer van x af). h (t) : d dt h d dt t9 9t 8 als functies van x en y (toevallig hangt f x niet f x y f y xy 1

22 c. Neem weer x u(t) en y v(t) en vul dat in bij de resultaten van b. Op deze manier worden f f en functies van t. x y d. Bepaal ook du dt f x y (t ) t 4 f y xy t5 t t 7 en dv dt. du dt d dt u d dt t5 5t 4 dv dt d dt v d dt t t e. Bereken met behulp van de resultaten van c en d de uitdrukking f du + f dv en check dat dit hetzelfde is als bij a verkregen x dt y dt voor h (t). f du x dt + f dv y dt 5t4 t 4 + t 7 t 5t 8 + 4t 8 9t 8 Dit klopt met de uitkomst van onderdeel a. Hiermee is in dit voorbeeld de kettingregel h f du x dt + f dv y dt geverifieerd. Naschrift: Het is ook nuttig dit voorbeeld te bestuderen met behulp van de differentiaal notatie. Even ter herinnering: als we een functie f van één variable x hebben: f(x), dan noteren we de afgeleide hiervan op verschillende manieren: df dx f (38)

23 In eerste instantie zijn dit puur twee verschillende notaties voor hetzelfde. Maar als we in (38) beide zijden met dx vermenigvuldigen, dan staat er: df f dx df dx (39) dx Formeel wiskundig is dit eigenlijk onzin (alhoewel de wiskundigen hieraan later wel een formele betekenis hebben gegeven), maar het is wel heel handig, want (39) valt te interpreteren als de kleine verandering in de waarde van f is gelijk aan de afgeleide maal de kleine verandering in x Als f nu een functie van meerdere variabelen is, bijvoorbeeld f(x, y), dan wordt (39) de zogenaamde totale differentiaal: df f f dx + dy (40) x y Laten we hier het voorbeeld f(x, y) xy eens instoppen. We krijgen dan: df y dx + xydy (41) Een typisch voorbeeld van zo n totale differentiaal. Zie ook Collier paragraaf We gaan het voorbeeld nu nog verder uitwerken door aan te nemen dat x en y op hun beurt functies zijn van t: x t 5 (4) y t (43) Vergelijk (35) en (36) en zie dat we de letters u en v kwijt zijn. Uit (4) en (43) volgt nu dat: dx 5t 4 dt (44) dy tdt (45) Nu kunnen we (4), (43), (44) en (45) substitueren in (40) en krijgen dan Hetgeen klopt met df f f dx + x y dy (t ) 5t 4 dt + t 5 t tdt 5t 8 dt + 4t 8 dt 9t 8 dt df dt 9t8 3